Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 30.01.2020. Последняя правка: 04.02.2020.
Просмотров - 759

Доказательство гипотезы Била, понятное школьникам

Ремизов Вадим Григорьевич

Кандидат технических наук

Ярославский государственный технический университет

Доцент

Аннотация:
В статье приведено простое доказательство гипотезы Била, которая является обобщением теоремы Ферма и которое доступно для понимания школьникам. Доказательство основано на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов являются непрерывными функциями. Для решения диофантова уравнения Била использовались периодические тригонометрические функции (синусоиды).


Abstract:
The article presents a simple proof of the Beale hypothesis, which is a generalization of Fermat's theorem and is available for pupils to understand. The proof is based on the properties of extremums of continuous and smooth functions, in which the necessary conditions for the existence of extremums are continuous functions at the extremum points. For the solution of Diophantine Beal’s equation was used to Beat the periodic trigonometric functions (sine waves).


Ключевые слова:
Гипотеза Била; диофантовы уравнения; вещественные, целые, натуральные, простые и попарно взаимно простые числа; периодические, тригонометрические, непрерывные и гладкие функции; математический анализ; экстремумы, максимумы и минимумы функций

Keywords:
The Beal’s Conjecture; Fermat's theorem; diophantine equations; real, integer, natural, prime and pair wise mutually Prime numbers; periodic trigonometric, continuous and smooth functions; mathematical analysis; extremes, maxima and minima of functions


УДК 510

Вступление

В 1993 году математиком-любителем Эндрю Билом (Andrew Beal) была сформулирована гипотеза, названная его именем, которая является обобщением теоремы Ферма.

Актуальность

Гипотеза Била до сих пор не доказана! В свою очередь теорема Ферма является частным случаем гипотезы Била, когда все показатели степеней одинаковы.  

Цели и задачи

Найти простое доказательство гипотезы Била.

Научная новизна

Для доказательства гипотезы Била были использованы свойства экстремумов непрерывных и гладких функций (периодических тригонометрических функций - синусоид), у которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов являются непрерывными функциями, то есть для решения диофантова уравнения применены синусоиды.

ГИПОТЕЗА  БИЛА  —  гипотеза в теории чисел, обобщение теоремы Ферма. Теорема Ферма является частным случаем гипотезы Била в эквивалентной формулировке, когда все показатели степеней одинаковы, то есть  X = Y = Z = n > 2 .

Гипотеза Била формулируется следующим образом:

BEAL'S CONJECTURE:   if    AX + BY  =  C, where  A, B, C, X, Y and Z  - are positive integers numbers and  X, Y and Z are all greater than 2, then  A, B and C must have a common prime factor.

ГИПОТЕЗА БИЛА:  Натуральные числа  A, B, C, X, Y, Z   и   X, Y, Z  > 2  удовлетворяют уравнению

                                   AX  +  BY  =  CZ                                                                                 (1)

тогда и только тогда, когда числа  A, B, C  имеют общий простой  множитель, не равный  1. Очевидно, что в уравнении (1)  С ≠ 1, потому что  CZ  равно сумме двух натуральных чисел, которая больше 1. Так же очевидно, что  A и B  не могут быть одновременно равными единице, так как  уравнение   2 = CZ  при  Z  > 1  не имеет целочисленных решений.

Эквивалентные формулировки гипотезы Била:

Уравнение Била (1) в натуральных числах   А, В, С, X, Y, Z   и  X, Y, Z  > 2  не имеет решений в попарно взаимно простых числах  А,  В  и С.

Если уравнение Била (1)  верно для каких-то натуральных  A, B, C, X, Y, Z  и X, Y, Z  > 2, то числа  A, B и C  имеют общий простой множитель и не могут быть попарно взаимно простыми.

В условии гипотезы Била нельзя отказаться от требования   X, Y, Z > 2, так как в этом случае существует бесконечно много целочисленных решений, удовлетворяющих уравнению (1), когда  A, B, C  не имеют общих множителей, то есть  A, B, C - попарно взаимно простые числа. Тривиальные решения, когда одно из чисел  A,  B, C  равно нулю не рассматриваются, они всегда имеют целочисленные решения, а ищутся только не тривиальные решения.             

Рассмотрим примеры, когда уравнение Била (1) имеет целочисленные решения, и когда условие  X, Y, Z > 2  не выполняется, а  числа   A, B, C - попарно взаимно простые числа:

  • Минимальные Пифагоровы тройки с попарно взаимно простыми числами, не имеющие общих множителей,  A = k2- m2,  B = 2km,  C = k2 + m2 , где  k  >  m   взаимно простые числа различной четности, например,  32 + 42 = 52  (k=2m=1), либо  минимальные Пифагоровы тройки с попарно взаимно простыми числами, не имеющие общих множителей,  A = i∙j,  B = (i2-j2)/2,  C = (i2+j2)/2,  где  i  >  j  взаимно простые нечетные числа, например,  32 + 42 = 52  (i=3j=1). Формулы перехода от взаимно простых чисел различной четности  k  и  m  к взаимно простым нечетным числам   i   и  j   и наоборот: 

i = k + m,  j = km    и    k = (i + j) / 2,  m = (ij) / 2;

  • 1 + 23 = 32   ↔   12 + 23 = 32   ↔   13 + 23 = 32   ↔   1N + 23 = 32    ↔   1 + 8 = 9    (здесь   следует   заметить,   что   этот   случай   особый,  так   как  1 = 10 = 11 = 12 = 13 = 1N, то есть  степень  при  единице не определена (многозначна),  а единица не является ни простым, ни составным числом;  
  • 25 + 72 = 34    ↔    25 + 72 = 92       32 + 49 = 81;
  • 73 + 132 = 29   ↔   73 + 132 = 83        343 + 169 = 512.    
  • Следует заметить, что в последних двух примерах условие  x, y, z > 2  не выполняется и при этом  либо  A=2,  либо  B=2,  либо  C=2.
  • Примеры, когда уравнение (1) имеет целочисленные решения, и когда условие  x, y, z > 2 не выполняется, а  A, B, C – имеют общий множитель:
  • 32 + 33 = 62        9 + 27 = 36        1 + 3 = 22,  общий делитель  32;  
  • 32 + 63 = 152       9+216=225        1 + 23 =52,  общий делитель  32
  • Пифагоровы тройки с числами  A, B, C,  имеющими общий множитель  p,   A = (k2- m2)∙p,  B = 2km∙p,  C = (k2 + m2)∙p, где  k  и  m   взаимно простые числа различной четности, например,  (7∙3)2 + (7∙4)2 = (7∙5)2 ,  где (k=2m=1,  p=7);

Но имеются и уравнения, которые не имеют решений в целых положительных числах, когда требование  X,Y, Z > 2  не выполняется. Например, уравнение   A4 + B4 = C2  не имеет решений в целых положительных числах, что доказал еще Пьер Ферма  [1, c 23].

Так же следует заметить, что если либо  X = 1,  либо  Y = 1,  либо  Z  = 1, то уравнение (1) всегда имеет бесчисленное множество целочисленных решений, поэтому нас интересуют решения диофантова уравнения Била, когда   X,Y, Z > 1 .

В  случаях, когда  условие  X,Y, Z  > 2  не  выполняется  (когда или  X = 2,  или  Y = 2,  или  Z = 2) уравнение (1) может, как иметь целочисленные решения, так и не иметь целочисленных решений, а числа  A, B, C  могут, как иметь общие множители, так и быть попарно взаимно простыми числами. Об этом свидетельствуют приведенные примеры.

Гипотеза Била при нарушении условия X,Y, Z > 2 подтверждается следующими примерами:

Пифагоровы тройки, в которых числа  A, B, C - попарно взаимно простые числа,                          

A4 + B4 = C2, уравнение целочисленных решений не имеет;

1N + 23 = 32,  числа A, B, C  взаимно просты, общих делителей больше 1 не существует;   

33 + 63 = 35     27 + 216 = 243     1 + 23 = 32,  числа A, B,имеют общий делитель 33;   

73 + 74 = 143     343 + 2401 = 2744    1 + 7 = 23,  числа A, B,имеют  общий делитель 73;

76 + 77 = 983     117649 + 823543 = 941192    1 + 7 = 23,  общий делитель 76;

274 + 1623 = 97  531441+4251528=4782969  1+23=32,  общий делитель 312;

2n+ 2n= 2n+1   1 + 1 = 2,   общий делитель 2n;

33n +[2(3n)]3 = 33n+2  ↔ 1 + 23 = 32, общий делитель 33n;

(an-1)kn  + (an-1)kn+1 = [a(an-1)k]n      1 + (an-1)= an,  общий делитель  (an-1)kn;

[a(an + bn)]n  +  [b(an + bn)]n  =  (an + bn) n+1    an + bn = (an + bn)1, общий делитель (an + bn)n.

До сих пор не найдены взаимно простые натуральные числа  A, B, C  при целых  X, Y, Z > 2, которые бы удовлетворяли уравнению (1). Если будет найден такой контрпример, то будет доказана несправедливость гипотезы Била. По состоянию на 2013 год гипотеза проверена для случаев, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000. 24 марта 2014 года запущен проект добровольных вычислений Beal@Home на платформе BOINC по поиску контрпримера путём полного перебора

В гипотезе Била оговорены условия, когда уравнение (1) имеет целочисленные решения при  X, Y, Z > 2. Целочисленные решения имеются, когда A, B, C  имеют общие множители и целочисленные решения отсутствуют, когда  A, B, C  попарно взаимно простые числа.

Для того, чтобы доказать гипотезу Била в оригинальной формулировке надо найти все целочисленные решения уравнения (1) и показать, что во всех полученных целочисленных решениях  числа  A, B, C  имеют общие множители, не равные единице, что осуществить практически невозможно. Поэтому гипотезу Била проще доказать, если сформулировать ее в эквивалентной формулировке. Поскольку все целочисленные решения уравнения (1)  A, B, C  имеют общие множители, то если  A, B, C  не будут иметь общих множителей, то есть  A, B, C  будут попарно взаимно простыми числами, то уравнение (1) не может иметь решений.

Сформулируем гипотезу Била в эквивалентной формулировке: Уравнение (1) не имеет решений в целых положительных (натуральных) числах, тогда и только тогда, когда  A, B, C  попарно взаимно простые числа,  а  целые числа  X,Y, Z > 2.

Следует заметить, что теорема Ферма является частным случаем гипотезы Била в эквивалентной формулировке, когда  X = Y = Z = n > 2,  а гипотеза Била является обобщением теоремы Ферма, когда целые показатели степени  X,Y,Z > 2  могут принимать любые произвольные целые значения. Так же следует заметить, что если бы теорема Ферма была бы не верна, то и гипотеза Била тоже была бы не верна.

Докажем гипотезу Била в эквивалентной формулировке. Для доказательства гипотезы Била используем метод, основанный на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций нескольких переменных с параметром  a, координаты которых (координаты экстремумов) являются непрерывными функциями параметра  a. Метод не позволяет находить целочисленные решения диофантовых уравнений, но позволяет устанавливать, когда диофантово уравнение не будет иметь целочисленных решений. Всегда имелся соблазн для решения диофантовых уравнений использовать синусоиды, которые при целых значениях аргументов обращаются в нуль. Сущность метода заключается в следующем.

Для доказательства того, что диофантово уравнение при некоторых условиях не имеет целочисленных решений (множество решений пустое), надо: 

  • Построить вещественную неотрицательную, непрерывную и гладкую функцию относительно всех вещественных неизвестных диофантова уравнения и параметра a, которая при целых значениях переменных, удовлетворяющих диофантову уравнению, и при  a = 1  будет равна нулю, то есть  полученнаяфункция будет иметь нулевые локальные минимумы в точках, в которых диофантово уравнение имеет целочисленные решения. В этом случае для нахождения решений диофантова уравнения можно использовать свойства локальных экстремумов непрерывных и гладких функций, необходимые условия существования экстремумов (минимумов и максимумов), непрерывность траекторий (функций координат) точек экстремумов и непрерывность необходимых условий существования экстремумов в точках экстремумов.
  • Записать необходимые условия существования экстремума построенной непрерывной и гладкой функции, то есть записать функции-ограничения на координаты точек экстремумов, и искать решение диофантова уравнения во множестве координат точек экстремумов построенной функции. Поскольку координаты точек экстремумов (нулевых локальных минимумов), соответствующих решениям диофантовых уравнений,  всегда удовлетворяют необходимым условиям существования экстремумов;  
  • Показать, что траектории (функции координат) точек экстремумов при  a = 1  не непрерывны (имеют разрывы), то есть показать, что в точках экстремумов при  a = 1  по крайней мере одно из необходимых условий существования экстремумов (одно ограничение) не будет непрерывным и будет иметь разрывы. В этом случае диофантово уравнение не будет иметь целочисленных решений.

У функций-ограничений непрерывной и гладкой функции при непрерывном изменении параметра  a  координаты точек экстремумов построенной функции изменяются непрерывным образом и не имеют разрывов, то есть координаты точек экстремумов функции в окрестности точки  a=1  являются непрерывными функциями параметра  a. Но если при  a=1  функции-ограничения будут иметь разрыв, непрерывная и гладкая функция не будет иметь нулевых минимумов, а поэтому диофантово уравнение не будет иметь целочисленных решений. Этот же метод был использован и при доказательстве теоремы Ферма в работах [2, 2]. Указанный метод применим только для доказательства гипотез об отсутствии целочисленных решений у диофантовых уравнений при некоторых условиях, например, условиях, оговоренных в эквивалентной формулировке гипотезы Била.

Будем искать решения диофантова уравнения Била (1), когда  A,B, X,Y, Z  - натуральные числа и  X,Y, Z > 2. 

Рассмотрим непрерывную и гладкую функцию  f (A, B)  двух независимых вещественных переменных   A,  B   с  вещественными  параметрами   X,  Y,  Z,  a   с  областями определения:  A,B1;    X,Y, Z > 2   и   1 - ε  <a < 1 + ε,   где   ε  -  достаточно малое число

Следует заметить, что функция (2) является непрерывной и гладкой не только по отношению к независимым переменным  A иB, но и по отношению к параметрам  X,  Y,  Z,  a.  Поэтому функция (2) и ее частные производные везде в области определения определены и непрерывны и не имеют разрывов, и поэтому малым приращениям независимых переменных и параметров соответствуют малые приращения значений функции (2) и ее частных производных. У непрерывных и гладких функций траектории точек экстремумов (функции координат точек экстремумов) так же непрерывны. У непрерывных и гладких функций в точках экстремумов так же непрерывны и все необходимые условия существования экстремумов.

Очевидно, что при  a = 1 только целые числа  A,B, С,X,Y,Z, удовлетворяющие уравнению Била (1), если таковые существуют, обращают функцию (2) в ноль, то есть доставляют функции (2) нулевой локальный минимум. В ни каких других точках (ни при каких других целых значениях чисел A,B, С,X,Y,Z) функция (2) не может иметь нулевых локальных минимумов. Поэтому целочисленные решения уравнения (1) будем искать во множестве координат точек экстремумов функции (2). Значения координат точек локальных минимумов и соответствующих значений параметров должны удовлетворять необходимым условиям существования экстремумов. В точках, в которых неотрицательная, непрерывная и гладкая функция (2) равна нулю, имеют место нулевые локальные минимумы, поэтому нет необходимости исследовать достаточные условия существования экстремумов, так как очевидно, что эти точки являются точками нулевых локальных минимумов.

Чтобы доказать гипотезу Била, то есть доказать, что уравнение (1) не имеет целочисленных решений при условиях, оговоренных в эквивалентной формулировке гипотезы Била (A,B, С  попарно взаимно простые натуральные числа и целые числа  X,Y, Z  > 2), надо показать, что функция (2) не имеет при указанных условиях нулевых локальных минимумов. Значительно проще искать экстремумы функции (2) и целочисленные решения уравнения (1) в предположении попарной взаимной простоты чисел  A,B, С, чем искать все решения уравнения (1) в предположении, что числа A,B, С  имеют общие простые делители. Для отыскания всех решений, доставляющих локальные экстремумы функции (2), необходимо решить систему двух уравнений (систему необходимых условий существования экстремумов). А для того, чтобы доказать, что функция (2) не имеет нулевых локальных минимумов, а уравнение (1) целочисленных решений, не надо решать систему необходимых условий существования экстремумов, просто необходимо показать, что хотя бы одно из необходимых условий существования экстремумов функции (2) противоречит свойствам непрерывных и гладких функций, то есть в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов не являются непрерывными функциями и имеют разрывы.

Запишем необходимые условия существования экстремума функции (2) с учетом (3)

где  переменные  A,  -  вещественные координаты  точек  экстремумов  функции (2), а   X,Y,Z  и  a  - вещественные параметры.

Если не выполняется хотя бы одно из необходимых условий существования экстремума (4) или (5), то в этой точке функция (2) не может иметь экстремума, а если одна из этих функций в какой либо точке имеет разрыв, то в этой точке непрерывная и гладкая функция (2) не может иметь экстремумов.

Следует заметить, что уравнения (4) и (5) при  a = 1  и целых  A,B,X,Y,Z  неопределенны, то есть неизвестно выполняются эти равенства или нет, поскольку не определено значение С,  в том смысле, что неизвестно какое значение принимает  С, целое или не целое. Поэтому неизвестную  С  надо исключить из этих уравнений.

Из уравнений (4) и (5), после исключения переменной  С  можно получить еще одно необходимое условие существования экстремума функции (2)

Все три необходимых условия существования экстремумов (4), (5) и (6) равноправны, то есть для нахождения координат точек экстремумов функции (2) можно использовать любые два уравнения из трех. В частных производных функции (2) переменные  A,B, С,X,Y,и а независимы друг от друга, поэтому каждое необходимое условие существования экстремума накладывают на них одно ограничение. Следует заметить, что некоторые из переменных можно зафиксировать, тогда остальные переменные могут рассматриваться как функции параметра а. Если зафиксировать переменные  A,B, С,X,Y,Z, то тогда необходимое условие (6) превращается в уравнение с одним неизвестным  а

В дальнейшем будем исследовать уравнение (6).

Условие (6) накладывает ограничения на независимые координаты точек экстремумов  A,B  и  параметры X,  Y,  a.  Условие (6) (уравнение) представляет собой равенство с пятью неизвестными  A,BX,  Y  и  a,   поэтому его можно рассматривать как неявно заданную функцию (7) переменных  A, B,  X,Y  от параметра  a.  Поскольку функция (2) непрерывная и гладкая, то неявно заданная функция (7) должна быть тоже непрерывной. Условие (6) можно представить как явно заданную функцию с аргументом  а, в виде

Функции (6) и (7) накладывают условия-ограничения на координаты экстремумов  A, и параметры  X,Y  функции (2)  в зависимости от значений параметра  a, при этом две переменные  A и B  могут быть заданы произвольно и зафиксированы. В этом случае мы будем искать значения параметров  X,  Y  и  a, которые удовлетворяют уравнению (7), то есть когда экстремум функции (2) будет находиться в точке с координатами  A и B.

Будем искать нулевые минимумы функции (2) при условиях, оговоренных в эквивалентной формулировке гипотезы Била, а именно, когда целые  X, Y  > 2,  а  целые  A и B  попарно взаимно просты,  то есть  A B.

Так как функция (2) в области определения непрерывная и гладкая, то функция (7) должна быть непрерывной функцией аргумента  a, поэтому функции координат экстремумов  A, и параметров X, Y  функции (2) в области определения не должны иметь разрывов и быть непрерывными функциями параметра  a. Это следует из свойств непрерывных и гладких функций. Поэтому в точках, в которых функции-ограничения на координаты точек экстремумов гладких функций не определены, значения этих ограничений должны быть доопределены значениями пределов, полученных при раскрытии неопределенностей, чтобы функции-ограничения были непрерывными в окрестности точки  a = 1. В противном случае функция (2) не будет непрерывной в области определения в точке  a = 1.

По определению, функция называется непрерывной в точке, если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в этой точке. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка. Про функцию многих переменных можно сказать, что она будет непрерывной в некоторой области, если функция непрерывна в каждой точке этой области.

В силу данных определений и свойств непрерывных и гладких функций необходимые условия существования экстремума функции (2) в силу ее непрерывности и гладкости должны быть непрерывными в окрестности точки  a = 1.

Проверим, могут ли целые числа   A,B,  X,Y,   удовлетворяющие условиям гипотезы Била (A,B, С  - попарно взаимно простые целые числа и  X,Y,  Z > 2), при  a = 1  удовлетворять уравнению (7). В области определения при   a ≠ 1  функция  (7) везде определена и непрерывна, а при  a = 1  и целых  A,B,  X,Y  функция (7) не определена, так как в правой части равенства (7) имеет место неопределенность типа  0/0. Чтобы функции (траектории) координат точек экстремумов  A, B,  X,Y  в точке  a = 1  были непрерывными, необходимо чтобы левая часть функции (7) была равна пределу правой части при  a → 1. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя, когда  A,B,X,Y  целые числа

откуда получим ограничение на координаты экстремумов функции (2), когда  A и B  взаимно просты

Уравнение (9) является условием непрерывности траекторий (функций координат) точек экстремумов функции (2)  и необходимых условий существования экстремумов (7) в точке при  a = 1. Если условие (9) не выполняется, то необходимые условия существования экстремума функции (2) при  a = 1  будут не непрерывными и имеют разрыв. Если условие (9) выполняется, то необходимые условия существования экстремумов функции (2) будут непрерывными при  a = 1  и функция (1) может иметь целочисленные решения.

Рассмотрим особый случай, когда  A = 1. Тогда уравнения (1) и (9) соответственно принимают вид:  1X + BY  =  CZ    и   Y∙ BY-2 = X.  Последнее уравнение всегда имеет целочисленные решения, например,  323-1 = 32 = 6. Этому случаю соответствует уравнение вида:  16 + 23 = 32. Следует заметить, что не все целочисленные решения уравнения (9) могут удовлетворять условиям гипотезы Била (1), например, хотя уравнение  1X + BY  =  C2  имеет единственное целочисленное решение, но это уравнение не удовлетворяет условиям гипотезы Била (Z>2). 

Рассмотрим  случай I, когда целые числа  X ≠ Y, а  A и B  - взаимно просты.

Теперь, учтем тот факт, что в эквивалентной формулировке гипотезы Била целые числа А и В  взаимно просты. Из взаимной простоты чисел  А и В  из уравнения (9) следует

Если даже одно из этих уравнений не будет иметь целочисленных решений при условиях, оговоренных в гипотезе Била, то и уравнение (1) не будет иметь целочисленных решений.

В силу того, что  X,Y  > 2  и независимые переменные  А и В  взаимно просты и не могут быть равными, то есть  А В,   А < В   и  А ≥ 1  и  В ≥  2

Пусть  X > Y ≥ 3   и   X - Y = m ≥  1, тогда уравнения (10)  и  (11) можно переписать в виде

Из условий (12) и (13) следует, что попарно взаимно простые числа  А > 1  и  B > 2.

Исследуем одно из уравнений, например, уравнение (13). Покажем, что в уравнении (13)  левая часть при   А ≥ 2,   Y ≥ 3  и  m ≥ 1  больше правой части. Построим график функции минимального значения левой части уравнения (13) при  А = 2,  m = 1  и Y + m – 2 = Y – 1. Функция минимума левой части уравнения (13) равна  u(Y) = min(AY+m-2) = 2Y-1.  Сравним график функции минимума левой части уравнения (13) -   u(Y) = 2Y-1  с графиком функции в правой части  уравнения (13) -  v(Y) = Y  при условии, что  Y ≥ 3.

Рис. 1. Сравнение минимальной левой и правой частей уравнения (13).

Очевидно, что при  Y ≥ 3  минимум левой части больше правой части уравнения (13), что доказывает, что при  Y ≥ и  любых   А ≥ 2,   m ≥  1   левая часть  уравнения (13)  больше  правой  части,  поэтому уравнение(13) не выполняется, уравнение (9) тоже не выполняется, и поэтому условие (9) не может иметь целочисленных решений.

В случае, когда  Y > X ≥ 3   следует исследовать таким же образом уравнение (12) и показать, что левая часть уравнения (12) больше правой, то есть показать, что уравнение (9) не может иметь целочисленных решений при условиях, оговоренных в гипотезе Била, то есть условие непрерывности координат экстремумов функции (2) в точке при  a = не выполняется.

Таким образом, доказали, что при попарно взаимно простых  А > 1  и   B > 1   и   X,Y > 2, то есть при условиях, оговоренных в гипотезе Била, либо уравнение (12), либо уравнение (13) не имеет целочисленных решений, поэтому и уравнение (9) не имеет целочисленных решений. 

При исследовании уравнения (9) в явном виде не участвовали ограничения на значения  целой переменной  Z, но условие   Z > 2 незримо здесь присутствует. Полученные выводы справедливы для  Z > 2. Поэтому это условие-ограничение необходимо обосновать.

Когда  Z = 1   уравнение  AX + BY  =  CZС  имеет бесчисленное множество целочисленных решений при любых целых значениях чисел  X,  Y,  А  и  B

Когда  Z = 2  и   А и В  взаимно простые числа уравнение   AX + BY  =  C2  может как иметь так и не иметь целочисленные решения.  Приведем  примеры  таких уравнений.

Когда   А = 1,   B > 1   и   Z = 2  уравнение  1 + BY  =  C2   имеет одно целочисленное решение:  1 + 23 = 32.

Когда числа  А > 1  и  B >1  взаимно просты или имеют общие множители и  Z = 2  уравнение   AX + BY  =  C2 может как иметь бесчисленное множество целочисленных решений так и не иметь целочисленных решений.  

Уравнение  A3 + B3C2 имеет бесчисленное множество решений:   1 + 23 = 32;    23 + 23 = 42,    43 + 83 = 242;    83 + 83 = 322,    93 + 183 = 812;   73 + 213 = 98и другие.

Уравнение  A4 + B4C2 не имеет целочисленных решений, что доказал еще Пьер Ферма.

Уравнение  A5 + B5C2 имеет бесчисленное множество целочисленных решений: 

25 + 25 = 82;   22k-1 + 22k-1 = 22 и другие.

Уравнения   A6 + B6C2,   A8 + B8C2,   A2n + B2nC2 при n ≥ 2 не имеют целочисленных решений. Эти результаты получены впервые с использованием вышеуказанного метода, поэтому, если эти уравнения имеют целочисленные решения, то метод не работает и является неверным.

Таким образом, при  Z = 2  и  X,  Y > 2  уравнение   AX + BY  =  C2  может, как иметь и так и не иметь целочисленных решений, поэтому из рассмотрения этих примеров невозможно установить ограничения на переменную  Z.  Ограничения на значения  переменной   Z  должны определяться из других соображений.

Для того, чтобы установить ограничения на переменную   надо в уравнениях (4) и (5) исключать не переменную  C, а исключать переменные  A  и  B.  Если из уравнений (4) и (5) исключить переменную  A, то можно получить уравнение  Y∙ BY-2 = Z∙ CZ-2, из которого следует, что это уравнение не будет иметь целочисленных решений, если  Y,Z > 2. Если из уравнений (4) и (5) исключить переменную B, то можно получить уравнение  X∙ AX-2 = Z∙CZ-2, из которого  следует,  что  это  уравнение  не  будет  иметь  целочисленных  решений, если  X, Z > 2.

Поскольку ограничения  X, Y > 2Y, Z > 2  и  X, Z > получены из решения одной системы уравнений (4) и (5), необходимых условий существования экстремума, то эти ограничения могут быть объедены, то есть ограничения на указанные переменные  A,B, C, X,Y,Z  в случае отсутствия целочисленных решений у уравнений  (1) и (9) могут быть записаны в виде  X, Y,  Z > 2, а натуральные числа  A,B, C  попарно взаимно просты, то есть получили ограничения, соответствующие ограничениям гипотезы Била.

Таким образом, когда целые числа  A,B,C ≥ 1 попарно взаимно просты и целые числа   X,Y,Z > 2, то равенство (9) не выполняется и уравнение (2) не имеет нулевых минимумов при целых A,B, X,Y,Z, а поэтому и диофантово уравнение Била (1) не имеет целочисленных решений, удовлетворяющих условиям эквивалентной  формулировки гипотезы Била, то есть гипотеза Била доказана, когда параметры X,Y,Z  не равны друг другу. 

Рассмотрим  случай II, частный случай гипотезы Била, когда целые числа  X = Y = n > 2

В этом случае уравнение (9) принимает вид  Bn-2 = An-2

Это уравнение при взаимно простых числах  A и B  может иметь целочисленные решения только при  n = 2, что противоречит условию-ограничению  n > 2. Поэтому в этом случае уравнение (9) не имеет целочисленных решений, а функция (2) не имеет нулевых минимумов при целых значениях переменных и параметров, а поэтому уравнение (1) не будут иметь целочисленных решений при условиях, оговоренных в гипотезе Била.

При равенстве   X = Y =  Z = n > 2   когда   А,  В  и С  попарно взаимно просты,   уравнение  An + Bn= Cn  тоже не имеет целочисленных решений. В частном  случае II , когда X = Y = Z = n >2,  имеет место доказательство теоремы Ферма.

Таким  образом, справедливость  гипотезы Била доказана! Из доказательства гипотезы Била в эквивалентной формулировке следует справедливость Великой теоремы Ферма, поскольку последняя является частным случаем гипотезы Била, при  X = Y = Z = n > 2.

Выводы: Для доказательства гипотезы Била использован метод, основанный на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых траектории (функции координат) точек экстремумов изменяются непрерывным образом при изменении переменных и параметров, а необходимые условия существования экстремумов непрерывны в точках экстремумов. Нарушение непрерывности необходимых условий в точках нулевых локальных минимумов свидетельствует об отсутствии целочисленных решений у уравнения Била (1).

Указанный метод ранее использовался для доказательства гипотезы Била в работе [3] и доказательства теоремы Ферма в работах [4, 5]. В работах [4, 5] приведено элементарное доказательство теоремы Ферма, которое получено с использованием данного метода, основанного на использовании свойств экстремумов непрерывных и гладких функций. В 1994 году это доказательство было представлено для рецензирования профессиональным математикам, но, к сожалению, оно было признано математическим сообществом Ярославля ошибочным.

Одностраничное доказательство теоремы Ферма, образца 1994 года, представленное для рецензирования профессиональным математикам, приведено на рис. 2. В нем на одной странице изложена суть доказательства теоремы Ферма и подход к  доказательству теоремы Ферма нетрадиционным для задач теории чисел методом с использованием свойств экстремумов непрерывных и гладких функций. Для доказательства теоремы Ферма использованы синусоиды.

Рис. 2. Одностраничное доказательство теоремы Ферма.

В заключение надо отметить следующее:

  • Теорема Ферма продержалась три с половиной века, а гипотеза Била четверть века.
  • Мы доказали теорему Ферма раньше (в начале 1994 года), чем ее доказал Эндрю Уайлс.
  • После доказательства теоремы Ферма Эндрю Уайлсом серьезные математики вздохнули с облегчением, теперь они могли на «законных» основаниях не рассматривать многочисленные опусы ферматиков, заявляя, что в настоящее время доказательство теоремы Ферма не является актуальным, так как эта задача сейчас полностью решена, хотя лучшим способом стимулирования изучения математики и развития математических способностей являются нерешенные и трудные математические задачи, непокоренные вершины. Теорема Ферма доказана, но вопросы остались, так не получены ответы на вопросы о том, можно ли доказать теорему Ферма простыми и элементарными способами, и о том, доказал ли теорему Ферма сам Пьер Ферма.

Библиографический список:

1. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. - М:, Мир, 1980. – 486 с.
2. Ремизов В.Г. Доказательство гипотезы Била. XXVIII Международная научная конференция Евразийского Научного Объединения (июнь 2017). Интеграция науки в современном мире // Сборник научных работ XXVIII Международной научной конференции Евразийского Научного Объединения (г. Москва, июнь 2017).— Москва: ЕНО, 2017. — 166 с.
3. Ремизов В.Г., Ремизов К.В. ТЕОРЕМА ФЕРМА. Сайт электронного периодического рецензируемого научного журнала «SCI-ARTICLE.RU», Научное направление «Математика», Размещена 25.12.2018.
4. Ремизов В.Г., Ремизов К.В. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОСЛЕДНЕЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА. XXIV Международная научная конференция Евразийского Научного Объединения (февраль 2017). Современные концепции научных исследований // Сборник научных работ XXIV Международной научной конференции Евразийского Научного Объединения (г. Москва, февраль 2017). —Москва: ЕНО, 2017.—192 с.




Комментарии пользователей:

30.01.2020, 12:33 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! Желательно название статьи поменять. Не очевидно, что школьники знают про гипотезу Била, про производные, про пределы тригонометрических функций и т.д. И самое главное, представьте настроение рецензента, который что-то не понял из статьи, которая понятна любому школьнику.


30.01.2020, 17:14 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Глубокоуважаемый Геннадий Григорьевич! Категорически с Вами не согласен. Название статьи изменять не собираюсь, потому что я три года пытался добиться того, чтобы математики всего лишь прочитали мое доказательство гипотезы Била, не говоря уже о том, чтобы они написали рецензию или отзыв на доказательство, а тем более поискали бы в доказательстве ошибку или признали доказательство верным. Пусть слова "понятное школьникам" будут серьезным математикам немым укором. То, что школьники не слышали про гипотезу Била или теорему Ферма это очень плохо. Что же у нас за образование? В 10-11 классах в соответствии с официальной программой математики школьники изучают тригонометрические функции, решение тригонометрических уравнений, понятия о пределе последовательности, понятия о непрерывности функции, основные теоремы о непрерывных функциях, понятие о пределе функции в точке, понятия о производной функции, физический и геометрический смысл производной, применение производной для исследования функций, производные элементарных и сложных функций, вторая производная и ее физический смысл, максимумы и минимумы функций, отыскание наибольших и наименьших значений функции, целочисленное решение уравнений, равносильность уравнений, неравенств, систем, решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными. Практически все это было использовано для доказательства гипотезы Била. Непонятно почему школьная программа остановилась на пол пути, надо бы включить в программу изучение необходимых условий существования экстремумов, для этого есть все предпосылки и необходимая база знаний, тогда бы изучение экстремумов функций приняло бы полный и законченный вид. Поэтому непонятно, почему школьник не может понять суть доказательства гипотезы Била. Что же касается рецензентов, то это их проблемы. Если что то не понимаешь и не уверен, то можно и промолчать. Обычно, если я что-либо не понимаю, я читаю учебники по вузовской математике. В заключение призываю всех читателей принять активное участие в обсуждении данной публикации, я буду всем Вам за это признателен. С уважением, Ремизов Вадим Григорьевич.


30.01.2020, 18:12 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! Школьник не может понять наши рассуждения, так как, как Вы сами сказали, ему дают только понятия, а не математический аппарат. А в статье не надо ничего доказывать кому-то. В статье надо изложить суть проблемы и пути решения. И только. Зачем Вы уже в нескольких работах "прикладываете листок" в конце работы? Он относится к проблеме Била? Так введите эти формулы в статью и уберите "листок". Это не иллюстрация к работе, не график. Кстати, насчет "листка": один раз написана формула ВТФ (1), далее формула (2), что-то с формулой (2) делаете, а потом говорите, что формула (1) доказана. Как в фокусе! И Вы 16 лет хотите, чтобы этот "листок" кто-то рассматривал серьёзно? С уважением, Усов Геннадий Григорьевич.


4.02.2020, 14:17 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! Я никак не могу взять в толк: Вы преподаватель математики в МГУ или школьный учитель по математике, который постоянно твердит: «школьники это не изучали и это им не задавали» и поэтому они не могут понять сути доказательства теоремы Ферма и доказательства гипотезы Била. Не надо плохо думать о современных детях, они нас намного умнее, у них и зрение острее и слух тоньше. А сколько у нас школьников, которые на ЕГЭ по математике получают 100 балов. Вы бы только видели, какие задачи с параметрами решают ученики 11 классов на ЕГЭ по математике, мне такие задачи не решить, а с этими задачами легко справляются школьники. Доказательство теоремы Ферма или доказательство гипотезы Била намного проще. Надо просто сформулировать доказательство как задачу, из решения которой следовало бы упомянутое доказательство, чтобы ученикам не приходилось самим формулировать саму задачу, Считается, что суть теоремы Ферма понятна даже школьникам, но это не так! Трудность доказательств теоремы Ферма и гипотезы Била как раз и состоит в том, что не ясно, что надо доказывать и как это надо доказывать. Перебирать все решения, которых бесконечное множество? Или искать конрпример, который сразу даст ответ - имеет ли соответствующее диофантово уравнение решение в целых числах или не имеет. На первый взгляд поиск контрпримера выглядит предпочтительней, но это тогда, когда решение диофантова уравнения существует, когда же, решения отсутствуют, найти контрпример безнадежно! Могу предложить задачу на ЕГЭ по математике, связанную с доказательством теоремы Ферма и гипотезой Била. Требуется найти целые значения параметров х, у и z, при которых непрерывная и гладкая функция (2) при целых A, B, C будет иметь нулевые минимумы? Я думаю, что 11-классники справились бы с такой задачей! Я так же не понимаю, как можно доказывать гипотезу Била без приведения самого доказательства, разве я не изложил суть проблемы и не решил ее? Так же я не согласен с Вашими утверждениями, что в статье надо изложить суть проблемы и пути ее решения, а я считаю, что в статье должно быть изложена суть проблемы и решение проблемы, на то она и статья. Теперь, что касается «приведенного листка» и его связи с доказательством гипотезы Била. Этот «листок» имеет прямое отношение к опубликованному доказательству. И вот почему. Во-первых, потому что этот «листок» иллюстрирует доказательство теоремы Ферма, основанное на методе решения диофантовых уравнений с использованием синусоид, который используется и для доказательства гипотезы Била. Во-вторых, на «листке» приведено элементарное доказательство теоремы Ферма, выполненное на одной странице. И, в-третьих, теорема Ферма доказана раньше Sir Andrew John Wiles. Если Вы считаете, что это не существенно, то я с этим не согласен. Должен заявить, что я ни каких фокусов не показываю. Нет смысла еще раз приводить в статье формулы (1) и (2), они там присутствуют и присутствовали всегда. Тех, кто не рассматривает серьезно «этот листок», только характеризует их с другой стороны, это их проблемы! С уважением, Ремизов Вадим Григорьевич.


22.02.2020, 9:38 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! В предыдущей статье, которую Вы сняли с сайта журнала, Вы приводили доказательство ВТФ с помощью остатков по модулю. Но как оказалось, не всё хорошо с этими остатками. Потому что Вы переносите бесконечное пространство натуральных чисел на конечное пространство чисел (по модулю). Сейчас Вы повторяетесь: переносите всё бесконечное пространство натуральных чисел на конечное пространство – значения функции sin. Где гарантия, что ошибка не повторится? А кстати, где соответствие уравнений (1) и (2)? С уважением, Усов Геннадий Григорьевич.


23.02.2020, 11:08 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! К сожалению, все Ваши замечания не имеют ни какого отношения к доказательству гипотезы Била. Вы ошибочно утверждаете, что я бесконечное пространство натуральных чисел "переношу", ставлю в соответствие, с конечным пространством значений функции sin. Это не так! Вся фишка здесь в том, что любые (все) натуральные числа, то есть все бесконечное множество натуральных чисел, обращает функцию sin(pi*N) в ноль, то есть sin(pi*N)=0, и только натуральные числа обращают эту функцию в ноль. Соответствие между уравнениями (1) и (2) заключается в том, что если существуют целые числа, удовлетворяющие уравнению Била (1), то эти значения переменных обращают функцию (2) в ноль, то есть в этих точках непрерывная и гладкая функция (2) будет иметь нулевой минимум. Теперь остается только проверить: в точках экстремума функция (2) будет непрерывной или нет? Если непрерывность в точках экстремума функции (2) нарушается, не имеет место, то это означает, что эти целые значения переменных не не могут удовлетворять уравнению Била (1). Для проверки непрерывности функции (2) в точках экстремумов используется свойство непрерывных и гладких функций, у которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов должны быть непрерывными функциями. Вот Вы утверждаете, что Вы изобрели самый быстрый алгоритм нахождения простых чисел. Так почему же Вам не найти самое большой простое число. P.S. Чтобы лучше понять суть доказательства гипотезы Била, надо начать с доказательства теоремы Ферма, которое изложено на одном листочке (см. рис 2), так как для доказательства обеих гипотез использовался один и тот же метод, основанный на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций. С уважение, Ремизов Вадим Григорьевич.


23.02.2020, 13:01 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! У Вас не sin(pi*N), а sin(pi*а*N), и это большая разница. Кстати, почему в листке нет числа а, а в статье есть?(первый sin). Как выбирать это число а? Особенно для очень больших чисел А, В, С? С уважением, Усов Геннадий Григорьевич.


23.02.2020, 18:39 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! Экстремумы функции (2) ищутся при условии, что а=1, независимо от того, какие значения принимают А, В, С. Точнее говоря, мы задаемся целыми значениями переменных А, В, С и исследуем как ведет себя непрерывная и гладкая функция (2) в точках экстремумов при стремлении параметра а к единице. С уважением Ремизов Вадим Григорьевич.


23.02.2020, 18:50 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! Настоятельно рекомендую Вам прочитать статью Ремизов В.Г., Ремизов К.В. ТЕОРЕМА ФЕРМА. Сайт электронного периодического рецензируемого научного журнала «SCI-ARTICLE.RU», Научное направление «Математика», Размещена 25.12.2018. В этой статье метод доказательства теоремы Ферма, основанный на свойствах экстремумов непрерывныих и гладких функций, рассмотрен с другой стороны. С уважением, Ремизов Вадим Григорьевич.


24.02.2020, 10:43 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! Вы так и не ответили на мои вопросы 23.02.2020, 13:01. С уважением, Усов Геннадий Григорьевич.


24.02.2020, 10:47 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! Если Вы уже доказали теорему Ферма с одной стороны, зачем доказывать эту теорему с другой стороны? И зачем мне читать другую статью, если Вы на неё не ссылаетесь при написании формулы (2)? С уважением, Усов Геннадий Григорьевич.


24.02.2020, 12:54 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! Неужели не понятно, что при а=1 sin(pi*N)=sin(pi*а*N)? С уважением, Ремизов Вадим Григорьевич.


24.02.2020, 14:44 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! Я так и не понял Вашего интереса к изучению моих статей и что Вы пытаетесь доказать? Поэтому прошу Вас прямо ответить, как Вы считаете, доказал ли я теорему Ферма и гипотезу Била или нет? От этого зависит мое отношение к вам. Если Вы считаете, что я не доказал этих гипотез, то уж будьте любезны указать, где в доказательствах ошибки, мне не нужны Ваши разглагольствования о влиянии свечения луны на удои коров. Я с 1994 года пытаюсь получить рецензию на доказательство теоремы Ферма, а математики при ученых степенях, званиях и должностях как бы не видят этого и не слышат моих призывов. Вот один серьезный математик мне написал следующее: "Уважаемый Вадим Григорьевич, когда я был студентом МГУ, то зав.кафедрой теории чисел просил нас отвечать на письма ферматистов. Как это было утомительно выискивать ошибки в плохо написанных работах! Честно говоря, жалко времени." С уважением, Ремизов Вадим Григорьевич.


24.02.2020, 15:58 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! Я получил сообщение от редколегии журнала на предмет рецензии Вашей статьи, как текущей, так и предыдущей. Поскольку я мало знаком с доказательствами теоремы Ферма и гипотезы Била, то считаю себя не вправе вынести суждение о Вашей статье. С другой стороны интересно: как это на полстраницы уместилось доказательство, которое у других занимает десятки страниц. В результате прочтения статьи обнаруживаются некоторые неточности, на мой взгляд, в Ваших построениях доказательства. Например, предыдущая Ваша статья была снята Вами из-за такой неточности. Вот и сейчас я указываю на неточности, а Вы требуете указать, где в доказательстве ошибки. А на серьёзного математика Вы обиделись? А я вот утомительно выискиваю ошибки. С уважением, Усов Геннадий Григорьевич.


Оставить комментарий


 
 

Вверх