Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 20.05.2015. Последняя правка: 13.04.2017.

Дифференциальное уравнение кривых второго порядка

Штром Виктор Фёдорович

индивидуальная деятельность

программист

Аннотация:
В настоящей работе рассматривается вывод дифференциального уравнения кривых второго порядка на исследовании движения параметрического маятника в невесомости.


Abstract:
In the real work the conclusion of the differential equation of curves of the second order on research of the movement of a parametrical pendulum in zero gravity is considered.


Ключевые слова:
эллипс; угловое ускорение; эксцентриситет; дифференциальное уравнение.

Keywords:
ellipse; angular acceleration; eccentricity; differential equation


УДК 51-71

Введение

Для решения задач на движение материальных точек и их систем нужны дифференциальные уравнения движения. Способ получения таких уравнений не имеет значения”: [1, с.80]. Рассматривается задача вывода дифференциального уравнения кривых второго порядка на исследовании движения материальной точки (дальше просто точка) по эллипсу под действием внешней силы.

Поместим точку массой m в пространство без гравитации.

Условия – внешняя сила перемещает точку по кривой второго порядка. В данном случае по эллипсу вокруг левого фокуса.



Движение точки по эллипсу вокруг левого фокуса

Рис.1. Движение материальной точки по эллипсу вокруг левого фокуса


N- точка.
Q-сила, действующая на точку.
F1- левый фокус.
F2 - правый фокус.
a(t) - угол между осью Х и точкой, против часовой стрелки.

Совместим  левый фокус с началом координат, тогда
`r=p/(1-e*cos(a(t)))`    (1)
`p=B^2/A` (2)
A, B - полуоси эллипса.
r - радиус до левого фокуса.

e - эксцентриситет эллипса.

Для составления дифференциальных уравнений движения точки изобразим силу, действующую на точку в неподвижной декартовой системе координат.
`mddot x= -Qcos(a(t))`    (3)
`mddot y= -Qsin(a(t))`    (4)
Из (3):
`Q=-mddot x/cos(a(t))`             (5)

подставим (5) в (4)
` ` `ddot y=ddot x*sin(a(t))/cos(a(t)` (6)

Координаты точки можно представить как функцию угла отклонения α(t) и функцию радиуса r(t)
`x=r(a(t))*cos(a(t))`     (7)
`y=r(a(t))*sin(a(t))`     (8)

Вычислим вторые производные по времени системы уравнений (7),(8), подставим в уравнение (6), произведём соответствующие преобразования. Получили дифференциальное  уравнение кривых второго порядка
 
`ddot a =(2*e*sin(a)*dot a^2)/(1-e*cos(a))`        (9)

В виду сложности написания формул в sci-article.ru полный вывод уравнения можно посмотреть по ссылке ИТпортал, 2017. №2 (14). URL: http://itportal.ru/science/tech/algoritm-modelirovaniya-orbit-siste/

Заключение

Одно из свойств уравнения (9) постоянная секторальная скорость, что даёт возможность моделировать орбиты тел по законам Кеплера.

Для движения точки по эллипсу в одном направлении, из уравнения (9) следует необходимость прецессии,  так как отсутствие прецессии  приводит к неопределённости продолжения движения в  точках пересечения большой оси с периметром эллипса. Данное уравнение позволяет рассчитывать траекторию движения тела по эллипсу, учитывая прецессию.

Как известно скорость звезд возрастает с удалением от центра галактики.  Из уравнения (9) следует - если объекты движутся по концентрическим кривым 2-го порядка с одинаковым эксцентриситетом, то линейная скорость будет возрастать с удалением от центра. 

Выявить  и доказать все свойства уравнения (9). В частности доказать необходимость прецессии в уравнении (9) для движения точки по эллипсу в одном направлении, так как отсутствие прецессии  приводит к неопределённости продолжения движения в  точках пересечения большой оси с периметром эллипса.

Несколько примеров (видеоролики) находятся по адресу  http://www.fayloobmennik.net/4823487

Исполняемые файлы примеров находятся по адресу http://www.fayloobmennik.net/4909818

Описание примеров в статье [2].

` `

  

Библиографический список:

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 5т. Т. 1. Механика. – 4-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
2. Штром В.Ф. Алгоритм моделирования орбит системы объектов (не соударяющихся) http://sci-article.ru/stat.php?i=1433575672




Рецензии:

2.07.2015, 10:42 Кузьменко Игорь Николаевич
Рецензия: И в чем научная новизна? В чем вклад автора? Где актуальность исследования и разработки? Где источник литературы [2]? Простите, но статья сырая. Исправить замечания и отправить новую редакцию



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх