Статья опубликована в №25 (сентябрь) 2015
Разделы: Техника
Размещена 10.09.2015.
Просмотров - 2158

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРОЦЕССЕ ВАКУУМНО–ИСПАРИТЕЛЬНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Лобанов Игорь Евгеньевич

доктор технических наук

Московский авиационный институт

ведущий научный сотрудник

УДК 621.565.9

ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ ВАКУУМНОЙ ТЕХНИКИ В ХОЛОДИЛЬНЫХ УСТАНОВКАХ 

В настоящее время в холодильных парокомпрессионных холодильных установках в качестве хладагентов применяют в основном хладоны и аммиак, термодинамические свойства которых позволяют осуществлять производство холода в широком диапазоне низких температур и, в большинстве случаев, при системном давлении больше атмосферного [4—6].

Для давлений, близких к атмосферному, возможна генерация внештатных режимов для работы испарителя холодильной установки, которые опасны для всей холодильной установки, т.к. возможно проникновение в систему атмосферного воздуха. При понижении давления на всасывании вплоть до атмосферного давления часто предусматривается отключение компрессора за счёт схемы автоматизации. Общая энергетическая эффективность и коэффициент подачи компрессора при работе холодильной установки в вакуумном режиме существенно снижаются.

Существующие в настоящее время хладагенты не могут полностью обеспечить выполнение экологических, токсикологических, санитарных, экономических требований. Альтернативными рабочими веществами для холодильных парокомпрессионных установок могут служить вещества низкого давления, а именно: вода, рассолы, спирты, эфиры. Использование воды как хладагента обусловливает к рабочим давлениям ниже атмосферного, что реализуется в пароэжекторных холодильных установках с пароструйными вакуумными насосами, которые, особенно при малой производительности, могут не удовлетворять требованиям по компактности, мобильности и т.п. Следовательно, при использовании вакуумных насосов, отличных от струйных принципом действия, обусловливает генерацию мобильных холодильных установок на воде или водяном паре. Исчерпывающий аналитический обзор средств вакуумной откачки приведён в [4—6].

Вышесказанное обусловливает актуальность математического моделирования процессов вакуумно–испарительного охлаждения жидкостей.

MАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ВАКУУМНО–ИСПАРИТЕЛЬНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ ЖИДКОСТИ 

Постановка задачи исследования выглядит следующим образом.

Жидкость с известными теплофизическими свойствами: с_w — удельной теплоёмкостью, ρ — плотностью, μ — молекулярной массой, r — теплотой испарения, L — теплотой замерзания, обладая начальной массой m₀ и начальной температурой , занимает определённую часть герметичного металлического резервуара массой М и средней удельной теплоёмкостью с_м в рабочем интервале температур , предполагающего расход холодильной мощности на его охлаждение.

Затем паровое пространство подвергается динамическому вакуумированию с эффективной скоростью откачки S_эф. В жидкости находятся точечные источники тепловыделений суммарной мощностью К_Σ.
Из окружающей среды в жидкость через стенку площадью F поступает изменяющийся во времени τ теплоприток, пропорциональный коэффициенту теплопередачи и разности между переменной температурой жидкости Т и температурой окружающей среды Т_н .
Уравнение баланса элементарных тепловых потоков в процессе вакуумной откачки при допущении, что температуры стенки резервуара и жидкости изменяются со временем одинаковым образом выглядят следующим образом:

(1)

где dT — элементарный температурный интервал процесса; dτ — элементарный интервал времени; dm — элементарная масса испарившейся жидкости.

Элементарная масса испарившейся жидкости выражается посредством эффективной скорости откачки основного насоса S_эф и плотности насыщенного пара ρ":

(2)

Плотность насыщенного пара ρ" детерминируется на основании уравнения Клапейрона—Менделеева:

(3)

где p — давление ("упругость") насыщенного пара; Т — температура; μ — молекулярная масса.

В области положительных температур (0...50)°С давление насыщенного пара воды обобщается уравнением:

(4)

 где а=609; b=19,7; T₀=273.

Подставим из (2)—(4) в уравнение (1) и получим основное дифференциальное уравнение:

(5)

После разделения переменных получим:

(6)

(7)

Результирующее уравнение в квадратурах будет выглядеть следующим образом:

(8)

Аналитическое решение уравнения (8) может быть получено в предположении, что теплопритоки из окружающей среды малы вследствие того, что герметичный резервуар-испаритель имеет хорошую теплоизоляцию, а также в предположении малости точечных источников тепловыделения, находящихся в жидкости, а именно:

(9)

Результирующий интеграл при допущениях (9) будет выглядеть следующим образом:

(10)

Аналитическое решение данного интеграла будет выражаться через интегральную показательную функцию Ei [1—3]:

(11)

В последнем выражении интегральная показательная функция Ei(n, x) постулируется следующим образом [1—3]:

(12)

Интегральная показательная функция Ei(n, x) может быть выражена через неполную гамма-функцию Г(а, z):

(13)

где .

При n=1 интегральная показательная функция равна:
(14)
Окончательное аналитическое решение при допущениях (9) будет выглядеть следующим образом:

(15)

Ранее решения подобных задач были получены численным образом в [4—6].

Полученное выражение гораздо сложнее, чем приближённое решение, приведённое в [4—6], поскольку оно выражается через специальную интегральную функцию Ei(n, x).

Решение (15) является точным аналитическим решением задачи о процессе вакуумно–испарительного охлаждения жидкости в  предположении малости теплопритоков из окружающей среды точечных источников тепловыделения в жидкости.

Достоинством точных аналитических решений перед существующими численными состоит в выявлении имманентной связи между определяющими и определяемыми параметрами, так же то, что ими можно непосредственно воспользоваться при расчёте, не прибегая к помощи диаграмм (номограмм) или вычислительной техники.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В исследовании было получено обобщённое замкнутое аналитическое решение задачи о вакуумно–испарительном охлаждении жидкости, в то время как до этого имели место либо численные, либо приближённые решения данной задачи.
Установлено, что закономерность времени процесса охлаждения включает в себя специальную интегральную показательную функцию Ei(n, x).
Преимуществом полученных аналитических решений перед существующими численными состоит в выявлении имманентной связи между определяющими и определяемыми параметрами, ими можно непосредственно воспользоваться при расчёте, не прибегая к помощи вычислительной техники; их преимущество перед существующими приближёнными решениями заключается в том, что при их выводе не имели места дополнительные допущения.
Полученное в исследовании аналитическое решение будет точным решением задачи процесса вакуумно–испарительного охлаждения жидкости в случае малости теплопритоков из окружающей среды точечных источников тепловыделения в жидкости.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. — 296 с.
2. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Том 2. Специальные функции. — М.: Наука, 1983. — 751 с.
3. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Том 3. Специальные функции. Дополнительные главы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. — 688 с.
4. Маринюк Б.Т. Теплообменные аппараты ТНТ. Конструктивные схемы и расчёт. — М.: Энергоатомиздат, 2009. — 200 с.
5. Маринюк Б.Т. Вакуумно-испарительные холодильные установки, теплообменники и газификаторы техники низких температур. — М.: Энергоатомиздат, 2003. — 208 с.
6. Маринюк Б.Т. Аппараты холодильных машин (теория и расчёт). — М.: Энергоатомиздат, 1995. — 160 с.

Комментарии пользователей:

Оставить комментарий