Статья опубликована в №61 (сентябрь) 2018
Разделы: Математика
Размещена 07.07.2018. Последняя правка: 27.09.2018.
Просмотров - 2323

Треугольник, и использование его в некоторых задачах

Зарубин Виктор Владимирович

Сфера коммунального хозяйства

рабочий

УДК 511

Введение

Треугольник является одной из самых распространенных и простых геометрических фигур. Как для фигуры – это минимум сторон, минимум углов. Но при всей своей простоте и минимализме он обладает такими свойствами и характеристиками, которые помогли решить множество задач, и не только в математике, доказать множество теорем.

Актуальность.

Затронутая тема напрямую связана с теорией чисел, спектр применения этой теории в математических приложениях велик – это и криптография, и акустика, и дальняя космическая связь. Да и в математике есть открытые вопросы, связанные с уравнениями вида aⁿ+bⁿ+cⁿ+…+tⁿ=xⁿ.

Цели и задачи.

Показать, что основой данного вида уравнений является треугольник, а графическим решением – «определенная ломаная линия». Доказать, что наряду с прямоугольными треугольниками, для которых справедливо c²=a²+b², существуют треугольники, для которых справедливо cⁿ=aⁿ+bⁿ, где n=3; 4; 5 и т.д.

Напомним основные характеристики плоских треугольников [2, c. 50]. Во первых – это размеры сторон. Треугольник существует тогда, когда a<(b+c); b<(a+c); c<(a+b). Во вторых – сумма углов треугольника равна 180°, против большего угла в треугольнике лежит большая сторона и наоборот.

Существует три вида треугольников. Если не известны значения углов, а только сторон, то с помощью теоремы косинусов определяем вид треугольника:

- остроугольный – все углы меньше 90°,

- прямоугольный – в треугольнике один угол равен 90°,

- тупоугольный – в треугольнике один угол >90°.

И наконец, треугольники обладают таким свойством, как подобие.

Треугольник является «первокирпичиком» каждого уравнения

aⁿ+bⁿ+cⁿ+…+tⁿ=xⁿ,  где n=2; 3; 4; 5 и т.д.

Рассмотрим графический способ построения такого уравнения с n=2. Если взять любой прямоугольный треугольник, то, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формулировка теоремы часто приписывается Пифагору, но, по утверждению Пиковера К., она была впервые введена индийским математиком Баудаяной несколькими столетиями ранее (ок. 800 г. до н.э.) в его книге «Баудаяна-сульва-сутра» [3, с. 36].

Но мы будем называть ее как и все «теоремой Пифагора».

Имеем (AB)²=(AC)²+(BC)²

 

 

 Рис. 1. Графическое построение уравнения с n=2

Затем на катете АС рис. 1 строим новый прямоугольный треугольник АDС, в котором АС является гипотенузой, тогда  (AB)²=(AD)²+(DC)²+(BC)².

Поступив так же с катетом ВС, будет верно

(AB)²=(AD)²+(DC)²+(CE)²+(BE)²

Так можно продолжать сколько угодно долго.

Каждое уравнение такого вида можно изобразить графически. Это будет отрезок х, концы которого соединены «определенной ломаной линией» с ребрами a, b, c, d и т.д.

Рассмотрим простую задачу на построение.

Дан отрезок АВ длинной 10 см. Необходимо соединить точки А и В ломаной линией с ребром равным 1 см при помощи обычного ученического треугольника, таким образом, чтобы отрезок и ломаная линия описывались уравнением 1²₁ + 1²₂ + 1²₃ + 1²₄ + … + 1²₁₀₀ = (АВ)².

Ученический треугольник должен быть таким, у которого нулевое деление шкалы совпадает с вершиной прямого угла.

Для удобства дадим названия катетам треугольника – катет шкалы и свободный катет. Построение можно выполнить, как минимум, двумя способами.

Первый способ – прямое построение (прямое изображение).

Строить начнем с точки В. Совместим точку шкалы с делением в 1 см с точкой В, а свободный катет направим так, чтобы он проходил через точку А. Отметим точку, в которой оказалась вершина прямого угла треугольника. Получим точку С₉₉ (рис. 2), расстояние от нее до точки А будет равно √99 – согласно теоремы Пифагора. Продолжим построение, беря теперь за исходную точку С₉₉, получаем точку С₉₈. АС₉₈ будет равно √98.

 

Рис. 2 Прямое построение ломаной линии

Из условия следует, что длина ломаной линии в сумме составляет 100 см. Будем продолжать построение до тех пор пока не доберемся до точки С₁. Если мы все правильно выполним, то точка С₁ будет находится от точки А на расстоянии 1 см и на расстоянии 1 см от точки С₂ по условию построения. АС₂ будет равно √2. Построение окончено. Ломаная линия будет представлять собой ломаную спираль вокруг точки А.

Второй способ – «микс»-построение («микс»-изображение). Это чередование прямого и перевернутого построения (изображения).

Сделав первый шаг прямым построением, второй делаем перевернутым построением. Для этого, перевернув треугольник, на катете шкалы напротив деления в 1 см делаем отметку. Совмещаем эту отметку с точкой С₉₉, свободный катет направляем так чтобы он проходил через точку А, получим точку С₉₈. Будем производить построение с пошаговым чередованием. На рис. 3 показано такое построение ломаной линии с ребром в 2 см. Ломаная линия с пошаговым чередованием с ребром в 1 см будет иметь аналогичный вид, что и с ребром в 2 см, но изображение её при данном масштабе не будет иметь такой наглядности..

 

 

Рис. 3. «Микс»-построение ломаной линии       

При данном способе построения возможно множество вариантов. Чередование может быть как пошаговым, так и по несколько шагов. Но какой бы способ вы не избрали, при построении с ребром в 1 см, точка С₁ всегда будет находиться на расстоянии в 1 см от точки А.

Задание выполнено.

Возможно ли такое построение, если АВ и единицу взять в третьей степени, в четвертой и т.д.. Да возможно. Покажем, что существуют треугольники, для которых выполняется равенство (AB)ⁿ=(AC)ⁿ+(BC)ⁿ, где n=3; 4; 5; 6; и т.д.

Сначала рассмотрим это на примере равнобедренных треугольников.

Построим равносторонний треугольник АВС_пр (где С_пр – С_предел), стороны которого равны, например, 10 см (рис. 4). Из вершины С_пр опустим высоту С_прС₁. Она разделит отрезок АВ на два равных отрезка a₁ и b₁ по 5 см. Впишем в треугольник АВС_пр равнобедренный прямоугольный треугольник АВС₂, не будем уточнять, как мы это сделали. Угол АС₂В прямой. Обозначим катеты АС₂ – b₂, ВС₂ – a₂, гипотенуза АВ – с.

 

 

Рис. 4. Построение равнобедренных треугольников, для которых верно cⁿ=aⁿ+bⁿ

Согласно теоремы Пифагора с²=а²₂+ b²₂=a₂*a₂+b₂*b₂. Умножим это равенство на с:

c³ = a₂ * a₂ * c + b₂ * b₂ * c                           (1)

Рассмотрим произведение a₂ * a₂ * c. Если извлечь из него корень кубический, то мы получим некоторое число a₃. Оно будет больше a₂, но меньше с. Заменим произведение a₂ * a₂ * c  на a³₃, аналогично произведение b₂ * b₂ * c  – на b³₃, будем иметь

c³= a³₃+ b³₃                                                    (2)

Поскольку a₂=b₂, то a₃= b₃.

Перемещая точку С₂ по высоте С_прС₁ вверх, мы попадем в точку С₃, которая находится от точки А на расстоянии b₃, а от точки В на расстоянии а₃. У нас образовался равнобедренный треугольник АВС₃, для которого справедливо следующее выражение

(AB)³=(AC₃)³+(BC₃)³.

Умножим выражение 2 на с, получим

c³*c= a³₃*c+ b³₃*c, но a³₃=a₂*a₂*c, b³₃=b₂*b₂*c, тогда

c⁴ = a₂ * a₂ * c * c + b₂ * b₂ * c * c

Извлекая корень четвертой степени из a₂ * a₂ * c * c, получим некоторое число а₄. Оно будет больше а₂, больше а₃, но меньше с.

Так мы можем найти месторасположение точки С₄. Она будет находится на высоте С_прС₁ выше точки С₃.

У нас получится равнобедренный треугольник АВС₄ для которого верно будет следующее утверждение (AB)⁴=(AC₄)⁴+(BC₄)⁴

По такому принципу можно построить равнобедренный треугольник для которого выполняется равенство

(AB)ⁿ=(AC_n)ⁿ+(BC_n)ⁿ, где n=3; 4; 5; 6 и т.д.

Проведя несложные вычисления, можно определить месторасположение точки С_n на высоте C₁C_пр в нашем конкретном случае при различных значениях n:

По числовым значениям видно, как изменяется плотность результатов, рассматривая их при возрастании n с 2 до 10. Трудно себе представить, какова будет плотность результатов при сотых значениях n, при тысячных, при миллионных.

Умножая выражение 1 каждый раз на с, а затем извлекая корень соответствующей степени из каждого слагаемого, мы будем получать числа a_n и b_n, которые будут всегда меньше с, сколько бы раз мы не производили это действие.

С увеличением n, точка С_n будет подниматься по высоте С_прС₁ вверх, приближаясь к точке С_пр как угодно близко. Но С_n никогда не совместится с точкой С_пр.

Из вышеизложенного делаем вывод, что существуют равнобедренные треугольники, для которых верно

сⁿ = 2 * aⁿ       n = 2; 3; 4; 5 и т.д.

Учитывая подобие треугольников, утверждаем, что прототипом каждого такого треугольника является треугольник со сторонами 1; 1 и , n=2; 3; 4; 5 и т.д. Выбирать единицу измерения, увеличивать или уменьшать в несколько раз эти значения каждый волен себе сам.

Теперь рассмотрим вариант, когда меньшие стороны треугольника имеют разные размеры. Существуют ли такие из них, для которых верно

аⁿ + bⁿ = cⁿ        n=3; 4; 5 и т.д.

Обратим внимание на рис. 5. На кривой второго порядка АС₂В возьмем произвольную точку C'₂, которая не совпадает с точкой С₂, и соединим ее с точками А и В. Получим прямоугольный треугольник AC'₂B, у которого один катет будет меньше другого, например, a'₂<b'₂. По теореме Пифагора: c²=(a'₂)²+(b'₂)²= a'₂* a'₂+ b'₂* b'₂. Умножаем обе части на с:

c³=a'₂* a'₂*c+ b'₂* b'₂*c        (3)

Извлечем корень кубический из каждого слагаемого, получим некоторое значение a'₃ и b'₃. Поскольку  a'₂<b'₂,то и a'₃<b'₃, и в то же время a'₃ и b'₃ будут меньше с. Запишем выражение 3 в следующем виде:

c³=(a'₃)³+(b'₃)³.

Из точек А и В опишем дуги с радиусами a'₃ и b'₃ до их пересечения, получим точку C'₃. Эта точка C'₃ будет находиться справа от высоты С₁С_пр, между дугами АС₂В и АС_прВ. Соединим точку C'₃ с точками А и В, получим треугольник AC'₃B, для которого будут выполняться все вышеперечисленные условия. У этого треугольника (AB)³=(AC'₃)³+(BC'₃)³. Так можно построить треугольник и при других значениях n.

Треугольники, у которых меньшие стороны не равны, но выполняется условие cⁿ = аⁿ + bⁿ, n=3; 4; 5 и т.д. – существуют.

Теперь попробуем построить ломаную линию с ребром в 1 см, соединяющую концы отрезка 10 см таким образом, чтобы они описывались уравнением

10³=1₁³+1₂³+1₃³+1₄³+…+1₁₀₀₀³

Выполним первый шаг. Нам нужно построить треугольник со сторонами 10; 1 и . Следующий треугольник будет иметь стороны

. . . ; 1 и 

Будем продолжать построение, пока не доберемся до точки С₁, которая будет находиться от точки А на расстоянии в 1 см. И на таком же расстоянии от точки С₂. Расстояние от точки С₂ до А будет равно . Построение будет окончено.

Назовем полученную ломаную линию – ломаной третьего порядка. Вычислив значение сторон треугольников, получающихся при построении, легко убедимся, что треугольники с такими параметрами существуют. Полученная ломаная третьего порядка с ребром в 1 см будет иметь в сумме длину 10 м. Из этого следует, что в начале своего построения она будет проходить, условно говоря, над ломаной второго порядка с ребром в 1 см, в противном случае построение будет закончено с количеством ребер меньше 100, что противоречит условию. Ломаная четвертого порядка с ребром в 1 см в начале пути будет проходить, условно говоря, над ломаной третьего порядка. Не прибегая к вычислениям, можно смело утверждать, что

√99 <  <  и т.д.

Если строить для каждого случая ломаную с ребром в 2 см, получим

√96 <  <.

В конце построения ломаной четвертого порядка с ребром в 1 см, будет получаться равнобедренный треугольник со сторонами 1; 1 и . В конце построения ломаной n-ого порядка – равнобедренный треугольник со сторонами 1; 1 и , о чем мы уже говорили выше.

Убедившись в существовании треугольников, для которых верно aⁿ+bⁿ=cⁿ     n = 2; 3; 4; 5 и т.д., рассмотрим граничные пределы кривых соединяющих концы отрезков.

  

Рис. 5. Границы кривых второго и n-ого порядков

После этого опишем дуги радиусом 10 см с центрами в точках А и В до их пересечения в точке С_пр. Точки С_пр и С₁ соединим, обозначим точку С₂, точку пересечения прямой С_прС₁ с кривой второго порядка. Между кривыми АС₂В и АС_прВ и будут находиться кривые третьего, четвертого, пятого и т.д.  порядка. Будет выполняться условие

(AB)ⁿ=aⁿ+bⁿ      n = 3;4; 5 и т.д.

Для прямой АВ выполняется условие

(AB)¹=(AC₁)¹+(BC₁)¹

АВ – «кривая» первого порядка.

При больших значениях n кривые n–го порядка будут приближаться к кривой АС_прВ как угодно близко, но никогда ее не коснуться.

Кривую n-го порядка можно рассматривать как кривую состоящую из двух частей – одна часть от точки А до точки С_n – пересечение кривой с С₁С_пр, вторая от точки С_n до точки В. Каждая ее часть будет зеркальным отображением другой по линии С₁С_пр.

Как видно из рисунка при больших значениях n  будет более явно выражена «угловатость» перехода, назовем это так, по линии С₁С_пр. Кривой n-го порядка можно соединить концы любого отрезка с.

Следует отметить важную отличительную особенность кривой второго порядка в сравнении с ее более «высокими» соседями. При движении по кривой второго порядка, точка С₂, соединенная с точками А и В, является вершиной большего угла образующихся треугольников. Величина его постоянна и равна 90°. Это не зависит от месторасположения точки С₂ на кривой второго порядка.

Если же точки кривой третьего порядка, четвертого порядка и т.д.. соединять с точками А и В, двигаясь по кривой n-ого порядка от А к В, точка С_n будет также вершиной большего угла образующихся треугольников. Но значение величины большего угла будет меняться. Оно будет сначала уменьшаться, а затем расти. Когда точка С_n будет находиться вблизи точки А, угол С будет максимальным. Пределом его максимальной величины является 90°. Двигаясь далее, угол будет уменьшаться. Когда точка С_n будет находиться на линии С₁С_пр, значение величины угла будет минимально возможным для кривой данного порядка. После прохождения точкой С_n этого «математического Рубикона» значение величины угла будет расти. Вблизи точки В угол вновь будет максимальным с тем же самым пределом в 90°. Чем выше точка С_n будет находиться на отрезке С₁С_пр тем меньше будет минимально возможное значение величины  большего угла равнобедренного треугольника, для которого верно

cⁿ=aⁿ+bⁿ, где n=3; 4; 5 и т.д.

Для каждого n существует свое строго определенное значение минимально возможной величины большего угла. При неограниченном возрастании n угол будет уменьшаться, приближаясь к своему пределу – это 60°.

Убедившись, что построение, рассмотренных выше треугольников и кривых, возможно лишь при соблюдении определенных правил, попробуем  взглянуть под таким углом на ломаную линию, являющуюся графическим решением уравнения вида aⁿ+bⁿ+cⁿ+…+tⁿ=xⁿ,  где n=2; 3; 4; 5 и т.д.

Взяв графическое решение уравнения с числом членов в одной части больше двух, могут возникнуть сомнения в том, что ломаная линия соединяющая концы отрезка АВ и являющаяся графическим решением уравнения, например, (AB)²=a²+b²+c² подчиняется определенным законам, при данной степени – теореме Пифагора.

Концы отрезка АВ соединены ломаной линией из трех отрезков. Полученная фигура, в отличии от треугольника, фигура нежесткая. Она легко трансформируется, и ее форма может иметь множество вариантов, в то же время равенство (AB)²=a²+b²+c²  будет соблюдаться.

Но существует «определенная ломаная линия», назовем ее так, которая в данном случае подчиняется теореме Пифагора.

Пусть дано уравнение 13²=12²+a²+b². Как мы поступаем при его решении? Переносим известные в одну сторону, неизвестные оставляем в другой

13²-12²=a²+b²

Выполняя это действие, мы аргументируем его так – существует прямоугольный треугольник с гипотенузой в 13 см, катетом в 12 см и катетом равным , вычислив, имеем 25=a²+b².

В целочисленных значениях существует только один вариант прямоугольного треугольника с такими параметрами. Это гипотенуза – 5 и катеты равны 3 и 4.

Сам процесс решения вынуждает нас строить определенную ломаную линию подчиняющуюся определенным законам, в данном случае теореме Пифагора. Правда построить мы можем ее как прямым так и «микс»-способом.

Умножив левую и правую части уравнения 13²=12²+4²+3² на одно и то же число, например на 4, можно наблюдать справедливость нескольких математических законов, которые не исключают друг друга. Это и умножение левой и правой части на  одно и тоже число а, представив 4 как 2², мы можем убедиться в соблюдении правил действий со степенями. Если записать его в виде (13*2)²=(12*2)²+(4*2)²+(3*2)² и перед нами закон подобия треугольников в действии – мы увеличиваем стороны треугольников составляющих графическое решение данного уравнения в два раза. Это применимо ко всем уравнениям вида aⁿ+bⁿ+cⁿ+…+tⁿ=xⁿ  n = 2; 3; 4; 5 и т.д.

Рассматривая треугольник со сторонами 5, 4 и 3, можно сделать следующее заключение: квадрат любого числа оканчивающегося на 5 или 0 можно представить в виде суммы двух квадратов в целочисленном варианте.

При разложении такого числа на сомножители, его можно представить в виде m*5,  где m  - некоторое целое число. Но 5 – это гипотенуза знаменитого Египетского треугольника с катетами 3 и 4.

Утверждать, что (m*5)² будет равно сумме квадратов двух целых чисел, одно и то же, что и говорить, что существует прямоугольный треугольник со сторонами – гипотенузой m*5 и катетами а и b.

Учитывая свойство подобия треугольников, имеем a=m*3 и b=m*4 и тогда (m*5)²=(m*3)²+(m*4)².

Такими же свойствами обладают целые числа кратные 13. А также множество других чисел, которые кратны большему числу из так называемых «Пифагорийских» троек [5, с. 14]

(m*13)²=(m*12)²+(m*5)²

В своей книге «Великая теорема Ферма» Саймон Синг говорит, что с возрастанием чисел находить «Пифагорийские» тройки становится все труднее и труднее. Это не совсем верно. «Пифагорийские» тройки – это не «математическая случайность» на просторах натурального ряда. В математике всё, в том числе и «Пифагорийские» тройки подчиняются определенным правилам и законам.

Покажем простой способ нахождения некоторых таких чисел. Его автором является Пифагор. Этот способ описывает Серпинский В. в своей книге «Пифагоровы треугольники» [4, с. 14]. Рассмотрим какие свойства чисел дают возможность этому способу существовать.
Для квадрата любого нечетного натурального числа, начиная с 3, существует равная ему (квадрату) разница квадратов двух чисел, стоящих в натуральном ряду по-соседству. Квадраты двух соседних натуральных чисел отличаются на сумму этих же чисел. Пусть k – любое натуральное число, тогда

k² – (k-1)² = k² – k² + 2k – 1 = 2k - 1 = k + (k-1)

Проверить это можно и другим способом. Квадрат любого натурального числа k равен удвоенной сумме чисел от единицы до k-1 плюс само число k. Тогда k² будет равно 2*(1+2+3+…+(k-2)+(k-1)) + k.

(k-1)² будет равно 2*(1+2+3+…+(k-2))+(k-1). Вычтем из первого второе, получим

2*(k-1)+k-(k-1)=(k-1)+k.

Сумма k + (k-1) – всегда число нечетное. Берем любое натуральное нечетное число, возводим его в квадрат, а результат, который тоже будет нечетным, делим на 2. Получим два одинаковых числа плюс единицу в остатке. Добавим эту единицу к одному из них, получим два натуральных числа, отличающихся друг от друга на единицу. Разница квадратов этих чисел будет равна квадрату взятого нами нечетного числа. На основании этого можно утверждать, что существуют прямоугольные треугольники в целочисленном значении сторон, в которых меньший катет может равняться любому нечетному натуральному числу каких-то единиц длины. Если взятое число непростое, а  составное, кроме того, что оно будет иметь свой эксклюзивный вариант треугольника, оно может является стороной другого прямоугольного треугольника. Так, число 9 является одним из чисел следующей «Пифагорийской» тройки: 41, 40 и 9. Кроме этого, этому числу может быть равен катет треугольника со сторонами 9, 12 и 15, однако этот треугольник подобен треугольнику со сторонами 3, 4 и 5. Возьмем число 65. Эксклюзивный вариант – 2113, 2112 и 65. Другие варианты – 65, 60, 25; 169, 156, 65 – подобие 13, 12 и 5; 65, 52, 39 – подобие 3, 4 и 5. 

Совокупность свойства разности квадратов двух соседних натуральных чисел, равняться их сумме, и возможности представить любое натуральное нечетное число в виде суммы двух натуральных чисел, отличающихся на единицу, позволяет легко находить три натуральных числа, для которых будет верно следующее утверждение с² = а² + b². Рассчитывать  на то, что такой способ поиска трех натуральных чисел «сработает» при n=3, 4, 5 и т.д. не приходиться.

Это, и показанное существование треугольников, для которых верно cⁿ = aⁿ + bⁿ, где n=3, 4, 5 и т.д., позволяют нам по иному взглянуть на Великую теорему Ферма.

Основываясь на вышесказанном, следует, что, если на отрезке с в любом месте поставить точку, то она разделит его на две части а₁ и b₁, и будет верно с = а₁ + b₁. Умножим обе части на с, получим с² = а₁ * с + b₁ * с. Это выражение эквивалентно формуле определяющей теорему Пифагора с² = а₁ * с + b₁ * с = а²₂ + b²₂.

Также делаем вывод, что треугольники для которых верно aⁿ+bⁿ=cⁿ, где n=2; 3; 4; 5 и т.д., существуют. Если треугольники существуют, то и существуют кривые второго, третьего, четвертого, n-ого порядка, соединяющие концы отрезка с. Они имеют форму, при которой все их точки находятся от концов отрезка с на таком расстоянии a и b, что выполняется условие

aⁿ+bⁿ=cⁿ     n = 2; 3; 4; 5 и т.д.

Считается, что единого способа решения уравнений вида aⁿ+bⁿ+cⁿ+…+tⁿ=xⁿ, где n=2; 3; 4; и т.д. – нет. Но если взять и изобразить решение таких уравнений графически, то перед нами будет картина, принцип изображения которой един для всех уравнений такого типа. Это будет отрезок х, концы которого будут соединены определенной ломаной линией с ребрами a, b, c, . . ., t.

То есть, складывая пазлы из треугольников определенного вида, можно получить такое уравнение, в том числе и в цельночисельном варианте.

Для пошагового построения определенной ломаной линии используется треугольник у которого большая сторона в n-ой степени равна сумме n-х степеней двух других сторон.

Изображение может быть выполнено как прямым, так и «микс»-способом.

На этом можно бы и поставить точку. Но есть один вопрос, который может возникнуть в процессе обсуждения данной темы. Это вопрос о существовании многих треугольников, которым мы  уделяли внимание выше. Согласно Великой теоремы Ферма целочисленных значений выражение cⁿ=aⁿ+bⁿ, где n=3; 4; 5 и т.д., не имеет. То есть суждение, что треугольники со сторонами a; b и с, для которых справедливо cⁿ=aⁿ+bⁿ, где n=3; 4; 5 и т.д., существуют – неверно. Фигуры с такими параметрами незамкнуты. Треугольник же – фигура замкнутая. Прямоугольные треугольники, в этом смысле, менее уязвимы. Среди них есть множество, для которых можно применить теорему Пифагора, нисколько не сомневаясь при постановке знака равно. Рассмотрим один частный случай. Возьмем равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами a; b и с. Согласно свойства подобия треугольников – он подобен треугольнику с параметрами 1; 1 и √2. Появлению числового значения √2, предшествовали печальные события, которые бросают тень на самого Пифагора. [5, с. 22] Существует легенда, согласно которой один из учеников Пифагора, вычисляя значение √2, пришел к выводу, что это значение не является ни целым числом, ни дробью, как было принято считать в то время. Высказывание о появлении нового вида чисел, которые мы сейчас называем иррациональными, стоило ученику Пифагора жизни. Пифагор, как гласит легенда, приказал его утопить.

А теперь зададим себе вопрос – существует ли треугольник с параметрами 1; 1 и √2?  Описывая, например, график логарифмической функции, мы говорим, что она подходит как угодно близко к оси игрек, но не касается её, что верно. Утверждение существования равнобедренного прямоугольного треугольника подразумевает существование замкнутой фигуры со сторонами 1; 1 и √2, что неверно, поскольку значение √2 - число иррациональное. Не нарушаем ли мы «Математическую конституцию» такими суждениями, ведь расстояния в обоих случаях примерно равные?

1. Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1988. – 320 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М, «Наука», 1974, 832 с.
3. Пиковер К. Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов, 250 основных вех в истории математики / пер. с англ. С.А. Иванова – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. – 539 с.
4. Серпинский В. Пифагоровы треугольники: Пер. с польского. – М.: УчпедгиЗ, 1959. – 114 с.
5. Сингх С. Великая теорема Ферма. — МЦНМО, 2000. — 288 с.

Рецензии:

15.08.2018, 21:42 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Данную статью рецензент уже, кажется, рецензировал. В статье есть оригинальности, собственноые взгляды и своеобразный математический аппарат. Предлагается доструктурировать работу (подразделы в осноной части, заключение), добавить источники и ссылки. Закончить вопросительным знаком. После учёта замечаний статья рекомендуется к печати.

16.08.2018, 23:09 Поплавская Лидия Андреевна
Рецензия: Статья носит обзорный характер. Автором достаточно глубоко проработан материал темы и изложено свое видение проблемы. Однако в библиографическом списке автора отсутствуют ссылки на источники с наработками крупных ученых в данной области и обзорные статьи. А ведь теорема сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить: невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. "Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него". Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4. Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 году — для n = 5, Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, и так далее... Поскольку формулировка Великой теоремы очень проста и понятна, то существует стойкая иллюзия, что и доказательство ее также должно быть простым и понятным. Это породило неисчислимые толпы фанатиков, называемых ферматистами, которые пытались ее доказать, думали, что доказали, и атаковали кафедры и отдельных ученых с исписанными тетрадками в клеточку наперевес. Как все фанатики, они нетерпимы к критике, полны намерений снести все преграды и страшно самоуверенны. Как правило, все доказательства сводятся к нехитрым алгебраическим преобразованиям: там прибавил, тут вычел, возвел все в квадрат, извлек квадратный корень, свернул по формулам сокращенного умножения, применил бином Ньютона — и вот оно, доказал. Большая часть доморощенных ферматистов даже не понимает сути теоремы Все это были частные случаи, а не универсальное доказательство для ВСЕХ ЧИСЕЛ. Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел.

16.08.2018, 23:15 Поплавская Лидия Андреевна
Рецензия: Извините, случайно отправлена незаконченное черновое изложение рецензии. Рецензент полагает, что данная статья может быть опубликована при добавлении литературных источников и ссылок на них, а также структуризации статьи в соответствии с замечаниями рецензента Мирмович Э.Г.

27.09.2018, 19:56 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: На замечания автор ответил, хотя структуризация статьи подразумевает чёткое, отвечающее контенту деление на введение (исторический экскурс, постановка задачи и др.), основную часть с тематическими подразделами (стандартные инструменты построения плоских треугольников, имея в виду, что треугольники на сфере или в любом аффинном пространстве этими свойствами не обладают, анализ и алгоритм поиска "пифагорейских троек" и связь проблемы с теоремой Ферма и т.д.), заключение (что получено лично автором и с помощью какого инструмента в сопровождении слов: таким образом и пр.). Ссылка на фундаментальный справочник Корнов по элементарным свойствам треугольников как-то некорректна, когда это сведения из пятого класса школьного учебника. Отсутствие ссылки на фундаментальную монографию Н. Коблица (хотя в перечне она есть) непонятно, если не принять, что она в перечне лишь для солидности дана. Не все выправлены грамматические "ляпики" типа "не приходиться" - это не инфинитив; "согласно теоремы" - согласование не соблюдено по падежу; во-первых, во-вторых – через дефис; лишняя запятая в заглавии статьи и др. В самом заглавии отсутствует предмет исследования (например, "Взаимосвязь проблем построения плоских треугольников с теоремой Ферма, или др. что-то). Не обязательно, но хотелось бы при "разговоре" о равноудалении увидеть термин "точка Ферма", а в историческом плане фамилию Фибоначчи. Но – не обязательно. Рецензенту хотелось бы, чтобы такой ГИГАНТСКИЙ труд был представлен в идеальном исполнении. Кстати, и на нашей площадке на тему "Ферма" было ряд публикаций. И в каждый из них автор считает, что сам и впервые заглянул в эту шкатулку, в этот "чёрный ящик". Рецензент по тем публикациям также дискутировал о степени "первозданности" подходов. Виктор Владимирович, если хочет, то может посмотреть эти статьи и рецензии на них. Т.ч. несмотря на ответ автора, рецензент не считает устранение его претензий полным. Поработайте над представлением своих исследований согласно советам рецензентов. Хотя и сам автор является прекрасным рецензентом.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий