Статья опубликована в №43 (март) 2017
Разделы: Физика
Размещена 05.01.2017. Последняя правка: 19.04.2017.
Просмотров - 2300

Эквивалентность неоднородной системы уравнений Максвелла и уравнений Эйнштейна

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук

пенсионер

пенсионер

УДК 537.8; 512.7
                                          Введение

       До сих пор продолжаются перспективные, но пока безуспешные попытки объединить гравитацию и электромагнетизм: М-теория[1], квантовая гравитация[2], теория струн[3],  теория всего[4] и т.д.

       Тем не менее, были очень изящные модели объединения гравитации и электромагнетизма. Например, в теории Калуцы-Клейна[5] была введена пятая размерность пространства. В результате вместо метрического тензора g_ij размерности 4х4 был введен метрический тензор G_ij размерности 5х5. Дополнительные компоненты тензора G_ij отождествлялись с компонентами электромагнитного потенциала:

A_i = G_5i c²/2(G)^0.5

где c – скорость света, G – гравитационная постоянная.

       В этой теории было рациональное зерно: предполагалось, что электромагнетизм является особым видом гравитации, но дальнейшие исследования привели к серьезным противоречиям с экспериментальными данными. Например, отношение заряда электрона к его массе оказалось намного меньше, чем на эксперименте. Также ненаблюдаемость пятого измерения пространства пытались объяснить топологической компактностью пространства.

       Новизна. В данной статье дан вариант удачного объедения гравитации и электромагнетизма на основе обобщенной алгебры Клиффорда.

 

Теоретические основы

       В статье [6] была дана мера локальной неоднородности векторного поля с потенциалом A:

B=∇A                                                                                 (1)

С учетом произведения векторов Клиффорда [6] неоднородность векторного поля (1) в координатной форме имеет вид:

B= eⁱ•e^jD_iA_j+ eⁱ∧e^jD_iA_j                                                                (2)

где eⁱ•e^j = g^ij – метрический тензор, eⁱ∧e^j– антисимметричный тензор второго ранга или бивектор.

        Нами был выведен [6]  общий вид единого уравнения электромагнитного поля:

∇B=∇(∇A)                                                                     (3)

       Также мы предполагали, что

∇B= μT•A                                                                     (4)

и 4-х мерный ток имеет обозначение

J=∇(∇•A)                                                                     (5)

В результате мы получили единое уравнение электромагнетизма, которое объединяет две независимые системы Максвелла:

μT•A =∇(∇•A)+ ∇•(∇∧A)+ ∇∧∇∧A,                                              (6)

где

∇∧∇∧A=0                                                                      (7)

 

Результаты

Уравнения Эйнштейна.

       Уравнение (3), кроме вида (6), можно записать в другой эквивалентной форме:

∇B=(∇∇)A=(∇•∇)A+(∇∧∇)•A+∇∧∇∧A

∇B=∆A+(∇∧∇)•A+∇∧∇∧A,                                                     (8)

где  □=∇•∇ – оператор Даламбера.

       Мы уже доказали, что ∇∧∇∧A=0.

       Заменим □A на

□A=e^kg^ijD_iD_jA_k = e^k (Λ+0.5R)δ^m_kA_m                                              (9)

Умножение скалярной кривизны R на 0.5 связано с тем, что для гиперповерхности скалярная кривизна в два раза больше, чем гауссовая кривизна.

Λ – постоянный коэффициент, часто называемый космологической постоянной.

       Вычислим (∇∧∇)•A в криволинейных координатах:

(∇∧∇)•A=(eⁱ∧e^j)•e^kD_i D_j A_k

       Согласно двойному cross - произведению Клиффорда

(x∧y)•z=(y•z)x - (x•z)y

получим:  
                              (eⁱ∧e^j)•e^kD_iD_jA_k =g^jkeⁱD_iD_jA_k - g^ike^jD_iD_jA_k =e^kg^ij(D_kD_jA_i - D_jD_kA_i)= e^k g^ijA_m R^m_ijk=- e^k A_m R^m_k

(eⁱ∧e^j)•e^kD_i D_j A_k =e^k g^ijA_m R^m_ijk=- e^k A_m R^m_k                                                    (10)

 

      Учитывая (7), (4), (9), (10) из уравнения (8), получим:  

e^k μ T^m_k  A_m =(Λ+0.5R)δ^m_k A_m - e^k A_m R^m_k

       Упрощая это равенство, получим уравнение Эйнштейна:

 R^m_k- (Λ+0.5R)δ^m_k =- μT^m_k                                                                     (11)

Знак перед коэффициентами Λ и μ=8πG/c⁴ принципиального значения не имеет.

      Таким образом, мы получили уравнение Эйнштейна из неоднородного уравнения Максвелла.

      Уравнение Эйнштейна можно получить и из уравнения непрерывности (закона сохранения 4-х мерного тока). Этот способ доказательства показан в приложении 1.

 

Обсуждения и выводы

1. Доказано, что уравнение Эйнштейна эквивалентно  неоднородной системе Максвелла.  Неоднородные уравнения Максвелла – есть уравнения для полевых величин (ток, тензор электромагнитного поля и потенциал), а уравнения Эйнштейна – есть уравнения для пространственных величин (метрический тензор, тензор кривизны, кривизны и тензор энергии-импульса).

2. Замена  □A=e^kg^ijD_iD_jA_k= e^k (Λ+0.5R)δ^m_kA_m (25) означает, что рассматриваются собственные векторы оператора Даламбера □. Тогда коэффициент Λ приобретает смысл собственных значений оператора □ при наличии гравитации (скалярной кривизны).

3. Замена ∇B= μT•A означает, что тензор энергии-импульса – есть поворот, который приводит вектор ∇∇A в μA в 4-х мерном пространстве.

4. Гравитация и электромагнетизм связаны неразрывно, т.е. они являетются двумя сторонами одного и того же явления. Проще говоря, гравитация порождает электромагнетизм и наоборот. Единственной первопричиной электромагнитных процессов является гравитация, точнее, неоднородность (деформация и вращение) векторного поля. Например, гравитационное поле Земли [7] и других небесных тел, точнее, их сжатие и вращение порождают внутренние электрические токи. В свою очередь, эти токи порождают магнитные и электрические поля космических тел. 

5. Гравитационная природа электромагнитных явлений проявляется не только в космосе. При локальных сильных неоднородностях (деформациях), например, при кавитации [8] происходит сонолюминесценция [9], природа которой явно электромагнитная.

Приложение 1.

       Уравнение (8) запишем без ∇∧∇∧A=0:

∇B= ∇•∇A+(∇∧∇)•A                                                 (1.1)

       Возьмем градиент от уравнения (1.1) и рассмотрим только внутреннее произведение Клиффорда:

∇•(∇B) = ∇•(□A)+ ∇•((∇∧∇)•A)                                      (1.2)

        Уравнение (1.2) запишем в координатном виде:

(∇B)ⁿ_;n = (□Aⁿ)_;n -(AⁱRⁿ_i)_;n=(□Aⁿ)_;n - Aⁱ_;n Rⁿ_i-AⁱRⁿ_i;n

Так как Rⁿ_i;n =0.5R_;i , то получим

(∇B)ⁿ_;n = (□Aⁿ)_;n - Aⁱ_;n Rⁿ_i -0.5 AⁱR_;i=(□Aⁿ)_;n - Aⁱ_;n Rⁿ_i -0.5 Aⁱδⁿ_iR_;n        (1.3)

       В уравнении (1.3) заменим (□Aⁿ)_;n 

(□Aⁿ)_;n=g^nkg^ij A_k;j;i;n= g^nkg^ij (A_k;j;n;i + A_p;jR^p_kin+ A_k;pR^p_jin)

Далее:

(□Aⁿ)_;n=g^nkg^ij A_k;j;n;i + g^nkg^ij A_p;jR^p_kin+ g^nkg^ijA_k;pR^p_jin=

=g^nkg^ij A_k;j;n;i + g^ij A_p;jR^p_i- g^nkA_k;pR^p_n= g^nkg^ij A_k;j;n;i + A_p;iR^pi- A_n;pR^pn=

= g^nkg^ij A_k;j;n;i + A_p;iR^pi - A_i;pR^pi = g^nkg^ij A_k;j;n;i + A_i;pR^ip - A_i;pR^pi

Отсюда

(□Aⁿ)_;n= g^nkg^ij A_k;j;i;n = g^nkg^ij A_k;j;n;i ,                       (1.4)

так как  A_i;pR^ip - A_i;pR^pi=0   (R^ip= R^pi).

        В уравнении (1.4) поменяем местами индексы j и n:

(□Aⁿ)_;n=  g^nkg^ij A_k;j;n;i= g^nkg^ij (A_k;j;n)_;i= g^nkg^ij (A_k;n;j + A_pR^p_kjn)_;i=

= g^nkg^ijA_k;n;j;i + g^nkg^ij (A_pR^p_kjn)_;i=Jⁱ_i + g^ij(A_pR^p_j)_;i

        Так как J_j = g^nkA_k;n;j – 4-х мерный электромагнитный ток, то получим окончательно

(□Aⁿ)_;n= Jⁱ_i + g^ijA_pR^p_{j ;i}+ g^ijA_p;iR^p_j                       (1.5)

        Подставляя (1.5) в (1.3) и упрощая, получим:

(∇B)ⁿ_;n- Jⁿ_n = g^njA_iRⁱ_{j ;n}+ A_n;iRⁿⁱ- A_i;n Rⁿⁱ -0.5 Aⁱδⁿ_iR_;n

или

(∇B)ⁿ_;n- Jⁿ_n = Aⁱ(Rⁿ_i -0.5δⁿ_iR)_;n                            (1.6)

       Учитывая уравнение непрерывности (закон сохранения 4-х тока)

Jⁿ_n =0

и предполагая

(∇B)ⁿ_;n=0,

из (1.6) получим

(Rⁿ_i -0.5δⁿ_iR)_;n=0                                       (1.7)

        «Интегрируя» уравнение (1.7), также добавляя «константы» (относительно ковариантной производной), получим уравнение Эйнштейна:

Rⁿⁱ– 0.5 gⁿⁱ R+ Λgⁿⁱ = μTⁿⁱ ,                                 (1.8)

где Λ – космологическая константа, μ– коэффициент (константа).

       Известно, что ковариантная производная тензора энергии-импульса и метрического тензора равна нулю:

Tⁿⁱ_;n =0 и gⁿⁱ_;n =0

      Мы получили уравнение Эйнштейна (1.8).

1. Гуков С.Г., Введение в струнные дуальности. УФН, М, 1998. Т.168, №7. стр. 705-717.
2. Фролов В.П., Квантовая теория гравитации. Москва. УФН. 1982. Т. 138. стр. 151.
3. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Суперструны – новый подход к единой теории фундаментальных взаимодействий. УФН. Т. 150. №4. М. 1986. стр. 489 – 524.
4. Вайнберг С., Мечты об окончательной теории. Dreams of a Final Theory – М. ЛКИ. 2008. стр. 256. ISBN 978-5-382-00590-4.
5. Ходос А., Теория Карлуцы – Клейна: общий обзор. УФН. 1985. Т.146. вып. 4.
6. Бабаев А. Х., Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда. SCI-ARTICLE. №40 (декабрь) 2016, стр. 34.
7. Короновский Н. В., Магнитное поле геологического прошлого Земли., Соросовский образовательный журнал, № 5, 1996, с. 56—63.
8. Пирсол И., Кавитация / Пер. с англ. Ю. Ф. Журавлёва; Под ред. Эпштейна Л. А., М., Мир, 1975. Стр. 96.
9. Маргулис М. А., Обзоры актуальных проблем, Сонолюминесценция, УФН, 2000, том №170,вып.3, c.263-287.

Рецензии:

18.04.2017, 0:54 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Много описок грамматических ошибок. Литература оформлена не по стандарту (после фамилии - запятая). Пробелы, сдвиги проверить между словами и ссылками и т.д. Несмотря на то, что рецензент придерживается принципиально других взглядов в попытках объединение электромагнетизма и гравитации, данную статью после устранения огрехов рекомендует к опубликованию в данном журнале.

Комментарии пользователей:

16.02.2017, 8:45 Бабаев Алимжан Холмуратович Отзыв: В процессе дальнейшего осмысления единой природы гравитации и электромагнетизма возникли новые выводы. Возможно, кому-то эти выводы покажутся скоропалительными (может быть, и не без основания). Поэтому буду весьма благодарен конструктивной критике, обсуждениям и сотрудничеству. С уважением Бабаев А.М.

Оставить комментарий