Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
https://wos-scopus.com
Научные направления
Поделиться:
Статья опубликована в №40 (декабрь) 2016
Разделы: Физика
Размещена 30.11.2016. Последняя правка: 15.01.2017.

Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук

пенсионер

пенсионер

Аннотация:
В статье представлен альтернативный формализм на основе обобщенной алгебры Клиффорда (на случай криволинейных координат). Однородная (∇∧F=0) и неоднородная (∇•F=J) системы уравнений Максвелла объединены в единое уравнение. Связанная с явными свойствами пространства трактовка дана для 4-х мерного электромагнитного тока и некоторых калибровок.


Abstract:
The article presents the formalism based on generalized Clifford algebra (curvilinear coordinates’ case). The homogeneous (∇∧F = 0) and inhomogeneous (∇ • F = j) Maxwell's equations have been combined into the single equation. The interpretation for 4-dimensional electromagnetic current and some gauges associated with explicit spaces properties was given.


Ключевые слова:
Алгебра Клиффорда; внешнее и внутреннее произведения векторов; уравнения Максвелла; 4-х мерный электромагнитный ток; калибровка Лоренца; калибровочная инвариантность.

Keywords:
Clifford algebra; inner and outer product of vectors; Maxwell’s equations; 4-dimensional electromagnetic current; Lorenz gauge; gauge theory.


УДК 537.8; 512.7
Введение

Известно, что в общековариантном виде уравнения Максвелла состоят из двух независимых систем[1]:

• однородной – EijknFij:k =0;

• неоднородной – Fik:k=Ji.

где

Fij – тензор электромагнитного поля;

Ji – 4-х мерная плотность электромагнитного тока;

Eijkn = εijkn/(-g)0.5 (ε0123= +1) – контравариантный  антисимметричный тензор четвертого ранга;

(-g) – определитель метрического тензора;

εijkn –антисимметричный тензор четвертого ранга в ортонормированном базисе;

Fij:k =DkFij =DFij /∂qk– ковариантная производная тензора электромагнитного поля по аргументу (координате) qk.

Актуальность.

А) Было бы логично объединить независимые системы Максвелла в единое уравнение. Марсель Рис[2] впервые объединил эти системы уравнений Максвелла в пространстве Минковского, но не связал 4-х ток со свойствами и особенными точками пространства, т.е. «выбросил» особенности пространства – искривленность и особые точки.  Это сильно ограничило возможность алгебры Клиффорда для объединения систем уравнений Максвелла и 4-х тока.   

Б) В классической физике электрический заряд и ток не связаны с явными свойствами пространства, например, с метрикой пространства (искривленностью) и с особыми точками.

 В квантовой электродинамике электрический заряд определяется как плотность вероятности нахождения в 3-х мерном объёме[3]:

q=∫∫∫(üi ∂L/∂ üi;0 - ui ∂L/∂ ui;0)dv

где ui– волновая функция, а üi – комплексно - сопряженная волновая функция. Лагранжиан Lподбирается отдельно для каждой частицы.

Новизна. В данной статье объединены уравнения Максвелла для любого пространства. Также 4-х ток и основные калибровочные условия (калибровка Лоренца, Кулона и т.д.) связываются с особыми точками пространства, где потенциал поля не определен и/или не существует предела.

Теоретические основы

В качестве изменения векторного поля вводим понятие локальной неоднородности векторного поля с потенциалом A:

B=∇A                                                        (1)

где ∇=eiD/∂qi= eiDi – оператор набла; A = ejAj – разложение 4-х мерного потенциала на векторы ejкриволинейного базиса;

Латинские буквы принимают значения от 0 до 3: i,j… =0,1,2,3., греческие – от 1 до 3: α,β…=1,2,3.

В качестве ортонормированного базиса (ii,ij)=δij берем базис:

γiγj+ γjγi =±Iδij                                              (2)

 где ii – единичные векторы (орты) ортонормированного базиса; γi – матрицы Дирака; δij– символ Кронекера; I– единичная 4x4 матрица.

Согласно сигнатуре пространства, в частности, Минковского, если i=0 (или j=0), то в равенстве (2) берем знак «+», если нет – то знак «-».

В произведениях базисных векторов ej=γkjXkвместо обычных скалярных и векторных произведений используем произведения Клиффорда[4]:

eiej = eiej+ eiej                                        (3)

где

внутреннее произведение  (inner product) –  

eiej=0.5(eiej +ejei)                                         (4)

внешнее произведение (outer product) –

eiej=0.5(eiej- ejei)                                         (5)

Примечание. Внутреннее произведение векторов – не есть скалярное произведение, как часто ошибочно употребляется в научной литературе. Внутреннее произведение двух векторов – есть симметричный тензор второго ранга, а скалярное произведение этих же векторов – есть скаляр, т.е. след (свёртка) симметричного тензора второго ранга.

Xk
функции от {qi}, т.е. функции перехода от криволинейной к ортонормированной системы координат. 

 С учетом (4) и (5) неоднородность векторного поля (1) в координатной форме записи имеет вид:

B= eiejDiAj+ eiejDiAj                                       (5)

где eiej = gij – метрический тензор; eiej– антисимметричный тензор второго ранга или бивектор.

В общем случае

а) в 4-х мерном пространстве антисимметричный тензор 4-го ранга eiejeken дуален к псевдоскаляру:

eiejeken=-γEijkn                                                  (6)

eiejeken= γEijkn                                                  (7)

где γ=γ0γ1γ2γ3;

Eijkn=εijkn(-g)0.5    (ε0123= -1)

Eijkn= εijkn/(-g)0.5 (ε0123= +1)

 – абсолютно антисимметричные тензоры 4-го ранга в ковариантном и контравариантном виде;

Произведение e0e1e2e3 численно равно «4-х мерному объёму», построенному из векторов e0, e1, e2, e3.

Доказательства равенств (6) и (7) приведены в приложении 1.

 

б) Произведение eiejek (антисимметричный тензор 3-го ранга) в 4-х мерном пространстве дуально псевдовектору:

eiejek=-γ Eijkn  en                                              (8)

eiejek=γ Eijkn en                                                                         (9)

Доказательство равенств (8) и (9) приведено в приложении 2.

в) Произведение eiej (антисимметричный тензор 2-го ранга) в 4-х мерном пространстве дуально самому себе (антисимметричному псевдотензору 2-го ранга):

eiej=-γΕijkn eken                                             (10)

eiej= γEijkneken                                              (11)

Формулы (10) и (11) доказываются аналогично предыдущим случаям, поэтому не будем утомлять читателя вычислениями.

 

Результаты

Уравнения Максвелла.

Чтобы получить единое уравнение электромагнетизма, берём градиент от равенства (1):

 ∇B=∇(∇A)                                                (12)

Согласно произведению Клиффорда, имеем

∇B=∇(∇A+∇∧A)=∇(∇A)+ ∇(∇∧A)+ ∇∧∇∧A

∇B=∇(∇A)+ ∇(∇∧A)+ ∇∧∇∧A                            (13)

Уравнение (13) – есть единое уравнение электромагнетизма.

1. Вывод однородного уравнения Максвелла.

Теорема:

 – верно утверждение:

∇∧∇∧A=0                                              (14)

– уравнение (14) эквивалентно однородному уравнению Максвелла, если учесть

F=∇∧A                                               (15)

т.е. из (14) получим классический вид однородного уравнения Максвелла:

∇∧F=0                                              (16)

Уравнение (16) – есть однородное уравнение Максвелла.

Доказательства утверждений приведены в приложении 3.

 

2. 4-х мерный электромагнитный ток

Запишем уравнение (13) с учетом (14):

∇B=∇(∇A)+ ∇(∇∧A)                                  (17)

Обозначим 4-х ток как

J=∇(∇A)                                              (18)

  Согласно формуле (18), 4-х ток имеет явный геометрический смысл:

4-х ток есть 4-х градиент от 4-х дивергенции потенциала поля. Ток существует только тогда, когда дивергенция не постоянная, т.е. ∇A≠const. Если ∇A≠const, то пространство имеет «дыры» и/или «сгущения» -  «стоки» и/или «истоки». Именно поэтому электрический заряд бывает либо исток – положительный заряд, либо сток – отрицательный заряд.     

2.1 Калибровка Лоренца

A= const (=0)

означает, что в рассматриваемой области не существует 4-х ток. В частности, калибровка Кулона

A= const (=0)

тоже означает отсутствие 3-х токов в магнитостатических задачах, где временный компонент A игнорируется или предполагается равным нулю.

2.2 Калибровочная инвариантность

Если к потенциалу A добавить 4-х градиент скалярной функции

A =A+∇u                                              (19)

и потребовать выполнение условия

∇u=0                                              (20)

то единое уравнение электромагнетизма (12) будет инвариантным.  Преобразования (19) – есть калибровочная инвариантность.  

3. Вывод неоднородного уравнения Максвелла

 Учитывая обозначение 4-х тока (18) и тензора электромагнитного поля (15), единое уравнение электромагнетизма (17) запишем в виде:

∇B= J +∇F                                           (21)

Предположим, что

∇B= μTA                                             (22)

где T – тензор энергии-импульса; μ – постоянный коэффициент.

Тогда из уравнения (21) получим неоднородное уравнение Максвелла:

F = μTA - J                                          (23)

 Если μTA ≃0 (или константа), тогда получим классическое выражение неоднородного уравнения Максвелла (с точностью до постоянного вектора при μTA = const).

Согласно уравнению (23), при высоких энергиях (больших масс) тензор энергии – импульса дает вклад в 4-х ток. Но это не означает, что неоднородное уравнение Максвелла (23) нарушается, а приобретает новый вид.

Таким образом, мы показали, что две независимые системы Максвелла (16) и (23) являются частями единого уравнения (12).

Обсуждения и выводы

1. В статье на основе обобщенной геометрической алгебры (алгебра Клиффорда в произвольном пространстве) две независимые системы уравнения Максвелла объединены в единое уравнение (12), т.е. однородная (14) и неоднородная (23) системы уравнений Максвелла являются частями единого уравнения (12);

2. В данной концепции 4-х ток имеет явный геометрический смысл: 4-х ток является градиентом от дивергенции потенциала A, т.е. включает в себя сингулярности пространства. Изменение по времени «стока» и/или «истока» в пространстве – есть положительный и/или отрицательный электрический заряд. Наложение на уравнения ограничений, таких как калибровка Лоренца, Кулона и т.д. – не более, чем «устранение» сингулярности, т.е. тока. Условие (20) в калибровочной инвариантности (19) означает, что колебания и/или волны не влияют на 4-х ток.

Новая форма записи неоднородной системы Максвелла

F = μTA - J                                          (23)

означает, что энергия дает вклад в 4-х электрический ток. При больших энергиях разница μTA – J будет меньше, чем в классическом случае. Видимо, с этим вкладом связано «бегучесть» угла Вайнберга, предсказанная в Стандартной модели[5] и подтвержденная в эксперименте[6], и вообще, «бегучесть констант» при высоких энергиях. Возможно, что этим же вкладом объясняется конфайнмент[7] в теории кварков. При больших вкладах энергии в 4-х ток разность будет отрицательной (μTA – J<0), и появление свободных одиноких зарядов (кварков) становится невозможным.   

Приложение 1

Доказательство формул (6) и (7):

Каждый вектор ei обобщенного базиса разложим по каноническому базису и произведение eiejeken напишем в виде:

eiejeken=(∂iXpiXqiXriXspγqγrγs

Здесь i, j, k, (также p, q, r, s) не равны друг другу и принимают значения 0;1;2;3.

Простые вычисления показывают, что
Рисунок 1

Этот определитель (детерминант) возведем в квадрат:
Рисунок 2

Упрощаем
Рисунок 3

Извлекая из корня последнее выражение и обобщая, получим формулу (6). Доказательство формулы (7) аналогично.

Мы доказали утверждения (6) и (7).

 

Приложение 2

Доказательство формул (8) и (9):

Предположим, что в 4-х мерном пространстве антисимметричный тензор 3-го ранга дуален псевдовектору. Это запишем в виде:

eiejek = Ω em                                                          (2Α)

Ω– пока неизвестный коэффициент.

Обе стороны равенства (2А) умножим на en справа:

eiejeken= Ω em∙ en

Упрощаем:                                                -γEijkn =Ωgmn

Отсюда                                                        Ω=-γ gmnEijkn 

Это выражение, подставляя в равенство (2А) вместо Ω, получим равенство (8). Доказательство равенства (9) аналогично.

Мы доказали утверждения (8) и (9).

 

Приложение 3

Доказательства формул (14) и (16).

1. доказательство утверждения (14), т.е. ∇∧∇∧A=0.

Учитывая ekeiejEkijn gnm em, формулу (14) запишем в координатной форме:

Ekijn𝒟k𝒟iAj =0

Меняя местами индексы i,j,kв этом уравнении и упрощая, получим:

Ekijn(𝒟k𝒟iAj +𝒟j𝒟kAi +𝒟i𝒟jAk -𝒟i𝒟kAj -𝒟j𝒟iAk -𝒟k𝒟jAi) =0

 

Известно, что         𝒟i𝒟jAk - 𝒟j𝒟iAk = -RpkijAp

где Rpkij – тензор Римана.

Подставляя выражение тензора Римана в предыдущее уравнение, получим

-RpkijAp -RpjkiAp -RpijkAp =- Ap (Rpkij +Rpjki +Rpijk)=0

Это уравнение действительно равно нулю, так как выражение в скобке тождественно равно нулю.

2. доказательство эквивалентности (14) и однородного уравнения Максвелла.

Формулу Ekijn𝒟k𝒟iAj =0 преобразуем:

0=Ekijn𝒟k𝒟iAj = Ekijn𝒟k𝒟iAj + Ekijn𝒟k𝒟iAj = Ekijn𝒟k𝒟iAj + Ekjin𝒟k𝒟jAi =

= Ekijn𝒟k𝒟iAj - Ekijn𝒟k𝒟jAi = Ekijn𝒟k(𝒟iAj - 𝒟jAi )= Ekijn𝒟kFij.

Ekijn𝒟kFij=0

Утверждения доказаны.

Библиографический список:

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, том 2. Москва, ФИЗМАТЛИТ, стр. 345-346.

2. Riesz, Marcel (1993) (1958), Clifford numbers and spinors, Fundamental Theories of Physics, 54, Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-2299-3, MR 1247961.

3. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. Изд. «Наука». М. 1984 г. стр. 36.

4. Chris J. L. Doran. Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics. Sidney Sussex College. A dissertation submitted for the degree of Doctor of Philosophy in the University of Cambridge. February 1994, pages 4-6.

5. Проблемы с углом Вайнберга в эксперименте NuTeV — страница из проекта «Текущие открытия в физике элементарных частиц (ФЭЧ)».

6. P. L. Anthony et al, SLAC E158 Coll., "Precision measurement of the weak mixing angle in Moller scattering", e-print hep-ex/0504049.

7. И.М. Дремин, А.Б. Кайдалов. Квантовая хромодинамика и феноменология сильных взаимодействий. Успехи физических наук (Март 2006 года). стр. 227.




Рецензии:

13.01.2017, 15:31 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Статья может найти своего читателя. Некоторые выводы очень интересны. А примечание насчёт внутреннего произведения векторов и его связи с тензором второго ранга надо вставлять в новые учебники профильного характера. Рецензент скептически относится к "волшебности" и фантастичной инвариантности числа е в степени х. Но это разные подходы к стандартной и нестандартной математике. Ссылки на литературу какие-то второстепенные, кроме на работу по самой алгебре Клиффорда, хотя достаточно было здесь сноски и на Википедию. Хотелось бы немного физического смысла вставить для непродвинутых читателей и для тех, кто хотел бы использовать результат работы при каких-то фарадеевско-амперовских индукционных обобщениях, других каких физически значимых явлениях вращательного или криволинейного характера (может, рождение токов Фуко). Не очень-то доказана необходимость такого "крутого" обобщения до алгебры Клиффорда, когда, на взгляд рецензента, (возможно, ошибочного) достаточно было использовать любимые им (рецензентом) кватернионы У.Ферма (см. в Интернете такую статью по ФИО рецензента). Видимо, не уравнение равно нулю, а всё же его правая часть?! Есть и другие (и много) неологизмы-жаргонизмы. Кое-какую корректуру надо бы внести по оформлению библиографии (безобразно оформлена для учёного, оперирующего такой техникой), по пробелам (например, при сносках на источники [1}, [4] и т.д.). А в общем, по устранении замечаний двух последних строк (остальное - просто пожелания) статью можно публиковать. Может, актуальность её и не имеет высокого индекса, но профессионализм автора, научная корректность работы с аппаратом теории операторов и с векторно-матричной техникой заслуживают, чтобы сам автор увидел её в опубликованном виде и мог на неё ссылаться в своих дальнейших экзерсисах на эту тему.

15.01.2017 8:08 Ответ на рецензию автора Бабаев Алимжан Холмуратович:
Уважаемый Эдуард Григорьевич! Я благодарен Вам за проявленный интерес к моему скромному труду и за положительную рецензию! Позволю себе ответить Вам на некоторые замечания (может, как в «оправдание»). 1. Сноску о различии внутреннего и скалярного произведения векторов вынужден убрать и внести в саму статью как примечание, так как внести поправки в новые учебники не имею права, да и никто не даст мне такого полномочия. 2. Я полностью согласен с Вами насчет неинвариантности числа е в степени х, так как произведения векторов е^i (числа е в степени х) криволинейного базиса дают метрический и антисимметричный (второго ранга, характеризующий вращения пространства) тензоры, которые не являются инвариантами. 3. Также Вы правы насчет ссылки на Википедию при указании второстепенных трудов. Но, на мой взгляд, как бы существует негласное правило, согласно которому Википедия не считается точным источником, возможно необоснованно, хотя и встречаются существенные неточности и ошибки, особенно при «серьезной» науке. 4. Признаюсь, при определении внутреннего и внешнего, также cross – произведения векторов обобщенного базиса я не нашел более лучшего источника, чем указанная мной литература. 5. Ваши сомнения насчет равенства нулю правой части, а не всего уравнения обоснованы, если Вы имеете в виду уравнение (12) и/или (13). Поэтому, после замены ∇B= μT•A в левой части, уравнение (12) превращается в тождество. Более того, вначале мне показалось, что правая часть всегда равна нулю (пустое множество), но дальнейшие выкладки (в конкретных примерах) показали, что мои сомнения напрасны. 6. Особую благодарность выражаю Вам за замечания насчет более детального физического смысла выкладок и формул. По данному пункту меня часто ругают мои друзья – коллеги и, особенно, моя помощница - корректировщик (по совместительству жена). А теперь, следуя за Вами, забегу вперед: 7. Более детальное применение данного мат аппарата в физических процессах (индукция, вихревые токи, токи Фуко и т.д.) я оставил «на потом». Статья на тему уравнения непрерывности для электромагнетизма и сохранение вихревых 4-х токов почти готова и, надеюсь, очень скоро её опубликую. 8. Проблемы бикватернионов, вращения в 4-х мерном комплексном пространстве (преобразование Лоренца), идеалов групп, спиноров и уравнения Дирака в более обобщенном виде (4-х мерном искривленном и в неодносвязном пространстве) для меня невероятно интересны. Простите за нескромность, кое-какие математические выкладки мною уже сделаны по данной теме, но пока я не совсем уверен в своих выводах. Я был бы очень рад сотрудничать с таким компетентным специалистом, как Вы, в данной сугубо узкой и очень сложной области, каковой является ассоциативная алгебра в произвольной геометрии. С уважением Алим Муратович.

20.01.2017, 9:44 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Спасибо за столь подробный ответ. "Ваши сомнения насчет равенства нулю правой части, а не всего уравнения обоснованы, если Вы имеете в виду уравнение (12) и/или (13)". В этой фразе я имел в виду лишь стилистику: всё уравнение не может быть равно нулю, а только его правая часть, просто "грамматика". Говорят обычно: правая часть этого уравнения равна нулю, следовательно, оно готово к поиску (удачному ли не очень) корней этого уравнения. В самом равенстве нулю и однородности я не сомневаюсь. И ещё. О бикватернионах я не говорил. Это вообще - будущее свадьбы физики и математики. Я говорил только о кватернионах.



Комментарии пользователей:

10.12.2016, 6:11 Бабаев Алимжан Холмуратович
Отзыв:  Приношу извинения за допущенную опечатку:вместо "...(16) – есть неоднородное..." следует читать:"..(16) – есть однородное...". Буду признателен за конструктивную критику, обсуждение и сотрудничество. С уважением Алим Муратович.


Оставить комментарий


 
 

Вверх