Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 20.05.2015. Последняя правка: 09.07.2018.

Дифференциальные уравнения кривых второго порядка

Штром Виктор Фёдорович

индивидуальная деятельность

программист

Аннотация:
Исследуется движение точки по эллипсу под действием обобщённой силы. Выводятся: дифференциальное уравнение кривых второго порядка относительно фокуса, дифференциальное уравнение кривых второго порядка относительно центра, общее дифференциальное уравнение кривых второго порядка. Предлагается несколько примеров применения этих уравнений.


Abstract:
The motion of a point along an ellipse under the action of a generalized force is investigated. A differential equation of the curves of the second order with respect to the focus is derived, differential equation of curves of the second order relative to the center, general differential equation of second-order curves. Several examples of the application of these equations are proposed.


Ключевые слова:
эллипс; угловое ускорение; эксцентриситет; дифференциальное уравнение.

Keywords:
ellipse; angular acceleration; eccentricity; differential equation


УДК 51-71

Введение

Для решения задач на движение материальных точек и их систем нужны дифференциальные уравнения движения. Способ получения таких уравнений не имеет значения”: [2,§11,п.3]. Рассматривается задача вывода дифференциального уравнения кривых второго порядка на исследовании движения материальной точки (дальше просто точка) по эллипсу под действием внешней силы[2-4].

Рассмотрим два варианта движения точки по кривой второго порядка под действием обобщённой силы. В первом варианте по эллипсу, вокруг левого фокуса, рис 1. Во втором варианте по эллипсу, вокруг центра, рис 2.

Вариант 1.

 

Рис.1. Движение материальной точки по эллипсу вокруг левого фокуса


N- точка.
Q-сила, действующая на точку.
F1- левый фокус.
F2 - правый фокус.
a(t) - угол между осью Х и точкой, против часовой стрелки.

Совместим  левый фокус с началом координат, тогда

Для составления дифференциальных уравнений движения изобразим силу, действующую на точку в неподвижной декартовой системе координат. 



Вычислим первые, и вторые производные по времени из системы уравнений (5), (6), (7)

Подставим вторые производные в уравнение (4) и перенесём всё в левую часть. Получили дифференциальное  уравнение кривых второго порядка относительно левого фокуса. 

При различных значениях эксцентриситета будет изменяться вид кривой. 

Вариант 2.

Перенесём начало координат в центр эллипса, рис 2. Изменится функция радиуса (15).

                        Рис. 2 Движение точки по эллипсу относительно центра

M - материальная точка.
Q – обобщённая сила, действующая на точку.
O- центр.
v- линейная скорость точки.
φ(t) - угол между осью Х и точкой, против часовой стрелки.

Дальше повторим рассуждения варианта 1.

подставим (17) в (16)

Вычислим первые и вторые производные по времени из системы уравнений (13), (14),(15)

Подставим вторые производные в уравнение (12), перенесём всё в левую часть и решаем. Получили дифференциальное  уравнение кривых второго порядка относительно центра

При различных значениях эксцентриситета будет изменяться вид кривой. 

Одно из свойств этих уравнений, постоянная секторальная скорость. Программы TygeBraheKepler2_focal.exe, TygeBraheKepler2_center.exe вычисляют параметры движения точки по уравнениям (14), (28) и показывают равенство площадей секторов при равных интервалах времени. Программы находятся по адресу http://fayloobmennik.cloud/7241309

Уравнение (8) применимо для вычисления орбиты тел в соответствии законам Кеплера. Результаты такого  моделирования описаны в [5, 6].

Несколько примеров вычисления орбит по уравнению (14) (видеоролики) находятся по адресу http://www.fayloobmennik.net/4823487

Исполняемые файлы примеров находятся по адресу http://www.fayloobmennik.net/4909818

Уравнение (16) применимо для моделирования линий тока частиц жидкости и газа [7]. Согласно классической теории, частицы воды, участвующие в волновом движении на глубокой воде, описывают орбиту, имеющую форму окружности. Высота волны равна диаметру этой окружности. На Международном океанографическом конгрессе в Москве академиком В. В. Шулейкиным была показана неточность этой теории. На основании длительного изучения движения взвешенных частиц в волновом бассейне Гидрофизического института Украинской Академии наук в Крыму было установлено, что даже при глубине, превосходящей высоту волны, частицы воды движутся по эллипсу, большая ось которого направлена в сторону движения волны. Эллиптическое движение частиц - результат сложения их орбитального движения с поступательным движением даже при отсутствии ветра. Здесь возникает  более сложный вариант, так как центр вращения является переменной величиной.

Общее дифференциальное уравнение кривых второго порядка

Выделим  соответствующие значения радиуса (7), (15) в уравнениях (8), (16)


Из уравнения (17) следует, что вычислить движение точки по заданному эллипсу можно относительно любой точки плоскости, рис. 3. Положим, что движение точки по эллипсу происходит относительно точки O1(x1,y1). Если параметры эллипса известны и известен угол fi1(t) , то определяются радиус и угол относительно центра. После соответствующих подстановок получим формулу (16)

Рис. 3. Движение точки по эллипсу относительно произвольно заданной точки.

Библиографический список:

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 5т. Т. 1. Механика. – 4-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений
3.Магнус К. Колебания
4. Исаков А. Колебательные и волновые процессы
5. Штром В.Ф. Алгоритм моделирования орбит системы объектов (не соударяющихся) http://sci-article.ru/stat.php?i=1433575672
6. Штром В.Ф. Алгоритм моделирования орбит системы объектов дифференциальным уравнением кривых второго порядка //ИТпортал, 2017. №2 (14). URL: http://itportal.ru/science/tech/algoritm-modelirovaniya-orbit-siste/
7. Штром В.Ф. Движение жидкости в случае, когда объём жидкости не меняется и в случае, когда есть изменения объёма URL: http://sci-article.ru/stat.php?i=1530084001




Рецензии:

2.07.2015, 10:42 Кузьменко Игорь Николаевич
Рецензия: И в чем научная новизна? В чем вклад автора? Где актуальность исследования и разработки? Где источник литературы [2]? Простите, но статья сырая. Исправить замечания и отправить новую редакцию



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх