Фундаментальное ограничение математики

УДК: 510.21

Выразить то, что не существует и то, что существует можно, соответственно, следующим образом: «IF (А = не-А) THEN ложь, такое А не существует и не существует такое не-А», «IF (А = А) THEN истина, такое А существует». Верно и обратно.

И, следовательно, можно сказать:
1) «не существует А = нет А = А равно не-А = А не равно А = ноль А»
2) «существует А = есть А = А равно А =  ноль равно разности А с собой = один А». 

Отсюда следует, во-первых, что «ноль А равно нулю А» и, во-вторых, что «ноль А равно тому, что А≠А». Тогда, подставив ноль вместо А, получим, что ноль как равен нулю, так и не равен нулю.

Поскольку ноль описывает то, что не существует (что не имеет решения), то и все парадоксы подпадают под этот формат. Так, парадокс брадобрея, цитируя Колмогорова из его книжки о математической логике, звучит как [1, с. 135]:

«Деревенский парикмахер бреет тех и только тех в своей деревне, кто сам не бреется.  Бреет ли он себя? Несложное рассуждение показывает, что он бреет сам себя тогда и только тогда, когда не бреет себя. Как следует реагировать на такую ситуацию? Очень просто. Такого парикмахера не существует»

Колмогоров, как и Рассел, видит причину парадоксов в том, что высказывание ссылается само на себя [1, 134]:

«Рассмотрим множество Рассела
R = {x | x ∉ x}
Это — конкретное множество, описанное термом языка М-плюс. По аксиоме свертывания для любого u имеем
u ∈ R ≡ u ∉ u
В частности, подставляя вместо u множество R, получим
R ∈  R ≡ R ∉ R
С другой стороны, очевидно, имеем
¬(R ∈ R ≡ R ∉ R).
Мы пришли к противоречию. Это короткое рассуждение и является парадоксом Рассела в нашем языке. Обсудим кратко природу парадоксов, к которым относится и парадокс Рассела. Рассмотрим следующее высказывание: «Высказывание, написанное в этой строчке, ложно» Истинно или ложно высказывание, написанное в кавычках? Исходя из его смысла, можно заключить, что истинно тогда и только тогда, когда ложно, и мы пришли к противоречию. Причину парадокса можно усмотреть в структуре высказывания, написанного в кавычках: оно ссылается само на себя».

Но так ли это? Переформулируем приведенный выше парадокс брадобрея со ссылкой на себя, но без самоотрицания:

«Деревенский парикмахер бреет тех и только тех в своей деревне, кто сам бреется. Бреет ли он себя? Несложное рассуждение показывает, что он бреет сам себя тогда и только тогда, когда бреет себя». 

Причина парадоксов не в том, что высказывание ссылается само на себя, а в том, что высказывание ссылается само на себя с отрицанием! 

С другой стороны, закон логики – закон не противоречия формулируется следующим образом:  «А и не-А – не то же самое». И, следовательно, противоречие есть: «А и не-А – то же самое». Например, противоречиво высказывание «белый снег – не белый» или, несколько переформулировав, «белый и не белый – одно и то же». 

Парадоксы же, как известно, потому и парадоксы, что они противоречивы и, к тому же, не имеют решений (если они действительно парадоксы). 

Поэтому (поскольку парадоксы не имеют решений) в отношении их можно сказать: «А и не-А – то же самое» или (как было сказано выше) «IF (А = не-А) THEN ложь, такое А не существует и не существует такое не-А».

Поэтому не удивляет - все известные парадоксы построены именно по этому правилу:
1) Парадокс всемогущества: может и не может – одно и то же.
2) Парадокс Ахиллеса и черепахи: догонит и не догонит – одно и то же.
3) Парадокс Эватла и Протагора: заплатит и не заплатит – одно и то же.
4) И т. д.

Противоречиво построено и известное возражение Рассела к Фреге [2]:
«Пусть w будет предикатом ‘быть предикатом, не приложимым к самому себе’. Приложим ли w к самому себе? Из любого ответа вытекает противоречие. Стало быть, мы должны заключить, что w не является предикатом».

Противоречиво (т.е. не имеет решений, ноль решений) оно только потому, что в нем имеется отрицание по отношению к самому себе. Достаточно его убрать, чтобы увидеть, что противоречие исчезает:

«Пусть w будет предикатом ‘быть предикатом, приложимым к самому себе’. Приложим ли w к самому себе? Стало быть, мы должны заключить, что w является предикатом».

Формально, это означает (когда убираем отрицание), что вместо «А и не-А - то же самое» мы пишем «А и А - то же самое».

Когда читаешь такое, хочется возразить. Аристотелевская логика, служившая верой и правдой, не права? Этого не может быть! Этого не может быть хотя бы по той простой причине, что всё уже созданное наукой, только потому и создано, что в своей основе опирается на логику Аристотеля. 

Мимо. Дело в том, что законы логики (закон тождества, закон не противоречия, закон исключения третьего) описывают то, что существует – их областью применения является то, что существует. Нулем же мы описываем то, что не существует (но сам ноль, при этом, существует). 

Вот что писал один из основателей квантовой механики – Гейзенберг [3]: «Логика, называемая квантовой, была проанализирована уже в 30-е годы Г. Биркгофом и И. фон Нейманом, а недавно вновь подробно исследована К. Ф. фон Вейцзеккером. Прежде всего здесь должна утрачивать силу одна из основополагающих аксиом аристотелевской логики, то есть логики повседневной жизни. Речь идет о принципе, согласно которому либо утверждение некоего высказывания, либо его отрицание должно быть верным. А другое ложным, третьего не дано».

Принципиальная разница с представлением классической механики состоит в том, что в классической механике нечто может быть либо в состоянии А,  либо быть в состоянии не-А, но не одновременно в них сразу! Согласно же принципа суперпозиции для мира квантового это не так. Для величин, размеры которых стремятся к нулю, быть противоречивым (быть в разных местах одновременно) более чем естественно!

На мой взгляд, эта же мысль, но уже со стороны гуманитариев, наиболее четко была высказана философом Лосевым [4]:

«Когда мы говорим, что А отличается от В, то здесь мы фиксируем не специально границу  между А и В (хотя она фактически здесь не может не быть), но фиксируем и сравниваем самое качество А и В. Противоречие же подчеркивает именно самую границу ...И вот когда мы совершаем акт полагания, когда мы полагаем бытие, но так полагаем, что по смыслу оно оказывается только границей, то это и создает для нас категорию противоречия. А так как граница есть совпадение бытия и небытия, то, следовательно, противоречие и есть не что иное, как совпадение бытия и небытия».

Иначе говоря, совпадение «А и не-А» создает для нас категорию противоречия – категорию, которая и описывает то, чего нет.

Это (аналитически ложное А≠А; что не существует) Фреге формулирует следующим образом [5]: 

«Поскольку под понятие «неравное себе» ничего не подпадает, я объясняю:
0 - это число, соответствующее понятию «не равное себе»». 

Далее, Фреге рассуждает, что существует нечто такое, что непосредственно следует за нулем. И этим непосредственно следующим, по его мнению, является то, что «равняется нулю».

Что же может «равняться нулю»? Только разность с собой. Таким образом, понятие «ноль равно разности с собой» есть понятие «один» или, что то же, «равное себе»

Понятие же «равное себе» означает «самотождественно». А «самотождественно» можно заменить на «существовать». И, следовательно, понятия «один» и «существует» — синонимы.

А если это так (ноль есть неравное себе, один есть равное себе), то нет разницы между нулем логическим и нулем алгебраическим, как нет разницы между единицей логической и единицей алгебраической.

Возьмем импликацию и представим ее таблицу истинности в следующем виде:
А -> B 
0 1  0 
0 1  1 
1 0  0
1 1  1

Тогда (последние две строчки) из истины не следует ложь, а следует только истина. И (первые две строчки) из лжи следует как ложь, так и истина. Парадокс лжеца как раз об этом — о том, что из лжи следует как ложь, так и не ложь.

Почему же математика не смогла сформулировать понятие нуля (и, соответственно, единицы), несмотря на то, что неявно этими понятиями она все же пользуется? 

Напомню, как единица и ноль трактуются в математике. 
Ноль – это нет хотя бы одного 
(0=|{}| - мощность множества, не содержащего ни одно элемента, равна нулю). 
Один – есть только один элемент в множестве и этот элемент – ноль. 
(1=|{0}| - мощность множества, содержащего единственный элемент ноль, равна единице).

Но, честно говоря, это насмешка над логикой. Получается, чтобы дать определение нуля, нужно предварительно дать определение единицы. А чтобы определить единицу, изначально нужно определить ноль. Именно об этой проблеме математики пишет Успенский в статье «Семь размышлений на темы философии математики» [6]: 

«… по существу, используется то самое понятие натурального числа, которое мы еще только собираемся аксиоматически определить». 

Кроме того, такие определения страдают еще одним существенным недостатком – они никак не связаны с тем, что именно мы считаем.

Итак, возвращаясь к вопросу, почему же математика не смогла дать определение нуля.  Она не смогла сделать это потому, что ее суть – непротиворечивость. А ноль – это и есть то самое противоречие, которое она всеми силами пытается избежать. 

Замечу еще только, что квантор существования является более сложным понятием, нежели понятие существует, поскольку «один или более одного» (существует или существуют) - не то же самое, что «один» (существует).

В заключение хочу сказать (и эта мысль далеко не нова и отображена, в частности, Успенским [7]), что получить такую систему, которая была бы одновременно полна и непротиворечива, невозможно. Даже когда рассматриваем понятие единицы, вынуждены констатировать, что один - это не только то, что равно себе, но и то, что следует после нуля.

Перефразируя. ... Вначале было понятие. И понятие было у математики. И этим понятием математики был ноль - аналитически ложное, что можно выразить как «А и не-А - то же самое».

Рецензии:

27.09.2014, 11:54 Мордашев Владимир Михайлович
Рецензия: Возможно, автор зацепил утверждение, которое по теореме Геделя нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть. Разбираться в этом желания нет, т.к. есть опасность попасть в ситуацию Фреге, опубликовавшего фундаментальный труд «Основные законы арифметики», но после вопроса Рассела: «Будет ли множество всех множеств, не являющихся своими элементами, своим элементом?», не написавшего затем в течение двадцати лет ни одной работы по арифметике. Рекомендую автору внести ссылку на теорему Геделя.