Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
https://wos-scopus.com
Научные направления
Поделиться:
Статья опубликована в №45 (май) 2017
Разделы: Физика
Размещена 31.05.2017. Последняя правка: 01.06.2017.

Бикватернионы, вращения и спиноры в обобщенной алгебре Клиффорда

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук

пенсионер

пенсионер

Аннотация:
В статье показана взаимосвязь неоднородности векторного поля с бикватернионами, вращениями и обобщенными спинорами в 4-х мерном искривленном пространстве на основе алгебры Клиффорда. Доказано, что неоднородность состоит из трех бикватернионов или из трех пар независимых спинор - антиспиноров. Выдвигается гипотеза причины существования поколений лептонов и кварков.


Abstract:
The article presents the relationship between the inhomogeneity of a vector field with biquaternions, rotations, and generalized spinors in the 4-dimensional curved space on the basis of the Clifford algebra. It is proved that the inhomogeneity consists of three biquaternions, or three pairs of independent spinor-antispinors. Hypothesis is proposed about the cause of the existence of generations of leptons and quarks.


Ключевые слова:
Бикватернион; спинор; бивектор; псевдобивектор; вращения в 4-х мерном комплексном пространстве; алгебра Клиффорда; неоднородность векторного поля.

Keywords:
Biquaternion; spinor; bivector; pseudobivector; rotation in 4 - complex space; Clifford algebra; inhomogeneity of vector field.


УДК 537.8; 512.7

Введение

Объедение бикватернионов (в частности кватернионов [1, 2, 3]), спиноров с векторами в криволинейных координатах (обобщенная алгебра Клиффорда) дает мощный и универсальный математический аппарат для более детального изучения и обобщения уравнений Эйнштейна, Максвелла, Дирака и классификации элементарных частиц (кварков, лептонов и т.д.).  

Вращения в 4-х мерном комплексном пространстве (преобразования Лоренца) являются непосредственным продолжением бикватернионов. Спиноры, описывающие элементарные частицы с помощью уравнений Дирака, также напрямую выходят из тех же бикватернионов.

Взаимосвязь уравнений Максвелла[4] со спинорами[5] приведена ниже, т.е. системы Максвелла  даны в спинорной формулировке[6]:

ijfjk+∂ijfji=2sik                                                  (1)

ijfjk- ∂kjfji=0                                                     (2)

где f спинор второго ранга определяется из уравнения

fik =0.5(∂ijφjk+(∂kjφji)                                                (3)

φkn – четырёхмерный потенциал в форме спинора второго ранга,

kn – оператор четырёхмерного градиента в спинорной форме,

skn – плотность тока в спинорной форме.

Сам автор (Дирак П.А.М.) получил свои уравнения из уравнения Клейна - Гордона  «несерьезной подгонкой» (для того времени) [7], заменив оператор Даламбера на оператора энергии - импульса и перемножив на соответствующие матрицы, хотя потом выяснилось, что это было гениально.   

Об исследовании бикватернионов, спиноров, естественно, уравнений Дирака в искривленном и неодносвязном пространстве не могло быть и речи. Это является проблемой до сих пор.

Также до сих пор остается нерешенным вопрос о причине существования трех поколений лептонов и кварков – зачем Природе понадобилось дважды «дублировать» частицы (лептонов и кварков)?   

 

Теоретические основы

В статье [8] была дана мера локальной неоднородности векторного поля с потенциалом A:

B=A                                                           (4)

Учитывая обозначение для тензора электромагнитного поля F=∇∧A и произведения Клиффорда векторов [8], уравнение (4) запишем в координатной форме:

B=gijiAjI+0.5eiejFij                                              (5)

Теперь из локальной неоднородности векторного поля (5) получим бикватернионы, вращения, спиноры в 4-х мерном комплексном пространстве в общем виде (в криволинейных координатах).   

Результаты

1. Бикватернионы  

Возводим в квадрат формулу (5):

B2=(∇iAiI+0.5eiejFij)(∇kAkI+0.5ekenFkn)                            (6)

Простые вычисления показывают, что B2 состоит из суммы скаляров, псевдоскаляров, действительных бивекторов и псевдобивекторов:

B2=SR+SP+VR+VP,                                                   (7)

где      SR=(∇iAi)2I– скаляр;

 SP=-0.25γEijknFijFkn – псевдоскаляр;

VR= (eαe0)Fα0i A– бивектор;

 VP=γ(eαe0)Eβλα0 FβλiA – псевдобивектор.

Математические выкладки утверждения (7) приведены в Приложении 1.

2. Вращения
Эти скаляры, псевдоскаляры, бивекторы и псевдовекторы обозначим так:

 SR=|τα0||τβ0|cosh((ηα+ ηβ)/2)cosh(γ(ϕα+ ϕβ)/2)                                    (8)

SP=|τα0||τβ0|sinh((ηα+ ηβ)/2)sinh(γ(ϕα+ ϕβ)/2)                                      (9)

VRα0β0|(sinh((ηα+ ηβ)/2)cosh(γ(ϕα+ ϕβ)/2) - sinh((ηα- ηβ)/2)cosh(γ(ϕα- ϕβ)/2))    (10)

VPα0β0|(cosh((ηα+ ηβ)/2)sinh(γ(ϕα+ ϕβ)/2) - cosh((ηα- ηβ)/2)sinh(γ(ϕα- ϕβ)/2))    (11)

где     τα0= eαe0;

|τα0|=(gα0gα0g00gαα)0.5;  

ηα– быстрота или «угол поворота при вращении осей α и 0»;

ϕα– угол поворота вокруг оси α.

Подставляя в уравнение (7) выражения (8) – (11) и упрощая, запишем конечный результат:

B=Σα(|τα0|cosh(zα/2) + τα0 sinh(zα/2))     α=1,2,3.                                 (12)

где zα= ηα+γϕα.

Вывод формулы (12) приведен в Приложении 2.

Выражение под знаком суммы (12) не что иное, как повороты осей α и 0 на комплексный угол zα/2 в 4-х мерном искривленном пространстве. Меняя направления бивекторов на противоположные (eαe0e0eα), получим обратные повороты:

=Σα(|τ0α|cosh(zα/2)+ τ0αsinh(zα/2))     α=1,2,3.

Вращения (12) важны тем, что из них легко получить преобразования Лоренца (включая обычные вращения в 3-х мерном пространстве) в общем виде, т.е. в искривленном пространстве.

Примечание.

 Возникает справедливый вопрос: можно ли подобрать такой комплексный угол , при котором уравнение (12) имеет решение? Ответ о существовании решения системы (8) – (11) приведен в Приложении 3

 3. Спиноры

Теперь из вращений (12) получим спиноры. Согласно формуле Эйлера

cosh(zα/2) = 0.5(exp(zα/2) +exp(-zα/2)) =Υα + Ῡα

sinh(zα/2) = 0.5(exp(zα/2) -exp(-zα/2)) =Υα - Ῡα,

где

Υα = 0.5exp(zα/2);  Ῡα =0.5exp(-zα/2),                                      (13)

формулу (12) запишем в виде:

B=Σα(|τα0|+ τα0)Υα + Σα(|τα0| - τα0)α    α=1,2,3.                           (14)

Введем обозначения:

Sα = (|τα0|+ τα0)Υα                                                  (15)

Šα = (|τα0| - τα0)α                                                   (16)

Следуя терминологии теории групп в алгебре, в общем случае говорят, что идеалом кольца K является такое подкольцо для ∀bK и ∀Sk выполняется равенство [9]:

Sb=cS

Где c – действительное число. Если c>0, то S положительный идеал (или просто идеал), если c<0, то  отрицательный идеал (или просто антиидеал).

Термин «антиидеал» или «отрицательный идеал» здесь был введен для общности понятий.  

Идеалы могут быть правыми и/или левыми. Если идеал является одновременно и левым и правым, то такой идеал называется двусторонним или просто идеалом.

В 4-х мерном физическом пространстве таким идеалам сопоставляются спиноры[5].

Проверим, существуют ли такие идеалы (спиноры) в нашем случае:

1. Для Sα (15):

Sα (eαe0) =(|τα0|+ τα0)Υα(eαe0) = (|eαe0|(eαe0) + (eαe0)(eαe0)Υα) =

= (|eαe0|(eαe0) + (eαe0)2Υα) =|eαe0|(eαe0 + |eαe0|Υα) = |eαe0|Sα

Таким образом,

Sα (eαe0) =|eαe0|Sα

2. Для Šα (16) таким же образом получаем:

Šα (eαe0) = - |eαe0|Šα

Определения.

Sα называются положительными спинорами (или просто спинорами) и определяются формулой (15);

Šα называются отрицательными спинорами (или антиспинорами) и определяются формулой (16).

Тогда локальную неоднородность электромагнитного поля (из уравнения (14)) можно записать в виде сумм трех пар спиноров - антиспиноров:

B=Σα(Sα + Šα)     α=1,2,3.                                               (17)

Утверждение 1:

Идеалы положительных и отрицательных спиноров независимы, т.е.

Σα(nα Sα + ňαŠα) =0     α=1,2,3.                                          (18)

Проще говоря, условие (18) выполняется только в том случае, если все действительные числа nα, ňα одновременно равняются нулю (при условии Sα ≠ 0, Šα ≠ 0).

Доказательство независимости спиноров приведено в Приложении 4.

Утверждение 2:

Идеалы спиноров и антиспиноров являются двусторонними, что легко может проверить сам читатель.

Утверждение 3:

Отметим, что если ненулевой бикватернион B является суммой спиноров, то он удовлетворяет условию[2]:

SαŠα = 0

Действительно,

SαŠα = (|τα0|+ τα0)Υα (|τα0| - τα0)α = (|τα0|+ τα0)(|τα0| - τα0) Υαα =

= (|τα0||τα0|+ τα0|τα0| - |τα0| τα0 - τα0∙τα0- τα0τα0)Υαα =0∙1=0

Спиноры важны тем, что из них легко получить три пары уравнений Дирака, взяв градиент от уравнения (17).

Физические аспекты и приложения (преобразования Лоренца, уравнения Дирака) вышеописанных математических инструментов будут представлены в следующих статьях.   

 

Обсуждения и выводы

1. Локальная неоднородность электромагнитного поля состоит из трех бикватернионов.

2. Локальная неоднородность электромагнитного поля состоит из трех вращений, которые заключают в себе  поворот во «временно - пространственной поверхности» и «чисто пространственный поворот» в 3-х мерном пространстве.        

3. Локальная неоднородность электромагнитного поля состоит из трех пар спиноров – антиспиноров в обобщенном виде, причем все спиноры (и антиспиноры) независимы.

4. Существование не более трех пар спиноров - антиспиноров в 4-х мерном пространстве (17) порождает предположение о существовании не более трех поколений лептонов и кварков.      

  

Приложение 1

Раскрываем скобки в (6). Обратим внимание на то, что между скобками стоит произведение Клиффорда.

B2=(∇iAi)2I+eiejFijkAk+ 0.25(eiej)(eken)FijFkn                  (1.1)

В уравнении (1.1) разделяем бивекторы eiejFijk Ak на «временные (eαe0)» и «пространственные (eβeλ)» части:

eiejFijkAk =eαe0Fα0kAk+eβeλFβλkAk

Пространственные бивекторы выражаем через временные, т.е. через дуальные

 eiejFijkAk =eαe0 Fα0 kAk+γ (eαe0) Eβλα0FβλkAk,                  (1.2)

так как[8] eβeλ = γ (eαe0) Eβλα0Eβλα0 = εβλα0/(-g)0.5 (ε0123 =+1).

Далее упростим:

(eiej)(eken) =eiejeken +(eiej)∙(eken) = - γ Eijkn,                 (1.3) 

так как (eiej)∙(eken)FijFkn = (gjkgin - gjngik)FijFkn = 0.

Подставляя (1.2) и (1.3) в (1.1), получим:

B2=(∇i Ai)2I – 0.25γEijkn FijFkn + eαe0 Fα0 k Ak +γ (eαe0) Eβλα0Fβλk Ak     (1.4)

Теперь мы обозначим скалярную, псевдоскалярную, бивекторную и псевдобивекторную части уравнения (1.4) так:

SR = (∇i Ai)2I – скаляр;

SP = - 0.25γEijkn FijFkn – псевдоскаляр;

VR = eαe0 Fα0 k Ak – бивектор;

VP = γ (eαe0) Eβλα0Fβλk Ak – псевдобивектор.

Получен вывод утверждения (7).

Приложение 2

Складываем (8) и (9):

SR + SP =|τα0||τβ0|cosh((ηα+ ηβ)/2 +γ(ϕα+ ϕβ)/2) = |τα0||τβ0|cosh(zα/2+ zβ/2)        (2.1)

Теперь складываем (10) и (11):

VR +VP = τα0|τβ0|(sinh((ηα+ ηβϕα+γϕβ)/2) - sinh((ηα - ηβϕα- γϕβ)/2))

VR +VP = τα0β0|(sinh((zα+ zβ)/2) - sinh((zα - zβ)/2))

VR +VP =2 τα0β0|sinh(zα /2) cosh(zβ /2)                                      (2.2)

Складывая (2.1) и (2.2), получим:

B2 = |τα0||τβ0|cosh(zα/2+ zβ/2) +2 τα0|τβ0|sinh(zα/2) cosh(zβ/2)

B2 = |τα0||τβ0|(cosh(zα/2)cosh(zβ/2) + sinh(zα/2)sinh(zβ/2)) +2 τα0|τβ0|sinh(zα/2) cosh(zβ/2)

B2 = (|τα0|cosh(zα/2) +τα0 sinh(zα/2)) (|τβ0|cosh(zβ/2) +τβ0 sinh(zβ/2))

Так как по α и β идет суммирование от 1 до 3, то это уравнение можем писать в виде квадрата:

B2 = (α0|cosh(zα/2) + τα0 sinh(zα/2))2                                       (2.3)

Извлекая из корня (2.3), получим уравнение (12).

Приложение 3

Так как вращения независимые, в уравнении (12) значение  берем фиксированным (1 или 2 или 3), а уравнение (5) запишем в виде:

   B = cαiAiI+eαe0(Fα0+ γ Eβλα0Fβλ)                                 (3.1)

cα– произвольные действительные числа, которые удовлетворяют условию:

c1 + c2 +c3=1

Правую часть уравнения (3.1) приравняем к правой части (12) при фиксированном α.

cαiAiI+eαe0(Fα0+ γ Eβλα0Fβλ) = α0|cosh(zα/2) + τα0 sinh(zα/2)          (3.2)

Разделяем симметричные и антисимметричные части в обеих частях уравнения (3.2) и приравниваем их друг другу:

cαiAiI =α0|cosh(zα/2);  eαe0(Fα0+ γ Eβλα0Fβλ) = τα0 sinh(zα/2)          (3.3)

Умножая соответствующие стороны уравнений системы между собой, получим:

cαi Ai(eαe0)(Fα0+ γ Eβλα0Fβλ) = |τα0|cosh(zα/2)τα0 sinh(zα/2)

cαi Ai(Fα0+ γ Eβλα0Fβλ) = 0.5|τα0|sinh(zα)                               (3.4)

Решая уравнение (3.4) относительно zα, найдем значение соответственного угла.

Приложение 4

Доказательство независимости спиноров и антиспиноров:

Умножим уравнение (18) слева на (|τ10| - τ10):

(|e1e0| - e1e0)n1S1 + (|τ10| - τ10)n2S2 + (|τ10| - τ10)n3S3 +(|τ10| - τ10) Σα ňαŠα =0     (4.1)

Так как (|e1e0| - e1e0)n1S1 = n1(|e1e0| - e1e0)(|e1e0| - e1e0)Υ1=0, то из (4.1) получим:

 n2S2 + n3S3α ňαŠα =0                                                   (4.2)

Теперь умножим (4.2) слева на (|e2e0| - e2e0):

(|e2e0| - e2e0)n2S2 + (|e2e0| - e2e0)n3S3 +(|e2e0| - e2e0α ňαŠα =0        (4.3)

Здесь (|e2e0| - e2e0)n2S2 = 0, поэтому из (4.3) получим:

n3S3α ňαŠα =0                                               (4.4)

Далее, повторяя умножение (4.4) на (|e3e0| - e3e0), затем на (|e1e0|+ e1e0) и т.д. и повторяя процедуру, в конце получим:

(|e3e0|+ e3e0)ň3 Š3 = ň3(|e3e0|+ e3e0)(|e3e0|- e3e0)3 = 0        (4.5)

Так как в (4.5) ни (|e3e0|+ e3e0), ни Š3 не равняются нулю, то получается, что ň3=0.

Теперь уравнение (18) запишем без члена ň3 Š3:

Σαnα Sα + ň1 Š1 + ň2 Š2  =0.                                    (4.6)

Повторяя процедуру (4.2) – (4.5) относительно уравнения (4.6), получим в конечном результате

ň2 (|e2e0|+ e2e0) (|e2e0|- e2e0)3 =0,                    (4.7)

т.е. ň2 =0.

Повторяя эти операции, в конце концов, докажем, что все nα = ňα =0. 

Библиографический список:

1. Гордеев В. Н. Кватернионы и бикватернионы с приложениями в геометрии и механике. Киев: Издательство "Сталь", 2016. стр. 137 – 164, ISBN 978-617-676-099-3
2. Kravchenko V. V. Applied quaternionic analysis, Herdermann - Verlag, Research and Exposition in Mathematics Series, v. 28, 136 pp. ISBN 3-88538-228-8.
3. Мирмович Э.Г., Усачёва Т.В. Алгебра кватернионов и вращения в трёхмерном пространстве, Научные и образовательные проблемы гражданской защиты, Выпуск № 1/2009.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие в 10 т. Т. 2. Теория поля. 7-е изд, М. Наука. 1988, 512 стр. ISBN 5-02-014420-4. стр. 95-109.
5. Ван дер Верден Б.Л. Метод теории групп в квантовой механике, Ижевск. Изд. дом «Удмуртский университет», 1999, 232 стр. — ISBN 5-7029-0313-7, стр. 109 – 115.
6. Румер Ю. Б. Спинорный анализ, М., 1936, НКТП, 104 стр. стр. 59 – 63.
7. Dirac P. A. M. The Quantum Theory of the Electron, Proc. R. Soc. A117 610 (1928).
8. Бабаев А. Х. Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда. SCI-ARTICLE. №40 (декабрь) 2016. стр. 34.
9. Ленг С. Алгебра, М., Мир, 1968, стр. 75.




Рецензии:

31.05.2017, 19:12 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Хотелось бы всё же выводы отдельно выделить. Возможно, сформировать их из чётких фраз аннотации и первых предложений введения. Личный выбор автора, но, по мнению и работам рецензента с соавтором (F.M. Lev), более близким к описанию реальных пространств кривизны (например, постоянной) является де Ситтер суперсимметричная алгебра и её представления SO(2,3), а не Лоренц-инвариантность, являющаяся представителем в виде SU(2,2) алгебры. Об этом упомянуто в цитируемой автором работе рецензента и в http://www.vevivi.ru/best/Inkarnatsiya-kvaternionov-ref172711.html. Однако в любом случае работа в рамках темы профессионально написана и заслуживает публикации. Рецензент "ковырялся" и в ранее опубликованной статье автора [8] и дал также рекомендацию к публикации. Кстати слово "объединить" во введении лучше, чем "объеденить". В литературе инициалы ставятся позади фамилии [2], [7], после ФИО не ставится запятая [9].



Комментарии пользователей:

1.06.2017, 7:25 Бабаев Алимжан Холмуратович
Отзыв: Спасибо Вам, Эдуард Григорьевич, за то, что Вы действительно стали «крёстным отцом» моих скромных трудов. Искренне благодарю Вас за замечание моих ошибок и за подсказку по замене терминов. Возможно, Вы правы насчет целесообразности группы Де-Ситтера вместо SU(2,2) – я не утверждаю и не опровергаю. В принципе, Вы правы: введение дополнительной координаты (переменной) математически сильно облегчает описание n - мерного геометрического объекта в n+1- мерном пространстве. На мой скромный взгляд, в случае введения дополнительной координаты, как у Де-Ситтера, возникают дополнительные проблемы: Обобщенная алгебра Клиффорда (в случае криволинейных координат) не обладает коммутативностью относительно умножения – она не симметричная и не антисимметричная. Если все-таки ввести пятую компоненту пространства, математика становится «красивой» и простой, но возникает вопрос о интерпретации этой дополнительной оси, а также о количестве поколений лептонов и кварков, так как поколений становится больше. Я также благодарен ещё одному «крёстному отцу» моего труда – Батанову - Гаухману Михаилу Семёновичу, чьи научные труды по алгебре сигнатур удивительно «созвучны» с моими «научными потугами» по сути (не по форме).


Оставить комментарий


 
 

Вверх