Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 25.12.2018. Последняя правка: 11.06.2019.

Теорема Ферма

Ремизов Вадим Григорьевич

Кандидат технических наук

Ярославский государственный технический университет

Доцент

Ремизов Константин Вадимович


Аннотация:
В статье приведено элементарное доказательство теоремы Ферма, основанное на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов являются непрерывными функциями. Для решения диофантова уравнения использовались периодические тригонометрические функции (синусоиды).


Abstract:
The article presents an elementary proof of Fermat's theorem, based on the properties of extremums of continuous and smooth functions, in which the necessary conditions for the existence of extremums are continuous functions at the extremum points. Periodic trigonometric functions (sinusoids) were used to solve the Diophantine equation.


Ключевые слова:
Теорема Ферма; диофанотовы уравнения; вещественные, целые и натуральные числа; периодические тригонометрические, непрерывные и гладкие функции; математический анализ; экстремумы, максимумы и минимумы функций; эквивалентные уравнения

Keywords:
Fermat's theorem; Diophantine equations; real, integer and natural numbers; periodic trigonometric, continuous and smooth functions; mathematical analysis; extremes, maxima and minima of functions; equivalent equations


 

УДК 510
Выражаем искреннюю
благодарность и признательность
Соловьеву Виктору Григорьевичу,
Лобанову Виктору Евгеньевичу и
Чекину Сергею Константиновичу
за положительные отзывы,
за поддержку и признание.
Восхищаемся Вашим мужеством
и бескорыстием.

Вступление  

Великая теорема Ферма (или Последняя теорема Ферма), а точнее говоря, гипотеза Ферма — одна из самых популярных теорем (гипотез) математики была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году. Её формулировка доступна в понимании даже школьникам, однако доказательство гипотезы Ферма в общем виде более трёх веков искали как любители  математики, которых называют фермистами или ферматистами или ферматиками, так и профессиональные математики.  Первым прорыв в доказательстве теоремы Ферма совершил Леонард Эйлер, который в 1753 году доказал теорему Ферма для частного случая  n=3. Это было грандиозное достижение, но повторить успех при других значениях  n  Эйлеру не удалось. Теорему Ферма для частных случаев доказали величайшие математики, среди которых сам Ферма, Эйлер, Софии Жермен, Дирихле, Лежандр, Ламе, Куммер и другие. Доказана гипотеза была в 1994 году Эндрю Уайлсом (доказательство на 130 страницах было опубликовано в 1995 году).

Над доказательством Великой теоремы Ферма работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной математики. Работая над решением этой задачи, ученые открыли совершенно новые математические теории и методы, например, были заложены фундаменты теории чисел, алгебры, теории функций. Но подумайте над тем, сколько важных сложнейших задач надо решить, чтобы это осуществить. В поисках ее доказательства была открыта значительная часть современной математики. Несмотря на то, что простое и изящное решение этой задачи так и не было найдено, ее поиски внесли значительный вклад во многие области математики, эта задача послужила толчком для целого ряда открытий в области теории множеств и простых чисел.

Актуальность   

Доказательство Эндрю Уайлса, объемом более ста страниц и представленное в конце XX века, очень сложное, а потому понятное лишь узкому кругу специалистов, не поставило окончательную точку в проблеме доказательства теоремы Ферма. Несмотря на то, что в 1995 году Эндрю Уайлсом Теорема Ферма была доказана, эта задача до сих пор входит в число нерешенных математических проблем из-за неистощимого желания математиков найти теперь более простое и изящное решение.

Само доказательство Эндрю Уайлса основано на применении современного аппарата высшей математики отсутствовавшего в эпоху Ферма. Поэтому доказательство Уайлса не могло быть доказательством Пьера Ферма. Математики сходятся во мнении, что Пьер Ферма не доказал свою гипотезу, то есть либо ему показалось что он доказал теорему и он искренне заблуждался, либо в его доказательстве были ошибки и пробелы, которые он не обнаружил, либо Ферма не доказал свою теорему, а на полях книги «Арифметика» Диофанта просто соврал.

К сожалению, остались без ответа следующие вопросы: существует ли элементарное доказательство теоремы Ферма? и доказал ли теорему Ферма сам Пьер Ферма?

Поиску ответов на эти вопросы и посвящена данная публикация.

Цели и задачи

Показать,  как решение диофантовых уравнений  можно свести к  решению вещественных уравнений и как периодические тригонометрические функции и теорию экстремумов непрерывных и гладких функций можно использовать для решения целочисленных проблем и диофантовых уравнений.

Научная новизна

Новизна работы заключается в том, что для решения диофантова уравнения (доказательства теоремы Ферма) применялся математический анализ непрерывных и гладких функций и теория экстремумов функций, иными словами диофантово уравнение было решено с помощью периодических тригонометрических функций (синусоид). 

Теорема Ферма утверждает, что для любого натурального числа  n>2 уравнение (1) не имеет решений в целых ненулевых числах  x, y, z .

Будем натуральные числа  xF , yF , zF  и  nF, которые удовлетворяют уравнению (1), называть корнями диофантова уравнения Ферма.

Рассмотрим непрерывную и гладкую, тригонометрическую и периодическую, вещественную и неотрицательную функцию (2) двух независимых вещественных переменных  x, y > 0,  с двумя вещественными параметрами: параметром n > 1 и масштабирующим параметром a `in` (1-ε ; 1+ε) , который растягивает (сжимает) функцию (2) вдоль осей  координат  х и  у.

где  z  определяется выражением

Вещественная функция (2) и ее производные в области определения функции (2) являются непрерывными и гладкими функциями, как относительно независимых вещественных переменных  и  y, так относительно и вещественных параметров  и  a.

Графики функций  z(n)  при различных фиксированных значениях  и  у  показаны на Рис.1.


Приведенные графики показывают, что при фиксированных значениях  и  y  функции  z(n) являются однозначными и монотонно убывающими, и поэтому функция (2) является однозначной.  

При  n=1  любые целые  x  и  y  являются корнями уравнения Ферма, поэтому будем рассматривать случаи, когда  n > 1. В этом случае между переменными имеют место следующие соотношения:  max(x,y) < z <  x + y.

Если приравнять функцию (2) нулю, то получим вещественное тригонометрическое уравнение, которое при  a=1  имеет те же целочисленные корни, что и диофантово уравнение Ферма (1), то есть при  a=1   вещественное тригонометрическое уравнение будет эквивалентным диофантову уравнению Ферма.

При  целых  x, y и n  переменная  z(x, y, n)может быть как целой, так и не целой, поэтому функция (2) при а=1 может быть как равной нулю так и не равной нулю при целых  x, y и n.

При  a=1 корни диофантова уравнения Ферма (1) обращают неотрицательную функцию (2) в ноль, то есть в этих точках функция (2) имеет локальные минимумы. Поэтому целочисленные решения диофантова уравнения Ферма (1) будем искать во множестве координат точек экстремумов функции (2).

Таким образом, решение диофантова уравнения Ферма свели к решению вещественного тригонометрического уравнения и к отысканию координат экстремумов (нулевых минимумов) непрерывной и гладкой вещественной функции (2) при  a=1.

Выбор самой функции (2) не случаен. Функция должна быть функцией двух переменных  x  и и параметров  n  и  а. Функция должна быть периодической и в окрестности точек экстремумов (минимумов) должна быть непрерывной и гладкой, чтобы существовали ее производные в точках экстремумов, то есть в точках экстремумов функции должны быть дифференцируемыми.

Другими словами, функция должна быть неотрицательной, непрерывной и гладкой и обращаться в ноль только корнями диофантова уравнения, например, xF , yF , zF  и  nF, чтобы для доказательства отсутствия решений у диофантова уравнения можно было использовать свойства экстремумов непрерывных и гладких функций.

В качестве таких функций могут использоваться либо синусоиды, либо тангенсоиды. Вид этих функций в зависимости от параметра  а  может незначительно варьироваться, как это имеет место в доказательстве 1994 года и настоящего доказательства, но при любых (всех) целых значениях переменных  x  и y  и  параметра  n, в случае, когда параметр а=1, функция должна обращаться в ноль, то есть при целых значениях переменных функция должна иметь нулевые минимумы. Поэтому непериодические функции, например, параболические, гиперболические и экспоненциальные не подходят.

Функция должна включать все неизвестные диофантова уравнения Ферма – x, y, z, n, и должна быть функцией параметра а, с областью определения в ближайшей окрестности 1. И теперь, самое главное, если функция равна нулю при  а=1, то получающееся уравнение должно иметь те же корни (решения), что и диофантово уравнение Ферма, то есть полученное уравнение и уравнение Ферма должны быть эквивалентными. Поэтому решение диофантова уравнения Ферма мы свели к нахождению экстремумов (нулевых минимумов) выбранной функции и решению вещественного тригонометрического уравнения, решение которого охватывало бы все всевозможные сочетания целых значений переменных x, y, z, n. Виды самой функции могут отличаться от функции (2), но эти функции должны соответствовать перечисленным требованиям.

Еще раз подчеркнем, что доказательство основано на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, а именно, что в точках экстремумов непрерывных и гладких функций их производные и необходимые условия существования экстремумов должны быть непрерывными и не иметь разрывов.

Теперь по поводу достаточных условий существования экстремумов функции (2). Когда ищут экстремумы функций, то сначала проверяют выполнение необходимых условий существования экстремума и только потом проверяют выполнение достаточных условий существования экстремума. Если необходимые условия не выполняются, то проверка достаточных условий теряет смысл, так как, если необходимые условия не выполняются, то исследуемая функция вообще не имеет экстремумов (и, в частности, в исследуемых точках).

Для достаточных условий существования экстремума функции двух переменных необходим анализ трех вторых частных производных и вычисление Якобиана (определителя матрицы Якоби). Если Якобиан больше нуля, то имеет место экстремум (минимум или максимум), если Якобиан меньше нуля, то экстремум отсутствует и функция, в точке в которой первые производные равны нулю, может быть аппроксимирована поверхностью второго порядка типа «седло» (гиперболический параболоид), и если Якобиан равен нулю, то требуется дополнительное исследование функции.

Поскольку мы ищем экстремумы функции, то надо исключить случаи, когда необходимые условия выполняются, а функция не имеет экстремума (в случае, когда функция имеет поверхность типа «седло»). Более того мы рассматриваем случаи, когда экстремумами функции являются локальные минимумы, которые равны нулю. В этих случаях «седло» функции (2) исключается, то есть достаточные условия существования экстремума функции (2) автоматически выполняются, либо, когда необходимые условия существования экстремума функции (2) не выполняются. Поэтому, при доказательстве теоремы Ферма исследование достаточных условий существования экстремума функции (2) излишне, так как при доказательстве теоремы Ферма мы рассматриваем случаи, когда необходимые условия существования экстремума функции (2) противоречат свойствам непрерывной и гладкой функции, то есть условия, при которых функция (2) не имеет экстремумов в точках с целыми координатами.

Запишем необходимые условия существования экстремумов функции (2)

Формально имеем два уравнения с четырьмя неизвестными, поэтому любые две переменные можно задавать произвольно, а остальные неизвестные определять из решения полученной системы двух уравнений. Для непрерывной и гладкой функции (2) в точках, в которых функция равна нулю, выполняются и необходимые и достаточные условия существования экстремума. Координаты экстремумов (стационарных точек) функции (2) удовлетворяют полученной системе уравнений, и в отдельности каждому уравнению.

Имеем два уравнения (4) и (5), которые содержат четыре неизвестные  x,  y,  a  и  n, поэтому две переменные можно задать произвольно, тогда получим два уравнения с двумя неизвестными, решение которых даст значения остальных неизвестных в точках экстремумов функции (2).

Уравнения (4) и (5) являются двумя неявными функциями переменных x,  y,  a  и  n, в которых любую переменную можно рассматривать как зависимую переменную, а оставшиеся три переменные считать независимыми переменными. Определение координат точек экстремумов функции (2) можно свести к решению полученной системы двух независимых уравнений или к определению точек пересечения функций зависимых переменных.

Любое необходимое условие существования экстремума функции (2), то есть любое из уравнений (4), (5), (6) и (7) можно рассматривать как функцию одной переменной в зависимости от трех других независимых переменных, которые могут принимать любые значения из области их определения, в том числе и фиксированные (постоянные) значения.

Уравнения (4) и (5) позволяют решать следующие задачи.

Первая задача - если задаться  значениями параметров  и  n, то уравнения (4) и (5) позволяют найти координаты   x=xi  и  y=yi  точек экстремумов (стационарных точек) функции (2) при заданных значениях  и  n.

Вторая задача - если задаться координатами точек экстремумов функции (2)  x=xi  и  y=yi, то уравнения (4) и (5) позволяют найти множество значений параметров  и  n, при которых функция (2) будет иметь экстремум в точке с координатами  x=xi и  y=yi.

Уравнения (4) и (5) можно переписать в следующем виде:

Координаты экстремумов функции (2) всегда удовлетворяют уравнениям (4), (5), (6) и (7).

Из необходимых условий (6) существования экстремумов функции (2) можно в явном виде выразить параметр  n  как явную функцию независимых переменных   x,  y  и  a

Выражение (7) одновременно является и функцией и уравнением и необходимым условием существования экстремумов функции (2) в области ее задания. Из уравнений (4), (5), (6) и (7) только два уравнения являются независимыми.

Необходимые условия существования экстремумов функции (2) должны включать два независимых уравнения и содержат четыре неизвестные  x,  yи  a   для определения координат экстремумов функции (2). Поэтому в необходимых условиях существования экстремумов (в любом уравнении) любые две неизвестные можно рассматривать как независимые переменные, а две другие, как постоянные коэффициенты в уравнениях и функциях.

При решении первой задачи, переменные  x и  y  в уравнениях (4), (5), (6) и (7) являются обычными переменными, а не координатами точек экстремумов функции (2),  а переменные  и n  являются постоянными коэффициентами в уравнениях и функциях. Поэтому параметры  и  n могут задаваться произвольно и не зависят от переменных  x и  y.

При решении второй задачи, переменные  и  n  являются обычными переменными в уравнениях (4), (5), (6) и (7) и в соответствующих функциях, а  x=xi  и  y=yi  являются постоянными коэффициентами в указанных уравнениях и функциях.  Поэтому  xi  и  yi   не зависят от переменных  и  n, при этом функция (8) является одним из двух необходимых условий существования экстремума функции (2) в точке с координатами  xi  и  yi.

При вычислении предела в функции (8) координаты точек экстремума функции (2)  xi  и  yi  являются коэффициентами в функции (8), а поэтому  коэффициенты  xi  и  yi   не зависят от независимых переменных (параметров)  a  и  n.

Будем искать экстремумы функции (2) в точках с координатами  xF  и  yF.. Здесь  xF  и  yF  это значения целых переменных x и  y, которые удовлетворяют диофантову уравнению Ферма.

Если в функции (7) зафиксировать переменные  x=xF  и  y=yF, то получим функцию n(a) или необходимое условие существования экстремума функции (2) в одной фиксированной точке с координатами  xF  и  yF, которые могут задаваться произвольно и поэтому не зависят от переменных  a  и  n. Если бы  xF  и  yF  зависели бы от параметра  a, то при изменении параметра  a  координаты фиксированной точки экстремума функции (2) изменялись бы. В каждой точке пространства с координатами  xF  и  yF, в которой имеет место экстремум функции (2), переменная  n  в необходимом условии (8) существования экстремума функции (2) будет зависеть только от независимой переменной  a, то есть  будет функцией только параметра -  n(a). Тогда функция (7) принимает вид

Функция (8) является необходимым условием существования экстремума функции (2) в одной фиксированной точке с фиксированными координатами x и yF, которые являются корнями диофантова уравнения Ферма и не зависят от параметра a. Графики функций  n(a)  в точках пространства с целыми координатами xF  и yF  показаны на Рис. 2.



Любые координаты точек экстремумов функции (2) удовлетворяют любому необходимому условию существования экстремумов, однако не все значения переменных, удовлетворяющих одному из необходимых условий, являются координатами точек экстремумов функции (2), для этого необходимо, чтобы значения переменных удовлетворяли всем необходимым условиям существования экстремума. Поэтому  x  и  y  в условии (7) и  xF  и  yF  в условии (8) могут и не являться координатами точек экстремумов функции (2), при этом они не зависят от переменной  a.

Исследуем свойства функций (8). При целых  xF  и  yF  в окрестности точки  a=1  функции (8)  n(a) < 2  и определены всюду, за исключением самой точки  a=1, в которой функции (8) не определены, так как в числителе дроби имеет место неопределенность типа  0/0. Функции (8) имеют разрыв первого рода, который можно устранить, доопределив функции (8) пределом функции (8) при  a → 1. Таким образом, чтобы функции (8) были непрерывными в области их определения, надо в точке  a=1  их доопределить пределами функции (8).

Вычислим по правилу Лопиталя пределы функций (8) при a → 1.

При вычислении пределов функций (8) целые координаты фиксированных точек экстремумов  функции (2)  xF ,  yF  не зависят от параметра  a.

Да, корни системы уравнений (4) и (5), то есть координаты точек экстремумов функции (2) зависят от параметров  а  и  n. Но в каждом, отдельном взятом, уравнении (необходимом условии), содержащим четыре переменные, любую из переменных можно рассматривать как зависимую, а три других рассматривать как независимые переменные. В функциях (7) и (8) (необходимых условиях существования экстремумов) в качестве зависимой переменной выбрана переменная n, а в качестве независимых переменных х, у и а. Поэтому переменные  х и у  не зависят от переменной  а. Функция (7) является необходимым условием существования экстремума функции (2) в произвольной точке пространства с координатами  х и у, а функция (8) является необходимым условием в фиксированной точке пространства с целыми координатами  хF  и  уF . Поэтому при вычислении предела по правилу Лопиталя переменные  хF  и  уF полагались не зависимыми от переменной  а. При  n > 2  целые координаты точек  хF  и  умогут и не быть координатами точек экстремума функции (2).

Все пределы функций (8) при  a → 1 равны  nпред =2  и не зависят от целых значений координат точек экстремумов  xF  и  yF, то есть независимо от целых значений переменных  xF  и  yF  все пределы функций (8) при  a → 1  равны  nпред =2.

При  n=nF =2  имеется бесчисленное множество целых троек   xF, yF  и  zF  (все Пифагоровы тройки) которые удовлетворяют уравнению Ферма (1) и доставляют локальный минимум функции (2)  при  a = 1, чего  нельзя  сказать  о  целочисленных решениях уравнения (1) при  n > 2, что и является предметом доказательства теоремы Ферма.

Математики считают, что для решения диофантовых уравнений нельзя применять теорию непрерывных и гладких функций и математический анализ, то есть нельзя целочисленную или натурально цифровую проблему доказывать с использованием действительных (вещественных) чисел и дифференциального или интегрального исчисления.

В нашем доказательстве рассмотрение достаточных условий существования экстремума вообще не нужно, мы рассматриваем только необходимые условия существования экстремума функции (2) и изучаем, когда, помимо достаточных условий существования экстремума, при выполнении необходимых условий функция не может иметь экстремумов! Для этого мы должны использовать свойства самих функций. Для непрерывных и гладких функций траектории координат экстремумов функций должны быть непрерывными, а поэтому необходимые условия существования экстремума функции в точках экстремумов должны быть непрерывными и не иметь разрывов. Мы рассматриваем решения диофантова уравнения Ферма, которые, если они существуют, то обращают функцию (2) в ноль, то есть имеют место нулевые локальные минимумы. Если в точке с целыми координатами х и у диофантово уравнение Ферма не удовлетворяется, то в этой точке функция (2) не может иметь нулевых минимумов, а функции (7) и (8) не определены, и поэтому необходимые условия существования экстремума функции (2) в этой точке не будут выполняться, и поэтому говорить о достаточных условиях существования экстремума функции (2) вообще не приходится!

Если в точке с целыми координатами, диофантово уравнение Ферма удовлетворяется, то в этой точке функция (2) должна иметь нулевой минимум, поэтому необходимые условия существования экстремума должны выполняться, функции (7) и (8) должны быть доопределены значениями из диофантова уравнения. Вопрос в том, достаточно ли того, чтобы необходимые условия существования экстремума функции удовлетворялись, для того чтобы в этой точке функция имела минимум, минуя рассмотрение достаточных условий существования экстремума. Это можно установить с помощью свойств непрерывных и гладких функций, для которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов должны быть непрерывными и не иметь разрывов.

Основной принцип, на котором основано доказательство теоремы Ферма: «Любая функция, которая является необходимым условием существования экстремума непрерывной и гладкой функции, должна содержать все независимые переменные (х и у) и все параметры (n и a) и в точках экстремумов быть непрерывной, то есть необходимые условия существования экстремума (соответствующие функции) непрерывных и гладких функций в точках экстремумов должны быть непрерывными и не иметь разрывов, что следует из непрерывности траекторий экстремумов непрерывных и гладких функций. Разрывы функций (необходимых условий существования экстремумов) в точках экстремумов являются доказательством того, что непрерывная и гладкая функция не имеет экстремумов в этих точках. Применение данного принципа для решения диофантовых уравнений не позволяет находить корни уравнений (решения), но позволяет находить условия, при которых некоторые диофантовы уравнения не будут иметь решений. Если диофантово уравнение Ферма не имеет решений при заданных целых значениях переменных х и у, то функция (2) в этих точках не имеет нулевых минимумов, а функции (7) и (8) при а=1 будут неопределенны. Теперь, предположим, что диофантово уравнение имеет решение, тогда в этих точках функция (2) будет иметь нулевой минимум, тогда функции (7) и (8) при а=1 будут определенны, и равны значению n=nF  в диофановом уравнении Ферма. Если значение n не равно 2, то функции (7) и (8) при а=1 будут иметь разрывы, а если значение n=2, то функции (7) и (8) при а=1 будут непрерывными, и в этих точках функция (2) будет иметь нулевой минимум. Таким образом, доказали, что в точках где необходимые условия существования экстремума непрерывных и гладких функций имеют разрывы непрерывная и гладкая функция не может иметь экстремумов, а поэтому и диофантово уравнение Ферма не будет иметь целочисленных решений при целом n > 2.

Теорему Ферма можно сформулировать и в эквивалентной формулировке, как задачу определения множества значений параметра n, при котором вещественная, непрерывная и гладкая функция (2) при  a=1  имеет локальные минимумы, равные нулю, поскольку указанная задача и задача решения диофантова уравнения Ферма эквивалентны. Задачу доказательства теоремы Ферма в эквивалентной формулировке можно задать и школьникам на Едином Государственном Экзамене (ЕГЭ) по математике, несмотря на то, что решение диофанотовых уравнений в школе не изучалось, но исследование функций на максимум-минимум, решение задач с параметрами и решение вещественных уравнений в школе рассматривается.

При  a = 1 целые значения переменных  xi , yi  и  n(1), при которых функция (2) будет иметь минимумы,  равные  нулю,   являются  корнями  диофантова  уравнения  Ферма (1), то есть  xi = xF ,  yi = yF ,  n(1) = nF   и  zi = zF  .  При   a = 1 значение функции (8) не определено, поэтому ее (функцию) следует доопределить значением  n(1) = nF .

Предположим, что диофантово  уравнение Ферма имеет  решения и при  nF > 2 ,  тогда при  n(1) = nF = 2  функция (8) в точке  a=1  будет непрерывной и гладкой, а при  n(1) = nF  > 2  функция (8) в точке  a=1  будет иметь разрыв, что проиллюстрировано на Рис. 2.

Наличие разрыва функции (8) при  a=1  и  n(1) = nF > 2 является доказательством справедливости теоремы Ферма.

Непрерывность функции (8) следует из свойств экстремумов непрерывных и гладких функций, какой и является функция (2). 

При решении первой задачи параметр  a  является масштабирующим коэффициентом функции (2) вдоль осей координат  и y, поэтому при изменении масштаба функции (2) (растяжении, сжатии) вдоль осей  и y координаты точек экстремумов  xЭ и yЭ  функции (2) являются непрерывными функциями масштабирующего коэффициента a.  Корнями вещественного тригонометрического уравнения  F(x,y) = 0  при  n=nF   являются  x0 = xF /a  и  y0 = yF /a , которые одновременно являются и координатами точек экстремумов (нулевых локальных минимумов  xmin и  ymin)  функции (2), то есть  xЭ  =  xmin =  x0  =  xF / a  и  yЭ  =  ymin  =  y0  =  yF /a. Таким образом доказали, что координаты  xmin и  ymin  локальных минимумов функции (2), которые равны нулю, являются непрерывными функциями параметра  a.

При решении второй задачи, когда у непрерывной и гладкой функции (2) координаты точки экстремума функции (2)  xi = xF  и  yi=yF  зафиксированы, при непрерывном изменении параметра  a  параметр  n  тоже должен изменяться непрерывным образом, то есть функция n(a)  в точке  a = 1 и ее окрестности должна быть непрерывной. В случае, когда  a ≠1 и  n < 2  экстремум функции (2) будет  находиться  в  точке  с  координатами  xi  =  xF  и  yi = yF , но значение функции (2) и минимум функции (2) в этой точке будут больше нуля.

Наличие разрывов функции (8) в точках при  a = 1  является  доказательством отсутствия экстремумов (локальных минимумов) у непрерывной и гладкой функции (2) в точках  x = xF   и   y  = yF   при  nF > 2  и  a = 1, а поэтому и доказательством отсутствия решений диофантова уравнения Ферма при nF  >2. В данном случае имеет место противоречие – корни диофантова уравнения Ферма при  nF >2, если бы они существовали, не обращают функцию (2) в ноль, так как у функции (2) отсутствуют нулевые минимумы при  nF >2 .

Функцию (2) так же можно рассматривать и как непрерывную и гладкую функцию четырех независимых переменных  x,  y, n  и a. В этом случае можно графически проиллюстрировать потерю непрерывности функции (2) при изменении переменной  и фиксированных значениях переменных (коэффициентов) x = xF  и  y = yF , что следует из прерывности и наличия разрывов при  a = 1  у функции (8). На Рис. 3 показано наличие разрыва у функции  n(a) в точке  a = 1, если  n = nF = 3.

Для того чтобы функция (2) имела экстремум при заданных значениях переменных должны удовлетворяться оба необходимых условия (два уравнения) существования экстремумов. Если в какой либо произвольной точке пространства хотя бы одно из уравнений (необходимых условий существования экстремума) не удовлетворяется, то в данной точке функция (2) не будет иметь экстремумов. Если удастся показать, что одно из необходимых условий существования экстремума в некотором множестве точек не удовлетворяется или не соответствует свойствам непрерывной и гладкой функции (2), то функция (2) при заданных значениях переменных (в этих точках) не будет иметь экстремума.

Предположим, что диофантово уравнение Ферма имеет решение  xF , yF , zи nF. Установим (проверим) может ли непрерывная и гладкая функция (2) иметь нулевой экстремум в точке с координатами  xF  и  yF. Если функция (2) в этой точке будет иметь экстремум, то уравнение Ферма имеет решение xF , yF , zи nF,  а если функция (2) не будет иметь экстремума, то уравнение Ферма не будет иметь указанного целочисленного решения.

Для того чтобы доказать, что функция (2) не имеет нулевых экстремумов, а следовательно и диофанотово уравнение Ферма не имеет решений, надо показать что, по крайней мере, одно из необходимых условий существования экстремума (одно уравнение) не имеет решений, либо функция (8), которая является необходимым условием существования экстремума функции (2), не соответствует свойствам непрерывной и гладкой функции (2), то есть функция (8) в точках экстремумов функции (2) не является непрерывной и имеет разрывы.

Принимая во внимание тот факт, что в необходимом условии (8) существования экстремумов функции (2)  xF  и  yF  являются независимыми от переменной  a, доказательство теоремы Ферма можно выполнить и таким образом [2,3].

Перепишем необходимое условие существования экстремума (8) в виде

При  a = 1  и  целых  xF  и  yF  правая часть уравнения (10) неопределенна (имеет место неопределенность типа 0/0). Учитывая, что необходимое условие существования экстремумов (10) не должно иметь разрыва в точке a = 1, то правая часть этого уравнения должна быть заменена своим пределом при  a →1, который равен  xF /yF . Тогда уравнение (10) принимает вид

При различных (взаимно простых)  xF  и  yF  уравнение (10), которое является необходимым условием существования экстремума функции (2), может удовлетворяться только при  n= 2, откуда следует, что функция (2) может иметь экстремумы только при n= 2, а, следовательно, и диофантово уравнение Ферма имеет решения только при  n= 2. Таким образом, теорема Ферма доказана!Приведенное доказательство теоремы Ферма было представлено для рецензирования в 1994 году в ЯрГУ, но, к сожалению, оно было признано неверным. Мои обращения к руководству ЯрГУ о рассмотрении доказательства на научном семинаре остались без ответа. Оригинальный одностраничный текст доказательства 1994 года приведен на Рис. 4.

Доказательство теоремы Ферма основано на свойствах непрерывных и гладких функций, а точнее говоря, на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых необходимые условия существования экстремума в точках экстремумов непрерывны, то есть при изменении параметров и переменных функции координаты точек экстремумов изменяются непрерывным образом, то есть траектории экстремумов непрерывны. Если необходимые условия существования экстремума функции в точках экстремумов имеют разрывы, то функция не может быть непрерывной и гладкой, так как в этих точках функция будет иметь разрывы. Точка экстремума непрерывной и гладкой функции, в которой необходимые условия существования экстремума имеют разрывы, будет изолированной, так как в соседних точках у функции не может быть экстремумов, то есть траектория изменения экстремумов не непрерывна, а поэтому функция не может быть непрерывной и гладкой. Так, если бы диофантово уравнение Ферма имело бы решения при nF >2, то функция (2) имела бы изолированный экстремум при  n = nF >2, так как соседний экстремум у функции (2) может быть только при  n < 2. Поэтому непрерывная и гладкая функция (2) в этой точке не может иметь экстремум.


Предположим, что диофантово уравнение Ферма при  n = nF  > 2  имеет целочисленные решения xF , yF  и zF , тогда в этой точке функция (2) должна иметь нулевой минимум, но в этом случае функция (8) при  a = 1 будет иметь разрыв, что свидетельствует о том, что в этой точке функция (2) не может иметь нулевого минимума, а, следовательно, и диофантово уравнение Ферма не может иметь целочисленных решений при  n = nF>2.

Если  xF  и  yF  имеют общий делитель, то на этот делитель будет делиться и число zF. Числа  xF , yF  и zF  имеют одни и те же общие делители. Если числа xF , yF  и zF  сократить на наибольший общий делитель, то тогда числа xF ,yF  и zF  будут попарно взаимно простыми.

Тогда теорему Ферма можно сформулировать и так: «Если натуральные числа  x, y и z  являются попарно взаимно простыми, то диофантово уравнение Ферма (1) при  целом  n > 2  не имеет решений».

В такой формулировке теорема Ферма будет частным случаем гипотезы Била в эквивалентной формулировке [4]: «Если натуральные числа  A, B и C  являются попарно взаимно простыми, то диофантово уравнение Била (12) при  целых  x, y, z > 2  не имеет решений». В этом случае (в случае теоремы Ферма)  x = y = z = n > 2 .

Диофантово уравнение Била имеет вид

Заключение

Основной принцип, на котором основано доказательство теоремы Ферма: «Любая функция, которая является необходимым условием существования экстремума непрерывной и гладкой функции, в точках экстремумов должна быть непрерывной, то есть необходимые условия существования экстремума (соответствующие функции) непрерывных и гладких функций должны быть непрерывными в точках экстремумов и не иметь разрывов, что следует из непрерывности траекторий экстремумов непрерывных и гладких функций. Разрывы функций (необходимых условий существования экстремумов) в точках экстремумов являются доказательством того, что непрерывная и гладкая функция не имеет экстремумов в этих точках.

Применение данного принципа для решения диофантовых уравнений не позволяет находить корни (решения) диофантовых уравнений, но позволяет находить условия, при которых некоторые диофантовы уравнения не будут иметь решений. Другими словами, данный метод может применяться для решения диофантовых уравнений, которые имеют нулевое множество решений, то есть доказательства отсутствия решений у диофантова уравнения.

Таким образом доказали, что в точках где необходимые условия существования экстремума непрерывных и гладких функций имеют разрывы непрерывная и гладкая функция не  может иметь экстремумов и поэтому диофантово уравнение Ферма не имеет целочисленных решений при целом  n > 2.

 

Приложение

Графическое решение задачи о нахождении минимума функции (2)
в произвольной точке пространства с целыми координатами  х0  и  у0

Используемые формулы:

Диофантово уравнение Ферма

Тригонометрическая периодическая функция (2), минимумы которой ищутся



Необходимые условия существования экстремума функции (2)

Алгоритм решения задачи:
  1. Задаемся значениями координат произвольной точки  х=x0  и  у=y0 .
  2. Находим по формуле (П-7) зависимость   n(a)   при заданных значениях  х=x0  и  у=y0  и  строим график  зависимости  n(a).
  3. Графически решаем систему необходимых условий существования экстремума функции (2), то есть, строим графики зависимостей   dF1(a)=dF1(x0,z0,n(a),a),  dF2(a)=dF2(y0,z0,n(a),aи  dF3(a)=dF3(x0,y0, n(a),aв зависимости от параметра  а  и находим точку пересечения этих графиков, то есть точку с координатами  n0  и  a0, в которой функция (П-2) будет иметь минимум.
  4. Строим графики функций (П-2)  Fa(a)=F(x0,y0,n0,a),  Fx(x)=F(x,y0,n0,a0)   и  Fy(y)=F(x0,y,n0,a0)    при  заданных значениях  х=x0  и  у=y и  определенных значениях параметров  n0  и  a0, на которых показано, что функция (2) имеет минимум в точке с координатами  x0,  y,  n0  и  a0.

Графическое решение задач.

Графически проиллюстрируем решение задачи нахождения минимума функции (П-2) в точке с координатами х0  и  у0

Графическое решение задачи для  х0=3 и у0=4 показано на Рис. П-1.

Графическое решение задачи для  х0=3 и у0=6 показано на Рис. П-2.






Выводы

Доказали и показали, что в задаче нахождения минимума функции (2) в произвольной точке с координатами  х=x0  и  у=y0  в формулах  (П1-2) – (П1-7) координаты  х  и  у  не зависят от параметра  а. 

Замечания в отзывах Соловьева Виктора Григорьевича, Лобанова Игоря Евгеньевича и Чекина Сергея Константиновича учтены в настоящей редакции доказательства теоремы Ферма.






Библиографический список:

1. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. - М:, Мир, 1980. – 486 с.
2. Ремизов В.Г., Ремизов К.В. Доказательство теоремы Ферма. Ярославская областная ежедневная газета «Северный край», Ярославль, 2 ноября 1994 г., среда, № 189 (21819). – 4 с.
3. Ремизов В.Г., Ремизов К.В. Элементарное доказательство последней теоремы Ферма. XXIV Международная научная конференция Евразийского Научного Объединения (февраль 2017). Современные концепции научных исследований // Сборник научных работ XXIV Международной научной конференции Евразийского Научного Объединения (г. Москва, февраль 2017). — Москва: ЕНО, 2017. — 192 с.
4. Ремизов В.Г. Доказательство гипотезы Била. XXVIII Международная научная конференция Евразийского Научного Объединения (июнь 2017). Интеграция науки в современном мире // Сборник научных работ XXVIII Международной научной конференции Евразийского Научного Объединения (г. Москва, июнь 2017). — Москва : ЕНО, 2017. — 166 с.




Комментарии пользователей:

28.12.2018, 15:54 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: 23.10.2018, 19:53 Чекин Сергей Константинович Отзыв: 23.10.2018, 19:50 Чекин Сергей Константинович Отзыв: Приведено мягкое доказательство Теоремы Ферма. Уровень доказательства вполне приемлем, во всяком случае, для продолжения дискуссий и обсуждений содержания статьи. Подход с применением гладких функций вполне правомерен, вопрос только в том - не пользовался кто-либо таким подходом ранее - ведь это довольно соблазнительно для специалистов в математическом анализе. Статью вполне можно рекомендовать к публикации. 28.10.2018, 18:33 Чекин Сергей Константинович Отзыв: Термин "мягкое" изымаю, как неопределимый.


28.12.2018, 15:55 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: 19.10.2018, 17:14 Лобанов Игорь Евгеньевич Отзыв: Интересен подход к доказательству. Лично я являюсь теоретиком в области технической физики, в частности, в теории теплообмена. В доказательстве мне сразу бросилось в глаза, что рассмотрены необходимые условия функции двух переменных (в формуле (5) почему производная по "икс"?). Для достаточных условий существования экстремума функции двух переменных необходим анализ трёх вторых производных. Лично я использовал анализ максимумов интенсифицированного теплообмена, где имела место зависимость от двух переменных, но не везде выполнялись достаточные условия при выполненных необходимых. В заключение отмечу, что лично я в при решении теоретических задач очень часто сталкивался с непониманием коллег и решения не сразу "пробивали дорогу", но, если в решениях есть рациональное и объективное зерно, то они так или иначе получали апробацию, верифицировались независимым образом. 20.10.2018, 15:54 Лобанов Игорь Евгеньевич Отзыв: На мой взгляд, переход от экстремума к минимуму является нестрогим. 22.10.2018, 14:27 Лобанов Игорь Евгеньевич Отзыв: Достаточных условий существования экстремума вами не приведены. Нужен анализ дискриминанта для этого.


10.01.2019, 18:23 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Привожу еще три отзыва математиков на статью «Теорема Ферма». Профессор Shwedka (Швеция), заслуженный участник форума dxdy >> Математика >> Дискуссионные темы (М) >> Великая теорема Ферма >> Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994: «Красиво, но неверно. Корни системы (3,4) зависят от а, поэтому при вычислении предела по Лопиталю нужно эту зависимость учитывать. Авторы же дифференцируют в 5, как если бы эти корни не зависели от а». Бондаренко Владимир Александрович, д.ф-м.н. профессор: «Уважаемый Вадим Григорьевич! В конце второй страницы и далее Вы безосновательно декларируете независимость x и y от a и n. Это делается для того, чтобы "прошло" рассуждение с итогом (9). Поэтому на мое одобрительное мнение не надо рассчитывать. С пожеланиями успехов В.А.Бондаренко». Преподаватель математики Александр Кириллович Ковальджи: «Уважаемый Вадим Григорьевич, когда я был студентом МГУ, то зав. кафедрой теории чисел просил нас отвечать на письма ферматистов, которые приходили каждый месяц, причем нередко с грозными преамбулами, мол, засели там профессора-ретрограды, которые не дают прославить советскую науку! Приходили указания из ЦК партии с требованием в такие-то сроки выслать ответ отставному полковнику. Как это было утомительно выискивать ошибки в плохо написанных работах! Вот и у Вас неясно, какое отношение имеют корни уравнения Ферма к экстремумам некой тригонометрической функции? Честно говоря, жалко времени. Уважаемый Вадим Григорьевич, Вы понимаете, что серьезный математик никогда не напишет: "гладкая и непрерывная функция"? Если функция гладкая, то она автоматически непрерывная. С уважением, Ковальджи Александр Кириллович». Вот теперь становится понятным, почему в статье «Теорема Ферма» так много внимания уделяется независимости переменных x и y от параметра a.


7.02.2019, 10:47 Соловьёв Виктор Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! Несмотря на молчание рецензентов относительно Вашей статьи, все же выскажу еще одно замечание. Мне представляется, что необходимо доказать, что графики Вашей функции (2) являются монотонно убывающими для всех параметров, а не только для частных случаев, как это показано в статье.


7.02.2019, 14:34 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Виктор Григорьевич! Считаю необходимым пояснить следующее. Монотонно убывающими являются только функции (3) z(n), а функция (2) не является монотонно убывающей, функция (2) является периодической. Важно, что функция (2) является однозначной, что следует из однозначности функций (3), а однозначность функций (3) следует из их монотонной убываемости. С уважением, Вадим Григорьевич Ремизов.


7.02.2019, 14:49 Соловьёв Виктор Григорьевич
Отзыв: Вадим Григорьевич! Извините - это описка. Конечно, я имел ввиду "Вашу" функцию (3). Пока что утверждение о монотонном убывании строится на частных случаях, Вами рассмотренных. Я, как и Вы, отчетливо понимаю, что так оно и есть. Но (для чистоты эксперимента), надо просто привести полное доказательство этому.


8.02.2019, 12:02 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Виктор Григорьевич! Термин монотонно убывающие функции обычно применяется для функций одной переменной. Функция (3) это функция трех переменных х, у и n, то есть z(х, у, n). Поэтому, когда мы говорим, что функция (3) монотонная, то мы рассматриваем зависимость (3) от одной переменной при фиксированных двух других переменных. В случае с функцией (3) можно рассматривать монотонность трех функций: z(х) – монотонно возрастающая по х, z( у) – монотонно возрастающая по у и z(n) – монотонно убывающая по n. Очевидно, что при возрастании переменных х и у функции z(х) и z( у) будут возрастать, то есть они являются монотонно возрастающими. Функция z(n) будет монотонно убывающей. Для доказательства этого факта функцию z(n) надо преобразовать к виду: z(n) = yi * [(xi/yi)^n + 1] ^ (1/n) , где xi<yi и (xi/yi) < 1. Очевидно, что при возрастании n подкоренное выражение [(xi/yi)^n + 1] будет монотонно убывать, сверху приближаясь к 1, степень корня (1/n) будет монотонно убывать сверху приближаться к 0, а функция z(n) будет монотонно убывать, приближаясь к значению большей фиксированной переменной yi. Так же для доказательства это факта можно найти производную от функции z(n) по переменной n и показать, что производная всюду в области определения отрицательна, то есть функция z(n) при возрастании переменной n будет монотонно убывать. С уважением, Ремизов Вадим Григорьевич.


21.03.2019, 11:22 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Я обратился в Ярославский Государственный Университет им. П.Г. Демидова с просьбой рассмотреть доказательство теоремы Ферма на научном семинаре, но в ответ суровое молчание!


26.03.2019, 23:37 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Также, я персонально обращался к преподавателям кафедр «Высшей математики» и «Прикладной математики и вычислительной техники» ЯГТУ, родного вуза, с просьбой прочитать статью «Теорема Ферма». Но в ответ гробовая тишина. Почему-то математики шарахаются от теоремы Ферма, как черт от ладана. Создается впечатление, что РАН запретила математикам рассматривать доказательства теоремы Ферма. А какой вред от того, если доказательство рассмотреть?


1.04.2019, 10:52 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Обращался я и к заведующим кафедрами механико-математического факультета СПГУ с просьбой направить статью «Теорема Ферма» на рецензирование студентам СПГУ. Единственным, кто ответил на мое обращение, был заведующий кафедрой «Высшей алгебры и теории чисел» профессор Сергей Владимирович Востоков. Вот его ответ: «Вадим Григорьевич, добрый день. Тот вариант, который Вы предлагаете, относится к математическому анализу. Вам лучше обратиться на кафедру мат анализа. У меня таких студентов нет. Извините». Я обращался и к заведующему кафедрой «Математического анализа», но ответа не получил. Вместо заведующего кафедрой «Дифференциальных уравнений» на мое обращение ответила старший инженер кафедры Анна Борисовна Жиглевич (литературный псевдоним - Shwedka) : «В вашем письме слишком много грамматических ошибок, так что читать статью нет смысла. Кроме того, Вы не представились - откуда Вы и зачем Вам это нужно. Премий за теорему Ферма нет. Лично я не специалист по теореме Ферма. И мое мнение для Вас ничего не будет значить».


2.04.2019, 13:42 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Обращался я и к заведующим кафедрами механико-математического факультета МГУ с просьбой прочитать статью «Теорема Ферма» и направить ее на рецензирование студентам МГУ. К сожалению, ответа от ученых мужей из МГУ я так и не получил. Уважаемые школьники и студенты! Пожалуйста, пишите свои отзывы и комментарии к статье «Теорема Ферма», поскольку большим и ученым дядям это не под силу, им это совершенно не интересно!


18.04.2019, 17:35 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Доцент, к.т.н. Гохберг Геннадий Соломонович: "Это не доказательство!" РВГ: "Тогда, что же это такое? Доказательство не является доказательством тогда и только тогда, когда доказательство не верное. Поэтому, уважаемый Геннадий Соломонович, не будьте голословным, а будьте любезным указать, где же в доказательстве Теоремы Ферма находится ошибка!"


Оставить комментарий


 
 

Вверх