Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Вакпрофи. Публикация статей ВАК, Scopus
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Образование, Науки о Земле
Размещена 16.04.2019. Последняя правка: 16.04.2019.

Графоаналитический метод определения площадей с помощью полярной палетки

Бессонов Евгений Александрович

Доктор технических наук

Горнодобывающие предприятия РФ

Консультант

Аннотация:
В работе представлен графоаналитический метод определения площадей с помощью разработанной автором полярной палетки. Показаны два варианта полярной палетки – круглая и угловая. Полярные палетки универсальны в применении и удобны в пользовании и при хранении, т.к. они не требуют использования дополнительных измерительных инструментов и хорошо вписываются в размеры стандартных планшетов. Метод дает возможность определять широкий диапазон площадей поверхностей. Он может представлять интерес для студентов при обучении основ геодезии, топографии и маркшейдерии, а также для определения относительно больших по размеру площадей и для высокоточного определения площадей при отсутствии планиметров.


Abstract:
The paper presents a graphic-analytical method for determining the area using the polar pallet developed by the author. Shown two options polar samples – it is a circle and a corner sector. Polar pallets are universal in application and are convenient in use and at storage since they do not demand use of additional measuring tools and well fit into the sizes of standard pads. The method makes it possible to determine a wide range of surface areas. It may be of interest to students in teaching the basics of geodesy, topography and surveying, as well as to determine the relatively large area and for high-precision determination of areas in the absence of planimeters (integrator).


Ключевые слова:
графоаналитические методы определения площадей; полярная палетка; относительная погрешность измерения площадей; формулы для вычисления площадей

Keywords:
graphic-analytical methods of determining areas; polar pallets; relative accuracy; the formula to calculate the area


УДК 528 + 622.1
  
Графоаналитические методы определения площадей представляют собой совокупность графических и аналитических методов. Для замеров площадей применяются как сложные механические или электронные устройства – планиметры, так и простейшие устройства - палетки. Для предотвращения грубых ошибок измерения планиметрами, как правило, рекомендуется пользоваться при измерении площадей от 10-20 смдо 400 см2, а палетками в пределах 2-10 см2.  

Определения площадей поверхностей с помощью палеток  отличаются наглядностью, доступностью и простотой выполнения при решении ряда практических задач в топографии, геодезии, маркшейдерии и других областях науки, связанных с геометрическими измерениями исследуемых объектов. 

Для решения подобных задач наиболее широко используют квадратные (рис. 1 а), точечные (рис. 1 б) и параллельные (линейные) (рис. 1 в) палетки. При измерении их накладывают на определяемую поверхность и в пределах контура подсчитывают число целых квадратов, размеров полосок (длин их средних линий) или количество точек, а затем производят нахождение площади путем несложных математических вычислений. Причем, квадратная палетка, как правило, содержит шкалу разбиения 2-10 мм, а параллельная 2-5 мм, поэтому может давать несколько более точные результаты (рис. 2) [1, 2].

Основными недостатками известных палеток являются относительно невысокая точность результатов определения площадей криволинейных фигур, необходимость в использовании дополнительных инструментов (карандаша, линейки, циркуля разметочного) и в том, что они имеют существенные ограничения в применении. Так, квадратной палеткой не рекомендуется определять на плане или карте площади более 2 см2, а параллельной площади более 10 см2Кроме того, для избежание грубых ошибок измерения рекомендуют проводить дважды, для чего квадратную палетку поворачивают на 45º, а параллельную на 90º [2].

а                                                                б

 

в

Рис. 1. Измерение площадей палетками

а - квадратной; б - точечной; в - параллельной (линейной)

Графоаналитический метод определения площадей с помощью полярной палетки (рис. 3), разработанный и запатентованный автором [3-5] не содержит перечисленных недостатков. Он позволяет получать результаты площадей криволинейных фигур с более высокой точностью, не требует использования дополнительных измерительных инструментов и дает возможность определять широкий диапазон площадей поверхностей от 3,5 см2 до 250 см2 круглой и до 1000 см2 угловой полярными палетками (рис 3). Однако взамен этого метод нуждается в предварительном нахождении центра тяжести площади измеряемой фигуры, на который устанавливают полюс полярной палетки (См. пример нахождения центра тяжести фигуры на рис 4).

Полярная круглая палетка имеет некоторое геометрическое сходство с известной азимутальной полярной сеткой. Главными ее отличительными признаками (помимо своего иного предназначения) являются отсутствие шкалы картографических параллелей, наличие градуированной миллиметровой шкалы на всех своих лучах (на азимутальной сетке обозначены меридианы) и более мелкий интервал разбиения угломерной шкалы (5° против 10°). Она выполнена из прозрачной пластины (пластика или на кальке), состоит из сети мерных линий 1, исходящих от единого полюса О в виде радиальных лучей отградуированных миллиметровой шкалой и развернутых через равный интервал 5°, который отображен на угломерной круглой шкале 2 (рис. 2).

Угловая полярная палетка также выполнена из прозрачной пластины (пластика или на кальке),  состоит из сети мерных линий 1, исходящих от единого полюса О в виде радиальных лучей отградуированных миллиметровой шкалой и развернутых через равный интервал 5°, который отображен на угломерной шкале 2. Ее отличие, от полярной палетки, состоит в том, что она выполнена в виде отдельного прямоугольного сектора и содержит удлиненную миллиметровую шкалу (рис. 3).

 

 

Рис. 2. Круглая полярная палетка автора

 

Рис.3. Угловая полярная палетка автора

 

 

Рис. 4. Способ определения центра тяжести плоской фигуры (к Примеру)

После наложения на фигуру полярной палетки получают: Ri – длины лучей палетки от полюса до их пересечения с замкнутой кривой;  J – угол (интервал) угломерной шкалы палетки, град; Ot – полюс палетки, совмещенный с центром тяжести фигуры; (Sk, S’k – соответственно выпуклые и вогнутые сектора фигуры). 

Пример. Определить центр тяжести плоской выпукло-вогнутой фигуры (рис. 4), применяя известный способ разбиения на квадраты (способ «квадратных полосок»).
Выполнение. Вначале к фигуре пристраивают ось координат X и Y, так как показано на рис. 4. Затем пристраивают к ней квадратную  сетку с размерами ячейки 0,5 х 0,5 см. Далее вдоль осей координат X и Y строят по три колонки, где в первых записывают количество ячеек nx и ny частично (округляя до 0,5 ед.) и полностью вмещенных в контуре фигуры на каждой квадратной полоске. Во вторых колонках записываются интервалы шага подсчета ячеек с нарастанием (по 0,5 см). В третьих колонках записываются результаты произведений величин первых двух колонок, а под ними итоговые суммы этих произведений [5].

Искомые координаты центра тяжести фигуры (рис. 4):

Xц.т = Σ(x·nx)/ Σnx = 153,25/55,0 = 2,79

Yц.т =  Σ(y·ny)/Σny = 125,80/50,5 = 2,49

    Графоаналитический метод выполняют следующим образом. Вначале определяют центр тяжести фигуры измеряемой поверхности (см. Пример, рис. 4). Затем на фигуру накладывают полярную палетку так, чтобы ее полюс совпадал с центром тяжести фигуры. После чего, последовательно, по кругу, через равные углы разбиения 15°, 10° или 5° с круглой полярной палетки считывают длины отградуированных миллиметровой шкалой лучей от полюса до их пересечения с замкнутой кривой, ограничивающей измеряемую поверхность. Причем угловую полярную палетку, наложенную на измеряемую фигуру, в процессе измерений трижды поворачивают на угол 90°. Для получения более точного результата считывание производят через наименьший угол разбиения 5°. Результаты считывания заносят в соответствующую таблицу, а затем производят вычисление площади по формулам (1-7), полученным автором.

     Площади плоской фигуры, ограниченные выпуклой замкнутой кривой (секторы Sk на рис. 4) [3-5]:

Sвып = [(R1R2)+(R2R3)+(R3R4)+…+(RnR1)] ∏(J /360°)                                          (1)

   Площадь плоской фигуры, ограниченной невыпуклой (вогнутой) замкнутой кривой (секторы S’k на рис. 4) [4-5]:

Sвогн = [(R1R2)+(R2R3)+(R3R4)+…+(RnR1)][sinJ-∏(J/360°)]                                  (2)

    Площадь плоской фигуры, ограниченной выпукло-вогнутой замкнутой кривой (рис. 4):

Sвып-вогн = ΣS’вып + ΣS’вогн                                                                                                  (3)

    Площадь плоской фигуры, ограниченной прямолинейными участками замкнутой кривой вычисляется как сумма площадей отдельных треугольных секторов (на рис. 4 не показана):

Sпрям = ΣSn(i) сектор                                                                                                                (4)                                                                                         

    Площадь отдельного треугольного сектора плоской криволинейной фигуры, ограниченной прямолинейным участком (на рис. 4 не показана):

S(i)сектор = [(RksinJ)/2][RksinJ + (Rk+1 – RkcosJ)] (J /360°),                                    (5)

    при Rk< Rk+1

и

S(i)сектор = [(Rk+1sinJ)/2][Rk+1sinJ + (Rk – Rk+1cosJ)] (J /360°),                              (6)

    при Rk>Rk+1

    Площадь плоской фигуры, ограниченной сложной выпукло-вогнутой замкнутой кривой, содержащей прямолинейные участки:

Sсложн = ΣS’вып + ΣS’вогн + ΣS(i) сектор                                               (7)                                                                                         

где R1R2Rn – последовательно считанные с палетки длины лучей от полюса до их пересечения с кривой, мм; ΣS’вып, ΣS’вогн – суммарные площади отдельных секторов фигуры, ограниченных соответственно выпуклой и вогнутой кривой, см2; J -  используемый, при считывании длины лучей, угол разбиения сектора (15°, 10° или 5°) на угломерной шкале, град.; n – количественный номер последнего измеряемого луча: при угле разбиения 15°  n = 360°/15°=24; при 10° n = 360°/10°= 36; при  5° n = 360°/5°= 72; Rk, Rk+1 – соответственно считанные в треугольном секторе длины первого и последующего лучей, мм.   

Относительная точность определения площадей с помощью известных палеток  зависит от размеров определяемой площади, шага разбиения и качества измерений и, как правило, составляет 1-2% [1, 2]. Полярная же палетка показывает лучший результат. Ее  более высокая точность подтверждается результатами, полученными автором при определении с помощью полярной палеткой площади эллипса (при а = 3/2b), разбитого на отдельные секторы через углы 5°, где относительная погрешность определения составила 0,77 %.

Заключение

Метод определения площадей с помощью полярных палеток и представленных формул показывает более точные результаты.

Полярные палетки универсальны в применении и удобны в пользовании и при хранении, т.к. они не требуют использования дополнительных измерительных инструментов и хорошо вписываются в размеры стандартных планшетов формата А4. Они не сложны в  изготовлении (их можно самим вычертить на кальке), в том числе сделать больших размеров для выполнения измерений площадей свыше 1000 см2.

В данной работе впервые демонстрируется угловая полярная палетка автора, приводится ее характеристики.

Метод может быть полезен для студентов при обучении основ геодезии, топографии и маркшейдерии, при выполнении ими соответствующих лабораторных работ и приобретении практических навыков в полевых условиях, а также для определения относительно больших по размеру площадей (более 400 см2) и для высокоточного определения площадей при отсутствии планиметров.

Библиографический список:

1. Поклад Г.Г., Гриднев С.П. Геодезия. Учебное пособие для вузов. -М.: Академический Проект. 2007. – С. 189-191.
2. Основы геодезии. Глава 7.6. Измерение площадей по плану или карте. Учебное пособие по специальности «Маркшейдерское дело», КГТУ. http://lib.kstu.kz:8300/tb/books/Geodeziya/theory/1.7_6.htm
3. Патент РФ № 2148787. МКИ G 01 B 5/26. Способ вычисления геометрических параметров криволинейных тел и устройство для его осуществления. / Бессонов Е.А. // Изобретения. Заявки и патенты. – 2000. - № 13. – С. 338. http://www1.fips.ru/wps/portal/IPS_Ru#1529822200033
4. Бессонов Е.А. Графо-математический метод определения геометрических параметров месторождений полезных ископаемых. Горный информационно-аналитический бюллетень. – М.: МГГУ. 1999. Вып. № 1. - С. 151-153.
5. Бессонов Е.А. Методики подсчета запасов полезных ископаемых и определения размеров карьерных полей. В кн. «Технология и механизация гидромеханизированных работ. Справочное пособие для инженеров и техников.» М.: Центр., 1999. - С. 76-80.




Рецензии:

17.04.2019, 1:28 Попова Галина Валентиновна
Рецензия: Статья "Графоаналитический метод определения площадей с помощью полярной палетки", Бессонов Евгений Александрович, по своему объекту исследования, содержанию, результату (представленному методу "определение площадей") не относится, на наш взгляд, к проблематике и разделу "Образование" (педагогические науки). Не затрагивая деталей статьи, можно однозначно констатировать только то, что предлагаемый результат - "методика" решения задач, но не образовательных (теории, методологии), а "площадь" - ни терминологически, ни по существу не может быть отнесена к объектам образования. Поэтому автору рекомендуется пересмотреть свое решение о размещении статьи и переместить ее для рецензирования соответствующими специалистами в иной, нежели "Образование", раздел сайта. ПОЭТОМУ статья НЕ рекомендуется к публикации - именно в разделе "Образование".

17.04.2019 10:10 Ответ на рецензию автора Бессонов Евгений Александрович:
Не могу согласиться с уважаемым рецензентом Поповой Г.В., что работа совершенно не соответствует научному направлению «Образование» и что ее необходимо вывести из этого раздела. Я считаю, что данное научное направление охватывает более широкую сферу научных знаний, а не только одну «теорию и методологию» преподавания. Хотя любая научная работа в большей или меньшей степени содержит элементы методологии. В этом плане моя работа показывает, как может выстраиваться структура и оформление статьи, в которой приводится сравнение устаревших и новых научно-технических решений. Считаю, что представленная работа может являться полезной для преподавателей и студентов в области профессионального образования.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх