Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Вакпрофи. Публикация статей ВАК, Scopus
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 27.08.2018. Последняя правка: 19.10.2018.

Теорема Ферма

Ремизов Вадим Григорьевич

Кандидат технических наук

Ярославский государственный технический университет

Доцент

Ремизов Константин Вадимович


Аннотация:
В статье приведено элементарное доказательство теоремы Ферма, основанное на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций.


Abstract:
The article presents an elementary proof of Fermat's theorem, based on the properties of extremes of continuous and smooth functions.


Ключевые слова:
теорема Ферма; диофанотовы уравнения; вещественные, целые и натуральные числа; непрерывные и гладкие функции; математический анализ; экстремумы, максимумы и минимумы функций; эквивалентные уравнения

Keywords:
Fermat's theorem; Diophantine equations; real, integer and natural numbers; continuous and smooth functions; mathematical analysis; extremes, maxima and minima of functions; equivalent equations


    УДК 510

Вступление      

    
   Великая теорема Ферма (или Последняя теорема Ферма), а точнее говоря гипотеза Ферма — одна из самых популярных теорем (гипотез) математики была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году. Её формулировка доступна в понимании даже школьникам, однако доказательство гипотезы Ферма в общем виде более трёх веков искали как любители  математики, которых называют фермистами или ферматистами или ферматиками, так и профессиональные математики.  Первым прорыв в доказательстве теоремы Ферма совершил Леонард Эйлер, который в 1753 году доказал теорему Ферма для частного случая  n=3. Это было грандиозное достижение, но повторить успех при других значениях n Эйлеру не удалось. Теорему Ферма для частных случаев доказали величайшие математики, среди которых сам Ферма, Эйлер, Софии Жермен, Дирихле, Лежандр, Ламе,, Куммер и другие. Доказана гипотеза была в 1994 году Эндрю Уайлсом (доказательство опубликовано в 1995 году).
       Над доказательством Великой теоремы Ферма работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной математики. Работая над решением этой задачи, ученые открыли совершенно новые математические теории и методы, например, были заложены фундаменты теории чисел, алгебры, теории функций. Но подумайте над тем, сколько важных сложнейших задач надо решить, чтобы это осуществить. В поисках ее доказательства была открыта значительная часть современной математики. Несмотря на то, что простое и изящное решение этой задачи так и не было найдено, ее поиски внесли значительный вклад во многие области математики, эта задача послужила толчком для целого ряда открытий в области теории множеств и простых чисел.

Актуальность  

      
Доказательство Эндрю Уайлса, представленное в конце XX века, объемом 130 страниц, очень сложное, а потому понятное лишь узкому кругу специалистов, не поставило окончательную точку в проблеме доказательства теоремы Ферма. Несмотря на то, что в 1995 году Эндрю Уайлсом Теорема Ферма была доказана, эта задача до сих пор входит в число нерешенных математических проблем из-за неистощимого желания математиков найти теперь более простое и изящное решение. Само доказательство, объемом более ста страниц, было основано на применении современного аппарата высшей математики отсутствовавшего в эпоху Ферма. Поэтому доказательство Уайлса не могло быть доказательством Пьера Ферма. Математики сходятся во мнении, что Пьер Ферма не доказал свою гипотезу, то есть либо ему показалось что он доказал теорему и он искренне заблуждался и в его доказательстве были ошибки и пробелы, которые он не обнаружил, либо Ферма не доказал свою теорему, а на полях книги «Арифметика» Диофанта просто соврал.
       К сожалению, остались без ответа следующие вопросы: существует ли элементарное доказательство теоремы Ферма? и доказал ли теорему Ферма сам Пьер Ферма?
       Поиску ответов на эти вопросы и посвящена данная публикация.

 Цели и задачи

      
Показать,  как решение диофантовых уравнений  можно свести к  решению вещественных уравнений и как теорию экстремумов непрерывных и гладких функций можно использовать для решения целочисленных проблем.

 

Научная новизна

      Новизна работы заключается в том, что для решения целочисленных проблем (доказательства теоремы Ферма) применялся математический анализ непрерывных и гладких функций и теория экстремумов функций.

 

 

      Теорема Ферма утверждает, что для любого натурального числа  n>2 уравнение (1) не имеет решений в целых ненулевых числах  x, y, z .

            

      Будем натуральные числа  xF , yF , zF  и  nF, которые удовлетворяют уравнению (1), называть корнями диофантова уравнения Ферма.

      Рассмотрим вещественную и неотрицательную функцию (2) двух независимых вещественных переменных  x, y > 0,  с двумя вещественными параметрами: параметром n > 1 и масштабирующим параметром a ` ` { 1- `epsi` ` ` ,1+ `epsi` ` `}, который растягивает (сжимает) функцию (2) вдоль осей  координат  х и  у.

             

где  z  определяется выражением

            
      Вещественная функция (2) в области ее определения является непрерывной и гладкой функцией, как относительно независимых вещественных переменных  и  y, так относительно и вещественных параметров  и  a.

      Графики зависимостей  z(nпри различных фиксированных значениях  и  у  показаны на Рис. 1.

 

      Приведенные графики показывают, что при фиксированных значениях  и  y  функции  z(n)   являются однозначными и монотонно убывающими, и поэтому функция (2) является однозначной.

      При  n=1  любые целые  x  и  y  являются корнями уравнения Ферма, поэтому будем рассматривать случаи, когда  n > 1. В этом случае между переменными имеют место следующие соотношения:  max(x,y) < zx+y.

      Если приравнять функцию (2) нулю, то получим вещественное тригонометрическое уравнение, которое при  a=1  имеет те же целочисленные корни, что и диофантово уравнение Ферма (1), то есть при  a=1   вещественноетригонометрическое уравнение будет эквивалентным диофантову уравнению Ферма.

      При  a=1 и целых x, y и n, переменная  z(x, y, n)может быть как целой, так и не целой, поэтому функция (2) может быть как равной нулю так и не равной нулю при целых  x, y и n.

      При  a=1 корни диофантова уравнения Ферма (1) обращают неотрицательную функцию (2) в ноль, то есть в этих точках функция (2) имеет локальные минимумы. Поэтому целочисленные решения диофантова уравнения Ферма (1) будем искать во множестве координат точек экстремумов функции (2).

      Таким образом, решение диофантова уравнения Ферма свели к решению вещественного тригонометрического уравнения и отысканию координат экстремумов непрерывной и гладкой вещественной функции (2) при  a=1.

      Запишем необходимые условия существования экстремумов функции (2)


       Формально имеем два уравнения с четырьмя неизвестными, поэтому любые две переменные можно задавать произвольно, а остальные неизвестные определять из решения полученной системы двух уравнений. Для непрерывной и гладкой функции (2) в точках, в которых функция равна нулю, выполняются и необходимые и достаточные условия существования экстремума. Координаты экстремумов (стационарных точек) функции (2) удовлетворяют полученной системе уравнений, и в отдельности каждому уравнению.

      Имеем два уравнения (4) и (5), которые содержат четыре неизвестные  x,  y,  a  и  n, поэтому две переменные можно задать произвольно, тогда получим два уравнения с двумя неизвестными, решение которых даст значения остальных неизвестных в точках экстремумов функции (2).

      Уравнения (4) и (5) являются двумя неявными функциями переменных x,  y,  a  и  n, в которых любую переменную можно рассматривать как зависимую переменную, а оставшиеся три переменные считать независимыми переменными. Определение координат точек экстремумов функции (2) можно свести к решению полученной системы двух независимых уравнений или к определению точек пересечения функций зависимых переменных.

      Любое необходимое условие существования экстремума функции (2), то есть любое из уравнений (4), (5), (6) и (7) можно рассматривать как функцию одной переменной в зависимости от трех других независимых переменных, которые могут принимать любые значения из области их определения, в том числе и фиксированные (постоянные) значения.

      Уравнения (4) и (5) позволяют решать следующие задачи.

      Первая задача - если задаться  значениями параметров  и  n, то уравнения (4) и (5) позволяют найти координаты точек экстремумов (стационарных точек) функции (2) при заданных значениях  и  n.

      Вторая задача - если задаться координатами точек экстремумов функции (2)  x=xi и  y=yi, то уравнения (4) и (5) позволяют найти множество значений параметров  и  n, при которых функция (2) будет иметь экстремум в точке с координатами  x=xi и  y=yi.

      Уравнения (4) и (5) можно переписать в следующем виде:

            

      Координаты экстремумов функции (2) всегда удовлетворяют уравнениям (4), (5), (6) и (7).

      Из необходимых условий (6) существования экстремумов функции (2) можно в явном виде выразить параметр  n  как явную функцию независимых переменных   x,  y  и  a

            

       Выражение (7) одновременно является и функцией и уравнением и необходимым условием существования экстремумов функции (2) в области ее задания. Из уравнений (4), (5), (6) и (7) только два уравнения являются независимыми.

      Необходимые условия существования экстремумов функции (2) должны включать два независимых уравнения и содержат четыре неизвестные  x,  yи  a   для определения координат экстремумов функции (2). Поэтому в необходимых условиях существования экстремумов (в любом уравнении) любые две неизвестные можно рассматривать как независимые переменные, а две другие, как постоянные коэффициенты в уравнениях и функциях.

      При решении первой задачи, переменные  x и  y  в уравнениях (4), (5), (6) и (7) являются обычными переменными, а не координатами точек экстремумов функции (2),  а переменные  и n  являются постоянными коэффициентами в уравнениях и функциях. Поэтому параметры  и  n могут задаваться произвольно и не зависят от переменных  x и  y.

      При решении второй задачи, переменные  и  n  являются обычными переменными в уравнениях (4), (5), (6) и (7) и в соответствующих функциях, а  x=xi  и  y=yi  являются постоянными коэффициентами в указанных функциях.  Поэтому  xi  и  yi   не зависят от переменных  и  n, при этом функция (8) является одним из двух необходимых условий существования экстремума функции (2) в точке с координатами  xi  и  yi.

     При вычислении предела в функции (8) координаты точек экстремума функции (2)  xi  и  yi  являются коэффициентами в функции (8), а поэтому  коэффициенты  xi и yi  не зависят от независимых переменных (параметров)  a и n.

     Будем искать экстремумы функции (2) в точках с координатами  xF  и  yF.. Здесь  xF  и  yF  это значения целых переменных x и  y, которые удовлетворяют диофантову уравнению Ферма.

      Если в функции (7) зафиксировать переменные  x=xF  и  y=yF, то получим функцию n(a) или необходимое условие существования экстремума функции (2) в одной фиксированной точке с координатами  xF  и yF, которые могут задаваться произвольно и поэтому не зависят от переменных  a и n. Если бы  xF и  yF  зависели бы от параметра a, то при изменении параметра  a  координаты фиксированной точки экстремума функции (2) изменялись бы. В каждой точке пространства с координатами  xF  и yF, в которой имеет место экстремум функции (2), переменная  n в необходимых условии (7) и (8) существования экстремума функции (2) будет зависеть только от независимой переменной  a, то есть  будет функцией только параметра - n(a). Тогда функция (7) принимает вид

            

       Функция (8) является необходимым условием существования экстремума функции (2) в одной фиксированной точке с фиксированными координатами x и yF, которые являются корнями диофантова уравнения Ферма и не зависят от параметра a. Графики функций  n(aв точках пространства с целыми координатами  xF  и yF  показаны на Рис. 2.

            

       Любые координаты точек экстремумов функции (2) удовлетворяют любому необходимому условию существования экстремумов, однако не все значения переменных, удовлетворяющих одному из необходимых условий, являются координатами точек экстремумов функции (2), для этого необходимо, чтобы значения переменных удовлетворяли всем необходимым условиям существования экстремума. Поэтому  x  и  y  в условии (7) и  xF  и  yF  в условии (8) могут и не являться координатами точек экстремумов функции (2), при этом они не зависят от переменной  a.

      Исследуем свойства функций (8). При целых  xF  и  yF  в окрестности точки  a=1  функции (8)  n(a) < 2  и определены всюду, за исключением самой точки  a=1, в которой функции (8) не определены, так как в числителе дроби имеет место неопределенность типа  0/0. Функции (8) имеют разрыв первого рода, который можно устранить, доопределив функции (8) пределом функции (8) при  a `->` 1. Таким образом, чтобы функции (8) были непрерывными в области их определения, надо в точке  a=1  их доопределить пределами функции (8).

      Вычислим по правилу Лопиталя пределы функций (8) при a `->` 1.

      При вычислении пределов функций (8) целые координаты фиксированных точек экстремумов  функции (2)  xF  , yF  не зависят от параметра a.

      Да, корни системы уравнений (4) и (5), то есть координаты точек экстремумов функции (2) зависят от параметров  а  и  n. Но в каждом, отдельном взятом, уравнении (необходимом условии), содержащим четыре переменные, любую из переменных можно рассматривать как зависимую, а три других рассматривать как независимые переменные. В функциях (7) и (8) (необходимых условиях существования экстремумов) в качестве зависимой переменной выбрана переменная n, а в качестве независимых переменных х, у и а. Поэтому переменные  х и у  не зависят от переменной  а. Функция (7) является необходимым условием существования экстремума функции (2) в произвольной точке пространства с координатами  х и у, а функция (8) является необходимым условием в фиксированной точке пространства с целыми координатами  хF  и  уF . Поэтому при вычислении предела по правилу Лопиталя переменные  хF и  уF полагались не зависимыми от переменной  а. При  n > 2  целые координаты точек  хF  и  уF  могут и не быть координатами точек экстремума функции (2).

            

 

      Все пределы функций (8) при  a `->` 1 равны  nпред =2  и не зависят от целых значений координат точек экстремумов  xF  и  yF, то есть независимо от целых значений переменных  xF  и  yF  все пределы функций (8) при  a `->` ` ` 1  равны  nпред =2.

      При  n=nF =2  имеется бесчисленное множество целых троек   xF, yF  и  zF  (все Пифагоровы тройки) которые удовлетворяют уравнению Ферма (1) и доставляют локальный минимум функции (2) при  a=1, чего нельзя сказать о целочисленных решениях уравнения (1) при  n > 2, что и является предметом доказательства теоремы Ферма.

      Математики считают, что для решения диофантовых уравнений нельзя применять теорию непрерывных и гладких функций и математический анализ, то есть нельзя целочисленную или натурально цифровую проблему доказывать с использованием действительных (вещественных) чисел и дифференциального или интегрального исчисления.

      Теорему Ферма можно сформулировать и в эквивалентной формулировке, как задачу определения множества значений параметра n, при котором вещественная, непрерывная и гладкая функция (2) при  a=1  имеет локальные минимумы, равные нулю, поскольку указанная задача и задача решения диофантова уравнения Ферма эквивалентны. Задачу доказательства теоремы Ферма в эквивалентной формулировке можно задать и школьникам на Едином Государственном Экзамене (ЕГЭ) по математике, несмотря на то, что решение диофанотовых уравнений в школе не изучалось, но исследование функций на максимум-минимум, решение задач с параметрами и решение вещественных уравнений в школе рассматривается.

      При  a=1 целые значения переменных  xi , yi  и  n(1), при которых функция (2) будет иметь минимумы, равные нулю,  являются корнями диофантова уравнения Ферма (1), то есть  xi = xF ,  yi = yF ,  n(1) = nF   и  zi = zF  .  При   a=1 значение функции (8) не определено, поэтому ее (функцию) следует доопределить значением  n(1) = nF .

      Предположим, что диофантово  уравнение Ферма имеет  решения и при  nF > 2 ,  тогда при  n(1) = nF = 2  функция (8) в точке  a=1  будет непрерывной и гладкой, а при  n(1) = nF  > 2  функция (8) в точке  a=1  будет иметь разрыв, что проиллюстрировано на Рис. 2.

      Наличие разрыва функции (8) при  a=1  и  n(1) = nF > 2 является доказательством справедливости теоремы Ферма.

      Непрерывность функции (8) следует из свойств экстремумов непрерывных и гладких функций, какой и является функция (2). 

      При решении первой задачи параметр  a  является масштабирующим коэффициентом функции (2) вдоль осей координат  и y, поэтому при изменении масштаба функции (2) (растяжении, сжатии) вдоль осей  и y координаты точек экстремумов  xЭ и yЭ  функции (2) являются непрерывными функциями масштабирующего коэффициента a. Корнями вещественного тригонометрического уравнения  F(x,y) = 0  при  n=nF   являются  x0 = xF /a  и  y0 = yF /a , которые одновременно являются и координатами точек экстремумов (нулевых локальных минимумов  xmin и  ymin)  функции (2), то есть  xЭ  =  xmin =  x0  =  xF / a  и  yЭ  =  ymin  =  y0  =  yF /a. Таким образом доказали, что координаты  xmin и  ymin  локальных минимумов функции (2), которые равны нулю, являются непрерывными функциями параметра  a.

      При решении второй задачи, когда у непрерывной и гладкой функции (2) координаты точки экстремума функции (2)  xi = xF  и  yi=yF  зафиксированы, при непрерывном изменении параметра  a  параметр  n  тоже должен изменяться непрерывным образом, то есть функция n(a)  в точке  a=1  и ее окрестности должна быть непрерывной. В этом случае в точках при  a=1  и  n < 2  экстремум функции (2) будет находиться в точке с координатами  xi = xF  и  yi = yF , но значение функции (2) и минимум функции (2) в этой точке будут больше нуля.

      Наличие разрывов функции (8) в точках при  a = 1  является  доказательством отсутствия экстремумов (локальных минимумов) у непрерывной и гладкой функции (2) в точках  x = xF   и   y  = yF   при  nF > 2  и  a = 1, а поэтому и доказательством отсутствия решений диофантова уравнения Ферма при nF  >2. В данном случае имеет место противоречие – корни диофантова уравнения Ферма при  nF >2, если бы они существовали, не обращают функцию (2) в ноль, так как у функции (2) отсутствуют нулевые минимумы при  nF >2 .

     Функцию (2) так же можно рассматривать и как непрерывную и гладкую функцию четырех независимых переменных  xy, и a. В этом случае можно графически проиллюстрировать потерю непрерывности функции (2) при изменении переменной  и фиксированных значениях переменных (коэффициентов) x = xF  и  y = yF , что следует из прерывности и наличия разрывов при  a= 1  у функции (8). На Рис. 3 показано наличие разрыва у функции  n(a) в точке  a=1, если  n = nF = 3.
           

      Для того чтобы функция (2) имела экстремум при заданных значениях переменных должны удовлетворяться оба необходимых условия (оба уравнения) существования экстремумов. Если в какой либо произвольной точке пространства хотя бы одно из уравнений (необходимых условий существования экстремума) не удовлетворяется, то в данной точке функция (2) не будет иметь экстремумов. Если удастся показать, что одно из необходимых условий существования экстремума в некотором множестве точек не удовлетворяется или не соответствует свойствам непрерывной и гладкой функции (2), то функция (2) при заданных значениях переменных (в этих точках) не будет иметь экстремума.

      Предположим, что диофантово уравнение Ферма имеет решение  xF , yF , zи nF. Установим (проверим) может ли непрерывная и гладкая функция (2) иметь нулевой экстремум в точке с координатами  xF  и  yF. Если функция (2) в этой точке будет иметь экстремум, то уравнение Ферма имеет решение xF , yF , zи nF,  а если функция (2) не будет иметь экстремума, то уравнение Ферма не будет иметь указанного целочисленного решения.

      Для того чтобы доказать, что функция (2) не имеет нулевых экстремумов, а следовательно и диофанотово уравнение Ферма не имеет решений, надо показать что, по крайней мере, одно из необходимых условий существования экстремума (одно уравнение) не имеет решений, либо функция (8), которая является необходимым условием существования экстремума функции (2), не соответствует свойствам непрерывной и гладкой функции (2), то есть функция (8) в точках экстремумов функции (2) не является непрерывной и имеет разрывы.

      Принимая во внимание тот факт, что в необходимом условии (8) существования экстремумов функции (2)  xF  и  yF  являются независимыми от переменной  a, доказательство теоремы Ферма можно выполнить и таким образом [2,3].

      Перепишем необходимое условие существования экстремума (8) в виде

            

       При  a = 1  и  целых  xF  и  yF  правая часть уравнения (10) неопределенна (имеет место неопределенность типа 0/0). Учитывая, что необходимое условие существования экстремумов (10) не должно иметь разрыва в точке a = 1, то правая часть этого уравнения должна быть заменена своим пределом при  a ` ` 1, который равен  xF /yF . Тогда уравнение (10) принимает вид

            

       При различных  xF  и  yF  уравнение (10), которое является необходимым условием существования экстремума функции (2), может удовлетворяться только при  n= 2, откуда следует, что функция (2) может иметь экстремумы только при n= 2, а, следовательно, и диофантово уравнение Ферма имеет решения только при  n= 2. Таким образом, теорема Ферма доказана!

      Приведенное доказательство теоремы Ферма было представлено для рецензирования в 1994 году в ЯрГУ, но, к сожалению, оно было признано неверным. Мои просьбы к руководству ЯрГУ о рассмотрении доказательства на научном семинаре остались без ответа. Оригинальный одностраничный текст доказательства приведен на Рис. 4.

                     

 

      Доказательство теоремы Ферма основано на свойствах непрерывных и гладких функций, а точнее говоря на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых необходимые условия существования экстремума в точках экстремумов непрерывны, то есть при изменении параметров и переменных функции координаты точек экстремумов изменяются непрерывным образом, то есть траектории экстремумов непрерывны. Если необходимые условия существования экстремума функции в точках экстремумов имеют разрывы, то функция не может быть непрерывной и гладкой, так как в этих точках функция будет иметь разрывы. Точка экстремума непрерывной и гладкой функции в которой необходимые условия существования экстремума имеют разрывы будет изолированной, так как в соседних точках у функции не может быть экстремумов, то есть траектория изменения экстремумов не непрерывна, а поэтому функция не может быть непрерывной и гладкой. Так, если бы диофантово уравнение Ферма имело бы решения при nF >2, то функция (2)имела бы изолированный экстремум при  n = nF >2, так как соседний экстремум у функции (2) мог бы быть только при  n < 2. Поэтому непрерывная и гладкая функция (2) в этой точке не может иметь экстремум.

      Предположим, что диофантово уравнение Ферма при  n = nF >2  имеет целочисленные решения xF , yF  и zF , тогда в этой точке функция (2) должна иметь нулевой минимум, но в этом случае функция (8) при  a = 1 будет иметь разрыв, что свидетельствует о том, что в этой точке функция (2) не может иметь нулевого минимума, а, следовательно, и диофантово уравнение Ферма не может иметь целочисленных решений при  n = nF >2.

      Если  xF  и  yF  имеют общий делитель, то на этот делитель будет делиться и zF. Числа  xF , yF  и zF  имеют одни и те же общие делители. Если числа xF , yF  и zF  сократить на наибольший общий делитель, то тогда числа xF ,yF  и zF  будут попарно взаимно простыми.

      Тогда теорему Ферма можно сформулировать и так: «Если натуральные числа  x, y и z  являются попарно взаимно простыми, то диофантово уравнение Ферма (1) при  целом  n > 2  не имеет решений».

      В такой формулировке теорема Ферма будет частным случаем гипотезы Била в эквивалентной формулировке [4]: «Если натуральные числа  A, B и C  являются попарно взаимно простыми, то диофантово уравнение Била (12) при  целых  x, y, z > 2  не имеет решений». В этом случае  x = y = z = n > 2 .

      Диофантово уравнение Била имеет вид

            

 Заключение

      Основной принцип, на котором основано доказательство теоремы Ферма: «Любая функция, которая является необходимым условием существования экстремума непрерывной и гладкой функции, в точках экстремумов должна быть непрерывной, то есть необходимые условия существования экстремума (соответствующие функции) непрерывных и гладких функций должны быть непрерывными в точках экстремумов и не иметь разрывов, что следует из непрерывности траекторий экстремумов непрерывных и гладких функций. Разрывы функций (необходимых условий существования экстремумов) в точках экстремумов являются доказательством того, что непрерывная и гладкая функция не имеет экстремумов в этих точках.
      Применение данного принципа для решения диофантовых уравнений не позволяет находить корни уравнений, но позволяет находить условия, при которых некоторые диофантовы уравнения не будут иметь решений.

      Таким образом доказали, что в точках где необходимые условия существования экстремума непрерывных и гладких функций имеют разрывы непрерывная и гладкая функция не  может иметь экстремумов и поэтому диофантово уравнение Ферма не имеет целочисленных решений при целом  n > 2
  

Библиографический список:

1. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. - М:, Мир, 1980. – 486 с.
2. Ремизов В.Г., Ремизов К.В. Доказательство теоремы Ферма. Ярославская областная ежедневная газета «Северный край», Ярославль, 2 ноября 1994 г., среда, № 189 (21819). – 4 с.
3. Ремизов В.Г., Ремизов К.В. Элементарное доказательство последней теоремы Ферма. XXIV Международная научная конференция Евразийского Научного Объединения (февраль 2017). Современные концепции научных исследований // Сборник научных работ XXIV Международной научной конференции Евразийского Научного Объединения (г. Москва, февраль 2017). — Москва: ЕНО, 2017. — 192 с.
4. Ремизов В.Г. Доказательство гипотезы Била. XXVIII Международная научная конференция Евразийского Научного Объединения (июнь 2017). Интеграция науки в современном мире // Сборник научных работ XXVIII Международной научной конференции Евразийского Научного Объединения (г. Москва, июнь 2017). — Москва : ЕНО, 2017. — 166 с.
5. Танченко В. Е. Количественные соотношения степеней с чётными и нечётными целыми положительными основаниями. Гипотеза Била и великая теорема Ферма// Электронный периодический рецензируемый научный журнал "SCI-ARTICLE.RU". Год 2017, номер 47 (июль), математика, страница 100. URL: http://sci-article.ru/number/07_2017.pdf.




Рецензии:

19.09.2018, 23:55 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Уважаемые Вадим Григорьевич и Константин Вадимович! Если Ремизов-old посчитал, что он гипотезу Била доказал, а отец и сын опубликовали в газете доказательство и самой гипотезы (теоремы) Ферма, то ссылки в квадратных скобках на работу [4] в статье нет, а слово Бил в статье тпкже отсутствует. И потом, на данной площадке опубликован целый ряд статей по простым числам и Ферма-проблеме (например, Танченко и др.). Надо бы разобрать их, похвалить или опровергнуть и сослаться. В статью "не проникли" формулы и другие выкладки, т.ч. рецензировать пости нечего. Но подход со стороны целочисленных диофантовых уравнений рецензенту приятен. В таком виде статья к печати не рекомендуется.

20.09.2018 15:15 Ответ на рецензию автора Ремизов Вадим Григорьевич:
Глубокоуважаемый Эдуард Григорьевич я очень благодарен Вам за Ваш труд и за то, что Вы прочитали нашу статью и написали на нее рецензию. Огромное Вам за это спасибо! Но позвольте мне не согласиться с вами. Вот, Вы пишете: «ссылки в квадратных скобках на работу [4] в статье нет, а слово Бил в статье также отсутствует». Наверное, Вы невнимательно читали статью, поэтому привожу выдержку (цитату) из статьи: - В такой формулировке теорема Ферма будет частным случаем гипотезы Била в эквивалентной формулировке [4]: «Если натуральные числа A, B и C являются попарно взаимно простыми, то диофантово уравнение Била (12) при целых x, y, z > 2 не имеет решений». В этом случае x = y = z = n > 2 . Диофантово уравнение Била имеет вид. Вот, Вы пишете: «На данной площадке опубликован целый ряд статей по простым числам и Ферма-проблеме (например, Танченко и др.). Надо бы разобрать их, похвалить или опровергнуть и сослаться». Хочу заметить, что в нашей статье приведено элементарное доказательство теоремы Ферма, поэтому простые числа не имеют ни какого отношения к теме статьи. Что касается проблемы Ферма, то насколько мне известно еще никто не доказал теорему Ферма элементарными методами, и господин Танченко не исключение. По моему мнению, статья господина Танченко ничего из себя не представляет. Господин Танченко привел несколько примеров, которые подтверждают гипотезу Била, вот если бы он доказал, что контр-примеры к гипотезе Била невозможны, то его публикации не было цены и он доказал бы гипотезу Била. А так, он не доказал ни теорему Ферма и гипотезу Била. Поэтому не читаю нужным критиковать статью Танченко и тому подобные. Я не понимаю смысл Вашего замечания: «В статью "не проникли" формулы и другие выкладки, т.ч. рецензировать пости нечего». Вот, Вы пишете: «Но подход со стороны целочисленных диофантовых уравнений рецензенту приятен». К сожалению должен констатировать, что Вы лукавите. В подтверждение привожу Ваш комментарий на статью Танченко. 1.09.2017, 21:39 Мирмович Эдуард Григорьевич Отзыв: «…Неудобно повторяться. Не могут использоваться в доказательстве любой проблемы-теоремы инструменты более высокого уровня, чем в этой теореме. Нельзя целочисленную или натурально цифровую проблему доказывать использованием действительных, вещественных чисел, дифференциального или интегрального исчисления. В крайнем случае, теория групп и представлений в формате Галуа, диофантовы уравнения и т.д.». Я надеялся, что рецензия будет по существу работы, что рецензент либо укажет на ошибки и пробелы в доказательстве, либо признает доказательство верным, а рецензент считает, что я должен критиковать работы господина Танченко, считаю это излишним. Поэтому считаю, вывод рецензента о том, что статья к печати не рекомендуется, не обоснованным.

21.09.2018, 0:33 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Ответ на 2 пункта. Извинене за [4]. Фраза "...В крайнем случае, теория групп и представлений в формате Галуа, диофантовы уравнения и т.д." именно относится к позиивному отношению рецензента к этим инструментам. На статьи на подобные темы надо стараться всегда ссылаться, если они опубликованы именно в данном журнале для поднятия его престижа и импакт-фактора. Вы можете не соглашаться, но делать вид, НАПРИМЕР, что по какой-то теме, по которой, НАПРИМЕР, именно в данном журнале было множество публикаций (любого уровня), автор впервые в данном журнале публикует статью на эту же тему, как-то некорректно. Тем более, если эта статья - обзор его предыдущих работ без каких-то новых результатов. Но это всё не так важно. Важно, что ни иллюстрации, ни формулы в статью не "проникли", видимо, тут модераторы недоглядели. Об этом и было заявлено как о препятствии к публикации. Может, это только в компьютере рецензента пустые квадраты вместо них? Уточните у себя, но не в перыичном Word-file, а на платформе журнала. Если модераторы исправят или Вы через "облако" их сами вставите, то статья заслуживает публикации, независимо от претензий и оправданности их на Всемирную премию и млн. долларов за неё.
23.09.2018 16:16 Ответ на рецензию автора Ремизов Вадим Григорьевич:
Глубокоуважаемый Эдуард Григорьевич! Я очень благодарен Вам за то, что Вы бескорыстно рецензируете нашу статью, поскольку найти математика, который бы добровольно согласился рецензировать доказательства теоремы Ферма, в природе не существует. Математики как черт от ладана шарахаются от теоремы Ферма, они боятся испачкаться о теорему Ферма, как бы их не причислили к рядам ферматиков, и боятся, что их уличат в невежестве и некомпетентности, поскольку невежеством будет, как и признание неверного доказательства верным, так и признание верного доказательства неверным. Только ленивый математик не пинает бедных ферматиков! Математики физически ненавидят ферматиков. Я не знаю, почему Вы в рецензируемой статье видите пустые квадратики вместо формул и рисунков, если модераторы установят, что это по моей вине, то я заново отредактирую статью. На сайте журнала SCI-ARTICLE.RU размещенная статья Теорема Ферма у меня на компьютере прекрасно видна. Престиж и импакт-фактор журнала будет больше подниматься в случае, когда на публикации ссылаются авторы статей в других журналах, а не авторы данного журнала. Учитывая Ваше пожелание, даю ссылку на статью Танченко. Престиж и импакт-фактор журнала зависит в первую очередь от актуальности и научной новизны публикуемых статей. Несмотря на позитивное отношение рецензента к теории групп Галуа и диофантовым уравнениям, не могу здесь уделить им внимания, потому что в публикации для доказательства теоремы Ферма применялись математический анализ непрерывных и гладких функций, решение вещественных уравнений и теория экстремумов функций, которые ранее не использовались для решения диофантовых уравнений, в чем и заключается новизна подхода к решению целочисленных проблем. Следует заметить, что данная статья не просто обзор предыдущих наших работ, а разъяснение и обоснование метода, примененного для решения диофантова уравнения Ферма, потому, что указанные моменты вызывали вопросы у читателей, так как на одной странице можно изложить только суть доказательства, без обоснования методов решения задачи и доказательств отдельных утверждений. Сразу заявляю, что нам не надо ни каких премий, а тем более миллионов долларов, все премии и награды уже кому надо вручены. Мы публикуем нашу статью только ради справедливости. Я неоднократно обращался к руководству ЯрГУ с просьбой рассмотреть мое доказательство теоремы Ферма на научном семинаре, поскольку студентам было бы полезно поточить свои зубки о мою шкуру, но в ответ получал презрительное молчание. Очевидно, контора не рассматривает проекты Перпетуум мобиле (лат. Perpetuum Mobile) и доказательства теоремы Ферма. Если бы доказательство рассмотрели, то тогда не потребовалось бы публиковать статью. Я очень надеюсь на то, что будут и другие рецензии, в которых рецензенты дадут оценку приведенному доказательству теоремы Ферма по существу, и в случае ошибочности доказательства укажут, где имеет место ошибка или пробел в доказательстве. Ошибочное доказательство не имеет права на публикацию.



Комментарии пользователей:

30.08.2018, 17:20 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемые читатели журнала SCI-Article ! Пожалуйста пишите свои комментарии и отзывы на статью "Теорема ферма". Они очень важны для нас. Мы будем Вам за это очень благодарны.


12.09.2018, 15:23 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Глубокоуважаемые рецензенты! Пожалуйста пишите свои рецензии на статью "Теорема Ферма", без Ваших рецензий статья не увидит света. Пожалуйста рубите правду матку! Платон мне друг, но истина дороже! Ферма Вам будет очень благодарен.


15.09.2018, 13:52 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Интересно, а куда пропали крупные специалисты по ТЕОРЕМЕ ФЕРМА, которые на математическом форуме "dxdy" скрывались под никами Shwedka и Provincialka. Здесь только и не хватает их комментариев.


25.09.2018, 11:24 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Доказательство и решение теоремы Ферма я ранее, еще в 2017 году разместил на научном форуме «dxdy» в разделе Математика » Дискуссионные темы (М) » Великая теорема Ферма и надеялся на конструктивное и доброжелательное обсуждение темы, но вместо этого мои доводы никто не хотел слышать и начались оскорбления и унижения в невежестве, и конечном итоге мои темы «Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994» и «Новое решение теоремы Ферма при n=2» были прикрыты, а меня на форуме «dxdy» забанили (от англ. ban- запрещать, объявлять вне закона), то бишь, меня на форуме «dxdy» закрыли раз и навсегда.


25.09.2018, 16:09 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Ваш электронный периодический рецензируемый научный журнал SCI-Article является самым лучшим научным изданием во всем мире по следующим причинам: Во-первых, это бесплатное научное издание, для набора статей не требуется каких-либо TEX-редакторов, почти обычный WORD со вставками рисунков, что очень важно для аспирантов, молодых ученых и пенсионеров; Во-вторых, рецензирование научных статей носит прозрачный характер, рецензенты не прячутся за псевдонимами и никами, а авторы статей могут оставлять свои отзывы, комментарии и возражения на рецензии, то есть рецензирование статей происходит в интерактивном режиме. Авторов не лишают последнего слова; В-третьих, и что очень важно - отзывы и комментарии на научные статьи могут оставлять простые читатели, причем не инкогнито. Пожелание – шире привлекать к рецензированию независимых рецензентов и ученых с мировым признанием.


1.10.2018, 14:56 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Неужели, в России нет математиков, которые бы могли найти пробелы и ошибки в элементарном доказательстве. Если в доказательстве нет ошибок, то доказательство – верное. Математики считают, что доказать теорему Ферма элементарными средствами невозможно. Как расценивать молчание рецензентов и читателей журнала? Непонятно почему читатели не используют предоставленную им журналом SCI-Article возможность написания отзывов на публикации и не оставляют своих комментариев на статьи, в других журналах отзывы на статьи не допускаются. Для доказательства теоремы Ферма использовалась математика в объеме, ну если не средней школы, то, по крайней мере, в объеме математики ВТУЗов. Уважаемые школьники и студенты, пожалуйста, ответьте на вопрос – имеются ли в доказательстве ошибки или доказательство верное, это Вам по силам. Тем самым Вы проверите глубину своих знаний по математике. Пишите свои отзывы и ничего не бойтесь. Обсуждайте доказательство со своими друзьями.


2.10.2018, 7:01 Соловьёв Виктор Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! Я не являюсь специалистом-"ферматиком" в заявленной Вами области, т.к. большее внимание уделяю тесно соприкасающейся области математики - теории и практике простых чисел (см. публикацию 'Алгоритм решета простых чисел' на страницах данного журнала №54 февраль 2018). Тем не менее с большим интересом изучил Ваше оригинальное доказательство теоремы Ферма, в котором, на мой взгляд, нет существенных изъянов. Единственное, на что я обратил бы Ваше внимание: в работе постулируется рассмотрение специальной вещественной неотрицательной функции двух независимых переменных, анализ поведения которой в области экстремумов и приводит к неоспоримому доказательству. Как известно, в математике при доказательствах существует принцип необходимости и достаточности. Ваше утверждение о рассмотрении данной функции правомерно и это можно отнести к разряду необходимости. Однако доказательства достаточности в работе нет. Согласно этому принципу требуется определенного доказательства для теоремы Ферма в общем виде, что и любые другие произвольно взятые функции, а не только решенные Вами диофантовые уравнения, приведут к такому же результату. А если -нет? Тогда условие Ферма всего лишь не имеет решения для таких уравнений, что Вы и блестяще показали. Иными словами - требуется еще доказательство, что именно взятой Вами функции достаточно (при обусловленной необходимости) для общего доказательства теоремы Ферма. Можете привести подобное доказательcтво? Это было бы очень важно. Спасибо. С уважением, Виктор Григорьевич Соловьёв


2.10.2018, 8:12 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Глубокоуважаемый Виктор Григорьевич! Огромное спасибо Вам за отзыв. К сожалению, я не могу сразу ответить на ваши замечания, мне еще надо переварить то, на что Вы обратили внимание. Еще раз спасибо. С уважением, Ремизов Вадим Григорьевич.


2.10.2018, 9:39 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Глубокоуважаемый Виктор Григорьевич! С большим интересом просмотрел Вашу статью. Для меня это совершенно новая область математики, поэтому не могу дать соответствующую оценку Вашему труду. Хотел бы обратить Ваше внимание на выражение R=(7-1).10+1=71 С уважением, Ремизов Вадим Григорьевич.


2.10.2018, 13:43 Соловьёв Виктор Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! Благодарю Вас за интерес к моей публикации на страницах нашего журнала. Особенно благодарю за замеченную опечатку, которую я обязательно исправлю. Простые числа и теорема Ферма математически проистекают одно из другого, например, в теореме Ферма x,y,z обязательно взаимно простые числа. Поэтому я считаю, что мы с Вами занимаемся очень близкими областями знаний и в этом плане можем быть полезными друг другу в качестве отзывов или комментариев. На всякий случай мой E-mail: solovik532@gmail.com С уважением, Виктор Григорьевич Соловьёв


8.10.2018, 14:08 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Глубокоуважаемые РЕЦЕНЗЕНТЫ! Хочу максимально упростить написание рецензий. Не надо много слов! Предлагаю два варианта рецензий. Отрицательная рецензия. Уважаемый Вадим Григорьевич! В Вашем доказательстве Великой теоремы Ферма имеются ошибки и пробелы. Первая ошибка находится на стр. ... в строке ... . Из-за нее все доказательство утрачивает силу. Таким образом, Ваше доказательство является неверным и поэтому не может быть рекомендовано для опубликования в журнале. Положительная рецензия. Уважаемый Вадим Григорьевич! Ваше доказательство последней теоремы Ферма верное, ошибок и пробелов в нем не обнаружено (проверено, мин нет), поэтому оно рекомендуется к опубликованию в журнале.


17.10.2018, 17:56 Танченко Владимир Евгеньевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич, можете удалить ссылку на "работу" Приходько. Vladimir Tanchenko <magistr07@gmail.com> 13:30 (4 ч. назад) кому: alley.science Здравствуйте, уважаемые члены редколлегии Научно-практического журнала "Аллея Науки" и ответственный редактор Шелистов Денис Александрович! В Вашем журнале, Выпуск №1(17) (том 1) (Январь, 2018), опубликована статья Приходько Е.С., преподаватель ОГАПОУ»БТПиСУ» Россия, г. Белгород КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ С ЧЁТНЫМИ И НЕЧЁТНЫМИ ЦЕЛЫМИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ОСНОВАНИЯМИ. ГИПОТЕЗА БИЛА И ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА. - Сообщаю Вам, что данная статья принадлежит мне, автору Танченко Владимиру Евгеньевичу. Статья опубликована в №47 (июль) 2017. Разделы: Математика. Статью и диалог с рецензентом можно посмотреть по адресу http://sci-article.ru/stat.php?i=1499767006 . Таким образом, Приходько Е.С. скопировал мою статью с правками, внесёнными в соответствии с замечаниями и рекомендациями моего рецензента. Оригинального текста статьи, который был до правки, у него нет. Это факт нарушения моих авторских прав. И это уже Уголовный кодекс РФ. Кроме этого Приходько Е.С.нарушил соглашение с Вашим журналом и Вы опубликовали явный плагиат. Хотел бы услышать Ваши предложения по решению этого вопроса, так как моя статья размещена в Вашем журнале под чужим именем. Мой рецензент и редакция журнала SCI-ARTICLE проинформированы о нарушении моих авторских прав. С уважением и надеждой на взаимопонимание и решение вопроса без судебных инстанций, Владимир Танченко. Alley Science 13:30 (4 ч. назад) Здравствуйте, Ваше письмо было получено. Это сообщение было создано автоматически. Alley Science 17:34 (20 мин. назад) кому: я Здравствуйте, Владимир, спасибо вам за обращение. Просим прощение за сложившуюся ситуацию! Действительно, работа скопирована с небольшими правками.. Ссылка на работу больше не действительна http://alley-science.ru/domains_data/files/Janu2-18/KOLIChESTVENNYE%20SOOTNOShENIYa%20STEPENEY%20S%20ChYoTNYMI%20I%20NEChYoTNYMI%20CELYMI%20POLOZhITELNYMI%20OSNOVANIYaMI.%20GIPOTEZA%20BILA%20I%20VELIKAYa%20TEOREMA%20FERMA.pdf , в течение 24 часов мы удалим ее так же из сборника полного номера и официально обратимся в РИНЦ по факту плагиата работы, для ретракции данной статьи. Постараемся в минимальные сроки разрешить данный вопрос, будем держать вас в курсе! После полного удаления из всех источников мы вам сообщим. Ориентировочное время оформления ретракции в Научной библиотеке до 7 рабочих дней. Среда, 17 октября 2018, 17:30 +07:00 от Vladimir Tanchenko <magistr07@gmail.com>: С уважением, научно-практический журнал Аллея Науки Alley-Science.ru alley.science@list.ru Vladimir Tanchenko 17:52 (3 мин. назад) кому: alley.science Благодарю Вас за понимание и оперативность. С уважением, Владимир Танченко. ср, 17 окт. 2018 г. в 17:34, Alley Science <alley.science@list.ru>:


17.10.2018, 19:14 Танченко Владимир Евгеньевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич, я воздержусь от комментариев в адрес Вашей публикации лишь по той причине, что данный вопрос я с Вами затрагивал ранее. Цитата: 30.08.2017, 12:11 Танченко Владимир Евгеньевич Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! Благодарю за адрессную ссылку на статью. Я познакомился с Вашей работой. Смею Вас заверить, что исследование функции на экстремумы, это только один из способой которым мне пришлось воспользоваться, чтобы предварительно убедиться в правоте утверждений авторов гипотез. Просто я придерживаюсь следующей логики: существует причина, по которой известные равенства имеют заявленные авторами свойства, а вот непосредственно отсутствие решений у того же равенства Ферма или наличие общего простого делителя у членов равенства Била, - это я рассматриваю как следствие. Меня интересовала причина и я предпринял попытку определить те количественные соотношения, которые ответственны за появление упомянутых следствий. Содержание наших работ и сам подход к проблеме принципиально различные. Меня интересовала причина, а Вы анализировали следствие. Наши работы невозможно и нельзя сравнивать или противопоставлять. С уважением.


17.10.2018, 19:32 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Владимир Евгеньевич! Я рад за Вас, что проблема плагиата (издание Вашей статьи под другим авторством) для Вас разрешилась положительно. Удовлетворяю Вашу просьбу и удаляю ссылку на "работу" Приходько. Я еще раз хочу подчеркнуть преимущество электронного журнала SCI-Article, когда читатели имеют возможность обсуждать издаваемые статьи, но, к сожалению, этими правом читатели пользуются очень редко. Мою статью просмотрели около пятисот читателей и авторов журнала, но лишь один человек оставил свой отзыв. Уважаемые читатели журнала пишите в журнале SCI-Article свои отзывы на мою статью, даже и нелицеприятные. С уважение Вадим Ремизов.


19.10.2018, 17:14 Лобанов Игорь Евгеньевич
Отзыв: Интересен подход к доказательству. Лично я являюсь теоретиком в области технической физики, в частности, в теории теплообмена. В доказательстве мне сразу бросилось в глаза, что рассмотрены необходимые условия функции двух переменных (в формуле (5) почему производная по "икс"?). Для достаточных условий существования экстремума функции двух переменных необходим анализ трёх вторых производных. Лично я использовал анализ максимумов интенсифицированного теплообмена, где имела место зависимость от двух переменных, но не везде выполнялись достаточные условия при выполненных необходимых. Могу отметить, что автор работы неоднократно указывает рецензентам, что они "не прониклись" и т.п., т.е. указывает на их некомпетентность. Здесь автор противоречит сам себе: если (с его точки зрения) рецензент некомпетентен, то почему его интересует мнение рецензента? В заключение отмечу, что лично я в при решении теоретических задач очень часто сталкивался с непониманием коллег и решения не сразу "пробивали дорогу", но, если в решениях есть рациональное и объективное зерно, то они так или иначе получали апробацию, верифицировались независимым образом.


Оставить комментарий


 
 

Вверх