Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
https://wos-scopus.com
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 06.12.2017. Последняя правка: 05.12.2017.

Применение параметризации в математическом моделировании алгоритма построения ряда простых чисел. Часть 2.

Танченко Владимир Евгеньевич

Консерваторион

дежурный администратор

Танченко Е.В., программист.


Аннотация:
Данная работа знакомит с базисными понятиями, которые позволяют узнать как устроен числовой ряд, содержащий все простые числа, что такое линейная числовая матрица, какими основными свойствами обладает упомянутый ряд, что такое репликация ряда и многим другим, что позволяет снять завесу тайны с многовекового вопроса о порядке распределения простых чисел и их нахождения в процессе возрастания величин.


Abstract:
This work introduces basic concepts that allow us to understand how the numerical series containing all prime numbers is constructed, what is a linear numerical matrix, what are the main properties of this series, what is the replication of the series and many others, which allows us to remove the veil of secrecy from the age-old question of Order of distribution of prime numbers and their location in the process of increasing quantities.


Ключевые слова:
Риман; Ландау; Гольдбах; Лежандр; алгоритм; простые числа; линейная числовая матрица; матричные группы; репликация ряда; вычитание; суммы.

Keywords:
Riemann; Landau; Goldbach; Legendre; algorithm; Prime numbers; Linear numerical matrix; Matrix groups; Replication of the series; subtraction; Amount.


УДК 510

Вступление.

Настоящая работа является продолжением публикации «Применение параметризации в математическом моделировании алгоритма построения ряда простых чисел». [1]

  Мы уже знаем, как устроен основной числовой ряд, объединяющий простые числа и составные числа. Знаем,  как выстроить  этот основной ряд, знаем,  что такое вспомогательный ряд, знаем о числовых матрицах для построения тех и других рядов, но теперь мы должны познакомиться с тем, как определять порядковые номера членов вспомогательных рядов в основном ряду.  Ведь для того, чтобы выстроить последовательность простых чисел, нам необходимо исключить все числа, которые не являются простыми.  И нужно сделать это самым оптимальным способом.

В данной, как и в предыдущей публикации, будет  представлена только начальная часть материалов из работы по исследованию порядка распределения простых чисел.

 

Определение порядкового номера члена вспомогательного ряда в основном ряду.

Существует два способа решения этой задачи. Сначала мы рассмотрим тот, который на начальном этапе является  более трудоёмким.  Запишем первые девять вспомогательных рядов. Для этого поочерёдно перемножаем  член ряда на все члены ряда, за исключением единицы:  7 на 7, 7 на 11, 7 на 13 и так далее. Затем 11 на 7, 11 на 11, 11 на 13 и так далее.  Объединим полученные результаты в таблицу.  В каждом вспомогательном ряду ограничимся первыми девятью полученными произведениями. 

Таблица 1.

 

Получилась вот такая таблица. 

Посмотрим  на первый ряд чисел. Нам  не сложно определить порядковые номера каждого из десяти членов первого ряда, которые соответствуют им в основном ряду. Просто нужно выстроить основной ряд, присвоить  членам  ряда порядковые номера и найти эти числа в ряду.  Но такой способ определения порядкового номера в основном ряду  для нас неприемлем.  Это сейчас в нашем распоряжении пока ещё не очень большие числа, а когда это будут числа, состоящие из 1000 или миллиона знаков?   Выстраивать   ряд только для того, чтобы отыскать порядковый номер числа,  – не рационально.  Давайте попробуем  сделать следующее.

Возьмём последнее, самое большое число из нашей таблицы, составленной  из вспомогательных рядов. Это число 1369 из вспомогательного ряда числа 37. Определим  его порядковый номер таким  образом.

Мы знаем, что в  ряду нечётных чисел нет чётных чисел. Следовательно, мы  должны исключить их количество.  Уменьшаем выбранное число 1369 на единицу, делим на два, и полученный результат вычитаем из этого же числа:

1369 – (1369-1)/2 = 1369 – 684 = 685.

Теперь мы знаем количество нечётных чисел в ряду натуральных чисел до числа 1369, включая само число 1369. Нечётных чисел 685.

Мы помним, что в ЛЧМ (линейной числовой матрице основного ряда) первая матричная группа содержит два числа, вторая 4 и третья два. Каждая матричная группа соответствует одному десятку  чисел из натурального ряда. Поскольку  каждый десяток  чисел из натурального ряда содержит по пять нечётных чисел, то в трёх десятках натуральных чисел  их пятнадцать. Числа матрицы соответствуют только восьми нечётным числам из трёх десятков натуральных чисел или из 15-ти нечётных чисел. Следовательно, поскольку в трёх десятках натуральных чисел содержится 15 нечётных чисел, то мы должны исключить из них  7 нечётных чисел. Сначала определим количество этих групп по 15 нечётных чисел,  до числа 1369 включительно.

Разделим 685 на 15 :                   685/15 = 45.67.

Ошибка.  В результате получили дробное число. По какой причине? - Число 1369 не соответствует последней цифре из линейной числовой матрицы основного ряда. Иначе бы мы получили не дробное, а целое число.  ЛЧМ имеет следующий  вид

  /  1 7 / 1  3   7   9 / 3  9  /

и наше число 1369 соответствует девятке из средней матричной группы, потому и получилось дробное число от деления.

Следовательно, нам нужно учесть ещё два числа. Это будут числа 1373 и 1379. – Это следующий десяток в натуральном ряду и два числа из него, которые оканчиваются на цифры  3 и 9 в соответствии с числами из последней матричной группы.  Нужное нам число 1379. Определяем количество нечётных чисел:

1379 – (1379-1)/2 = 1379 – 689 = 690.

Количество групп по 15 нечётных чисел следующее:  690/15=46. Следовательно, в основном ряду числа 1369, 1373 и 1379 соответствуют 46-ой ЛЧМ.

Сейчас  мы получили верный результат. Теперь уменьшим число 690 на величину 46х7=322, -  на количество нечётных чисел, которые не участвуют в построении основного ряда.  690 – 322 = 368, - и мы получим  порядковый номер числа 1379 в основном ряду, выстроенном в соответствии с ЛЧМ.  Следовательно, порядковый номер числа  1369 в основном ряду, выстроенном с помощью ЛЧМ, равен 368-2=366.

Мы определили порядковый номер наибольшего числа из составленной таблицы. Но это тоже довольно неудобно. Мы же не будем таким образом определять порядковый номер каждого числа.  Нужен какой-то иной способ. И вот сейчас мы снова обратимся к числовым матрицам.  Мы определим ещё одну линейную  числовую матрицу, которая позволит  определять все порядковые номера в основном ряду для членов первого вспомогательного ряда.

  Поскольку  числа в начале ряда ещё не большие, то можно просто выписать порядковые номера которые они занимают в основном ряду. Или высчитать так, как мы это сделали для числа 1369.  Сейчас это не важно,  как мы это сделаем.  Нам нужно сделать это только один раз.
                Запишем  первые числа из вспомогательного ряда  семёрки и соответствующие им  порядковые номера  из основного ряда  простых и составных чисел:

 

А  теперь  последовательно и попарно определим разности порядковых номеров:

14-2,  21-14, 25-21, 32-25, 36-32, 43-36, 55-43, 58-55, 70-58.

Запишем результат :

 12   7   4   7   4   7  12   3   12

Для членов вспомогательного ряда семёрки  линейной матрицей порядковых номеров в основном ряду как раз и будет группа из первых восьми  чисел :

/  12    7    4    7    4    7   12    3   /

Теперь, зная только порядковый номер общего множителя, - числа 7, - а он равен 2,  мы можем бесконечно выстраивать ряд порядковых номеров членов вспомогательного ряда семёрки в основном ряду.  И сами числа вспомогательного ряда семёрки нам теперь не нужны. И теперь мы знаем, какие порядковые номера соответствуют членам основного ряда,  которые не являются простыми числами, а получены от перемножения членов ряда на 7.

Вот эти первые порядковые номера:

Теперь с уверенностью можно сказать, что числа основного ряда, например,  со следующими порядковыми номерами, не являются простыми числами: 

4438

4445

4449

4456

4460

4467

4479

4482

Они определены при помощи линейной матрицы для порядковых номеров членов вспомогательного ряда семёрки в основном ряду.

И для наглядности запишем сами числа, которые соответствуют  этим порядковым номерам:

 

Все эти числа поддаются факторизации, так как они являются составными.

Теперь произведём аналогичные вычисления для остальных членов каждого из восьми вспомогательных рядов, которые мы объединили в самом начале в Таблицу 1.  И заменим в этой  таблице вспомогательные ряды числовыми матрицами для определения их порядковых номеров в основном ряду.  Мы получим следующую таблицу:

Таблица 2.

 

 Красным цветом выделены числа, которые не входят в матрицы, - это порядковые номера первых членов вспомогательных рядов в основном ряду. Это наши точки отсчёта. И если мы прибавим к двойке 12, то получим порядковый номер в основном ряду второго члена вспомогательного ряда семёрки:  14 это порядковый номер числа  49.  Затем к полученному результату прибавим 7 и получим порядковый номер в основном ряду для третьего члена из вспомогательного ряда семёрки:  14+7=21. Это не сложно. Просто получаем в порядке возрастания все порядковые номера,  и исключаем из основного ряда все числа, соответствующие  этим порядковым номерам.

В Таблице 2 между вертикальными пунктирными линиями как раз и расположены полные матрицы для каждого вспомогательного ряда.  Последний столбец в этой таблице, - за пунктирной линией, где числа выделены курсивом,  - это первые цифры из следующих матриц. Матрица для каждого ряда одна. Она просто бесконечно повторяется. Или повторяется столько раз, сколько нам нужно.

Определим все порядковые номера в пределах Таблицы 2 и запишем в новую таблицу:    

Таблица 3.

 

Всё правильно. Ранее мы определяли порядковый номер для числа  1369. – Это  последнее число  в Таблице 1. Определённый нами  порядковый номер 366. – В Таблице 3, так же, последний порядковый номер равен 366.  

Вот с помощью этих матриц и исключаются составные числа, в соответствии с их порядковыми номерами. А остаются в основном ряду только простые числа.

Но тут может возникнуть следующий вопрос, - а что дальше? Что делать со следующими числами? Ведь мы имеем последнюю матрицу только для членов вспомогательного ряда числа 37. А чисел огромное множество. Не будем же мы для вспомогательного ряда каждого числа определять матрицу тем способом, которым определяли для этих первых 9-ти вспомогательных рядов. Нет,  это нам уже не нужно. Мы всё уже сделали. Для всех рядов.

Сейчас мы определим разности порядковых номеров в пределах данной таблицы не только по горизонтали, но и по вертикали. Таким образом, мы определим матрицы для вычисления порядковых номеров в пределах данной таблицы не только по горизонтали, а и по вертикали. Запишем их между порядковыми номерами и выделим красным цветом.  Члены основного ряда, содержащего простые и составные числа, обозначим буквой А, а порядковые номера буквой N.

Таблица 4.

 

Помните,  как устроена таблица, которую со школьной скамьи мы знаем под названием таблица Пифагора? Вот так устроена и эта таблица.  Несложно заметить, что это те же самые числовые линейные матрицы, которые мы определили ранее, но теперь они сориентированы вниз, по столбцам.  Тот же принцип, что и в  таблице Пифагора для перемножения чисел.  Только тут нужно просто производить сложение. И по горизонтали и по вертикали в соответствии с одними и теми же матрицами. 

Продолжим на несколько столбцов и строк данную таблицу вправо и вниз.

Таблица 4.1.

 

                Следовательно, мы можем составить основной ряд чисел и исключить из него все составные числа.  В результате мы получим ряд простых чисел.

Таким образом, используя линейную числовую матрицу основного ряда, - ЛЧМ, - мы выстраиваем ряд чисел, который содержит простые и составные числа. Одновременно определяются порядковые номера составных чисел, которые просто исключаются.  В итоге мы получаем непосредственно ряд простых чисел или ряд  их порядковых номеров.  Нужно сказать, что определить порядковые номера составных чисел проще и быстрее, ведь порядковые номера меньше самого составного числа, например:  615 и 2303.

Эти вычисления может сделать простейшая компьютерная программа. К тому же, как и в таблице умножения,  мы можем отсечь по диагонали половину матричной таблицы, как и половину таблицы порядковых номеров, - так как дважды получаем одни и те же результаты, - чем увеличим производительность вычисления.

Таблица 4.2.

 

Это выглядит следующим образом.  Первая полученная таблица порядковых номеров получает развитие по вертикали, а затем по горизонтали. Затем две по вертикали и одна по горизонтали. Затем три по вертикали и одна по горизонтали. И так далее. При этом не нужно учитывать порядковые номера в  отсечённых пунктирной линией «гребнях» таблицы.

 

Таким образом, из вспомогательного ряда 7-ки мы используем только одно число для исключения из основного ряда. Это число 49 с порядковым номером 14.

Из вспомогательного ряда числа 11 для исключения из основного ряда используем два числа. Их порядковые номера 21 и 33.

 Из вспомогательного ряда числа 13 для исключения из основного ряда используем три числа. Их порядковые номера 25, 39 и 46. И так далее.

Количество первых членов из любого вспомогательного ряда, которые нужно исключить из основного ряда, определяются следующим образом. Приняв любой член основного ряда за общий множитель для построения соответствующего ему вспомогательного ряда, количество членов для исключения из основного ряда равно  N-1, где N – это порядковый номер общего множителя - члена основного ряда для построения вспомогательного ряда.

Так, если число 17 имеет порядковый номер N=5, то из основного ряда исключаются только первые 4 члена вспомогательного ряда, где общим множителем является число 17. Это числа с порядковыми номерами 32, 50, 59, 78.

В этом случае, само число-множитель, с которого начинается каждый вспомогательный ряд, не учитывается по той причине, что, если это число-множитель является составным, то его порядковый номер уже был определён ранее и присутствует в таблице.

Например, число 49 имеет N=14. Этот порядковый номер, для исключения из основного ряда  соответствующего ему числа,  определён ранее.  

Таблица 5.

 

Следовательно, например, для числа с порядковым номером N=1000, мы определяем только 999 первых порядковых номеров  составных чисел, которые исключаются из основного ряда. При этом, если само число с порядковым номером N=1000 является составным, то оно было исключено ранее, но его порядковый номер  используется  для определения порядковых номеров  последующих составных чисел, которые подлежат исключению из основного ряда.

Таким образом, полной матрично-числовой таблицей для определения порядковых номеров членов вспомогательных рядов, которые подлежат исключению из основного ряда, является Таблица 4. Она содержит полный набор «инструментов», необходимых для определения порядковых номеров составных чисел, подлежащих исключению из ряда, образованного в соответствии с линейной числовой матрицей основного ряда.

В результате, пользуясь линейной числовой матрицей основного ряда, мы можем выстроить ряд чисел, который содержит все нечётные числа, оканчивающиеся на цифры 1, 3, 7, 9. Это два числа из первого десятка натуральных чисел, четыре числа со второго десятка натуральных чисел, два числа из третьего десятка натуральных чисел.  Этот цикл количественного чередования чисел повторяется. И из четвёртого десятка натуральных чисел снова будут отобраны два числа, из пятого четыре числа, из шестого два числа и так далее. - В соответствии с числами, которые содержит линейная числовая матрица основного ряда. Полученный таким образом ряд нечётных чисел будет содержать все простые числа, но он так же будет содержать и составные числа, которые мы теперь можем исключить, пользуясь Таблицей 4 для определения порядковых номеров этих составных чисел. В результате, исключив все эти составные числа, мы получим ряд простых чисел.
Иными словами, в числовом ряду, составленном в соответствии с ЛЧМ  / 1 7 / 1 3 7 9 / 3 9 /, всем порядковым номерам не вошедшим в вышеописанную таблицу, будут соответствовать простые числа. 

В итоге проверки данного алгоритма построения ряда простых чисел с помощью тестовой компьютерной программы, была подтверждена его 100-процентная результативность. 

 

Научная новизна. Определён и использован для наглядной демонстрации порядок распределения составных чисел в ряду, образованном в соответствии с линейной числовой матрицей.  Получена таблица для определения порядковых номеров составных чисел. На первом этапе данный метод позволяет сократить количество чисел натурального ряда для определения простых чисел, а на втором этапе исключить из оставшихся чисел составные числа и получить ряд простых чисел.

Результаты. Определена линейная числовая матрица для построения ряда, содержащего простые и составные числа. Определена матричная Таблица 4 для определения порядковых номеров составных чисел, подлежащих исключению из полученного числового ряда. В результате получен новый алгоритм  построения ряда простых чисел.  Компьютерное тестирование  алгоритма показало 100 процентную результативность при построении ряда простых чисел. 

Заключение. В данной работе показано, что гипотеза Римана, с предположением о существовании закономерности в распределении простых чисел, была верна.

Библиографический список:

[1] Танченко В. Е. Применение параметризации в математическом моделировании алгоритма построения ряда простых чисел // Электронный периодический рецензируемый научный журнал "SCI-ARTICLE.RU". Год 2017, номер 47 (июль), математика, страница 118. URL: http://sci-article.ru/number/07_2017.pdf (дата обращения: 2.12.2017)




Рецензии:

7.12.2017, 0:05 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Рецензент позволит себе шутку: "И вновь начинается бой...". Является данная работа одним из усовершенствований решета Эратосфена (тогда надо аргументировать, чем метод автора экономичнее и эффективнее этих "решёт")?. Или алгоритмом выделения простых близнецов или "братьев-четвёрок"? Может, даётся новая формула типа 6n+1 или 30n+1?.. И т.д. Ни одного слова из ключевых кроме "матрица" нет, при том, не только ссылок на работы учёных-ортодоксов в области теории чисел Римана, Гольдбаха, Лежандра, Ландау, но и просто упоминания этих имён в тексте. И даже не ясно, занимался ли Ландау таблицами составления простых чисел вообще? Нет ссылок на уникальные и энциклопедические обзорные работы в области простых чисел, будто автор впервые заговорил о простых числах. Причём здесь гипотеза Римана, которая то не выполняется, то выполняется, хотя в данном тексте о ней также нет ни слова. Программирование и составление на компьютере любого из "решёт" гораздо проще, понятнее и научнее. Рецензент не находит актуальности в данной постановке задачи и её решении, не видит научной новизны, и ссылка лишь "на себя любимого" в этой задаче выглядит некорректно. Вариантов усложнения построений таблиц простых чисел бесконечное множество, с привлечением компьютерных приложений - ещё больше. Рецензент против продолжения публикаций на эту тему статей в данном журнале (повторно), т.к. это приводит к бесконечности не только в вариациях статей на эту тему, но и ещё большей бесконечности дискуссий, ответов и критики рецензентов автором и их оправданий перед ним со стороны рецензентов и пр. заниманий времени у всех участников данного процесса.

07.12.2017 11:11 Ответ на рецензию автора Танченко Владимир Евгеньевич:
Уважаемый Эдуард Григорьевич! Я премного благодарен за Ваше внимание и за Вашу «взвешенную» оценку материала. А теперь к делу. В самом начале я указал, что данная работа является продолжением предыдущей публикации и, само собой разумеется, предполагал, что это прочтут люди, которые прочли первую статью и знакомы, и с работами Маркова, и Марсенна, и Вольстенхольма… - иными словами, не нужно представлять публикацию в виде букваря для школяра. Теперь о самом содержании. Конкретно и по пунктам. Решето Эратосфена предполагает оперирование на втором этапе только нечётными числами и исключением из их числа составных чисел с помощью деления. Данный метод, уже на первом этапе, позволяет исключить из числа натуральных чисел не только чётные числа, но и почти половину нечётных чисел. Для исключения составных чисел из оставшегося количества нечётных чисел, предлагается математическая операция сложения, а не деления. При этом оперировать можно не самими числами, а их порядковыми номерами, которые при развитии предложенного числового ряда уже на порядок, а то и на порядки будут меньше самих чисел. И, как Вы понимаете, данные порядковые номера так же меньше по значению порядковых номеров соответствующих чисел в натуральном ряду. Таким образом, уменьшается множество чисел, их разрядность и сужается область исследования, в которой, опять же, как Вы могли заметить, определён порядок и зависимость в чередовании порядковых номеров составных чисел. И теперь главное. Исходя из содержания Вашей рецензии, у меня создалось впечатление, что Вы прекрасно поняли то, что так же, как и среди составных чисел, так и среди простых чисел, существует вполне определённое строгое правило их распределения в числовом ряду, образованном с применением линейной числовой матрицы вида / 1 7 / 1 3 7 9 / 3 9 /. Просто встроенный редактор не пропустил первоначальный объём материала. Я его сократил вдвое. По этой причине о самих простых числах нужно говорить отдельно. Я могу только сожалеть, что вместо рекомендаций по правильному оформлению статьи, Вы так отреагировали. И, мне кажется, можно было обойтись без эпитетов и аккуратных оскорблений. Но, несмотря на всё изложенное Вами, - спасибо за отзыв. Вы высказали своё мнение, за что я премного Вам благодарен. С уважением, Владимир Танченко.



Комментарии пользователей:

8.12.2017, 12:57 Мирмович Эдуард Григорьевич
Отзыв: К сожалению, Вы не заметили или не ответили ни на одно конкретное замечание рецензии. В Вашей первой статье на эту тему, которую рецензент оценил полувосторженно, некоторые из ключевых слов и фамилий были упомянуты (хотя тоже не все). Взяв оттуда аннотацию с теми же синтаксическими описками и преувеличением значимости работы, которая "позволяет снять завесу тайны с многовекового вопроса о порядке распределения простых чисел и их нахождения в процессе возрастания величин", Вы не сделали никаких поправок, уточнений на выкладываемый текст. Вы же, конечно, знаете, что существуют настоящие серьёзные проекты распределённых вычислений и поиска простых чисел (например, Ibercivis для чисел Вильсона, mersenneforum чисел Мерсена и др.). Без упоминания других проектов и исследований претендующая на заявленный Вами статус выглядит излишне претенциозной. Первой аксиомой в проблеме "Простые числа" является то, что они все нечётные, т.ч. грех тут "обвинять" все эти решета". Практически при всех методах составления таблиц простых чисел "... оперировать можно не самими числами, а их порядковыми номерами", будь то числа Фибоначи-Вифериха и трибоначи, фантомы чисел Вольстенхольма, Волла, Вильсона (количество которых измеряется пока одной цифрой) и как минимум десятки др. И надеяться на то, что читать Вашу работу будут рецензенты и участники данного форума (журнала)лишь те, кто "знакомы, и с работами Маркова, и Марсенна, и Вольстенхольма" (о которых у Вас и в первой статье на эту тему ничего нет), вряд ли обосновано, т.к. (повторно) эти работы не относятся к прямой "дорожной карте" составления полных таблиц простых чисел, а являются теми или иными "выкрутасами" сильных математиков, имеющими для них самих бОльшее значение, чем для решения самой проблемы. И потом в своём ответе Вы не жалеете слов для разъяснения своей позиции и своих подходов - вот и вставьте их в статью. Рассмотрите по предложениям рецензию и данный текст, устраните или опровергните каждое из них, и с Богом!


8.12.2017, 20:11 Танченко Владимир Евгеньевич
Отзыв: Уважаемый Эдуард Григорьевич, если это не Ваша область познания, и если это не относится непосредственно к Вашей профессиональной специализации, то я могу понять содержание Ваших отзывов и Ваше необоснованное негодование, но, порядок распределения простых чисел определён. Он есть. Он существует независимо от Вашего мнения. И если не здесь, не на этом интернет-ресурсе, то он будет опубликован в другом месте. Это не зависит от Вашего личного и субъективного мнения. И если уже откровенно, то мне не нужно никого упоминать в своей публикации уже по той причине, что все предыдущие попытки математиков определить порядок распределения простых чисел не увенчались успехом. Вы говорите мне о том, о чём не имеете ни малейшего представления. С уважением, Владимир Танченко.


Оставить комментарий


 
 

Вверх