Статья опубликована в №60 (август) 2018
Разделы: Физика
Размещена 15.08.2018. Последняя правка: 20.08.2018.
Просмотров - 1685

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРОЦЕССЕ ВАКУУМНОГО ЗАМОРАЖИВАНИЯ В СПОКОЙНОМ СОСТОЯНИИ ЖИДКОСТИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЛЩИНЫ СЛОЯ НАМОРАЖИВАНИЯ

Лобанов Игорь Евгеньевич

доктор технических наук

Московский авиационный институт

ведущий научный сотрудник

УДК 621.565.9

1. ВВЕДЕНИЕ. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В настоящее время в современном холодильном оборудовании используются парокомпрессионные холодильные установки. В вышеуказанных установках как холодильные агенты обычно применяются хладоны, аммиак, и т.п. Теплофизические свойства вышеупомянутых холодильных агентов могут позволить реализовать рабочие процессы при достаточно пониженных рабочих температурах, однако в немалом количестве случаев при таком рабочем давлении, которое несколько больше атмосферного давления [1—3].

Если давления довольно низкие, близкие к атмосферному, то будет иметь место нерасчётный режим при работе испарителей холодильного агрегата; последнее представляет вероятную опасность для целой хладоустановки, так как в хладосистему будет вероятнее всего проникать атмосферный воздух.

Важны представляется заявление о том, что при снижении давлений на всех линиях всасываний до околоатмосферного уровня может привести автоматическому отключению компрессорной установки. Вышеуказанное неизбежно обусловливает ощутимое снижение энергоэффективности, а также и коэффициента подачи компрессорной установки, если хладоустановка эксплуатируется в режиме вакуума.

Следует заявить следующее: существующие на данном этапе хладагенты не в состоянии обеспечить выполнение в максимальной степени комплекса современных требований (например, экономические,  токсикологические, санитарные, экологические и тому подобные).

Для хладоустановок парокомпрессорного типа, работающих на низких давлениях, вполне возможно применение альтернативных рабочих веществ, предназначенных для работе при низком давлении (водные растворы, спиртосодержащие жидкости, рассолы,  эфирные вещества и тому подобные).

При использовании воды в виде холодильного агента следует иметь в виду, что это может привести падению рабочего давления за атмосферную отметку.

Пароэжекционного вида хладоустановки, снабжённые пароструйного типа вакуум-насосами,  как раз предназначенные для работы в этих условиях, в особенности с малой производительностью, не отвечают по массогабаритным требованиям  (мобильности, компактности и прочим).

Вышесказанное позволяет сделать заключение о том, что при использовании в хладоустановках вакуум-насоса, в основе своей работы отличающегося от струйного нагнетателя, возможно конструирование холодильной установки на парах воды или на воде, которая будет преимущественно отличаться своей компактностью и мобильностью.

Конкретные характеристики и особенности средств вакуумного откачивания исчерпывающим образом был проанализирован в исследованиях [1—3], поэтому в рамках настоящей статьи нет крайней необходимости подробно останавливаться на этом аспекте.

Таким образом, вышесказанное обосновывает актуальность исследования реализуемого явления заморозки спокойной жидкости вакуумным методом с помощью математического моделирования.

Исследовательская задача ставится  нижеуказанным способом.

В статье выдвигается для рассмотрения герметически закрытая область, внутреннее пространство её заполнена жидкостью, в том числе может быть использована вода, которая находится в стабильном положении при температуре близкой к нулю градусов по Цельсию. Предположительно следует взять за основу, когда жидкость, в локальном случае вода, подаётся в закрытую область, которая вакуумируется, то она имеет расход, обеспечивающий охлаждение капель жидкости примерно до нуля градусов Цельсия при подлёте ко дну закрытой области.

Герметически закрытая полость доводится до состояния вакуума при средней скорости вакуумизации S, которая остаётся приблизительно неизменной при реализуемом изменении давления образовании льда. Данный факт обосновывается с  физической точки зрения при помощи специального подбора средств вакуумизационного откачивания при заранее заданном интервале теплофизических характеристик подвергаемых заморозке жидкостей.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ИССЛЕДОВАНИЯ

Рассмотрим граничные условия на сопряжении "массив льда—паровая полость", которое будет следующим:

(1)

где S^* — скорость (эффективная) при откачке, отнесённая к единице площади сечения вакуумирующей полости; λ — теплопроводность (коэффициент) для льда при тающем состоянии;Т — рабочая температура; m — масса; L — теплота при замерзании; ρ" — плотность для насыщающего водяного пара; х — текущая координата, которая отсчитывается от ледяного массива на внешней поверхности (массив имеет промерзающую глубину ξ в направлении замерзающей жидкости); r — теплота при испарении; τ — текущee время.

Рассмотрим граничные условия на сопряжении "массив льда—массив воды" имеет место следующее граничное условие:

(2)

ρ_л — плотность льда исследуемой жидкости.

Математическое теоретическое моделирование процессов при квазистационарном вакуумном замораживании для жидкости в мелкодисперсной субстанции базируется на способе, разработанным Лейбензоном, который с успехом применялся, кроме всего прочего, автором данного исследования при получении аналитического решения задачи при намораживании на поверхности при различных радиусах кривизн, в том числе при переменном радиусе кривизны [4—20].
Например, в работах  [11, 14—18] были решены задачи намораживания на цилиндрических поверхностях (внутренней и внешней) при различных граничных условиях (как первого, так и третьего родов); в работах [5—10, 12] решалась аналогичная задача для сферической поверхности; в работах  [13, 20] — для плоской. В статье [19] решение было получено для одномерного тела переменной кривизны. В монографии [4] было проведено некоторое обобщение результатов, полученных данным теоретическим методом .

Базируясь на данном методе, распределение температуры для плоского ледяного слоя полагается стационарным.

Для полого ледяного шара стационарное расположение температуры будет следующим:

(3)
где T₀ — поверхностная температура для льда на сопряжении "массив льда—паровая полость"; T₁ — температура при замерзании.

Используя универсальную газовую постоянную R_Г, переменную поверхностную температуру при замораживании Т₀, а также давление насыщенного пара р, можно получить выражение для плотности влажного пара ρ":

(4)

где m — масса (молекулярная) для исследуемого газа.

При предложенном квазистационарном распределении температуры (3) и зависимости для плотности влажного пара ρ" (4) следует использовать граничные условия на сопряжении "ледяной массив—полость пара" (1):
(5)

После этого для постулированного распределения температуры (3) необходимо применить граничное условие на границе "массив льда—массив воды" (2):
(6)

Использование бифуркации для неизвестных в выражении (6), интеграции в нужных границах, позволяет получить финишное уравнение, в котором связаны толщина слоя намораживания ξ и время при намораживании τ:

(7)

В результате того, что левые части выражений (5) и (7) являются равными, то равными являются и их правые части:
(8)

Для решения уравнения (8), необходимо для рассматриваемого температурного диапазона — от минус 12 до нуля градусов по Цельсию — с достаточной погрешностью детерминировать давление р насыщенного пара над поверхностью льда:

(9)

где А=35 Па/К, В=8940 Па — константы.

В выражение (8) необходимо сделать подстановку давления насыщенного пара над поверхностью льда р из соотношения (9):

(10)

Финишное уравнения для расчёта взаимосвязи между толщиной ξ наморенного слоя и временем τ соответствующего намораживания выводится посредством подстановки в выражение (10) выражения для Т₀ из зависимости (7):
(11)

Последнее уравнение следует упростить, чтобы привести его к окончательному финишному виду:
(12)

Полное замкнутое решение уравнения (12) в аналитической форме относительно толщины ξ намороженного слоя получается, если решить относительно ξ кубическое уравнение. Анализ этого кубического уравнения показывает, что лишь один из его корней является действительным, а оба других — комплексно-сопряжённые; последние не соответствуют физическим характеристикам исследуемого процесса.

Для того, чтобы финишные решения уравнения (12) не были очень громоздкими, уравнение (12) следует переписать в компактном виде:
 (13)
где  

Действительный корень финишного уравнения (13) можно записать данным образом:
(14)

Pешение (14) есть замкнутое обобщённое аналитическое решение задачи квазистационарного вакуумного замораживания спокойного состояния жидкости относительно толщины ξ намороженного слоя.

Главным приоритетом полученного точного аналитического решения относительно существующих численных решений заключается в раскрытии внутренне присущих связей между начальными и конечными характеристиками исследуемого явления; кроме того, аналитические решения напрямую могут быть использованы в расчётах, без использования графических средств, а также ЭВМ.

3. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. В данной статье относительно толщины ξ намороженного слоя была решена в замкнутой обобщённой аналитической форме задача о квазистационарном вакуумном замораживании капельной жидкости спокойного состояния; до этого имели место лишь решения данной задачи в численный форме.

2. Главным приоритетным преимуществом полученного в статье точного аналитического решения относительно существующих численных решений заключается в раскрытии внутренне присущих связей между начальными и конечными характеристиками исследуемого явления; кроме всего прочего, полученные аналитические решения напрямую могут быть использованы в расчётах, без использования графических средств, а также ЭВМ.

1. Маринюк Б.Т. Теплообменные аппараты ТНТ. Конструктивные схемы и расчёт. — М.: Энергоатомиздат, 2009. — 200 с.
2. Маринюк Б.Т. Вакуумно-испарительные холодильные установки, теплообменники и газификаторы техники низких температур. — М.: Энергоатомиздат, 2003. — 208 с.
3. Маринюк Б.Т. Аппараты холодильных машин (теория и расчёт). — М.: Энергоатомиздат, 1995. — 160 с.
4. Моделирование эксплуатационных процессов в технических системах. / А.В.Абрамов, А.Ю.Албагачиев, С.М.Белобородов, С.А.Быков, В.П.Иванов, А.В.Киричек, И.Е.Лобанов, А.В.Морозова, М.В.Родичева; Под ред. А.В.Киричека. — М.: Издательский дом "Спектр", 2014. — 240 с.
5. Лобанов И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании на сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана) // Альманах современной науки и образования. — Тамбов: Грамота, 2011. — № 12 (55). — C. 50—53.
6. Лобанов И.Е. Обобщенная аналитическая теория квазистационарного намораживания на сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внутренней поверхности с граничными условиями I рода на внешней поверхности // Московское научное обозрение. — 2012. — № 6. — С. 10—14.
7. Лобанов И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании (задачи Стефана) на внешней и внутренней сферической поверхности // Московское научное обозрение. — 2012. — № 1. — С. 8—13.
8. Лобанов И.Е. Обобщённая аналитическая теория квазистационарного намораживания на сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внутренней поверхности с граничными условиями III рода на внешней поверхности // Московское научное обозрение. — 2012. — № 7. — Том 1. — С. 9—14.
9. Лобанов И.Е. Обобщённая аналитическая теория квазистационарного намораживанияна сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внешней поверхности с граничными условиями III рода на внутренней поверхности // Отраслевые аспекты технических наук. — 2012. — № 7. — С. 10—15.
10. Лобанов И.Е. Обобщённая аналитическая теория квазистационарного намораживания на сферической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внешней поверхности с граничными условиями I рода на внутренней поверхности // Отраслевые аспекты технических наук. — 2012. — № 6. — С. 9—13.
11. Лобанов И.Е., Айтикеев Б.Р. Теория квазистационарного намораживания на сферической поверхности применительно к аккумуляторам холода // Проблемы усовершенствования холодильной техники и технологии: сборник научных трудов V научно-практической конференции с международным участием / Отв. ред. Бабакин Б.С. — М.: Издательский комплекс МГУПП, 2012. — С. 111—117.
12. Лобанов И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании (задачи Стефана) на внешней цилиндрической поверхности при нулевой криоскопической температуре и граничных условиях I рода на внутренней поверхности и III рода на внешней поверхности // Mосковское научное обозрение. — 2012. — № 9. — С. 14—20.
13. Лобанов И.Е. Точное аналитическое решение квазистационарной задачи о намораживании (задачи Стефана) на внутренней цилиндрической поверхности при нулевой криоскопической температуре и граничных условиях I рода на внешней поверхности и III рода на внутренней поверхности // Mосковское научное обозрение. — 2012. — № 10. — Том 1. — С. 20—26.
14. Лобанов И.Е., Низовитин А.А. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на плоской поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание с граничными условиями III рода на поверхности стенки и граничными условиями III рода на поверхности намораживания // Отраслевые аспекты технических наук. — 2013. — № 5. — С. 9—14.
15. Лобанов И.Е. Обобщённая аналитическая теория квазистационарного намораживания на цилиндрической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внешней поверхности с граничными условиями I рода на внутренней поверхности и III рода на внешней поверхности // Отраслевые аспекты технических наук. — 2013. — № 2. — С. 14—21.
16. Лобанов И.Е. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на цилиндрической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внутренней поверхности с граничными условиями I рода на внешней поверхности и III рода на внутренней поверхности // Отраслевые аспекты технических наук. — 2012. — № 12. — С. 8—15.
17. Лобанов И.Е. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на цилиндрической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внутренней поверхности с граничными условиями III рода на внутренней поверхности и III рода на внешней поверхности // Mосковское научное обозрение. — 2013. — № 3. — С. 19—26.
18. Лобанов И.Е. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на плоской поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание с граничными условиями I рода на поверхности стенки и граничными условиями III рода на поверхности намораживания // Mосковское научное обозрение. — 2013. — № 4. — С. 12—16.
19. Лобанов И.Е. Обобщённая численная теория квазистационарного одномерного намораживания на поверхности переменной кривизны (квазистационарная задача Стефана) // Отраслевые аспекты технических наук. — 2013. — № 4. — С. 5—11.
20. Лобанов И.Е. Аналитическая теория квазистационарного намораживания на цилиндрической поверхности (квазистационарная задача Стефана): намораживание на внешней поверхности с граничными условиями III рода на внутренней поверхности и III рода на внешней поверхности // Отраслевые аспекты технических наук. — 2013. — № 3. — С. 8—15.

Рецензии:

16.08.2018, 4:43 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Статья интересная и практически нужная, в ней есть кроме утилитарных и унифицированные аспекты математической теории. Замечания. Неудачное сочетание «решение … относительно толщины слоя», может, где-то не хватает слова «в зависимости от» или что-то иное. Генерировать режим и генерировать решение задачи – это не одно и тоже по смыслу. Из энциклопедического перечня 20 источников в квадратных скобках в тексте ссылки даны лишь на три. Описки и ошибки типа: «при достоточно»; «намораженного слоя былы слоя»; «постояннуюRГ»; «срабжённые» и др. Выправить и публиковать - так считает рецензент с уважением к коллеге по цеху и данной платформе.

Комментарии пользователей:

21.08.2018, 9:38 Мирмович Эдуард Григорьевич Отзыв: Корректный ответ. Спасибо! Но только имелось в виду не неприятие использования в качестве аргумента "толщины слоя", а только робкое пожелание сформулировать фразу "в зависимости от толщины слоя", т.е. стилистический вариант, остающийся на выбор автора. Статью можно публиковать.

Оставить комментарий