Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда

УДК 537.8; 512.7
Введение

Известно, что в общековариантном виде уравнения Максвелла состоят из двух независимых систем[1]:

• однородной – E^ijknF_ij:k =0;

• неоднородной – F^ik_:k=Jⁱ.

где

F_ij – тензор электромагнитного поля;

Jⁱ – 4-х мерная плотность электромагнитного тока;

E^ijkn = ε^ijkn/(-g)^0.5 (ε⁰¹²³= +1) – контравариантный  антисимметричный тензор четвертого ранга;

(-g) – определитель метрического тензора;

ε^ijkn –антисимметричный тензор четвертого ранга в ортонормированном базисе;

F_ij:k =D_kF_ij =DF_ij /∂q^k– ковариантная производная тензора электромагнитного поля по аргументу (координате) q^k.

Актуальность.

А) Было бы логично объединить независимые системы Максвелла в единое уравнение. Марсель Рис[2] впервые объединил эти системы уравнений Максвелла в пространстве Минковского, но не связал 4-х ток со свойствами и особенными точками пространства, т.е. «выбросил» особенности пространства – искривленность и особые точки.  Это сильно ограничило возможность алгебры Клиффорда для объединения систем уравнений Максвелла и 4-х тока.   

Б) В классической физике электрический заряд и ток не связаны с явными свойствами пространства, например, с метрикой пространства (искривленностью) и с особыми точками.

 В квантовой электродинамике электрический заряд определяется как плотность вероятности нахождения в 3-х мерном объёме[3]:

q=∫∫∫(ü_i ∂L/∂ ü_i;0 - u_i ∂L/∂ u_i;0)dv

где u_i– волновая функция, а ü_i – комплексно - сопряженная волновая функция. Лагранжиан Lподбирается отдельно для каждой частицы.

Новизна. В данной статье объединены уравнения Максвелла для любого пространства. Также 4-х ток и основные калибровочные условия (калибровка Лоренца, Кулона и т.д.) связываются с особыми точками пространства, где потенциал поля не определен и/или не существует предела.

Теоретические основы

В качестве изменения векторного поля вводим понятие локальной неоднородности векторного поля с потенциалом A:

B=∇A                                                        (1)

где ∇=eⁱD/∂qⁱ= eⁱD_i – оператор набла; A = e^jA_j – разложение 4-х мерного потенциала на векторы e^jкриволинейного базиса;

Латинские буквы принимают значения от 0 до 3: i,j… =0,1,2,3., греческие – от 1 до 3: α,β…=1,2,3.

В качестве ортонормированного базиса (i_i,i_j)=δ_ij берем базис:

γ_iγ_j+ γ_jγ_i =±Iδ_ij                                              (2)

 где i_i – единичные векторы (орты) ортонормированного базиса; γ_i – матрицы Дирака; δ_ij– символ Кронекера; I– единичная 4x4 матрица.

Согласно сигнатуре пространства, в частности, Минковского, если i=0 (или j=0), то в равенстве (2) берем знак «+», если нет – то знак «-».

В произведениях базисных векторов e_j=γ_k ∂_jX^kвместо обычных скалярных и векторных произведений используем произведения Клиффорда[4]:

eⁱe^j = eⁱ •e^j+ eⁱ∧e^j                                        (3)

где

внутреннее произведение  (inner product) –  

eⁱ •e^j=0.5(eⁱe^j +e^jeⁱ)                                         (4)

внешнее произведение (outer product) –

eⁱ∧e^j=0.5(eⁱe^j- e^jeⁱ)                                         (5)

Примечание. Внутреннее произведение векторов – не есть скалярное произведение, как часто ошибочно употребляется в научной литературе. Внутреннее произведение двух векторов – есть симметричный тензор второго ранга, а скалярное произведение этих же векторов – есть скаляр, т.е. след (свёртка) симметричного тензора второго ранга.

X^k – функции от {qⁱ}, т.е. функции перехода от криволинейной к ортонормированной системы координат. 

 С учетом (4) и (5) неоднородность векторного поля (1) в координатной форме записи имеет вид:

B= eⁱ•e^jD_iA_j+ eⁱ∧e^jD_iA_j                                       (5)

где eⁱ•e^j = g^ij – метрический тензор; eⁱ∧e^j– антисимметричный тензор второго ранга или бивектор.

В общем случае

а) в 4-х мерном пространстве антисимметричный тензор 4-го ранга e_i∧e_j∧e_k∧e_n дуален к псевдоскаляру:

e_i∧e_j∧e_k∧e_n=-γE_ijkn                                                  (6)

eⁱ∧e^j∧e^k∧eⁿ= γE^ijkn                                                  (7)

где γ=γ₀γ₁γ₂γ₃;

E_ijkn=ε_ijkn(-g)^0.5    (ε₀₁₂₃= -1)

E^ijkn= ε^ijkn/(-g)^0.5 (ε⁰¹²³= +1)

 – абсолютно антисимметричные тензоры 4-го ранга в ковариантном и контравариантном виде;

Произведение e₀∧e₁∧e₂∧e₃ численно равно «4-х мерному объёму», построенному из векторов e₀, e₁, e₂, e₃.

Доказательства равенств (6) и (7) приведены в приложении 1.

б) Произведение e_i∧e_j∧e_k (антисимметричный тензор 3-го ранга) в 4-х мерном пространстве дуально псевдовектору:

e_i∧e_j∧e_k=-γ E_ijkn  eⁿ                                              (8)

eⁱ∧e^j∧e^k=γ E^ijkn e_n                                                                         (9)

Доказательство равенств (8) и (9) приведено в приложении 2.

в) Произведение e_i∧e_j (антисимметричный тензор 2-го ранга) в 4-х мерном пространстве дуально самому себе (антисимметричному псевдотензору 2-го ранга):

e_i∧e_j=-γΕ_ijkn e^k∧eⁿ                                             (10)

eⁱ∧e^j= γE^ijkne_k∧e_n                                              (11)

Формулы (10) и (11) доказываются аналогично предыдущим случаям, поэтому не будем утомлять читателя вычислениями.

Результаты

Уравнения Максвелла.

Чтобы получить единое уравнение электромагнетизма, берём градиент от равенства (1):

 ∇B=∇(∇A)                                                (12)

Согласно произведению Клиффорда, имеем

∇B=∇(∇•A+∇∧A)=∇(∇•A)+ ∇•(∇∧A)+ ∇∧∇∧A

∇B=∇(∇•A)+ ∇•(∇∧A)+ ∇∧∇∧A                            (13)

Уравнение (13) – есть единое уравнение электромагнетизма.

1. Вывод однородного уравнения Максвелла.

Теорема:

 – верно утверждение:

∇∧∇∧A=0                                              (14)

– уравнение (14) эквивалентно однородному уравнению Максвелла, если учесть

F=∇∧A                                               (15)

т.е. из (14) получим классический вид однородного уравнения Максвелла:

∇∧F=0                                              (16)

Уравнение (16) – есть однородное уравнение Максвелла.

Доказательства утверждений приведены в приложении 3.

2. 4-х мерный электромагнитный ток

Запишем уравнение (13) с учетом (14):

∇B=∇(∇•A)+ ∇•(∇∧A)                                  (17)

Обозначим 4-х ток как

J=∇(∇•A)                                              (18)

  Согласно формуле (18), 4-х ток имеет явный геометрический смысл:

4-х ток есть 4-х градиент от 4-х дивергенции потенциала поля. Ток существует только тогда, когда дивергенция не постоянная, т.е. ∇•A≠const. Если ∇•A≠const, то пространство имеет «дыры» и/или «сгущения» -  «стоки» и/или «истоки». Именно поэтому электрический заряд бывает либо исток – положительный заряд, либо сток – отрицательный заряд.     

2.1 Калибровка Лоренца

∇•A= const (=0)

означает, что в рассматриваемой области не существует 4-х ток. В частности, калибровка Кулона

∇•A= const (=0)

тоже означает отсутствие 3-х токов в магнитостатических задачах, где временный компонент A игнорируется или предполагается равным нулю.

2.2 Калибровочная инвариантность

Если к потенциалу A добавить 4-х градиент скалярной функции

A^‘ =A+∇u                                              (19)

и потребовать выполнение условия

∇•∇u=0                                              (20)

то единое уравнение электромагнетизма (12) будет инвариантным.  Преобразования (19) – есть калибровочная инвариантность.  

3. Вывод неоднородного уравнения Максвелла

 Учитывая обозначение 4-х тока (18) и тензора электромагнитного поля (15), единое уравнение электромагнетизма (17) запишем в виде:

∇B= J +∇•F                                           (21)

Предположим, что

∇B= μT•A                                             (22)

где T – тензор энергии-импульса; μ – постоянный коэффициент.

Тогда из уравнения (21) получим неоднородное уравнение Максвелла:

∇•F = μT•A - J                                          (23)

 Если μT•A ≃0 (или константа), тогда получим классическое выражение неоднородного уравнения Максвелла (с точностью до постоянного вектора при μT•A = const).

Согласно уравнению (23), при высоких энергиях (больших масс) тензор энергии – импульса дает вклад в 4-х ток. Но это не означает, что неоднородное уравнение Максвелла (23) нарушается, а приобретает новый вид.

Таким образом, мы показали, что две независимые системы Максвелла (16) и (23) являются частями единого уравнения (12).

Обсуждения и выводы

1. В статье на основе обобщенной геометрической алгебры (алгебра Клиффорда в произвольном пространстве) две независимые системы уравнения Максвелла объединены в единое уравнение (12), т.е. однородная (14) и неоднородная (23) системы уравнений Максвелла являются частями единого уравнения (12);

2. В данной концепции 4-х ток имеет явный геометрический смысл: 4-х ток является градиентом от дивергенции потенциала A, т.е. включает в себя сингулярности пространства. Изменение по времени «стока» и/или «истока» в пространстве – есть положительный и/или отрицательный электрический заряд. Наложение на уравнения ограничений, таких как калибровка Лоренца, Кулона и т.д. – не более, чем «устранение» сингулярности, т.е. тока. Условие (20) в калибровочной инвариантности (19) означает, что колебания и/или волны не влияют на 4-х ток.

Новая форма записи неоднородной системы Максвелла

∇•F = μT•A - J                                          (23)

означает, что энергия дает вклад в 4-х электрический ток. При больших энергиях разница μT•A – J будет меньше, чем в классическом случае. Видимо, с этим вкладом связано «бегучесть» угла Вайнберга, предсказанная в Стандартной модели[5] и подтвержденная в эксперименте[6], и вообще, «бегучесть констант» при высоких энергиях. Возможно, что этим же вкладом объясняется конфайнмент[7] в теории кварков. При больших вкладах энергии в 4-х ток разность будет отрицательной (μT•A – J<0), и появление свободных одиноких зарядов (кварков) становится невозможным.   

Приложение 1

Доказательство формул (6) и (7):

Каждый вектор e_i обобщенного базиса разложим по каноническому базису и произведение e_i∧e_j∧e_k∧e_n напишем в виде:

e_i∧e_j∧e_k∧e_n=(∂_iX^p∂_iX^q∂_iX^r∂_iX^s)γ_pγ_qγ_rγ_s

Здесь i, j, k, n (также p, q, r, s) не равны друг другу и принимают значения 0;1;2;3.

Простые вычисления показывают, что

Этот определитель (детерминант) возведем в квадрат:


Упрощаем

Извлекая из корня последнее выражение и обобщая, получим формулу (6). Доказательство формулы (7) аналогично.

Мы доказали утверждения (6) и (7).

Приложение 2

Доказательство формул (8) и (9):

Предположим, что в 4-х мерном пространстве антисимметричный тензор 3-го ранга дуален псевдовектору. Это запишем в виде:

e_i∧e_j∧e_k = Ω e_m                                                          (2Α)

Ω– пока неизвестный коэффициент.

Обе стороны равенства (2А) умножим на e_n справа:

e_i∧e_j∧e_k∧e_n= Ω e_m∙ e_n

Упрощаем:                                                -γE_ijkn =Ωg_mn

Отсюда                                                        Ω=-γ g^mnE_ijkn 

Это выражение, подставляя в равенство (2А) вместо Ω, получим равенство (8). Доказательство равенства (9) аналогично.

Мы доказали утверждения (8) и (9).

Приложение 3

Доказательства формул (14) и (16).

1. доказательство утверждения (14), т.е. ∇∧∇∧A=0.

Учитывая e^k∧eⁱ∧e^j=γ E^kijn g_nm e_m, формулу (14) запишем в координатной форме:

E^kijn𝒟_k𝒟_iA_j =0

Меняя местами индексы i,j,kв этом уравнении и упрощая, получим:

E^kijn(𝒟_k𝒟_iA_j +𝒟_j𝒟_kA_i +𝒟_i𝒟_jA_k -𝒟_i𝒟_kA_j -𝒟_j𝒟_iA_k -𝒟_k𝒟_jA_i) =0

Известно, что         𝒟_i𝒟_jA_k - 𝒟_j𝒟_iA_k = -R^p_kijA_p

где R^p_kij – тензор Римана.

Подставляя выражение тензора Римана в предыдущее уравнение, получим

-R^p_kijA_p -R^p_jkiA_p -R^p_ijkA_p =- A_p (R^p_kij +R^p_jki +R^p_ijk)=0

Это уравнение действительно равно нулю, так как выражение в скобке тождественно равно нулю.

2. доказательство эквивалентности (14) и однородного уравнения Максвелла.

Формулу E^kijn𝒟_k𝒟_iA_j =0 преобразуем:

0=E^kijn𝒟_k𝒟_iA_j = E^kijn𝒟_k𝒟_iA_j + E^kijn𝒟_k𝒟_iA_j = E^kijn𝒟_k𝒟_iA_j + E^kjin𝒟_k𝒟_jA_i =

= E^kijn𝒟_k𝒟_iA_j - E^kijn𝒟_k𝒟_jA_i = E^kijn𝒟_k(𝒟_iA_j - 𝒟_jA_i )= E^kijn𝒟_kF_ij.

E^kijn𝒟_kF_ij=0

Утверждения доказаны.

Рецензии:

13.01.2017, 15:31 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Статья может найти своего читателя. Некоторые выводы очень интересны. А примечание насчёт внутреннего произведения векторов и его связи с тензором второго ранга надо вставлять в новые учебники профильного характера. Рецензент скептически относится к "волшебности" и фантастичной инвариантности числа е в степени х. Но это разные подходы к стандартной и нестандартной математике. Ссылки на литературу какие-то второстепенные, кроме на работу по самой алгебре Клиффорда, хотя достаточно было здесь сноски и на Википедию. Хотелось бы немного физического смысла вставить для непродвинутых читателей и для тех, кто хотел бы использовать результат работы при каких-то фарадеевско-амперовских индукционных обобщениях, других каких физически значимых явлениях вращательного или криволинейного характера (может, рождение токов Фуко). Не очень-то доказана необходимость такого "крутого" обобщения до алгебры Клиффорда, когда, на взгляд рецензента, (возможно, ошибочного) достаточно было использовать любимые им (рецензентом) кватернионы У.Ферма (см. в Интернете такую статью по ФИО рецензента). Видимо, не уравнение равно нулю, а всё же его правая часть?! Есть и другие (и много) неологизмы-жаргонизмы. Кое-какую корректуру надо бы внести по оформлению библиографии (безобразно оформлена для учёного, оперирующего такой техникой), по пробелам (например, при сносках на источники [1}, [4] и т.д.). А в общем, по устранении замечаний двух последних строк (остальное - просто пожелания) статью можно публиковать. Может, актуальность её и не имеет высокого индекса, но профессионализм автора, научная корректность работы с аппаратом теории операторов и с векторно-матричной техникой заслуживают, чтобы сам автор увидел её в опубликованном виде и мог на неё ссылаться в своих дальнейших экзерсисах на эту тему.