Статья опубликована в №40 (декабрь) 2016
Разделы: Информационные технологии, Математика
Размещена 09.12.2016. Последняя правка: 18.12.2016.
Просмотров - 4333

МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗМЕРЕНИЙ

Николенко Никита Сергеевич

Белгородский Государственный Технологический Университет им. В.Г.Шухова

аспирант

Научный руководитель: Полунин А.И., кандидат технических наук, профессор, Белгородский Государственный Технологический Университет им. В.Г. Шухоава.

УДК 51-74

Введение. Одним из основных моментов при проведении измерений является повышение точности измеряемой величины. Любой измерительный прибор обладает определенной погрешностью, на точность его измерений может оказывать влияние большое количество как внешних, так и внутренних факторов, что приводит к зашумленности выходных данных. Для минимизации влияния шумов на измеряемые значения принято применять специальные алгоритмы – динамические фильтры. Они основаны на статистической и математической обработке данных, а также работают в реальном масштабе времени, то есть производят оценку результата измерений до момента его получения. Большинство алгоритмов динамической фильтрации данных (например, фильтр Калмана, фильтр Пугачева и др.) используют априорную оценку состояния системы – прогноз [1].

Где a_i-1 - известное управляющее воздействие; X_i-1 - состояние системы в предыдущий момент времени.

В большинстве задач мы имеем лишь общие представления о характере поведения измеряемой величины, следовательно, никакое управляющее воздействие нам неизвестно. В этом случае, для нахождения априорной оценки необходимо использовать методы прогнозирования. Общая классификация методов прогнозирования представлена на рисунке 1. [2]

Рисунок 1. Классификация методов прогнозирования.

Для фильтрации данных измерителя необходимо использовать модели временных рядов, то есть такие математические модели прогнозирования, которые стремятся найти зависимость будущего значения от прошлого внутри самого процесса и на этой зависимости вычислить прогноз. Эти модели универсальны для различных предметных областей, то есть их общий вид не меняется в зависимости от природы временного ряда. Мы можем использовать нейронные сети для прогнозирования температуры воздуха, а после аналогичную модель на нейронных сетях применить для прогноза биржевых индексов [3]. Более подробно рассмотрим несколько методов прогнозирования временных рядов:
• Интерполяционный многочлен Лагранжа
• Метод наименьших квадратов (МНК)
• Метод Хольта
• Тренды Демарка

Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть функция y=f(x) задана некоторой таблицей значений. Построим интерполяционный многочлен L_n (x) степени n, чтобы выполнились следующие условия:

Будем искать интерполяционный многочлен Лагранжа в виде:

где p_i (x) многочлен степени n и

отсюда
 (1)

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа [4]. Данная формула (1) позволяет весьма просто восстановить внешний вид многочлена и дать прогноз состояния системы.
К основным недостаткам данного метода можно отнести:
• Низкую точность. Ввиду того, что многочлен проходит через зашумленные узлы интерполяции, точность прогноза остается на низком уровне.
• Сложность. Для более качественного прогноза методу необходимо иметь большое количество статистических данных, что увеличивает степень многочлена и значительно усложняет нахождение его значения.
Интерполяционный многочлен Лагранжа редко применяется на практике для получения прогноза, так как имеет низкую точность. Основной его задачей является восстановлением значений между узлами.

Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов является одним из методов решения задачи нахождения эмпирической функции f ̃(x_i). Во многих случаях при выборе вида данной функции можно ограничится полиномом степени m [5].
 (2)
Согласно методу коэффициенты A₀, А₁ … А_m полинома (2) определяют так, чтобы сумма квадратов разностей значений yi ,получаемых экспериментально, и значений функции y ̃(x_i) была бы наименьшей на заданной системе точек, то есть

Для решения задачи воспользуемся общим приемом дифференциального исчисления. Найдем частные производные о величины Sm по всем переменным A₀, А₁ … А_m. Приравнивая эти частные производные нулю, получим систему с m+1 неизвестным:
 (3)
Решив систему (3) и получив коэффициенты A₀, А₁ … А_m, можно восстановить полином y ̃. С помощью данного полинома возможно сделать прогноз для любого x (момента времени). Степень полинома m и количество точек, по которым он строится, определяется из условий конкретной задачи.
Главным недостатком метода наименьших квадратов является необходимость накапливания информации для прогноза, вследствие чего прогноз можно дать только с измерения с номером m, что не всегда допустимо. Также следует учесть сложность при выборе параметров метода (m и n), ошибка в которых существенно снижает точность прогноза.

Метод Хольта.
Метод Хольта основан на оценке параметра – мере степени линейного роста (или падения) показателя во времени. Фактор роста λ оценивается по коэффициенту b_t, который в свою очередь вычисляется как экспоненциально взвешенное среднее разностей между текущими экспоненциально взвешенными средними значениями процесса u_t и их предыдущими значениями u_t-1. Характерная особенность данного метода: вычисление текущего значения экспоненциально взвешенного среднего ut включает в себя вычисление прошлого показателя роста b_t-1, адаптируясь таким образом к предыдущему значению линейного тренда. Ниже приводятся уравнения для метода Хольта:
U_t=Ad_t+(1-A)(U_t-1+b_t-1) 
b_t=B(U_t-U_t-1 )+(1-B) b_t-1 
Параметры A и B лежат в пределах от нуля до единицы. Прежде чем приступить к прогнозированию по той или иной прогностической модели тренда, необходимо уточнить период, на который осуществляется прогноз. Мы будем считать, что прогноз вычисляется на τ моментов времени вперед (период учреждения), то есть до момента t+τ (горизонт прогнозирования). [6]
После оценки в модели Хольта показателя роста (или падения) b_t прогноз на τ моментов времени, т.е. f_t+τ, вычисляется суммированием оценки среднего текущего значения (u_t) и ожидаемого показателя роста b_t, умноженного на количество моментов времени прогнозирования τ, т.е.
f_t+τ=U_t+b_tτ 
Данный метод прогнозирования нашел широкое распространение в экономических задачах. Прогнозирование по методу Хольта крайне редко применяется в технических системах ввиду зависимости подбора параметров A и B от конкретной задачи и, как следствие, отсутствия возможности работы в реальном масштабе времени.

Тренды Демарка.
Алгоритм прогнозирования основанный на трендах Демарка был разработан для биржевой торговли [7]. В биржевых временных рядах каждый отдельный интервал (период) имеет четыре характеристики: цена открытия биржи, цена закрытия биржи, максимальная и минимальная цена за период. В связи с этим, для решения технических задач, было предложено использовать каждый интервал временного ряда как отдельную характеристику ряда. Далее в статье будет рассматриваться методика Т. Демарка, адаптированная для построения оперативного прогноза значения измеряемой величины:




В результате проведенного анализа установлено, что взаимосвязь между соседними элементами временного ряда существенна, то есть предыдущее значение оказывает значительное влияние на последующее. Но при удалении на один элемент от текущего это влияние значительно снижается. Таким образом, необходимо использовать всего лишь два предыдущих уровня ряда для построения оперативного прогноза, так как дальнейшее увеличение количества значений ряда для прогнозирования является неэффективным [8].
Учитывая тот факт, что в формуле расчета прогноза используется среднее значение измеряемой величины, рассчитанное по малому количеству уровней ряда, основным недостатком описанного метода является низкая точность при наличии «выбросов» в измерениях.

Вывод. Универсального метода прогнозирования не существует. Он зависит от конкретной практической задачи. В большинстве технических систем применяется по несколько методик прогноза, для исключения описанных выше недостатков. Цель проведенного исследования - определить наиболее эффективный метод прогнозирования измерений для реализации фильтрации Калмана в составе программного обеспечения комплекса пассивной радиолокации. Тестирование программы показало, что наилучших результатов фильтрации удается добиться при исспользовании комбинации двух методов прогнозирования : МНК - для больших (более 10-ти измерений) участков стабильного поведения объекта; метод, основанный на трендах Демарка - для участков с частой сменой курса (менее 10-ти измерений).

1. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева: Учеб.пособие. – М.: Университетская книга, Логос, 2006. – 640 с.
2. Тихонов Э.Е. Прогнозирование в условиях рынка. Невинномысск, 2006. 221 с.
3. Чучуева И.А. МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ПО ВЫБОРКЕ МАКСИМАЛЬНОГО ПОДОБИЯ, диссертация… канд. тех. наук / Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана. Москва, 2012.
4. М. А. Тынкевич. Глава 7.6.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа // Численные методы анализа. — Кемерово, 2002. — ISBN 5-89070-042-1.
5. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. — 2-е изд. — М., 1962. (математическая теория)
6. Кулакова О. Метод экспоненциального сглаживания. Режим доступа: http://www.cis2000.ru/Budgeting/Mailing/ExponentialSeries.shtml (дата обращения 05.12.2016).
7. Демарк, Т.Р. Технический анализ – новая наука [Текст] / Т.Р. Демарк –М.: Диаграмма, 1997. – 280 с.
8. Клименко И. В. Адаптация метода Т. Демарка для прогнозирования векторных интервальных временных рядов // Наука и прогресс транспорта. Вестник Днепропетровского национального университета железнодорожного транспорта. 2011. №37 С.274-276.

Рецензии:

9.12.2016, 15:36 Алферова Ирина Алексеевна
Рецензия: Статья написана на актуальную тему и доступным языком. Автором рассмотрены методы, применяемые в разных задачах (математических, экономических). Рекомендую к публикации. Вопрос автору : "Где хотите применить связку прогноз-фильтр?"

18.12.2016, 8:39 Наумов Владимир Аркадьевич
Рецензия: Автор добросовестно изложил основные известные методы. При этом, описывая Интерполяционный многочлен Лагранжа и Метод наименьших квадратов, забыл сделать ссылки на источники. Тогда, формально, нужно считать указанные методы изобретением автора :). Но этот недочет легко исправить. Главным является вопрос: в чем научная новизна данной статьи? Вывод "Универсального метода прогнозирования не существует" таковым не является, так как давно известен. Возможно, следует привести пример конкретного использования методов прогнозирования. Статья может быть рекомендована к публикации после доработки.

4.01.2017, 16:55 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Авторитетное и компетентное руководство, статус автора как аспиранта, достаточно ёмкий обзор методов матобработки результатов измерений сами по себе дают основания для рекомендации к публикации данной работы и в данном журнале. Было бы не лишним показать аспиранту, что он знает, кто впервые сформулировал тот или иной метод с указанием ссылки. Непременно выправить описки в тексте и перечне литературы против ГОСТа (то точки и запятые там, а то - там и т.д. Небрежность кое-где). В нашей с О.Н.Некрасовым аналитика дана более глубоко: http://www.amchs.ru/images/stories/ucheba/ng/4_2010.pdf.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий