Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Астрономия, Математика
Размещена 08.06.2015. Последняя правка: 21.02.2017.

Алгоритм моделирования орбит системы объектов по кривым второго порядка

Штром Виктор Фёдорович

индивидуальная деятельность

программист

Аннотация:
Идея алгоритма: вычисление движения тел, через связный граф. Граф построен на решении дифференциального уравнения кривых второго порядка [2], теоремы центра масс, перехода от последовательного ряда относительных координат к общей системе координат.Также предложены задачи на вращение тела вокруг своей оси, за счёт изменения координат центра массы тела, под действием теплового излучения второго тела.


Abstract:
Idea of algorithm: calculation of motion of bodies, through the coherent graph. The graph is built on solving a differential equation of second order curves [2], theorems of the center of masses, transition from a consecutive number of relative coordinates to the general system of coordinates. We consider also some problems of the origin of body rotation under the influence of the thermal radiation from the second body.


Ключевые слова:
материальная точка; эллипс; угловое ускорение; эксцентриситет; дифференциальное уравнение; связный граф,тепловое излучение.

Keywords:
material point; ellipse; angular acceleration; eccentricity; differential equation; connected graph; thermal radiation.


УДК 51-71

Ведение:

Пренебрегая размерами тел, будем пользоваться термином материальные точки, или просто точки.

Дифференциальное уравнение кривых второго порядка:

    (1)

a(t)
- угол между большой осью  и радиусом от точки до фокуса.

e – эксцентриситет.

  1. Движение одной материальной точки вокруг относительно неподвижной второй точки.

Масса первой точки много меньше массы второй. Известно максимальное и минимальное расстояние между точками, второе тело находится в одном из фокусов эллипса, тогда движение первой точки можно вычислить по формуле (1).

  1. Движение двух точек вокруг общего центра масс.

Массы точек сопоставимы и известны m1,m2. Известно максимальноеи минимальное расстояние между точками – a12,b12.


Рис. 1 

Совместим центр масс и начало координат. Вычислим полуоси эллипсов – a1, b1a2, b2:
               
(2)
                  (3)
    (4)
    (5) 

Из системы уравнений (2) – (5) находим:
 



Вычисляем эксцентриситеты. Точки движутся синхронно, иначе столкнутся. Рассчитываем движение точек  по формуле (1).

  1. Движение трёх и более точек вокруг общего центра масс со следующими условиями:

a)      Известны массы точек  m1,m2, m3.  Система точек имеет общий центр вращения. Совместим общий центр точек с началом координат.

b)      Известно максимальное и минимальное расстояние между точками.   

c)      Точки вращаются по своим орбитам парно синхронно.  

Алгоритм

a)      связный граф до общего центра вращения, через промежуточные центры вращения пар, в которых участвовала данная точка.

b)       Вычисляем орбиты заданных точек. Орбита каждой точки есть сумма орбит её графа. Здесь происходит Из исходных данных  вычисляем координаты объектов относительно общего центр вращения. Общий центр вращения считаем неподвижным.

c)      Выбираем начальную точку графа.

d)     Остальные точки разбиваем на пары.

e)      Вычисляем координаты центров вращения пар точек и присваиваем центрам массу равную сумме масс соответствующей пары точек.

f)       Для каждой пары проводим вычисление по алгоритму пункта 2. Движение двух точек вокруг общего центра масс.

g)      Получили новую систему точек: начальная точка + точки центров масс для нечётного числа, начальная точка + точки центров масс + 1 для чётного числа заданной системы точек. Повторяем пункты c), d), e) для новой системы точек

h)      Пункт f) повторяем в цикле, пока не останется система из двух точек, начальная точка + центр масс остальных изначально заданных точек. Выполняем последний раз пункт 2.

i)        От каждой точки строится сложение координат относительных систем отсчёта.

Углы, угловые скорости, угловые ускорения, параметрические радиусы вычисляются по формуле (1) программой ZweiObjekte1Winkel.exe. Углы, угловые скорости, угловые ускорения, параметрические радиусы записываются  в файлы ellpi*.txt.

Примеры:  

Все точки имеют период вращения T = 1. Задаётся точность вычисления – число точек на траектории (вычисляется 100 точек на каждом эллипсе). Интервал равен  T/100 = 0.01.

Пример 1. Рис. 1. Два объекта. Видео ролик Objectes2.swf.html.

Пример 2. Рис. 2

 

Рис. 2

Имеем три объекта равной массы m1:m2:m3 = 1:1:1. Все орбиты – эллипсы. Расстояние между объектами задано, p1p2 = p2p3 = p3p1 = 8. Задан эксцентриситет ex = 0.6.  Строим граф орбит.  Центры вращения вычисляются по правилу центров масс. Имеем три варианта:  p1(p2,p3), p2(p1,p3), p3(p1,p2). Ввиду симметрии системы графы эквивалентны. Возьмём граф p3(p1,p2) = (p3,O12). Знак равенства означает, что каждое звено графа заменено центром масс точек звена, например (p1,p2) = O12. Вычисления начинаются с внутренних скобок.

Вычисляем большие и малые оси. Вычисляем  скорости движения объектов в точках орбит с  заданным интервалом по времени. Полученные углы, угловые скорости, угловые ускорения, параметрические радиусы записаны в файлы ellpi*.txt. Программа Objecte3-1-1-1 вычисляет орбиты объектов по описанному алгоритму. Видеоролик Objectes3-1-1-1.swf.html. Исполняемый файл Objecte3-1-1-1.exe,  файлы данных ellpi*.txt в  папке            Objectes3-1-1-1.

Видеоролики в папке ObjectesVideosHTML.

В виду симметрии все три объекта должны иметь одинаковые орбиты и иметь симметрию относительно центра вращения. Что и видно на рис. 3.  

Рис. 3

Пример 3. Рис. 4.


Рис. 4

Зададим   массы m1:m2:m3 = 1:2:3, Имеем координаты объектов относительно центра вращения. Все орбиты – эллипсы. Задаём эксцентриситет ex = 0.3.  Строим граф орбит.  Имеем три варианта:  p1(p2,p3), p2(p1,p3), p3(p1,p2). Возьмём  граф p1(p2,p3) = (p1,c23). Вычисляем большие и малые оси. Все объекты имеют период вращения T = 1, этим обеспечивается синхронность движения. Рассчитываем скорости движения объектов в точках орбит с  шагом по времени 0.01*T. Данные углов, угловых скоростей, угловых ускорений, параметрических радиусов находятся в файлах ellpi*.txt.  Программа Objecte3-1-2-3  вычисляет орбиты объектов по описанному алгоритму. Видеоролик Objectes3-1-2-3.swf.html. Исполняемый файл Objecte3-1-2-3.exe,  файлы данных ellpi*.txt в  папке Objectes3-1-2-3. 

Рис. 5. Орбиты объектов примера 3.

Пример 3а. Рис. 6.

Рис. 6

Повторим пример 3 с другим графом орбит p3(p1,p2) = (p3,c12). Данные углов, угловых скоростей, угловых ускорений, параметрических радиусов находятся в файлах ellpi*.txt.  Программа Objecte3-1-2-3a  вычисляет орбиты объектов по описанному алгоритму. Видеоролик Objectes3-1-2-3a.swf.html. Исполняемый файл Objecte3-1-2-3a.exe,   файлы данных ellpi*.txt в  папке Objectes3-1-2-3a.

Рис. 7. Орбиты объектов примера 3а.

Видим, что рис. 5 и рис. 7 подобны, т.е. орбиты примеров 2 и 2а качественно схожи.   Требуется найти функцию подобия графов p1(p2,p3) и  p3(p1,p2). Возможно, необходимы более точные вычисления.

Пример 4. Рис. 8

Рис. 8

Положим  массы m1:m2:m3 = 1:2:3:4, Имеем координаты объектов относительно центра вращения. Все орбиты – эллипсы. Задаём эксцентриситет ex=0.3.  Строим граф орбит.  

Возьмём  граф p4(p1(p2,p3)) = p4(p1,с23)) = (р4,с123). Вычисляем большие и малые оси. Все объекты имеют период вращения T = 1, этим обеспечивается синхронность движения. Рассчитываем скорости движения объектов в точках орбит с  угловым шагом 0.01*2π. Данные углов, угловых скоростей, угловых ускорений, параметрических радиусов находятся в файлах ellpi*.txt.  Программа Objecte4-1-2-3-4  вычисляет орбиты объектов по описанному алгоритму. Видеоролик Objectes4-1-2-3-4.swf.html. Исполняемый файл Objecte4-1-2-4.exe, файлы данных ellpi*.txt в  папке Objectes4-1-2-3-4. 

Рис  9. Объекты - p1, p2, p3, p4. Центры вращения – c0, c12, c123.

Пример 5. Смоделируем вращение двух одинаковых тел вокруг третьего,  подобных спутникам Сатурна Янусу и Эпиметею. Положим период вращения вокруг центрального тела, равен 1году, за 1 период 4 пересечения орбит. Получаем 3-х кратное взаимное вращение, вокруг центра вращения двух тел (Януса и Эпиметея).  

Рис  10.

Пример 5а. Обратные условия, задаем 5 вращений первых двух тел относительно друг друга (подобно Луна с Землёй). Получаем 8  пересечений орбит за 1 период вращения вокруг центрального тела 3.  6 периодов – 10 пересечений.

N периодов  =  2N-2 пересечений орбит.

 

И так далее для заданного числа тел получаем орбиты относительно общего центра вращения.

Данные углов, угловых скоростей, угловых ускорений, параметрических радиусов находятся в файлах ellpi*.txt.  Программа Pendel3_1_2GraphOpenGl вычисляет орбиты объектов по описанному алгоритму. Видеоролик Ja-E_4p.swf.html. Исполняемый файл Pendel3_1_2GraphOpenGl.exe, файлы данных ellpi*.txt в  папке Pendel3_1_2GraphOpenGl. 

Заключение:

Математика. 

  a)      Выявить  и доказать  все свойства уравнения (1). 

b)      Доказать эквивалентность (подобие) графов системы при различных начальных точках. Примеры 3 и 3а.

Астрономия.

a)      Проверить и доказать (не) соответствие с реальными системам объектов, т.е. правомочность пункта 3.i).

б)   Для движения точки по эллипсу в одном направлении, из уравнения (1) следует необходимость прецессии,  так как отсутствие прецессии  приводит к неопределённости продолжения движения в  точках пересечения большой оси с периметром эллипса. Данное уравнение позволяет рассчитывать траекторию движения тела по эллипсу, учитывая прецессию. В примерах вычисление орбит производилось без учёта прецессии. Обозначим прецессию перицентра буквой dp, тогда интегрируем уравнение (1) от 0 до π+dp. В результате вычисления также получаем прецессию апоцентра da. При следующем цикле смещаем 0 на величину da.

Физика.

Описание физических и компьютерной модели, которые приводят к  выводу уравнения (1) и алгоритма орбит, будут приведены позже.

Дополнения:

Все видеоролики находятся по адресу  http://www.fayloobmennik.net/4823487

Исполняемые файлы находятся по адресу http://www.fayloobmennik.net/4909818

Исходные коды находятся по адресу http://copyright.gov/eco/  Title: ClosedTrackSystemObjects, Case Number: 1-2149827051. Или обратиться к автору.

При решении уравнения (1) применялась подпрограмма DE38R [1]. 

            Возникновение и необходимость вращения планет вокруг своей оси   Продемонстрируем влияние температурного расширения на изменение центра массы. На Земле центр массы совпадает с центром тяжести. Возьмём две равных, по массе и длине,  металлических балки P1 и P2m1 = m2, l1 = l2. Соединим их через теплоизолирующую прокладку J. Получили балку Р. Подвесим балку Р  за центр О. Рис.1, часть а). Под Р2 поместим источник тепла S. Под действием тепла длина Р2 увеличится на величину d. Рис.1, часть b). Центр массы балки Р2 сместится из точки С2 в С3. Так как (О,С3)  больше (О,С1), образуется крутящий момент М. Естественно, что направление момента М в условиях Земли предсказуемо.

                                                                       Рис. 11

            Поместим балку Р в невесомости и повторим эксперимент. В нагретом конце балки колебание молекул более интенсивно, чем в противоположном. Можно предположить возникновение момента вращения под действием тепла. Если гипотеза верна, то можно предложить следующие задачи:

Задача 1.

            В невесомости, в вакууме, в системе координат XY, поместим тело В на расстоянии ОН от оси Х. Для простоты положим, что В твёрдый однородный шар массой m. Из центра В опустим перпендикуляр на ось Х и в точку пересечения поместим источник тепла тело S. Температура пространства (Т) меньше  температуры тела S (T1), T < T1. На тело В не действуют ни какие силы, кроме теплового излучения от тела S.  Рис.12.

                                                                      Рис. 12

            Имеем m1 = m2, m1 + m2 = m. Под действием тепла, ближняя к S, сторона тела В расшириться. В следствии чего центр массы тела В сместиться на Δy в направлении к S. Также под действием тепла в теле возникнет крутящийся момент М. Здесь неважно в какую сторону он повернёт тело В. Положим что поворот произошёл в +Х на угол α. Центр массы тела В  сместился на Δy1 и Δх. Противоположная сторона В остывает. Источник S сдвигаем на Δх. Цикл повторятся, но уже с новыми координатами. Тела В и S через какой-то промежуток времени столкнутся.

Задача 2.

            Изменим условия задачи 1. Источник тепла  S неподвижен. Тело B движется по кривой второго порядка. Рис.13. Чтобы орбита была устойчивой необходимо, чтобы смещение центра массы тела В попадало на заданную кривую.

                                                                       Рис. 13

            Предлагается найти формулы, или создать алгоритм вычисления соотношения массы тела В, коэффициентом расширения вещества тела В, интенсивности излучения тела S, и параметрами орбиты тела В. При вычислении может пригодиться дифференциальное уравнение кривых второго порядка [2].

            Косвенное подтверждение существование решения, это наличие вращения вокруг своей оси у планет,  и отсутствие вращения вокруг своей оси у спутников планет, например у Луны.

Библиографический список:

1. Библиотеки численного анализа НИВЦ МГУ.
2. Штром В.Ф. Статья „Дифференциальное уравнения кривых второго порядка“ размещена по адресу http://sci-article.ru/stat.php?i=1431727293




Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх