Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Статья опубликована в №70 (июнь) 2019
Разделы: Математика
Размещена 29.06.2019. Последняя правка: 11.07.2019.
Просмотров - 276

Некоторые плоские треугольники и теорема Ферма. Аналогия проблематики

Зарубин Виктор Владимирович

Сфера коммунального хозяйства

рабочий

Аннотация:
Данная статья позволяет понять как теорема Ферма «работает» при ограничении С в формуле с˄n = a˄n + b˄n, где n=3; 4; 5 и т.д. Какие процессы при этом происходят.


Abstract:
This article allows us to understand how Ferma's theorem “works” under the constraint C in the formula с˄n = a˄n + b˄n, where n = 3; 4; 5, etc. What processes occur in this case.


Ключевые слова:
Плоские треугольники; теорема Ферма; целочисленные значения; математический ряд

Keywords:
Flat triangles; Ferma's theorem; integer values; mathematical series


     УДК 511
      Введение
     Великая теорема Ферма доказана. В конце доказательства, которое растянулось более чем на три столетия, поставлена точка. Но интерес к этому вопросу не исчез.
     Теорема Ферма, как целиком, так и в виде частных случаев, постоянно находится в поле зрения любителей математики.
     Она (теорема) сформулирована очень просто, но понять и оценить, как этот проект «работает» в таких «глобальных масштабах» довольно сложно. Попробуем рассмотреть, как теорема Ферма «работает» и какие процессы при этом происходят на ограниченном пространстве, в границах тетрадного листа.

     Актуальность
    Теорема Ферма является важной вехой в эволюции математики. Попытки доказать ее справедливость и связанные с этим изыскания оказали позитивное влияние на развитие как всей математики, так и теории чисел в частности.
   Знакомясь с историей доказательства, с теми кто принимал в нем участие, с самим доказательством, с нюансами теоремы, рассматривая частные случаи теоремы, получаешь определенный базис понимания многих математических правил и законов, понимание и опыт применения на практике.

     Цели и задачи
    Показать что некоторые плоские треугольники являются ничем иным как частным случаем теоремы Ферма. Рассмотреть некоторые частные случаи теоремы Ферма различными способами.

     В работе «Треугольник и использование его в некоторых задачах» [1] мы показали, что если на отрезке С в любом месте поставить точку, то она разделит его на два отрезка аи b1, и будет верно
     c = а1 + b1
     Умножив обе части на с мы получим выражение эквивалентное формуле определяющей теорему Пифагора.
Формула 1
повторяя это действие вновь и вновь и вычисляя значения а2; а3; а4 и т.д. и b2; b3; b4 и т.д., можно утверждать, что они являются сторонами треугольников, для которых верно:
     сn = an + bn.
     А каждый такой треугольник является ничем иным, как частным случаем теоремы Ферма.
    Для того чтобы построить кривую n-ого порядка, соединяющую концы конкретного отрезка АВ длиной, например, 10 см, при некотором значении n, нам нужно отправить точку С1 в поступательное движение из точки А в точку В с некоторой скоростью за шаг.
     Далее, используя, координаты точки С1 в местах остановки, мы можем вычислить месторасположение точки Сдля выбранного нами значения n. Соединив полученные точки, будем иметь кривую, соединяющую точки А и В. Все ее точки будут находиться от точек А и В на расстоянии, при котором выполняется условие сn = an + bn.
     В процессе такой работы придется построить множество треугольников. Закономерно возникает вопрос – а нет ли среди них особенных? Например, таких, стороны которых имеют целочисленные значения.
     Поскольку отрезок АВ следует рассматривать как некоторый участок числовой оси, то точка С1, «путешествующая» из точки А в точку В, будет делить отрезок АВ на части, длины которых могут выражаться целыми числами, рациональными и иррациональными.
     Пусть c = a1 + b1 тогда с2 = a1 * c + b* c =Формула 8
     Нас интересует вариант, могут ли  и  быть одновременно целыми числами. Если a1 равно дроби, то единственный вариант, при котором она (дробь) может стать целым числом, только в таком случае корень из числа будет целым числом, адолжно быть равно   при n=2;  при n=3;  при n=4 и т.д.
    Проделаем всё это на нашем отрезке в 10 см при n=2. При этой степени знаменатель дроби будет равен 10.
    дадим значения, при которых  будет целым числом. Поскольку с=10, то  может равняться в целых числах 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 и 9. После выполнения всех действий будем иметь
102 = 1 + 99
102 = 4 + 96
102 = 9 + 91
102 = 16 + 84
102 = 25 + 75
102 = 36 + 64
102 = 49 + 51
102 = 64 + 36
102 = 81 + 19
     В результате у нас получилось два одинаковых варианта, с той лишь разницей, что слагаемые поменялись местами. А это значит, что существует прямоугольный треугольник со сторонами – гипотенузой 10 и катетами 6 и 8,  гипотенузой 10 и катетами 8 и 6. Почему два варианта? Потому, что по другому быть не может.
Рассмотрим рисунок (Рисунок 5 работа «Треугольник и использование его в некоторых задачах»). [1, стр. 23].
График
Рис. 1 Варианты прямоугольных треугольников со сторонами: гипотенузой 10 и катетами 6 и 8

    На нем указаны границы кривых, соединяющих концы нашего отрезка в 10 см. Кривая АС2В – кривая при n=2. Кривая АСпрВ – верхний граничный предел при неограниченном возрастании n. Хотя конфигурация кривых меняется, а верхний граничный предел показывает к какой форме они стремятся при неограниченном возрастании n, они остаются симметричными линии (оси) СпрС2С1. Каждой точке на одной половине кривой соответствует симметрично расположенная точка на другой. Поэтому имеем два варианта одного треугольника. Еще обращает на себя внимание следующая деталь: на правой половине кривой у нас отметились лишь две точки. Чтобы ответить на поставленный перед собой вопрос, мы начали исследование «не с той стороны». Рассмотрев два последних варианта мы можем со стопроцентной уверенностью сказать, что существует прямоугольный треугольник со сторонами 10; 8 и 6, для которого верно c2=a2+b2.
Исследуя выражение 102=a2+b2, мы имеем ввиду, что
     равнялось 1/10; 4/10; 9/10; 16/10 и т.д. То есть точка С1 делила отрезок АВ на отрезки, длина которых выражалась дробным числом. Если же 10 представить как: 10 = 1 + 9; 10 = 2 + 8 и т.д., затем каждое выражение умножить на 10, мы увидим, что ни одно слагаемое не является квадратом целого числа. Такой вариант рассматривать не стоит, потому что, если бы был вариант, когда слагаемое являлось бы квадратом целого числа, он (вариант) был бы обязательно рассмотрен в первом случае.
     Просто у числа 10 таких совпадений нет. Но у других чисел такое возможно.
     Возьмем число 18: 18 = 2 + 16.
    Любое целое число можно представить в виде дроби. И тогда у нас получится 18=(36/18)+(288/18). С иррациональными отрезками все гораздо проще. Иррациональное число, умноженное на целое будет числом иррациональным и это произведение не может быть квадратом целого числа. Всё это справедливо при n=3; 4; 5 и т.д.
     Теперь попробуем ответить на следующий вопрос – до какого максимального значения n следует рассматривать варианты, что бы показать, что в выражении 10n=an+bn ни при каком n (n=3; 4; 5 и т.д.), a и b не могут быть целыми числами одновременно?
     В работе 1 мы показали, что при возрастании n в выражении cn=an+bn вершина кривой соединяющей концы отрезка с поднимается вверх по линии СпрС2С1 (см. рис.).
     Естественно увеличивается расстояние от точек А и В до вершины кривой. При некоторых n оно станет больше чем с-1 (для общего случая), больше 9-и в нашем конкретном случае. Это возможно когда 9n<(10n/2) . Проведя вычисления, получим:
103 = 1 000                        93 = 729
104 = 10 000                      94 = 6 561
105 = 100 000                    95 = 59 049
106 = 1 000 000                 96 = 531 441
107 = 10 000 000               97 = 4 782 969
     Видим, что при n≥7, в нашем конкретном случае, расстояние от точки А до любой точки кривой на «правой половине поля» будет больше 9, но меньше 10. Поэтому дальнейшее рассмотрение вариантов не имеет смысла. Следовательно, ответ на поставленный вопрос – n=6.
     Чтобы ответ был полным, нам нужно показать, что и при n=3; 4; 5 и 6 в выражении 10n=an+bn а и b не могут быть целыми числами одновременно.
     Чтобы избавить себя от лишних вычислений, мы рассматриваем те варианты, когда точка 9 отметилась на правой половине кривой. Следует иметь ввиду, что и  меньшие значения, в нашем конкретном случае, могут составить ей компанию.
     7 и при n=2 не преодолевает «экватора». Остается проверить число восемь.
103 = 1 000                             83 = 512
104 = 10 000                           84 = 4 096
     Проведя несложные вычисления, получим:
103 – 93 = 271                        103 – 83 = 488
104 – 94 = 3 439
105 – 95 = 40 951
106 – 96 = 468 559
     Нам нужно показать, что 271 и 488 не являются кубами, 3 439 – четвертой степени, 40 951 – пятой, 468 559 – шестой степенью целого числа. Поскольку не требуется вычислить значение, сделаем это самым простым способом. Разложим эти числа на множители. Число разлагается на простые множители единственно возможным вариантом.
     Чтобы число являлось некоторой степенью целого числа, число простых множителей должно  быть кратно n. Если среди простых имеются множители различных «номиналов» - число множителей каждого «номинала» также должно быть кратно n. После разложения имеем 271 – простое число, на множители на разлагается. Оно не может быть кубом целого числа.
     488 = 2 * 2 * 2 * 61 – не может быть  кубом целого числа.
     3 439 – не может быть четвертой степенью целого числа, наименьший простой множитель у него – 19, далее действие можно не производить. В нашем случае множитель может иметь значение 2; 3; 5 и 7.
     40 951 – наименьший простой множитель 31.
      не может быть целым числом.
      468 559 = 7 * 13 * 19 * 271 наименьший простой множитель 7, следующий 13.
      – не может быть целым числом.
     В математике многие процессы, в том числе и глобальные, исследуются с помощью математических рядов. Нечто подобное может позволить себе и Великая теорема Ферма. Попробуем всё то, что мы рассматривали выше, проработать с помощью некоторых числовых последовательностей.
     Сначала рассмотрим арифметическую прогрессию, состоящую из нечетных чисел, записанных в порядке возрастания:
     1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19 и т.д.                                    (2)
     В этой последовательности первый член – это 12, сумма первого и второго – 22, сумма первого, второго и третьего – 32 и т.д..
     Сумма С членов взятых по порядку, начиная с первого, равна С2. В ряду имеются члены, которые сами являются квадратом целого числа – 9; 25; 49 и многие другие.
     Тогда сумма членов до этого числа (например 9) равна квадрату целого числа 1+3+5+7=42=16. Сумма членов, включая это число, тоже полный квадрат 1+3+5+7+9=52=25 получаем 52=42+32.
     Существуют группы (группа начинается не с первого члена) из двух и более членов следующих друг за другом, суммы которых являются квадратом целого числа – 17+19=36=62. Отсюда 102=82+62.
     41+43+45+47+49+51+53+55+57=441=212
     57 – 29-й член ряда, 41 – 21-й.
     Вычислив, получим 292=202+212.
   Свойства этого ряда известны еще со времен Евклида. Он использовал его для доказательства существования множества «Пифагорийских троек» (Пифагоровых треугольников) [2, стр. 260].
    Соблюдая хронологию характеристики этого ряда, по степени значимости для рассматриваемого вопроса, следует отметить, что все числа, входящие в его состав, в том числе и такие как 1; 9; 25; 49 и т.д., в первую очередь показывают через сколько единиц на числовой оси от предыдущего числа, являющегося квадратом целого числа, стоит следующий квадрат целого числа. После этого можно говорить, что его члены – это нечетные числа, записанные в порядке возрастания.
     Естественно, в его состав входят и квадраты целых нечетных чисел, многие из которых мы знаем «в лицо». Что значит нахождение в этом ряду такого числа? Как мы уже говорили, каждый член этого ряда – это сумма единиц от квадрата одного целого числа до квадрата другого.
     В некоторых случаях у нас есть возможность заменить эту сумму единиц на равную сумму из слагаемых, набирая их по порядку, начиная с начала ряда
     9=1+3+5         16=1+3+5+7              25=1+3+5+7+9,
что соответствует произведению некоторого целого числа само на себя. Для данных примеров – это 3*3=32            4*4=42            5*5=52.
    Присутствие в этом ряду квадратов целых чисел и групп из нескольких членов, следующих один за другим, сумма которых является квадратом целого числа, и обуславливают существование решений некоторых уравнений вида с2=a2+b2 в целых числах.
     На числовой оси можно также встретить и кубы целого числа, и четвертую степень, и пятую и т.д.
     Находя разницу (с+1)n-cn, где с=0; 1; 2; 3; 4 и т.д., n=3; 4;5 и т.д., можно составить ряд для любого значения n.
     В Таблице 1 приведены ряды для значений n, начиная с 3 и до 8.

1;

7;

19;

37;

61;

91;

127;

169;

217;

271;

331;

397;

469

=133

=2197

1;

15;

65;

175;

369;

671;

1105;

1695;

2465;

3439;

4641;

6095;

7825

=134

=28561

1;

31;

211;

781;

2101;

4651;

9031;

15961;

26281;

40951;

61051;

87781;

122461

=135

=371293

1;

63;

665;

3367;

11529;

31031;

70993;

144495;

269297;

468559;

771561;

1214423;

1840825

=136

=4826809

1;

127;

2059;

14197;

61741;

201811;

543607;

1273609;

2685817;

5217031;

9487171;

16344637;

26916709

=137

=62748517

1;

255;

6305;

58975;

325089;

1288991;

4085185;

11012415;

26269505;

56953279;

114358881;

215622815;

385749025

=138

=815730721



    
    Исходя из того, что теорема Ферма доказана, в ряду, например, при n=3, сколько бы мы его не продолжали, нет ни одного члена, который являлся бы кубом целого числа. Нет и группы, состоящей из двух и более членов, следующих друг за другом по порядку, если только группа не начинается с 1, сумма которых является кубом целого числа.
     Это верно для всех ниже представленных рядов и им подобных с той лишь разницей, что нужно указать соответствующее значение n.
     Используя их как исходный материал, можно составить множество задач в стиле автора  «Великой теоремы».
     «Электричка Ферма» - 3
    На железнодорожной станции, на платформе, растянувшейся в направлении с запада на восток на неограниченное  расстояние, расположились пассажиры, ожидая прибытие поезда с запада. Причем пассажиры рассредоточились по платформе по одному на некотором расстоянии друг от друга. Первый расположился на расстоянии одного, например, метра от начала платформы, второй – через 7 м от первого, третий – через 19 м от второго, четвертый – через 37 м от третьего, пятый – через 61 м от четвертого, шестой – через 127 м от пятого, седьмой – через 169 м от шестого, восьмой – через 217 м от седьмого и т.д.
     К платформе прибывает электропоезд неограниченной длины. Конструкция его нестандартна – это моновагон, двери которого расположены начиная с головы поезда на том же расстоянии что и пассажиры на платформе. График его движения следующий – как только голова поезда равняется с очередным пассажиром, поезд останавливается. Двери открываются на необходимое время для посадки, затем поезд продолжает свое движение до следующего пассажира и т.д.
     Пассажир не может смещаться по платформе вправо или влево, он может войти в вагон лишь в том случае, если открытая дверь остановившегося поезда, будет четко напротив него. Который из пассажиров сможет первым сесть в вагон?
     Эта задача является ни чем иным, как исследованием числовой оси по несколько измененному методу юного Гаусса.
     Гаусс использовал написание друг под другом двух отрезков натурального ряда в обратном порядка для простоты подсчета суммы.
     Мы же сталкиваемся с несколько иной задачей – возможной фиксацией совпадений по вертикали. Платформа и поезд – это две числовые оси записанные в обратном порядке, при чем на них указаны только те значения, которые соответствуют 13; 23; 33; 43 и т.д. Убедившись что это так, человек, знающий что теорема Ферма доказана, ответит на вопрос задачи следующим образом – никто из пассажиров и никогда не сможет попасть в вагон при таких условиях. Это значит, что числовые отметки верхней оси не будут совпадать с отметками нижней четко по вертикали.
     Если бы по техническим причинам электропоезд проехал пассажира, находящегося на расстоянии 123 от начала платформы, и остановился у отметки 1729, являющегося следующим числом за 123, а 123=1728, мы могли бы наблюдать интересную картину. Известно, что число 1729 можно представить суммой двух кубов целых чисел двумя способами. Это меньшее из чисел обладающее таким свойством при n=3. В результате четыре пассажира смогли бы сесть в вагон.
 

1729

123

103

93

13

0

0

13

93

103

123

1729

     На числовых осях указаны только те значения, которые четко совпадут по вертикали (совпадения записаны без соблюдения масштаба).
     Если исследовать подобным образом числовую ось при n=2 до некоторого значения, то можно «собрать полную коллекцию» Пифагоровых треугольников возможных при данном значении. Начинаться она будет с треугольника со сторонами 3; 4; 5. При чем «коллекция» будет собрана в двух комплектах.
     Научная новизна.  В работе рассмотрены некоторые частные случаи теоремы Ферма тремя различными способами:
    - методом плоских треугольников и кривых соединяющих концы конкретного отрезка;
     - методом числовых последовательностей;
     - «методом юного Гаусса».
    Показано, что для каждого целого с в формуле cn=an+bn существует максимальное значение n, при котором может рассматриваться версия существования целочисельных значений a и b. Утверждение, что это выражение не имеет целочисельных значений и при больших значениях n, не совсем корректно, хотя и верно. Далее – «мертвая зона».
     При дальнейшем увеличении n, версия существования целочисельных значений a и b одновременно не имеет права на «жизнь». Потому что при этих значения n одно из значений а или b при целом значении с будет больше чем с-1, но меньше с.
     На основании всего изложенного можно сделать определенное заключение.
Между некоторыми плоскими треугольниками и теоремой Ферма существует прямая связь. Треугольники, для которых верно cn=an+bn, n=3; 4; 5 и т.д., являются ни чем иным как частным случаем теоремы Ферма.
     Мы показали как «работает» теорема на «ограниченном пространстве», и как ограничение одного из параметров, а именно С, сказывается на другом параметре n, при доказательстве отсутствия целочисельных решений уравнения cn=an+bn, n=3; 4; 5 и т.д.
     При возрастании С, степень до которой имеет смысл доказывать теорему Ферма, тоже растет. При С=10 следует рассматривать варианты до n=6, при С=13 – до n=8, это видно из приведенных рядов.
     Ничто не мешает нам считать, что теорема Ферма верна и при n=2, с оговоркой, что при данной степени существуют исключения – так называемые Пифагоровы треугольники. Практического значения эта работа не имеет. Доказывая теорему Ферма для каждого конкретного числа, мы не докажем ее никогда. Однако автор не теряет надежды на то, что некоторые выкладки любителям математики будут интересны.

Библиографический список:

1. Зарубин В.В. Треугольник, и использование его в некоторых задачах // Электронный периодический рецензируемый научный журнал «SCI-ARTICLE.RU», №61 (сентябрь) 2018. – С. 16-28.
2. Сингх С. Великая теорема Ферма. — МЦНМО, 2000. — 288 с.




Рецензии:

29.06.2019, 10:19 Жураев Даврон Аслонкулович
Рецензия: Вели&#769;кая теоре&#769;ма Ферма&#769; (или Последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется просто, на «школьном» арифметическом уровне, однако доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Доказана в 1994 году Эндрю Уайлсом с коллегами (доказательство опубликовано в 1995 году). Великая теорема Ферма — задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство — даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. В работе рассмотрены некоторые частные случаи теоремы Ферма тремя различными способами: 1) методом плоских треугольников и кривых соединяющих концы конкретного отрезка; 2) методом числовых последовательностей; 3) «методом юного Гаусса». В работе приведены примеры и хорошо обоснованы. Данную работу можно опубликовать на журнале «SCI-ARTICLE.RU» Рецензент: Каршинский государственный университет, PhD, Жураев Даврон Аслонкулович

11.07.2019 21:21 Ответ на рецензию автора Зарубин Виктор Владимирович:
Уважаемый Даврон Аслонкулович, спасибо за рецензию. Данная тема мне интересна, планирую дальнейшее изучение данного вопроса. В работе исправлены некоторые орфографические ошибки и описки, приведены в надлежащий вид формулы и выражения. С уважением Виктор Зарубин.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх