кандидат физ. - мат. наук
пенсионер
пенсионер
УДК 537.8; 512.7
Введение
Объедение бикватернионов (в частности кватернионов [1, 2, 3]), спиноров с векторами в криволинейных координатах (обобщенная алгебра Клиффорда) дает мощный и универсальный математический аппарат для более детального изучения и обобщения уравнений Эйнштейна, Максвелла, Дирака и классификации элементарных частиц (кварков, лептонов и т.д.).
Вращения в 4-х мерном комплексном пространстве (преобразования Лоренца) являются непосредственным продолжением бикватернионов. Спиноры, описывающие элементарные частицы с помощью уравнений Дирака, также напрямую выходят из тех же бикватернионов.
Взаимосвязь уравнений Максвелла[4] со спинорами[5] приведена ниже, т.е. системы Максвелла даны в спинорной формулировке[6]:
∂ij’fj’k’+∂i’jfji=2si’k (1)
∂ij’fj’k’- ∂k’jfji=0 (2)
где f– спинор второго ранга определяется из уравнения
fik =0.5(∂ij’φj’k+(∂kj’φj’i) (3)
φkn – четырёхмерный потенциал в форме спинора второго ранга,
∂kn – оператор четырёхмерного градиента в спинорной форме,
skn – плотность тока в спинорной форме.
Сам автор (Дирак П.А.М.) получил свои уравнения из уравнения Клейна - Гордона «несерьезной подгонкой» (для того времени) [7], заменив оператор Даламбера на оператора энергии - импульса и перемножив на соответствующие матрицы, хотя потом выяснилось, что это было гениально.
Об исследовании бикватернионов, спиноров, естественно, уравнений Дирака в искривленном и неодносвязном пространстве не могло быть и речи. Это является проблемой до сих пор.
Также до сих пор остается нерешенным вопрос о причине существования трех поколений лептонов и кварков – зачем Природе понадобилось дважды «дублировать» частицы (лептонов и кварков)?
Теоретические основы
В статье [8] была дана мера локальной неоднородности векторного поля с потенциалом A:
B=∇A (4)
Учитывая обозначение для тензора электромагнитного поля F=∇∧A и произведения Клиффорда векторов [8], уравнение (4) запишем в координатной форме:
B=gij∇iAjI+0.5ei∧ejFij (5)
Теперь из локальной неоднородности векторного поля (5) получим бикватернионы, вращения, спиноры в 4-х мерном комплексном пространстве в общем виде (в криволинейных координатах).
Результаты
1. Бикватернионы
Возводим в квадрат формулу (5):
B2=(∇iAiI+0.5ei∧ejFij)(∇kAkI+0.5ek∧enFkn) (6)
Простые вычисления показывают, что B2 состоит из суммы скаляров, псевдоскаляров, действительных бивекторов и псевдобивекторов:
B2=SR+SP+VR+VP, (7)
где SR=(∇iAi)2I– скаляр;
SP=-0.25γEijknFijFkn – псевдоскаляр;
VR= (eα∧e0)Fα0∇i Ai – бивектор;
VP=γ(eα∧e0)Eβλα0 Fβλ∇iAi – псевдобивектор.
Математические выкладки утверждения (7) приведены в Приложении 1.
2. Вращения
Эти скаляры, псевдоскаляры, бивекторы и псевдовекторы обозначим так:
SR=|τα0||τβ0|cosh((ηα+ ηβ)/2)cosh(γ(ϕα+ ϕβ)/2) (8)
SP=|τα0||τβ0|sinh((ηα+ ηβ)/2)sinh(γ(ϕα+ ϕβ)/2) (9)
VR=τα0|τβ0|(sinh((ηα+ ηβ)/2)cosh(γ(ϕα+ ϕβ)/2) - sinh((ηα- ηβ)/2)cosh(γ(ϕα- ϕβ)/2)) (10)
VP=τα0|τβ0|(cosh((ηα+ ηβ)/2)sinh(γ(ϕα+ ϕβ)/2) - cosh((ηα- ηβ)/2)sinh(γ(ϕα- ϕβ)/2)) (11)
где τα0= eα∧e0;
|τα0|=(gα0gα0 – g00gαα)0.5;
ηα– быстрота или «угол поворота при вращении осей α и 0»;
ϕα– угол поворота вокруг оси α.
Подставляя в уравнение (7) выражения (8) – (11) и упрощая, запишем конечный результат:
B=Σα(|τα0|cosh(zα/2) + τα0 sinh(zα/2)) α=1,2,3. (12)
где zα= ηα+γϕα.
Вывод формулы (12) приведен в Приложении 2.
Выражение под знаком суммы (12) не что иное, как повороты осей α и 0 на комплексный угол zα/2 в 4-х мерном искривленном пространстве. Меняя направления бивекторов на противоположные (eα∧e0⇒e0∧eα), получим обратные повороты:
Ḃ=Σα(|τ0α|cosh(zα/2)+ τ0αsinh(zα/2)) α=1,2,3.
Вращения (12) важны тем, что из них легко получить преобразования Лоренца (включая обычные вращения в 3-х мерном пространстве) в общем виде, т.е. в искривленном пространстве.
Примечание.
Возникает справедливый вопрос: можно ли подобрать такой комплексный угол , при котором уравнение (12) имеет решение? Ответ о существовании решения системы (8) – (11) приведен в Приложении 3.
3. Спиноры
Теперь из вращений (12) получим спиноры. Согласно формуле Эйлера
cosh(zα/2) = 0.5(exp(zα/2) +exp(-zα/2)) =Υα + Ῡα
sinh(zα/2) = 0.5(exp(zα/2) -exp(-zα/2)) =Υα - Ῡα,
где
Υα = 0.5exp(zα/2); Ῡα =0.5exp(-zα/2), (13)
формулу (12) запишем в виде:
B=Σα(|τα0|+ τα0)Υα + Σα(|τα0| - τα0)Ῡα α=1,2,3. (14)
Введем обозначения:
Sα = (|τα0|+ τα0)Υα (15)
Šα = (|τα0| - τα0)Ῡα (16)
Следуя терминологии теории групп в алгебре, в общем случае говорят, что идеалом кольца K является такое подкольцо k для ∀b∈ K и ∀S∈ k выполняется равенство [9]:
Sb=cS
Где c – действительное число. Если c>0, то S положительный идеал (или просто идеал), если c<0, то отрицательный идеал (или просто антиидеал).
Термин «антиидеал» или «отрицательный идеал» здесь был введен для общности понятий.
Идеалы могут быть правыми и/или левыми. Если идеал является одновременно и левым и правым, то такой идеал называется двусторонним или просто идеалом.
В 4-х мерном физическом пространстве таким идеалам сопоставляются спиноры[5].
Проверим, существуют ли такие идеалы (спиноры) в нашем случае:
1. Для Sα (15):
Sα (eα∧e0) =(|τα0|+ τα0)Υα(eα∧e0) = (|eα∧e0|(eα∧e0) + (eα∧e0)(eα∧e0)Υα) =
= (|eα∧e0|(eα∧e0) + (eα∧e0)2Υα) =|eα∧e0|(eα∧e0 + |eα∧e0|Υα) = |eα∧e0|Sα
Таким образом,
Sα (eα∧e0) =|eα∧e0|Sα
2. Для Šα (16) таким же образом получаем:
Šα (eα∧e0) = - |eα∧e0|Šα
Определения.
Sα называются положительными спинорами (или просто спинорами) и определяются формулой (15);
Šα называются отрицательными спинорами (или антиспинорами) и определяются формулой (16).
Тогда локальную неоднородность электромагнитного поля (из уравнения (14)) можно записать в виде сумм трех пар спиноров - антиспиноров:
B=Σα(Sα + Šα) α=1,2,3. (17)
Утверждение 1:
Идеалы положительных и отрицательных спиноров независимы, т.е.
Σα(nα Sα + ňαŠα) =0 α=1,2,3. (18)
Проще говоря, условие (18) выполняется только в том случае, если все действительные числа nα, ňα одновременно равняются нулю (при условии Sα ≠ 0, Šα ≠ 0).
Доказательство независимости спиноров приведено в Приложении 4.
Утверждение 2:
Идеалы спиноров и антиспиноров являются двусторонними, что легко может проверить сам читатель.
Утверждение 3:
Отметим, что если ненулевой бикватернион B является суммой спиноров, то он удовлетворяет условию[2]:
SαŠα = 0
Действительно,
SαŠα = (|τα0|+ τα0)Υα (|τα0| - τα0)Ῡα = (|τα0|+ τα0)(|τα0| - τα0) ΥαῩα =
= (|τα0||τα0|+ τα0|τα0| - |τα0| τα0 - τα0∙τα0- τα0∧τα0)ΥαῩα =0∙1=0
Спиноры важны тем, что из них легко получить три пары уравнений Дирака, взяв градиент от уравнения (17).
Физические аспекты и приложения (преобразования Лоренца, уравнения Дирака) вышеописанных математических инструментов будут представлены в следующих статьях.
Обсуждения и выводы
1. Локальная неоднородность электромагнитного поля состоит из трех бикватернионов.
2. Локальная неоднородность электромагнитного поля состоит из трех вращений, которые заключают в себе поворот во «временно - пространственной поверхности» и «чисто пространственный поворот» в 3-х мерном пространстве.
3. Локальная неоднородность электромагнитного поля состоит из трех пар спиноров – антиспиноров в обобщенном виде, причем все спиноры (и антиспиноры) независимы.
4. Существование не более трех пар спиноров - антиспиноров в 4-х мерном пространстве (17) порождает предположение о существовании не более трех поколений лептонов и кварков.
Приложение 1
Раскрываем скобки в (6). Обратим внимание на то, что между скобками стоит произведение Клиффорда.
B2=(∇iAi)2I+ei∧ejFij∇kAk+ 0.25(ei∧ej)(ek∧en)FijFkn (1.1)
В уравнении (1.1) разделяем бивекторы ei∧ejFij∇k Ak на «временные (eα∧e0)» и «пространственные (eβ∧eλ)» части:
ei∧ejFij∇kAk =eα∧e0Fα0∇kAk+eβ∧eλFβλ∇kAk
Пространственные бивекторы выражаем через временные, т.е. через дуальные
ei∧ejFij∇kAk =eα∧e0 Fα0 ∇kAk+γ (eα∧e0) Eβλα0Fβλ∇kAk, (1.2)
так как[8] eβ∧eλ = γ (eα∧e0) Eβλα0; Eβλα0 = εβλα0/(-g)0.5 (ε0123 =+1).
Далее упростим:
(ei∧ej)(ek∧en) =ei∧ej∧ek∧en +(ei∧ej)∙(ek∧en) = - γ Eijkn, (1.3)
так как (ei∧ej)∙(ek∧en)FijFkn = (gjkgin - gjngik)FijFkn = 0.
Подставляя (1.2) и (1.3) в (1.1), получим:
B2=(∇i Ai)2I – 0.25γEijkn FijFkn + eα∧e0 Fα0 ∇k Ak +γ (eα∧e0) Eβλα0Fβλ∇k Ak (1.4)
Теперь мы обозначим скалярную, псевдоскалярную, бивекторную и псевдобивекторную части уравнения (1.4) так:
SR = (∇i Ai)2I – скаляр;
SP = - 0.25γEijkn FijFkn – псевдоскаляр;
VR = eα∧e0 Fα0 ∇k Ak – бивектор;
VP = γ (eα∧e0) Eβλα0Fβλ∇k Ak – псевдобивектор.
Получен вывод утверждения (7).
Приложение 2
Складываем (8) и (9):
SR + SP =|τα0||τβ0|cosh((ηα+ ηβ)/2 +γ(ϕα+ ϕβ)/2) = |τα0||τβ0|cosh(zα/2+ zβ/2) (2.1)
Теперь складываем (10) и (11):
VR +VP = τα0|τβ0|(sinh((ηα+ ηβ +γϕα+γϕβ)/2) - sinh((ηα - ηβ +γϕα- γϕβ)/2))
VR +VP = τα0|τβ0|(sinh((zα+ zβ)/2) - sinh((zα - zβ)/2))
VR +VP =2 τα0|τβ0|sinh(zα /2) cosh(zβ /2) (2.2)
Складывая (2.1) и (2.2), получим:
B2 = |τα0||τβ0|cosh(zα/2+ zβ/2) +2 τα0|τβ0|sinh(zα/2) cosh(zβ/2)
B2 = |τα0||τβ0|(cosh(zα/2)cosh(zβ/2) + sinh(zα/2)sinh(zβ/2)) +2 τα0|τβ0|sinh(zα/2) cosh(zβ/2)
B2 = (|τα0|cosh(zα/2) +τα0 sinh(zα/2)) (|τβ0|cosh(zβ/2) +τβ0 sinh(zβ/2))
Так как по α и β идет суммирование от 1 до 3, то это уравнение можем писать в виде квадрата:
B2 = (|τα0|cosh(zα/2) + τα0 sinh(zα/2))2 (2.3)
Извлекая из корня (2.3), получим уравнение (12).
Приложение 3
Так как вращения независимые, в уравнении (12) значение берем фиксированным (1 или 2 или 3), а уравнение (5) запишем в виде:
B = cα∇iAiI+eα∧e0(Fα0+ γ Eβλα0Fβλ) (3.1)
cα– произвольные действительные числа, которые удовлетворяют условию:
c1 + c2 +c3=1
Правую часть уравнения (3.1) приравняем к правой части (12) при фиксированном α.
cα∇iAiI+eα∧e0(Fα0+ γ Eβλα0Fβλ) = |τα0|cosh(zα/2) + τα0 sinh(zα/2) (3.2)
Разделяем симметричные и антисимметричные части в обеих частях уравнения (3.2) и приравниваем их друг другу:
cα∇iAiI =|τα0|cosh(zα/2); eα∧e0(Fα0+ γ Eβλα0Fβλ) = τα0 sinh(zα/2) (3.3)
Умножая соответствующие стороны уравнений системы между собой, получим:
cα∇i Ai(eα∧e0)(Fα0+ γ Eβλα0Fβλ) = |τα0|cosh(zα/2)τα0 sinh(zα/2)
cα∇i Ai(Fα0+ γ Eβλα0Fβλ) = 0.5|τα0|sinh(zα) (3.4)
Решая уравнение (3.4) относительно zα, найдем значение соответственного угла.
Приложение 4
Доказательство независимости спиноров и антиспиноров:
Умножим уравнение (18) слева на (|τ10| - τ10):
(|e1∧e0| - e1∧e0)n1S1 + (|τ10| - τ10)n2S2 + (|τ10| - τ10)n3S3 +(|τ10| - τ10) Σα ňαŠα =0 (4.1)
Так как (|e1∧e0| - e1∧e0)n1S1 = n1(|e1∧e0| - e1∧e0)(|e1∧e0| - e1∧e0)Υ1=0, то из (4.1) получим:
n2S2 + n3S3 +Σα ňαŠα =0 (4.2)
Теперь умножим (4.2) слева на (|e2∧e0| - e2∧e0):
(|e2∧e0| - e2∧e0)n2S2 + (|e2∧e0| - e2∧e0)n3S3 +(|e2∧e0| - e2∧e0)Σα ňαŠα =0 (4.3)
Здесь (|e2∧e0| - e2∧e0)n2S2 = 0, поэтому из (4.3) получим:
n3S3 +Σα ňαŠα =0 (4.4)
Далее, повторяя умножение (4.4) на (|e3∧e0| - e3∧e0), затем на (|e1∧e0|+ e1∧e0) и т.д. и повторяя процедуру, в конце получим:
(|e3∧e0|+ e3∧e0)ň3 Š3 = ň3(|e3∧e0|+ e3∧e0)(|e3∧e0|- e3∧e0)Ῡ3 = 0 (4.5)
Так как в (4.5) ни (|e3∧e0|+ e3∧e0), ни Š3 не равняются нулю, то получается, что ň3=0.
Теперь уравнение (18) запишем без члена ň3 Š3:
Σαnα Sα + ň1 Š1 + ň2 Š2 =0. (4.6)
Повторяя процедуру (4.2) – (4.5) относительно уравнения (4.6), получим в конечном результате
ň2 (|e2∧e0|+ e2∧e0) (|e2∧e0|- e2∧e0)Ῡ3 =0, (4.7)
т.е. ň2 =0.
Повторяя эти операции, в конце концов, докажем, что все nα = ňα =0.
Рецензии:
31.05.2017, 19:12 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Хотелось бы всё же выводы отдельно выделить. Возможно, сформировать их из чётких фраз аннотации и первых предложений введения. Личный выбор автора, но, по мнению и работам рецензента с соавтором (F.M. Lev), более близким к описанию реальных пространств кривизны (например, постоянной) является де Ситтер суперсимметричная алгебра и её представления SO(2,3), а не Лоренц-инвариантность, являющаяся представителем в виде SU(2,2) алгебры. Об этом упомянуто в цитируемой автором работе рецензента и в http://www.vevivi.ru/best/Inkarnatsiya-kvaternionov-ref172711.html. Однако в любом случае работа в рамках темы профессионально написана и заслуживает публикации. Рецензент "ковырялся" и в ранее опубликованной статье автора [8] и дал также рекомендацию к публикации.
Кстати слово "объединить" во введении лучше, чем "объеденить".
В литературе инициалы ставятся позади фамилии [2], [7], после ФИО не ставится запятая [9].
Комментарии пользователей:
1.06.2017, 7:25 Бабаев Алимжан Холмуратович Отзыв: Спасибо Вам, Эдуард Григорьевич, за то, что Вы действительно стали «крёстным отцом» моих скромных трудов. Искренне благодарю Вас за замечание моих ошибок и за подсказку по замене терминов. Возможно, Вы правы насчет целесообразности группы Де-Ситтера вместо SU(2,2) – я не утверждаю и не опровергаю. В принципе, Вы правы: введение дополнительной координаты (переменной) математически сильно облегчает описание n - мерного геометрического объекта в n+1- мерном пространстве. На мой скромный взгляд, в случае введения дополнительной координаты, как у Де-Ситтера, возникают дополнительные проблемы: Обобщенная алгебра Клиффорда (в случае криволинейных координат) не обладает коммутативностью относительно умножения – она не симметричная и не антисимметричная. Если все-таки ввести пятую компоненту пространства, математика становится «красивой» и простой, но возникает вопрос о интерпретации этой дополнительной оси, а также о количестве поколений лептонов и кварков, так как поколений становится больше. Я также благодарен ещё одному «крёстному отцу» моего труда – Батанову - Гаухману Михаилу Семёновичу, чьи научные труды по алгебре сигнатур удивительно «созвучны» с моими «научными потугами» по сути (не по форме). |