Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Физика
Размещена 05.01.2017. Последняя правка: 19.04.2017.

Эквивалентность неоднородной системы уравнений Максвелла и уравнений Эйнштейна

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук

пенсионер

пенсионер

Аннотация:
В статье показана эквивалентность неоднородной системы Максвелла и уравнений Эйнштейна.


Abstract:
The article presents the equivalence of the inhomogeneous Maxwell and Einstein's equations.


Ключевые слова:
Алгебра Клиффорда; внешнее и внутреннее произведения векторов; уравнения Максвелла; уравнения Эйнштейна; 4-х мерный электромагнитный ток.

Keywords:
Clifford algebra; inner and outer product of vectors; Maxwell’s equations; Einstein field equations; 4-dimensional electromagnetic current.


УДК 537.8; 512.7
                                          Введение

       До сих пор продолжаются перспективные, но пока безуспешные попытки объединить гравитацию и электромагнетизм: М-теория[1], квантовая гравитация[2], теория струн[3],  теория всего[4] и т.д.

       Тем не менее, были очень изящные модели объединения гравитации и электромагнетизма. Например, в теории Калуцы-Клейна[5] была введена пятая размерность пространства. В результате вместо метрического тензора gij размерности 4х4 был введен метрический тензор Gij размерности 5х5. Дополнительные компоненты тензора Gij отождествлялись с компонентами электромагнитного потенциала:

Ai = G5i c2/2(G)0.5

где c – скорость света, G – гравитационная постоянная.

       В этой теории было рациональное зерно: предполагалось, что электромагнетизм является особым видом гравитации, но дальнейшие исследования привели к серьезным противоречиям с экспериментальными данными. Например, отношение заряда электрона к его массе оказалось намного меньше, чем на эксперименте. Также ненаблюдаемость пятого измерения пространства пытались объяснить топологической компактностью пространства.

       Новизна. В данной статье дан вариант удачного объедения гравитации и электромагнетизма на основе обобщенной алгебры Клиффорда.

 

Теоретические основы

       В статье [6] была дана мера локальной неоднородности векторного поля с потенциалом A:

B=∇A                                                                                 (1)

С учетом произведения векторов Клиффорда [6] неоднородность векторного поля (1) в координатной форме имеет вид:

B= ei•ejDiAj+ ei∧ejDiAj                                                                (2)

где eiej = gij – метрический тензор, eiej– антисимметричный тензор второго ранга или бивектор.

        Нами был выведен [6]  общий вид единого уравнения электромагнитного поля:

∇B=∇(∇A)                                                                     (3)

       Также мы предполагали, что

∇B= μTA                                                                     (4)

и 4-х мерный ток имеет обозначение

J=∇(∇A)                                                                     (5)

В результате мы получили единое уравнение электромагнетизма, которое объединяет две независимые системы Максвелла:

μTA =∇(∇A)+ ∇(∇∧A)+ ∇∧∇∧A,                                              (6)

где

∇∧∇∧A=0                                                                      (7)

 

Результаты

Уравнения Эйнштейна.

       Уравнение (3), кроме вида (6), можно записать в другой эквивалентной форме:

∇B=(∇∇)A=(∇∇)A+(∇∧∇)A+∇∧∇∧A

∇B=∆A+(∇∧∇)A+∇∧∇∧A,                                                     (8)

где  =∇∇ – оператор Даламбера.

       Мы уже доказали, что ∇∧∇∧A=0.

       Заменим A на

A=ekgijDiDjAk = ek+0.5R)δmkAm                                              (9)

Умножение скалярной кривизны R на 0.5 связано с тем, что для гиперповерхности скалярная кривизна в два раза больше, чем гауссовая кривизна.

Λ – постоянный коэффициент, часто называемый космологической постоянной.

       Вычислим (∇∧∇)A в криволинейных координатах:

(∇∧∇)A=(eiej)•ekDi Dj Ak

       Согласно двойному cross - произведению Клиффорда

(xy)z=(yz)x - (xz)y

получим:  
                              (eiej)ekDiDjAk =gjkeiDiDjAk - gikejDiDjAk =ekgij(DkDjAi - DjDkAi)= ek gijAm Rmijk=- ek Am Rmk

(eiej)•ekDi Dj Ak =ek gijAm Rmijk=- ek Am Rmk                                                    (10)

 

      Учитывая (7), (4), (9), (10) из уравнения (8), получим:  

ek μ Tmk  Am =+0.5R)δmk Am - ek Am Rmk

       Упрощая это равенство, получим уравнение Эйнштейна:

 Rmk- +0.5R)δmk =- μTmk                                                                     (11)

Знак перед коэффициентами Λ и μ=8πG/c4 принципиального значения не имеет.

      Таким образом, мы получили уравнение Эйнштейна из неоднородного уравнения Максвелла.

      Уравнение Эйнштейна можно получить и из уравнения непрерывности (закона сохранения 4-х мерного тока). Этот способ доказательства показан в приложении 1.

 

Обсуждения и выводы

1. Доказано, что уравнение Эйнштейна эквивалентно  неоднородной системе Максвелла.  Неоднородные уравнения Максвелла – есть уравнения для полевых величин (ток, тензор электромагнитного поля и потенциал), а уравнения Эйнштейна – есть уравнения для пространственных величин (метрический тензор, тензор кривизны, кривизны и тензор энергии-импульса).

2. Замена  A=ekgijDiDjAk= ek+0.5R)δmkAm (25) означает, что рассматриваются собственные векторы оператора Даламбера . Тогда коэффициент Λ приобретает смысл собственных значений оператора  при наличии гравитации (скалярной кривизны).

3. Замена ∇B= μTA означает, что тензор энергии-импульса – есть поворот, который приводит вектор ∇∇A в μA в 4-х мерном пространстве.

4. Гравитация и электромагнетизм связаны неразрывно, т.е. они являетются двумя сторонами одного и того же явления. Проще говоря, гравитация порождает электромагнетизм и наоборот. Единственной первопричиной электромагнитных процессов является гравитация, точнее, неоднородность (деформация и вращение) векторного поля. Например, гравитационное поле Земли [7] и других небесных тел, точнее, их сжатие и вращение порождают внутренние электрические токи. В свою очередь, эти токи порождают магнитные и электрические поля космических тел. 

5. Гравитационная природа электромагнитных явлений проявляется не только в космосе. При локальных сильных неоднородностях (деформациях), например, при кавитации [8] происходит сонолюминесценция [9], природа которой явно электромагнитная.

Приложение 1.

       Уравнение (8) запишем без ∇∧∇∧A=0:

∇B= A+(∇∧∇)A                                                 (1.1)

       Возьмем градиент от уравнения (1.1) и рассмотрим только внутреннее произведение Клиффорда:

•(B) = (A)+ ∇((∇∧∇)A)                                      (1.2)

        Уравнение (1.2) запишем в координатном виде:

(∇B)n;n = (An);n -(AiRni);n=(An);n - Ai;n Rni-AiRni;n

Так как Rni;n =0.5R;i , то получим

(∇B)n;n = (An);n - Ai;n Rni -0.5 AiR;i=(An);n - Ai;n Rni -0.5 AiδniR;n        (1.3)

       В уравнении (1.3) заменим (An);n 

(An);n=gnkgij Ak;j;i;n= gnkgij (Ak;j;n;i + Ap;jRpkin+ Ak;pRpjin)

Далее:

(An);n=gnkgij Ak;j;n;i + gnkgij Ap;jRpkin+ gnkgijAk;pRpjin=

=gnkgij Ak;j;n;i + gij Ap;jRpi- gnkAk;pRpn= gnkgij Ak;j;n;i + Ap;iRpi- An;pRpn=

= gnkgij Ak;j;n;i + Ap;iRpi - Ai;pRpi = gnkgij Ak;j;n;i + Ai;pRip - Ai;pRpi

Отсюда

(An);n= gnkgij Ak;j;i;n = gnkgij Ak;j;n;i ,                       (1.4)

так как  Ai;pRip - Ai;pRpi=0   (Rip= Rpi).

        В уравнении (1.4) поменяем местами индексы j и n:

(An);ngnkgij Ak;j;n;i= gnkgij (Ak;j;n);i= gnkgij (Ak;n;j + ApRpkjn);i=

= gnkgijAk;n;j;i + gnkgij (ApRpkjn);i=Jii + gij(ApRpj);i

        Так как Jj = gnkAk;n;j – 4-х мерный электромагнитный ток, то получим окончательно

(An);n= Jii + gijApRpj ;i+ gijAp;iRpj                       (1.5)

        Подставляя (1.5) в (1.3) и упрощая, получим:

(∇B)n;n- Jnn = gnjAiRij ;n+ An;iRni- Ai;n Rni -0.5 AiδniR;n

или

(∇B)n;n- Jnn = Ai(Rni -0.5δniR);n                            (1.6)

       Учитывая уравнение непрерывности (закон сохранения 4-х тока)

Jnn =0

и предполагая

(∇B)n;n=0,

из (1.6) получим

(Rni -0.5δniR);n=0                                       (1.7)

        «Интегрируя» уравнение (1.7), также добавляя «константы» (относительно ковариантной производной), получим уравнение Эйнштейна:

Rni– 0.5 gni R+ Λgni = μTni ,                                 (1.8)

где Λ – космологическая константа, μ– коэффициент (константа).

       Известно, что ковариантная производная тензора энергии-импульса и метрического тензора равна нулю:

Tni;n =0 и gni;n =0

      Мы получили уравнение Эйнштейна (1.8).

Библиографический список:

1. Гуков С.Г., Введение в струнные дуальности. УФН, М, 1998. Т.168, №7. стр. 705-717.
2. Фролов В.П., Квантовая теория гравитации. Москва. УФН. 1982. Т. 138. стр. 151.
3. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Суперструны – новый подход к единой теории фундаментальных взаимодействий. УФН. Т. 150. №4. М. 1986. стр. 489 – 524.
4. Вайнберг С., Мечты об окончательной теории. Dreams of a Final Theory – М. ЛКИ. 2008. стр. 256. ISBN 978-5-382-00590-4.
5. Ходос А., Теория Карлуцы – Клейна: общий обзор. УФН. 1985. Т.146. вып. 4.
6. Бабаев А. Х., Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда. SCI-ARTICLE. №40 (декабрь) 2016, стр. 34.
7. Короновский Н. В., Магнитное поле геологического прошлого Земли., Соросовский образовательный журнал, № 5, 1996, с. 56—63.
8. Пирсол И., Кавитация / Пер. с англ. Ю. Ф. Журавлёва; Под ред. Эпштейна Л. А., М., Мир, 1975. Стр. 96.
9. Маргулис М. А., Обзоры актуальных проблем, Сонолюминесценция, УФН, 2000, том №170,вып.3, c.263-287.




Рецензии:

18.04.2017, 0:54 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Много описок грамматических ошибок. Литература оформлена не по стандарту (после фамилии - запятая). Пробелы, сдвиги проверить между словами и ссылками и т.д. Несмотря на то, что рецензент придерживается принципиально других взглядов в попытках объединение электромагнетизма и гравитации, данную статью после устранения огрехов рекомендует к опубликованию в данном журнале.

19.04.2017 17:17 Ответ на рецензию автора Бабаев Алимжан Холмуратович:
Спасибо, Эдуард Григорьевич, за Ваше потраченное время и труд! Особо благодарен за замечания, которые я буду учитывать и исправлять. С уважением Алим Муратович.



Комментарии пользователей:

16.02.2017, 8:45 Бабаев Алимжан Холмуратович
Отзыв: В процессе дальнейшего осмысления единой природы гравитации и электромагнетизма возникли новые выводы. Возможно, кому-то эти выводы покажутся скоропалительными (может быть, и не без основания). Поэтому буду весьма благодарен конструктивной критике, обсуждениям и сотрудничеству. С уважением Бабаев А.М.


Оставить комментарий


 
 

Вверх