Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Физика
Размещена 30.11.2016. Последняя правка: 28.11.2016.

Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук

пенсионер

пенсионер

Аннотация:
В статье представлен альтернативный формализм на основе обобщенной алгебры Клиффорда (на случай криволинейных координат). Однородная (∇∧F=0) и неоднородная (∇•F=J) системы уравнений Максвелла объединены в единое уравнение. Связанная с явными свойствами пространства трактовка дана для 4-х мерного электромагнитного тока и некоторых калибровок.


Abstract:
The article presents the formalism based on generalized Clifford algebra (curvilinear coordinates’ case). The homogeneous (∇∧F = 0) and inhomogeneous (∇ • F = j) Maxwell's equations have been combined into the single equation. The interpretation for 4-dimensional electromagnetic current and some gauges associated with explicit spaces properties was given.


Ключевые слова:
Алгебра Клиффорда; внешнее и внутреннее произведения векторов; уравнения Максвелла; 4-х мерный электромагнитный ток; калибровка Лоренца; калибровочная инвариантность.

Keywords:
Clifford algebra; inner and outer product of vectors; Maxwell’s equations; 4-dimensional electromagnetic current; Lorenz gauge; gauge theory.


УДК 537.8; 512.7
Введение

Известно, что в общековариантном виде уравнения Максвелла состоят из двух независимых систем[1]:

• однородной – EijknFij:k =0;

• неоднородной – Fik:k=Ji.

где

Fij – тензор электромагнитного поля;

Ji – 4-х мерная плотность электромагнитного тока;

Eijkn = εijkn/(-g)0.5 (ε0123= +1) – контравариантный  антисимметричный тензор четвертого ранга;

(-g) – определитель метрического тензора;

εijkn –антисимметричный тензор четвертого ранга в ортонормированном базисе;

Fij:k =DkFij =DFij /∂qk– ковариантная производная тензора электромагнитного поля по аргументу (координате) qk.

Актуальность.

А) Было бы логично объединить независимые системы Максвелла в единое уравнение. Марсель Рис[2] впервые объединил эти системы уравнений Максвелла в пространстве Минковского, но не связал 4-х ток со свойствами и особенными точками пространства, т.е. «выбросил» особенности пространства – искривленность и особые точки.  Это сильно ограничило возможность алгебры Клиффорда для объединения систем уравнений Максвелла и 4-х тока.   

Б) В классической физике электрический заряд и ток не связаны с явными свойствами пространства, например, с метрикой пространства (искривленностью) и с особыми точками.

 В квантовой электродинамике электрический заряд определяется как плотность вероятности нахождения в 3-х мерном объёме[3]:

q=∫∫∫(üi ∂L/∂ üi;0 - ui ∂L/∂ ui;0)dv

где ui– волновая функция, а üi – комплексно - сопряженная волновая функция. Лагранжиан Lподбирается отдельно для каждой частицы.

Новизна. В данной статье объединены уравнения Максвелла для любого пространства. Также 4-х ток и основные калибровочные условия (калибровка Лоренца, Кулона и т.д.) связываются с особыми точками пространства, где потенциал поля не определен и/или не существует предела.

Теоретические основы

В качестве изменения векторного поля вводим понятие локальной неоднородности векторного поля с потенциалом A:

B=∇A                                                        (1)

где ∇=eiD/∂qi= eiDi – оператор набла; A = ejAj – разложение 4-х мерного потенциала на векторы ejкриволинейного базиса;

Латинские буквы принимают значения от 0 до 3: i,j… =0,1,2,3., греческие – от 1 до 3: α,β…=1,2,3.

В качестве ортонормированного базиса (ii,ij)=δij берем базис:

γiγj+ γjγi =±Iδij                                              (2)

 где ii – единичные векторы (орты) ортонормированного базиса; γi – матрицы Дирака; δij– символ Кронекера; I– единичная 4x4 матрица.

Согласно сигнатуре пространства, в частности, Минковского, если i=0 (или j=0), то в равенстве (2) берем знак «+», если нет – то знак «-».

В произведениях базисных векторов ej=γkjXkвместо обычных скалярных и векторных произведений используем произведения Клиффорда[4]:

eiej = eiej+ eiej                                        (3)

где

внутреннее произведение1  (inner product) –  

eiej=0.5(eiej +ejei)                                         (4)

внешнее произведение (outer product) –

eiej=0.5(eiej- ejei)                                         (5)

Xkфункции от {qi}, т.е. функции перехода от криволинейной к ортонормированной системы координат. 

 С учетом (4) и (5) неоднородность векторного поля (1) в координатной форме записи имеет вид:

B= eiejDiAj+ eiejDiAj                                       (5)

где eiej = gij – метрический тензор; eiej– антисимметричный тензор второго ранга или бивектор.

В общем случае

а) в 4-х мерном пространстве антисимметричный тензор 4-го ранга eiejeken дуален к псевдоскаляру:

eiejeken=-γEijkn                                                  (6)

eiejeken= γEijkn                                                  (7)

где γ=γ0γ1γ2γ3;

Eijkn=εijkn(-g)0.5    (ε0123= -1)

Eijkn= εijkn/(-g)0.5 (ε0123= +1)

 – абсолютно антисимметричные тензоры 4-го ранга в ковариантном и контравариантном виде;

Произведение e0e1e2e3 численно равно «4-х мерному объёму», построенному из векторов e0, e1, e2, e3.

Доказательства равенств (6) и (7) приведены в приложении 1.

 

б) Произведение eiejek (антисимметричный тензор 3-го ранга) в 4-х мерном пространстве дуально псевдовектору:

eiejek=-γ Eijkn  en                                              (8)

eiejek=γ Eijkn en                                                                         (9)

Доказательство равенств (8) и (9) приведено в приложении 2.

в) Произведение eiej (антисимметричный тензор 2-го ранга) в 4-х мерном пространстве дуально самому себе (антисимметричному псевдотензору 2-го ранга):

eiej=-γΕijkn eken                                             (10)

eiej= γEijkneken                                              (11)

Формулы (10) и (11) доказываются аналогично предыдущим случаям, поэтому не будем утомлять читателя вычислениями.

 

Результаты

Уравнения Максвелла.

Чтобы получить единое уравнение электромагнетизма, берём градиент от равенства (1):

 ∇B=∇(∇A)                                                (12)

Согласно произведению Клиффорда, имеем

∇B=∇(∇A+∇∧A)=∇(∇A)+ ∇(∇∧A)+ ∇∧∇∧A

∇B=∇(∇A)+ ∇(∇∧A)+ ∇∧∇∧A                            (13)

Уравнение (13) – есть единое уравнение электромагнетизма.

1. Вывод однородного уравнения Максвелла.

Теорема:

 – верно утверждение:

∇∧∇∧A=0                                              (14)

– уравнение (14) эквивалентно однородному уравнению Максвелла, если учесть

F=∇∧A                                               (15)

т.е. из (14) получим классический вид однородного уравнения Максвелла:

∇∧F=0                                              (16)

Уравнение (16) – есть неоднородное уравнение Максвелла.

Доказательства утверждений приведены в приложении 3.

 

2. 4-х мерный электромагнитный ток

Запишем уравнение (13) с учетом (14):

∇B=∇(∇A)+ ∇(∇∧A)                                  (17)

Обозначим 4-х ток как

J=∇(∇A)                                              (18)

  Согласно формуле (18), 4-х ток имеет явный геометрический смысл:

4-х ток есть 4-х градиент от 4-х дивергенции потенциала поля. Ток существует только тогда, когда дивергенция не постоянная, т.е. ∇A≠const. Если ∇A≠const, то пространство имеет «дыры» и/или «сгущения» -  «стоки» и/или «истоки». Именно поэтому электрический заряд бывает либо исток – положительный заряд, либо сток – отрицательный заряд.     

2.1 Калибровка Лоренца

A= const (=0)

означает, что в рассматриваемой области не существует 4-х ток. В частности, калибровка Кулона

A= const (=0)

тоже означает отсутствие 3-х токов в магнитостатических задачах, где временный компонент A игнорируется или предполагается равным нулю.

2.2 Калибровочная инвариантность

Если к потенциалу A добавить 4-х градиент скалярной функции

A =A+∇u                                              (19)

и потребовать выполнение условия

∇u=0                                              (20)

то единое уравнение электромагнетизма (12) будет инвариантным.  Преобразования (19) – есть калибровочная инвариантность.  

3. Вывод неоднородного уравнения Максвелла

 Учитывая обозначение 4-х тока (18) и тензора электромагнитного поля (15), единое уравнение электромагнетизма (17) запишем в виде:

∇B= J +∇F                                           (21)

Предположим, что

∇B= μTA                                             (22)

где T – тензор энергии-импульса; μ – постоянный коэффициент.

Тогда из уравнения (21) получим неоднородное уравнение Максвелла:

F = μTA - J                                          (23)

 Если μTA ≃0 (или константа), тогда получим классическое выражение неоднородного уравнения Максвелла (с точностью до постоянного вектора при μTA = const).

Согласно уравнению (23), при высоких энергиях (больших масс) тензор энергии – импульса дает вклад в 4-х ток. Но это не означает, что неоднородное уравнение Максвелла (23) нарушается, а приобретает новый вид.

Таким образом, мы показали, что две независимые системы Максвелла (16) и (23) являются частями единого уравнения (12).

Обсуждения и выводы

1. В статье на основе обобщенной геометрической алгебры (алгебра Клиффорда в произвольном пространстве) две независимые системы уравнения Максвелла объединены в единое уравнение (12), т.е. однородная (14) и неоднородная (23) системы уравнений Максвелла являются частями единого уравнения (12);

2. В данной концепции 4-х ток имеет явный геометрический смысл: 4-х ток является градиентом от дивергенции потенциала A, т.е. включает в себя сингулярности пространства. Изменение по времени «стока» и/или «истока» в пространстве – есть положительный и/или отрицательный электрический заряд. Наложение на уравнения ограничений, таких как калибровка Лоренца, Кулона и т.д. – не более, чем «устранение» сингулярности, т.е. тока. Условие (20) в калибровочной инвариантности (19) означает, что колебания и/или волны не влияют на 4-х ток.

Новая форма записи неоднородной системы Максвелла

F = μTA - J                                          (23)

означает, что энергия дает вклад в 4-х электрический ток. При больших энергиях разница μTA – J будет меньше, чем в классическом случае. Видимо, с этим вкладом связано «бегучесть» угла Вайнберга, предсказанная в Стандартной модели[5] и подтвержденная в эксперименте[6], и вообще, «бегучесть констант» при высоких энергиях. Возможно, что этим же вкладом объясняется конфайнмент[7] в теории кварков. При больших вкладах энергии в 4-х ток разность будет отрицательной (μTA – J<0), и появление свободных одиноких зарядов (кварков) становится невозможным.   

Приложение 1

Доказательство формул (6) и (7):

Каждый вектор ei обобщенного базиса разложим по каноническому базису и произведение eiejeken напишем в виде:

eiejeken=(∂iXpiXqiXriXspγqγrγs

Здесь i, j, k, (также p, q, r, s) не равны друг другу и принимают значения 0;1;2;3.

Простые вычисления показывают, что
Рисунок 1

Этот определитель (детерминант) возведем в квадрат:
Рисунок 2

Упрощаем
Рисунок 3

Извлекая из корня последнее выражение и обобщая, получим формулу (6). Доказательство формулы (7) аналогично.

Мы доказали утверждения (6) и (7).

 

Приложение 2

Доказательство формул (8) и (9):

Предположим, что в 4-х мерном пространстве антисимметричный тензор 3-го ранга дуален псевдовектору. Это запишем в виде:

eiejek = Ω em                                                          (2Α)

Ω– пока неизвестный коэффициент.

Обе стороны равенства (2А) умножим на en справа:

eiejeken= Ω em∙ en

Упрощаем:                                                -γEijkn =Ωgmn

Отсюда                                                        Ω=-γ gmnEijkn 

Это выражение, подставляя в равенство (2А) вместо Ω, получим равенство (8). Доказательство равенства (9) аналогично.

Мы доказали утверждения (8) и (9).

 

Приложение 3

Доказательства формул (14) и (16).

1. доказательство утверждения (14), т.е. ∇∧∇∧A=0.

Учитывая ekeiejEkijn gnm em, формулу (14) запишем в координатной форме:

Ekijn𝒟k𝒟iAj =0

Меняя местами индексы i,j,kв этом уравнении и упрощая, получим:

Ekijn(𝒟k𝒟iAj +𝒟j𝒟kAi +𝒟i𝒟jAk -𝒟i𝒟kAj -𝒟j𝒟iAk -𝒟k𝒟jAi) =0

 

Известно, что         𝒟i𝒟jAk - 𝒟j𝒟iAk = -RpkijAp

где Rpkij – тензор Римана.

Подставляя выражение тензора Римана в предыдущее уравнение, получим

-RpkijAp -RpjkiAp -RpijkAp =- Ap (Rpkij +Rpjki +Rpijk)=0

Это уравнение действительно равно нулю, так как выражение в скобке тождественно равно нулю.

2. доказательство эквивалентности (14) и однородного уравнения Максвелла.

Формулу Ekijn𝒟k𝒟iAj =0 преобразуем:

0=Ekijn𝒟k𝒟iAj = Ekijn𝒟k𝒟iAj + Ekijn𝒟k𝒟iAj = Ekijn𝒟k𝒟iAj + Ekjin𝒟k𝒟jAi =

= Ekijn𝒟k𝒟iAj - Ekijn𝒟k𝒟jAi = Ekijn𝒟k(𝒟iAj - 𝒟jAi )= Ekijn𝒟kFij.

Ekijn𝒟kFij=0

Утверждения доказаны.



1Внутреннее произведение векторов не есть скалярное произведение, как часто ошибочно употребляется в научной литературе. Внутреннее произведение двух векторов есть симметричный тензор второго ранга, а скалярное произведение этих же векторов есть скаляр, т.е. след (свёртка) симметричного тензора второго ранга.   

Библиографический список:

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, том 2. Москва, ФИЗМАТЛИТ, стр. 345-346.

2. Riesz, Marcel (1993) (1958), Clifford numbers and spinors, Fundamental Theories of Physics, 54, Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-2299-3, MR 1247961.

3. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. Изд. «Наука». М. 1984 г. стр. 36.

4. Chris J. L. Doran. Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics. Sidney Sussex College. A dissertation submitted for the degree of Doctor of Philosophy in the University of Cambridge. February 1994, pages 4-6.

5. Проблемы с углом Вайнберга в эксперименте NuTeV — страница из проекта «Текущие открытия в физике элементарных частиц (ФЭЧ)».

6. P. L. Anthony et al, SLAC E158 Coll., "Precision measurement of the weak mixing angle in Moller scattering", e-print hep-ex/0504049.

7. И.М. Дремин, А.Б. Кайдалов. Квантовая хромодинамика и феноменология сильных взаимодействий. Успехи физических наук (Март 2006 года). стр. 227.




Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх