Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Вакпрофи. Публикация статей ВАК, Scopus
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Информационные технологии, Физика
Размещена 05.08.2019. Последняя правка: 03.08.2019.
Просмотров - 305

Новые аппаратные платформы для исследования свободного объекта в квантовой системе

Бабаян Михаил Гарикович

нет

Донской Государственный Технический Университет

студент, КБиС

Рощина Евгения Валерьевна, кандидат экономических наук, доцент кафедры бухгалтерский учет,донской государственный технический университет


Аннотация:
За последние десятилетия для построения эталонов стали применять новые физические эффекты: квантовый эффект Джозефсона, квантовый эффект Холла, эффект Мейснера, эффект Мессбауэра и др. эффекты, важное значение в развитии эталонной измерительной техники, а также в будущем и рабочих средств измерений имеют квантовые эффекты Джозефсона и Холла. Рассмотрим три примера аффинных моноидов. Первое вытекает из теории информации и предоставляет естественную модель искажения изображения, а также многомерный аналог двоичного симметричного канала. Второй, из физики, описывает процесс телепортации квантовой информации с заданным запутанным состоянием. Третий - чисто математическая конструкция, свободный аффинный моноид над группой Клейна четыре. Докажем, что все три из этих объектов изоморфны.


Abstract:
Over the past decades, new physical effects have been used to build standards: the quantum Josephson effect, the quantum Hall effect, the Meissner effect, the Mössbauer effect, and other effects, are important in the development of reference measurement equipment, as well as in the future and working measuring instruments have the quantum effects of Josephson and Hall. Consider three examples of affine monoids. The first follows from the theory of information and provides a natural model of image distortion, as well as a multidimensional analogue of a binary symmetric channel. The second, from physics, describes the process of teleportation of quantum information with a given entangled state. The third is a purely mathematical construction, a free affine monoid over the Klein group of four. We prove that all three of these objects are isomorphic.


Ключевые слова:
квантовая система; квантовый канал; категория, телепортация; свободный объект; аффинный моноид; квантовые фазовые переходы

Keywords:
quantum system; quantum channel; category, teleportation; free object; affine monoid; quantum phase transitions


УДК 530.145  

Введение

Передача информации уже долгое время исследуется учеными и с каждым годом появляются новые разработки в сфере теории информации. Наиболее актуальными в современных условиях являются следующие вопросы: можно ли создать устройство, способное прервать любую форму квантовой связи, можно ли максимизировать количество информации, которая может быть передана с квантовыми состояниями в фиксированной, но неизвестной среде, двоичные симметричные каналы являются одними из наиболее полезных моделей шума, потому что все их теоретико-информационные свойства легко вычисляются, можно ли сделать квантовую теорию информации, используя классические каналы. Все эти пункты зависят от определенного свободного объекта над конечной группой.

Актуальность исследования

Актуальность решения проблемы отображается в любом наборе математических объектов, где свободные объекты - это те, которые удовлетворяют наименьшему количеству законов. Так как любой другой моноид над S можно рассматривать как свободный моноид вместе с дополнительными ограничениями, накладываемыми на его умножение. Ученые-информатики называют элементы свободных моноидов «списками». Они являются одними из самых важных объектов в вычислениях. В частности, свободный моноид над набором из одного элемента - это набор натуральных чисел с добавлением. Элементы свободного объекта называются «каналами». От классического искажения изображения до квантовой коммуникации - он играет важную роль при изучении передачи информации в шумной среде.

Цель исследования

Цель этой статьи является комплексной, включая изучение свободного объекта в квантовой теории информации, рассмотрении два примера аффинных моноидов: первый вытекает из теории информации и предоставляет естественную модель искажения изображения, а также многомерный аналог двоичного симметричного канала, второй, из физики, описывает процесс телепортации квантовой информации с заданным запутанным состоянием и свободным аффинным моноидом над четвертой группой Клейна.

Задачи исследования

Цель определила следующие задачи:

  1. рассмотреть теоретико-методические основы свободного объекта в квантовой теории информации;
  2. изучить вопрос помехоустойчивого программирования, телепортации, блочного кодирования, свободного аффинного моноида над конечной группой;
  3. доказать изоморфность двух примеров аффинных моноидов;

Научная новизна исследования

Научная новизна проводимого исследования заключается в следующем:

Объектом для реализации безопасности информационной системы является высшие учебные заведения, темой исследования способы, инструменты построения и реализации квантовых систем. Подобные системы должны своевременно дорабатываться и легко адаптироваться к ежедневно изменяющимися условиями со стороны объекта управления и подстраиваться под современные требования. Разработка концептуальной модели принято разделять на несколько различных уровней.

Развитие квантовых систем создало большие надежды на надежную обработку квантовой информации. Несмотря на то, что этот прогресс уже привел к различным экспериментам с доказательством принципа действия на малых квантовых системах, требуется большой шаг масштабирования для протоколов со многими кубитами. Отказоустойчивые вычисления с защищёнными логическими кубитами обычно осуществляются за счет значительных затрат оборудования. Каждый из задействованных физических кубитов все еще должен удовлетворять наилучшим достигнутым свойствам (временам когерентности, силам связи и перестраиваемости).

Двух уровней будет достаточно: верхнего, научно-исследовательского, который охватывает всю модель квантовых разработок, современных моделей угроз и т.д., нижнего или потребительского, который относится к отдельным подсистемам самой информационной системы и различным сервисам.

Двоичные симметричные каналы в помехоустойчивом кодировании. Простой способ представить черно-белое изображение на компьютере - это набор пикселей. Пиксель представляет собой крошечную прямоугольную область исходного изображения. Центру этого прямоугольника присваивается число, представляющее его интенсивность или «уровень серого». Например, черный цвет может быть представлен 0, а белый - 255. В общем, давайте предположим, что интенсивность представлена числом, двоичное расширение которого может быть задано в n битах.

Изображение искажается, когда окружающий шум переворачивает некоторые биты в пикселе. Это приводит к изменению исходной интенсивности пикселя. Например, если все биты в белом пикселе перевернуты, пиксель станет черным, в результате чего изображение выглядит темным в том месте, где он должен быть светлым. Чтобы смоделировать искажение изображения, мы будем использовать канал, чей вход - это пиксель, а чей выход - это пиксель, который в целом был каким-то образом ухудшен.

При передаче цифровых данных по каналу с шумом всегда существует вероятность того, что принятые данные будут содержать некоторый уровень частоты появления ошибок. Получатель как правило устанавливает некоторый уровень частоты появления ошибок, при превышении которого принятые данные использовать нельзя. Если частота ошибок в принимаемых данных превышает допустимый уровень, то можно использовать кодирование с исправлением ошибок., которое позволяет уменьшить частоту ошибок до приемлемой [1].

Кодирование с обнаружением и исправлением ошибок как правило связано с понятием избыточности кода, что приводит в конечном итоге к снижению скорости передачи информационного потока по тракту связи. Избыточность заключается в том, что цифровые сообщения содержат дополнительные символы, обеспечивающие индивидуальность каждого кодового слова. Вторым свойством связанным с помехоустойчивым кодированием является усреднение шума. Этот эффект заключается в том, что избыточные символы зависят от нескольких информационных символов.

При увеличении длинны кодового блока (т.е. количества избыточных символов) доля ошибочных символов в блоке стремиться к средней частоте ошибок в канале. Обрабатывая символы блоками, а не одного за другим можно добиться снижения общей частоты ошибок и при фиксированной вероятности ошибки блока долю ошибок, которые нужно исправлять.

Все известные в настоящее время коды могут быть разделены на две большие группы: блочные и непрерывные. Блочные коды характеризуются тем, что последовательность передаваемых символов разделена на блоки. Операции кодирования и декодирования в каждом блоке производится отдельно. Непрерывные коды характеризуются тем, что первичная последовательность символов, несущих информацию, непрерывно преобразуется по определенному закону в другую последовательность, содержащую избыточное число символов. При этом процессы кодирования и декодирования не требует деления кодовых символов на блоки [2].

Разновидностями как блочных, так и непрерывных кодов являются разделимые (с возможностью выделения информационных и контрольных символов) и неразделимые коды. Наиболее многочисленным классом разделимых кодов составляют линейные коды. Их особенность состоит в том, что контрольные символы образуются как линейные комбинации информационных символов. В данной главе было рассмотрено следующее: изучили случай n = 1, когда интенсивность представлена одним битом, измерили величину искажения в изображении. Дали определение каналов формы первого аффинного моноида, который вытекает из теории информации - двоичный симметричный канал.

Так же стоит взять во внимание, что после исследования двоичных каналов связи мы научились моделировать искажение изображения; мы будем использовать канал, чей вход - это пиксель, а чей выход - это пиксель, который в целом был каким-то образом ухудшен.

Смешанное состояние в канале кубита. Тот факт, что двоичный канал f :Δ2 → Δ2 работает на Δ2 свидетельствует о том , что только два символа посылаются и что выбирается особый и фиксированный способ представления этих двух символов. В отличие от этого, в случае квантового канала существует бесконечное число способов представления битов: каждый базис пространства состояний H 2, двумерного комплексного гильбертова пространства, предлагает другое возможное представление [3].

Классический двоичный канал f2 → Δ2 принимает распределение входного сигнала на выходе распределения. Аналогичным образом, кубит канала будет отображать входные распределения для вывода распределений. Но что такое квантовый аналог распределения? Вернемся к классическому случаю. Каждое распределение х ∈Δ2 может быть записано

x= x0 · e0 + x1 · e1                              

как выпуклая сумма классических «чистых» состояний. Смысл такого выражения состоит в том, что система находится в состоянии e 0 с вероятностью x 0 и в состоянии e 1 с вероятностью x 1. Таким образом, если квантовая система находится в состоянии | Ψ〉с вероятностью x i, естественным способ представления этого «распределения» дается оператором. Оператором плотности в квантовых системах называется смешанное состояние. Множество всех операторов плотности на H2 обозначается через Ω2. Таким образом, по аналогии с классическим случаем, канал кубита будет функцией вида ε: Ω2 → Ω2[4].

Каналом кубита является функция ε: Ω2 → Ω2, выпуклая линейная и полностью положительная,

Для того, чтобы сказать, что ε сохраняет выпуклые суммы, то есть суммы вида x· ρ+ (1 − x) · σ [5].

Полная положительность - это условие, которое гарантирует, что определение канала кубита совместимо с естественными представлениями о совместных системах. Теперь избавимся от гильбертовой пространственной формулировки кубитовых каналов.

Между операторами плотности в двумерном пространстве состояний и точками на единичном шаре B 3 = { x ∈ R 3 существует соответствие 1-1 : | х | ≤ 1 }.

Вектор r называется блочным вектором, ассоциированным с ρ . Запишем r = [[ ρ ]] и обозначим биекцию между Ω 2 и B 3 как [[ · ]]: Ω 2 → B 3 . Затем:

  • [[I/2]] = 0
  • [[+ (1 − x)σ]] = x[[ρ]] + (1 − x)[[σ]]                                   

где x ∈ [0 , 1] и ρ, σ - операторы плотности. Обратите внимание, что I/ 2 является полностью смешанным состоянием, т. е. тождеством, деленным на два, что является квантовым аналогом равномерного распределения.

В парамагнитной фазе соответствующие возбуждения представляют собой колебания отдельных спинов. Эти возбуждения становятся беззеркальными именно в критической точке. Напротив, возбуждения в упорядоченной (ферромагнитной) фазе являются доменными стенками (или описываются как изломы) между различными основными состояниями («вакуума»). Даже если любой сверхпроводник является бозонной системой, ожидается, что возбуждения с самыми низкими энергиями в лестницах будут иметь фермионную природу; возбуждения с более высокой энергией представляют собой составные частицы, изготовленные из этих фермионов (аналогично появлению кварков и мезонов). Появление нетривиальных возбуждений вблизи квантового фазового перехода и их свойства являются одной из главных тем будущих исследований [6].

Поскольку каналы кубитов отображают Ω 2 в себя, они также имеют    блочные представления. Блочное представление канала кубита ε : Ω 2 → Ω 2 - это отображение f ε = [[ ε ]], которое делает

                         

соединение. Она удовлетворяет

f ε ([[ ρ ]]) = [[ ε ( ρ )]] .                               

Отображение f ε : B 3 → B 3  является  аффинным преобразованием : существует вещественная матрица M 3 × 3 и вектор b ∈ R 3 такой, что f ε ( x ) = Mx + b для всех x . Однако обратите внимание, что существует множество аффинных преобразований, которые не возникают как блочное представление канала кубита. Например, антиподальное отображение a ( x )= - x  не представляет канал кубита, т. е. «универсальное переключение битов» физически невозможно.

Следующие уравнения полезны при вычислении блочных представлений каналов кубитов:

где f, g : Ω 2 → Ω 2 - каналы кубита и p ∈ [0 , 1]. 

Из-за выпуклого линейного изоморфизма между каналами кубита и их блочными представлениями блочное представление [[ ε ]] канала кубита ε : Ω 2 → Ω 2 также будем называть каналом кубита [7].

Телепортация позволяет отправителю (Алиса) передать кубит | Ψ〉 получателю (Бобу) следующим образом:

-        В начале, Алиса и Боб делят максимально запутанная пару кубитов, т.е. составной системы, состоящую из их индивидуальных подсистем находится

-        Алиса взаимодействует  со своей половиной запутанной пары, а затем измеряет оба этих кубита, получая один из четырех возможных результатов: т = 00, т = 01, т = 10 или т = 11.

-        Состояние кубита Боба теперь определяется результатом измерения Алисы, выполненного на предыдущем шаге; в частности, состояние Боба

-        

-        Алиса теперь посылает битовую строку т = Ij Бобу. Затем он применяет оператор  к своему кубиту, тем самым полностью восстанавливается | Ψ〉.

Тем не менее, ни один из известных экспериментальных методов не способен генерировать максимально запутанные состояния «по требованию» - самое большее, на что можно надеяться в настоящее время, - это создание запутанных состояний, которые подвержены несовершенству. Предположим тогда, что вместо Алисы и Боба разделяющих состояние ), они разделяют несовершенное состояние

 

где a, b, c, d ∈ C и | а | 2 + | б | 2 + | с | 2 + | д | 2 = 1 [8].

Процесс телепортации кубита с заданным запутанным состоянием действительно определяет канал кубита в формальном смысле, поэтому такие каналы называются каналами телепортации.

Набор телепортационных каналов равен набору диагональных каналов.

Докажем: Если чистое состояние с блочным вектором ( r x , r y , r z ) ∈ B 3 телепортируется с использованием состояния

,                                

тогда блочный вектор смешанного состояния, описывающего полученное состояние, равенfΦ(rx, ry, rz)=(λxrx, λyry, λzrz)

где

Это соответствие определяет выпуклую линейную функцию f Φ : B 3 → B 3, которая является блочным представлением диагонального канала кубита - в частности, форма λ i гарантирует, что f Φ представляет собой полностью положительное отображение. Таким образом, каждый канал телепортации является диагональным [9].

Каждый диагональный канал с записями ( λ x , λ y , λ z ) является экземпляром телепортации через запутанное состояние , где

В частности, набор каналов телепортации является аффинным моноидом: он закрыт по составу и недетерминированному выбору. Например, телепортация через одно состояние и затем телепортация через другое равносильно телепортации через фиксированное третье состояние [10].

Заключение. Мы видели полезность свободного аффинного моноида над четвертой группой Клейна и вывели основные идеи. Аффинный моноид можно использовать для разработки устройства, способного прерывать любую форму квантовой связь. Он играет решающую роль в расчете как мощности Холево, так и объема унитального канала; в первом случае один приводит к экспериментально реализуемому протоколу для достижения емкости Холево, тогда как во втором мы получаем метод максимизации скорости генерации ключей в квантовой криптографии. Это обеспечивает более высокий размерный аналог бинарных симметричных каналов, какие из наиболее важных теоретико-информационных свойств легко вычислить. Аффинный моноид можно понимать как процесс телепортации, когда разрешено любое состояние как источник запутанности, также предлагает возможность сделать квантовую теорию информации с классической каналы, так как изоморфизм от  к диагональным каналам присваивает нетривиальные собственные значения классического каналаи наибольшее из них по величине определяет пропускную способность Холево назначенного диагонального канала.

Свободный аффинный моноид над четвертой группой Клейна имеет квантовую представление, а также стохастическое представление - один с точки зрения стохастической матрицы с обычными операциями умножения и выпуклой суммы. На самом деле, Таннер Краудер недавно показал, что свободный аффинный моноид над любой конечной группой имеет стохастическое представление в соответствующем измерении. Это более тонкий, чем это может звучать: стохастическое представление симметрической группы S 3 на трех буквах требуют использования 5 × 5 матриц. Это, конечно, поднимает вопрос о квантовом представлении.

Интересно, что множество каналов с одним кубитом содержит бесконечное число копий конечной группы A4, чередующаяся группа из четырех букв, но ни одна из них не имеет выпуклого замыкания, которое дает свободный объект надA4: причина в том, что является копией A4 в SO(3), выпуклое замыкание которое не является свободным и что все копииA4 в SO(3) сопряжены. Таким образом, свободный аффинный моноид над A4 не имеет квантового представления с использованием каналов кубита.

Библиографический список:

1. Королев А.И. Коды и устройства помехоустойчивого кодирования информации: учебник — М.: Бестпринт, 2012. — 286 c.
2. Т. Кубитт, А. Монтанаро, С. Пиддок. Универсальные квантовые гамильтонианы, arXiv: 17 01.05182, 2017.
3. M.T. Bell, I.A. Sadovsky, L.B. Ioffe, A.Yu. Kitaev, and M.E. Gershenson. Quantum super inductors with tunable nonlinearity, 109 (2012) 1–5, 137003.
4. Magnets, 1D quantum system, and quantum phase transitions theory [Электронный ресурс] http://www-personal.umich.edu/~sunkai/teaching/Fall_2014/Chapter10.pdf (дата обращения 12.11.2018).
5. Васильев, К.К. Теория электрической связи: учебное пособие У.: УлГТУ, 2018. – 452 с.
6. Рябко, Б. Я. Криптографические методы защиты информации: учеб. пособие для вузов / Рябко Б. Я., Фионов А. Н. М.: Техносфера, 2008.
7. А. Мазуренко и др. Ферми – Хаббардовский антиферромагнетик с холодным атомом, Nature 545 (2017) 462.
8. G. DelasCuevas, TS Cubitt, Простые универсальные модели охватывают всю классическую физику спинов. Science 351 (6278) (2016) 1180–1183.
9. A. Dutta, G. Aeppli, B.K. Chakrabarti, U. Divakaran, T.F. Rosenbaum, D. Sen. Quantum Phase Transitions in Transverse Field Spin Models: From Statistical Physics to Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge, UK (2015)
10. Frank Adam (October 14, 2012). "Cracking the Quantum Safe". The New YorkTimes. Retrieved 2012-10-14.




Рецензии:

7.08.2019, 0:41 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Ни аннотация, ни текст относительно стилистики, ни оформление всей работы, включая библиографический список, не выдерживают критики. Данный журнал всё же русскоязычный. Единственный фрагмент, понятный, справедливый и грамотно написанный - это "свободные объекты - это те, которые удовлетворяют наименьшему количеству законов.". Всё остальное - семантически, орфографически, синтаксически, да и математически - сплошная "лега", набор надёрганных из различных разделов информатики, метрологии, криптографии, математики, физики и др. разделов науки декларативных утверждений. Разобраться в работе совершенно невозможно. Не существует, например, четвертной группы Клейна, а есть четверная группа. Никто не обозначал их К4, а V4. Без каких-то пояснений вводится слово !кубит", обозначющее квантовый бит информации. Трудно без доказательства принять утверждение, что четверные группы входят своими копиями в нижеранговую S3. Если авторы считают свою работу серьёзной и претендующей на новизну, то в таком небрежном виде её представлять нельзя. Согласование отдельных частей предложений (типа "имеет квантовую представление"), пробелы повсеместно в тексте и в инициалах отсутствуют, инициалы то впереди фамилий, то позади и т.д. и т.п. Привожу пример правильно оформленного источника: "Watson, T. F. et al. A programmable two-qubit quantum processor in silicon. Nature 555, 633–637 (2018)." В таком виде работу публиковать нельзя.



Комментарии пользователей:

5.08.2019, 10:30 Голик Феликс Валентинович
Отзыв: Одно слово: кошмар!


Оставить комментарий


 
 

Вверх