Разделы: Математика
Размещена 20.05.2015. Последняя правка: 19.06.2023.
Просмотров - 3538

Дифференциальные уравнения кривых второго порядка

Штром Виктор Фёдорович

индивидуальная деятельность

программист

УДК 51-71

Введение

Подробнее движение точки по эллипсу в статье  Кинематка эллипса, https://www.academia.edu/103548082/Кинематика_эллипса

Философия рассматривает движение и материю в широком смысле. В статье исследуется механическое движение материальных точек.

Ф. Энгельс утверждает: «…движение немыслимо без материи» [1]. Трудно не согласиться с этим утверждением. Однако математика позволяет выделить механическое движение материальных точек в отдельную категорию со своими свойствами.

Если для описания прямолинейного движения достаточно простых уравнений скорости и ускорения:  V = S/t, a = S/t², то для решения задач на криволинейное движение материальных точек и их систем нужны дифференциальные уравнения движения. «Способ получения таких уравнений не имеет значения”: [2,§11,п.3]. Рассматривается задача вывода дифференциального уравнения кривых второго порядка на исследовании движения материальной точки (дальше просто точка) по эллипсу под действием внешней силы.

Рассмотрим два варианта движения точки по кривой второго порядка под действием обобщённой силы. В первом варианте по эллипсу, вокруг левого фокуса, рис 1. Во втором варианте по эллипсу, вокруг центра, рис 2.

Вариант 1.

 

Рис.1. Движение материальной точки по эллипсу вокруг левого фокуса

N- точка.
Q-сила, действующая на точку.
F1- левый фокус.
F2 - правый фокус.
a(t) - угол между осью Х и точкой, против часовой стрелки.

Совместим  левый фокус с началом координат, тогда

Для составления дифференциальных уравнений движения изобразим силу, действующую на точку в неподвижной декартовой системе координат. 

Вычислим первые, и вторые производные по времени из системы уравнений (5), (6), (7)

Подставим вторые производные в уравнение (4) и перенесём всё в левую часть. Получили дифференциальное  уравнение кривых второго порядка относительно левого фокуса. 

При различных значениях эксцентриситета будет изменяться вид кривой. 

Вариант 2.

Перенесём начало координат в центр эллипса, рис 2. Изменится функция радиуса (15).

                        Рис. 2 Движение точки по эллипсу относительно центра

M - материальная точка.
Q – обобщённая сила, действующая на точку.
O- центр.
v- линейная скорость точки.
φ(t) - угол между осью Х и точкой, против часовой стрелки.

Дальше повторим рассуждения варианта 1.

подставим (17) в (16)

Вычислим первые и вторые производные по времени из системы уравнений (13), (14),(15)

Подставим вторые производные в уравнение (12), перенесём всё в левую часть и решаем. Получили дифференциальное  уравнение кривых второго порядка относительно центра

При различных значениях эксцентриситета будет изменяться вид кривой. 

Второй закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса.

Программы TygeBraheKepler2_focal.exe, TygeBraheKepler2_center.exe вычисляют параметры движения точки по уравнениям (8), (16) и показывают равенство площадей секторов при равных интервалах времени. Программы находятся по адресу [3].

Уравнение (8) применимо для вычисления орбиты тел в соответствии законам Кеплера.

Уравнение (16) применимо для моделирования линий тока частиц жидкости и газа [4, 5]. "Согласно классической теории, частицы воды, участвующие в волновом движении на глубокой воде, описывают орбиту, имеющую форму окружности. Высота волны равна диаметру этой окружности. На Международном океанографическом конгрессе в Москве академиком В. В. Шулейкиным была показана неточность этой теории. На основании длительного изучения движения взвешенных частиц в волновом бассейне Гидрофизического института Украинской Академии наук в Крыму было установлено, что даже при глубине, превосходящей высоту волны, частицы воды движутся по эллипсу, большая ось которого направлена в сторону движения волны. Эллиптическое движение частиц - результат сложения их орбитального движения с поступательным движением даже при отсутствии ветра"[5]. Здесь возникает  более сложный вариант, так как центр вращения является переменной величиной.

Вывод констант линейной скорости

Выберем единицу измерения времени.  Точка совершает полный оборот от 0 до 2π за время Т =1 год. Здесь год для каждой планеты свой.

1. перигелий с радиус-вектором r₁ = a - c,  скоростью V₁;

2. афелий с радиус-вектором r₂ = a + c,  скоростью V₂ .

Вариант 1 — левый фокус эллипса полюс, большая ось — полярная ось                         

В перигелии и афелии sin(φ) = 0, поэтому ускорения в этих точках равно нолю (8), а разность скоростей по модулю является константой:

где a - длина большой полуоси, b - длина малой полуоси орбиты.

С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:


Программой, Winkel_Planet_left_focus_LM.exe [6] по формуле (8)  вычислены V₁, V₂, где T = 1 [годпланеты] и δ = V₁ – V₂ [a.e./годпланеты]

В таблицах 1-6, единица измерения расстояния есть расстояние от Земли до Солнца [а.е.], T_земля = 1[а.е.]

По формуле (32) получим таблицу 3:

Вариант 2 — центр эллипса полюс, большая ось — полярная ось.           

В точках пересечения эллипса и большой оси cos(φ) = 1, отсюда следует, что (15) принимает вид         

Программой Winkel_Planet_center_focus_LM.exe [6] по формуле (16) вычислена V_a, где T = 1 [годпланеты].

Из таблиц 2 и 3 видим, что const₂ = const₃ = 1.

Формально можно приравнять (41) и (30),

По формуле (43) получим таблицу 5, где период планеты вычисляется относительно одного года Земли:

Приведём сводную таблицу периодов, полученных различными способами:

 

1. Энгельс Ф. «Анти-Дюринг», К.Маркс и Ф.Энгельс. Сочинения, 2 изд., т. 20, стр. 59. — 246
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 5т. Т. 1. Механика. – 4-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
3. Штром В. Ф. Программы. [Электронный адрес]: https://cloud.mail.ru/public/3VM9/5tRUFvqfL
4. Штром В.Ф. Движение жидкости в случае, когда объём жидкости не меняется и в случае, когда есть изменения объёма препринт URL: http://sci-article.ru/stat.php?i=1530084001
5. Международный Океанографический Конгресс (2; 1966; Москва)
6. Штром В. Ф. Программы. [Электронный aдрес]: https://cloud.mail.ru/public/4YEg/4E2TZbj8h
7. V. Strohm Velocity and Acceleration Vectors on Second Order Curves URL: https://vixra.org/abs/2012.0161
8. V. Strohm Velocity and Acceleration Vectors on Second Order Curves URL: https://www.academia.edu/44760665/Velocity_and_acceleration_vectors_on_second_order_curves

Рецензии:

2.07.2015, 10:42 Кузьменко Игорь Николаевич
Рецензия: И в чем научная новизна? В чем вклад автора? Где актуальность исследования и разработки? Где источник литературы [2]? Простите, но статья сырая. Исправить замечания и отправить новую редакцию



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий