Статья опубликована в №64 (декабрь) 2018
Разделы: Физика
Размещена 04.12.2018. Последняя правка: 02.12.2018.
Просмотров - 6788

Числа правят миром. Ч.2. Октонионы

Ильина Ирина Игоревна

пенсионер

Не работаю

преподаватель

УДК 539

Следующая числовая система, которую мы будем рассматривать, относится к октонионам. Октонионы или октавы представляют собой одну из самых необычных алгебр. Забытые почти сразу после открытия в 1843 г., за последние несколько десятилетий они вновь приобрели популярность. Как показывает само название «октонионы» (восьмимерные числа), это − выражения, состоящие из восьми членов. Для записи таких выражений необходимо иметь 7 «мнимых единиц».

 В общем виде октонион можно записать так:

а₀+а₁i₁ + а₂i₁ + а₃i₁ + а₄i₁ + а₅i₁ + а₆i₁ + а₇ i₁,

где  а₀, а₁, а₂, а₃, а₄, а₅ , а₆, а₇− произвольные действительные числа, а i₁, i₂, i₃, i₄,…, i₇, семь новых мнимых чисел.

Для октонионов также определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания определены покомпонентно. Умножение октав определено таблицей произведения их мнимых единиц. Для выполнения деления производится замена операции деления на операцию умножения.

Английский математик Ян Стюарт отмечает, что на протяжении многих лет октонионы оставались диковинкой второго сорта. В отличие от кватернионов у них не было ни геометрической интерпретации, ни применений в науке. Даже внутри чистой математики из них, казалось, ничего не следует; неудивительно, что они впали в безвестность. Но все изменилось, когда выяснилось, что октонионы − источник наиболее причудливых алгебраических структур, известных в математике. Они дают объяснение, откуда на самом деле берутся пять Киллинговых исключительных групп Ли. В частности, группа E₈ самая большая из исключительных групп Ли рассматривается  многими физиками как наилучший на данный момент кандидат на Теорию Всего. Можно даже сказать, что вероятная Теория Всего существует постольку, поскольку существует E₈, а E₈ существует постольку, поскольку существуют октонионы [10].

3.1. Процедура удвоения

Построить геометрическую интерпретацию октонионов само по себе является интересной задачей. Чтобы понять, каким образом можно организовать геометрию октонионов, воспользуемся процедурой удвоения, которая позволяет весьма естественным путем строить октонионы, исходя из кватернионов [9]. Благодаря такой процедуре удвоения,  определим октавы как «удвоенные» кватернионы. Эта процедура имеет отношение не только к октонионам: кватернионы получаются удвоением комплексных чисел и, в свою очередь, комплексные числа получаются удвоением действительных чисел. Процедуру удвоения упрощенно можно представить в следующем виде (рис.3.1). Подчеркну, что эта схема очень упрощена.

 

Рис.3.1. Схема процедуры удвоения, где e – действительные числа, i – мнимые числа

Процедура удвоения интересна еще тем, что простые числовые системы как бы самоорганизуются в более сложные числовые системы. Т.е. происходит самоорганизация числовых систем с увеличением мерности пространства.

В нашем случае образование октонионов мы рассматриваем в свете распространения энергии в пространстве. И такой октонион образуется несколько сложнее, чем представлено в процедуре удвоения. Энергия не может сразу разделиться на несколько потоков в результате нарушения симметрии, ей для этого нужны предварительные условия.

Поэтому тот обобщенный октонион, который мы будем рассматривать в дальнейшем, на самом деле является составным числом. Оно получается как произведение четырех чисел: действительного и комплексного числа, кватерниона и октониона. То есть вначале мы рассмотрим результат перемножения действительного и комплексного числа, потом полученный результат перемножим с кватернионом. Таким образом, у нас образуется группа чисел в двухмерном пространстве.  Затем эту группу перемножим с октонионом. В результате получим трехмерный вариант обобщенного октониона, который содержит внутри себя и октонион, и кватернион, и комплексные числа.

Еще раз повторю процедуру, по которой будем осуществлять построение октониона, в которой используем все четыре исключительные алгебры. Вначале возьмем несколько точек, соответствующих действительным числам (точки относятся к пространству с нулевым измерением). Перемножая действительные числа с комплексными, получим оси комплексных чисел, т.е. линии,  которые образуют одномерное пространство. Дальнейшее умножение с кватернионом даст нам двумерную плоскость. В результате последнего перемножения с октонионом получим трехмерное пространство.

Геометрическая интерпретация  такого октониона будет отражать распространение энергии в пространстве отдельного пикселя. А точнее, самоорганизацию потоков энергии в пространстве.

3.2. Координатная плоскость кватернионов

Геометрическую интерпретацию октонионов начнем строить с оси действительных чисел. В отличие от кватернионов числовая система октонионов описывает такой пиксель, в котором количество «входящей» энергии строго регламентировано. Поскольку энергия поступает в определенном количестве, то происходит ее дробление, и в каждой точке остается только часть энергии. Допустим, что каждый раз энергия, перемещаясь от точки к точке, оставляет половину энергии. А другая половина двигается дальше к следующей точке. Перемещение энергии в половинном размере изобразим на схеме в виде отрезка прямой, уменьшенного вдвое по сравнению с предыдущим (рис.3.2). То есть расстояние между точками каждый раз будет сокращаться вдвое.

 

Рис. 3.2. Перемещение энергии вдоль действительной оси. Движение энергии от точки к точке внутри пикселя формирует ее внутреннее пространство в виде конечной группы точек на оси действительных чисел.

Хочу обратить внимание на то, что в отличие от кватерниона каждое  междоузлие на оси действительных чисел представляет собой отрезки разной величины. Происходит перераспределение энергии в пространстве. Ближние точки получают энергии больше, чем дальние. Это связано с процедурой удвоения, которую теперь можно сформулировать так. Если где-то что-то умножилось на два, значит, где-то надо разделить на два, чтобы сохранилось общее равновесие. Еще Ломоносов говорил, что «ежели в одном месте чего убудет, то в другом –  присовокупится». Так  в октонионе появляется множитель ½. То есть процедура удвоения компенсируется процедурой деления на два.

В отличие от внешнего пространства внутри пикселя мнимые числа не дают возможности энергии к перемещению. Они могут только поворачивать направление ее движения на 90°. Перемещаться внутри пикселя энергия может только вдоль оси действительных чисел. Но когда в пикселе сформировано пространство действительных чисел, то энергия может распространяться уже вдоль оси мнимых чисел, умноженных на действительное число. Поэтому внутри пикселя энергия распространяться вдоль оси е и вдоль оси iе. Причем ось iе располагается под углом в 45° к оси действительных чисел.

Таким образом, образование комплексного числа, благодаря процедуре удвоения, формирует новую ось. И эта ось, в отличие от комплексной плоскости, наклонена под углом 45° к оси действительных чисел. Получается она как раз в результате перемножения действительного и мнимого числа. Поэтому ее назвали ось ei.  С учетом отрицательного направления получаем еще одну ось –еi(рис.3.3 ), сопряженную исходной, и две оси в области отрицательных действительных чисел. Направление всех осей идет из точки (e_оi_о), в которую поступает энергия.

 

Рис.3.3. Плоскость комплексных чисел. Направление всех осей идет из точки, в которую поступает энергия.

  

Рис.3.4. Координатная сетка комплексных чисел

Не сложно понять, что энергия, двигаясь вдоль осей iе и –iе, будет откладывать такие же отрезки, как на оси действительных чисел, соответствующие е₁, е₂, е₃. Они получаются как проекции точек действительной оси на оси мнимых чисел. Шесть точек оси действительных чисел порождают еще 12 проективных точек на осяхiе и –iе (рис.3.4).

Надо сказать, что любое перемещение энергии в системе сопровождается нарушением симметрии. Поэтому каждый переход энергии от одной точки к другой точке создает новые проекции главной оси действительных чисел. В результате возникают дополнительные оси мнимых чисел. Возникают они благодаря процедуре удвоения комплексных чисел. Поэтому внутреннюю структуру пикселя мы можем описывать при помощи кватернионов. То есть при каждом нарушении симметрии создаются дополнительные оси, которые описываются мнимыми числами кватернионов. Так в точке е₁ у нас появляются две мнимые оси je, –je. А в точке е₂ появляются еще две мнимые оси ke и –ke.

Оси je и keстроятся так же, как ось iе, и также располагаются под углом в 45° к оси действительных чисел. На этих осях откладываются проекции точки е₂ и е₃ точно так же как на оси действительных чисел (рис.3.5).

Мы получили координатную сетку в проективном пространстве, точки которой создают внутреннее пространство пикселя. И теперь каждая из этих точек представляет собой особую точку, т.к. является истоком энергии. Значит, в каждой точке будет формироваться еще один новый пиксель. Все вместе они создадут сложную структуру исходного, т.е. первоначального, пикселя.

 

Рис.3.5. Координатная сетка кватернионов строится в результате перемножения действительных, комплексных чисел и кватернионов

В результате получили группу из 31 точек: по 15 точек в положительной и отрицательной области действительных чисел и одной центральной точки, с которой начинается движение энергии.

Также отметим, что на координатной сетке кватернионов получились три проективные оси: е₁, е₂, е₃. Причем, чем дальше находится проективная ось от центральной точки, тем больше точек на ней помещается. Так на проективной оси е₁ лежат 3 точки: iе₁ , ее₁, –iе₁; на проективной оси е₂ лежат 5 точек: iе₂ , je₂, , ее₂, –je₂, –iе₂ ; на проективной оси е₃ лежат 7 точек: iе₃, je₃, ke₃ , ее₃, –ke₃, –je₃, –iе₃ .

Понятно, что энергия выделяется только в особых точках, которые соответствуют узлам (истокам) полученной координатной сетки. Как видим, в отличие от рассмотренных выше кватернионов, пространство, описываемое при помощи октонионов, выглядит намного сложнее.

3.3. Октонионы или свободная группа с семью порождающими

Октонионы (О) в общем виде мы записали так:

 а₀+а₁i₁ + а₂i₁ + а₃i₁ + а₄i₁ + а₅i₁ + а₆i₁ + а₇ i₁

где а₀, а₁, а₂, а₃, а₄, а₅ , а₆, а₇ − действительные числа, а i₁, i₂, i₃, i₄,…, i₇, семь новых мнимых чисел. Значит, получающиеся точки пространства образуют свободную группу с семью порождающими. Группа задана системой порождающих i₁, i₂, i₃, i₄,…, i₇. Поэтому в новой системе октонион, которым мы можем описать группу, складывается из суммы всех точек координатной сетки кватернионов перемноженных с порождающими группы:

О=∑О_k = О₁+О₂+…+О₃₀, где k – количество точек на координатной сетки кватернионов. Назовем его «общим» октонионом, а его составляющими будут «частые» октонионы. Т.е. общий октонион слагается из тридцати частных октонионов О₁,О₂… О₃₀.

Для того чтобы нам не путать мнимые числа кватерниона и октониона между собой переобозначим мнимые числа октониона через n. То есть вместо i₁, i₂, i₃, i₄,…, i₇, будем писать n₁, n₂, n₃, n₄,…, n₇. В качестве действительных чисел октониона  будем использовать 30 координат точек, взятых с координатной сетки кватернионов. Центральную точку в данном построении не рассматриваем.

Запишем первый частный октонион О₁ в точке ее₀ на оси действительных чисел:

О₁= 0+ ее₀ n₁+ ее₀n₂+ ее₀n₃, + ее₀n₄+ ее₀n₅+ ее₀ n₆+ ее₀n₇

Каждое слагаемое октониона является вектором, вынесенным из координатной точки ее₀ на определенное расстояние. Это расстояние пропорционально энергии, выделенной в точке. Считаем, что в октонионе, также выполняется условие, что каждая последующая мнимая единица получает энергию вдвое меньше. Это значит, что половина энергии остается в точке, другая половина перемещается в следующей точке.

Теперь каждая точка на нашей схеме обладает таким вот сложным «трёхмерным» измерением. И ей соответствует произведение четырех чисел, а именно действительного числа и комплексного числа, кватерниона и октониона. Примерно таким же способом рассматривается удвоение гиперкомплексных чисел Бояриновой Ю.Е. [3]. Не углубляясь в тонкости векторного перемножения кватерниона на октонион, отмечу, что каждое слагаемое октониона является вектором. Но это не просто вектор. Это вектор вращения, который одновременно вращается вокруг трех осей. Он вращается вокруг оси действительных чисел, вокруг оси мнимых чисел, и вокруг «собственной» ось (т.е. оси частного октониона).

 

Рис.3.6. Схема «частного» октониона О₁ и его семь образующих  для положительной оси действительных чисел. Отмечены мнимые числа n₁, n₂, n₃, n₄,…, n₇.

Посмотрим, как можно изобразить такой октонион на схеме. Построим октонион для положительной оси действительных чисел. Полагаем, что в области отрицательных значений он выглядит симметрично относительно оси, перпендикулярной оси действительных чисел. На действительной оси мы получили еще семь точек n₁, n₂, n₃, n₄,…, n₇, которые задают 7 векторов вращения (рис.3.6).

Векторы, образующиеся в октонионах свободной группой семи порождающих, на схеме будем изображать в виде кругов или овалов. Их в дальнейшем будем называть орбитой действия. Потому что, как увидим в дальнейшем, сами по себе они являются сложными системами.

Условие того, что в каждую последующую точку передается только половина энергии, на схеме отображает вдвое меньший диаметр орбиты действия. Причем видно что, чем больше энергии выделилось в орбите действия, тем дальше она расположена от самой координатной точки.  

Поскольку октонион имеет семь порождающих группы, то в координатной точке ее₀  (О₁= 0+ ее₀ n₁+ ее₀n₂+ ее₀n₃, + ее₀n₄+ ее₀n₅+ ее₀ n₆+ ее₀n₇) появляются семь орбит действия, т.е. семь пикселей нового подуровня.

В общем виде частный октонион на схеме выглядит в виде семи «концентрических» овалов. Все овалы прижаты к координатной точке ее₀, или, другими словами, все они «начинаются» в этой точке.

 

Рис. 3.7. Частный октонион О₁ для точки ее₀  и О₂ для точки ее₁

Построим частный октонион О₂ для точки ее₁. Второе слагаемое в этом октонионе равно нулю, т.к. для негоn₁ = 0 . Схематично октонион в точке ее₁ можно изобразить так, как на рис 3.7. Поскольку n₁=0 для точки ее₁, то в октонионе будет всего шесть слагаемых мнимых чисел, другими словами, шесть орбит.

О₂= ее₁ + 0+ ее₁n₂+ ее₁n₃, + ее₁n₄+ ее₁n₅+ ее₁ n₆+ ее₁n₇ .

 

Рис.3.8. Схема октониона для положительной оси действительных чисел

Для точки ее₂ частный октонион О₃ будет иметь два слагаемых с мнимыми числами равных нулю. Аналогично можем построить октонионы для каждой точки в координатной сетке кватернионов. Причем, чем дальше находится координатная точка от центральной точки, тем меньше слагаемых будет в октонионе. Общий вид всех октонионов изображен на рис.

В результате мы получили схему системы, которая состоит из множества подсистем разного уровня, напомню, что мы их называем орбитами действия. Уровни подсистем характеризуются семью мнимыми числами n₁, n₂, n₃, n₄,…, n₇, где n₁ это подсистема 1 уровня, а дальше по «убывающей». То есть чем выше номер уровня подсистемы, тем меньше диаметр орбиты. Каждая орбита является истоком энергии, поэтому в ней создается новый пиксель. Описывается новый пиксель при помощи кватернионов, так же, как мы рассматривали выше для проективного пространства. Поэтому в каждой орбите действия может образоваться барионный октет, в котором может реализоваться один из нуклонов, т.е. протон и/или нейтрон.

Сформулирую эту мысль еще раз. В каждой орбите действия октониона за счет поступления энергии создается элементарная частица – нуклон. Чуть позже поговорим об этом подробнее. Таким образом, общее количество протонов и нейтронов, сформированное в полученной схеме октонионов, образуют систему, которую можно считать ядром атома. Фактически схема октонионов может отображать расположение протонов в ядре. Причем только малая толика полученной энергии идет на образование нуклона. Основная часть энергии преобразуется в энергию связи элементов в системе атомного ядра.

3.4. Матрешечная структура октониона

Подведем небольшие итоги. Мы рассмотрели четыре числовые системы или четыре исключительные алгебры: действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов. Каждая из этих алгебр может описать распространение энергии в пространстве в самоорганизующейся системе. К таким самоорганизующимся системам мы относим точки или пиксели пространства. Помимо одномерной оси действительных чисел, мы получили еще три вида пикселей.

 

Рис.3.9. Пиксели первого (А) и второго (Б) уровня

Пиксель первого уровня формируется алгеброй комплексных чисел. Он самый простой, представляет собой точки пространства физического вакуума. В качестве физической интерпретации можно предположить, что такие пиксели являются материальной основой для распространения электромагнитных волн.

Пиксель второго уровня формируется в числовой системе кватернионов. Он также относится к физическому вакууму пространства. При наличии большого количества энергии в пространстве такой пиксель способен породить в вакууме пару «частица-античастица», которые тут же аннигилируют. Откуда берутся античастицы не сложно понять, рассмотрев подобный пиксель в области отрицательных действительных чисел.

Настоящее вещество, другими словами, корпускулярная материя в виде атомов и молекул может появиться только в пикселе, описываемых октонионами. Это пиксели третьего уровня.

 

Рис.3.10.

Структура такого пикселя устроена достаточно сложно. Сложность состоит в том, что в ней имеется большое количество истоков, которые образованы семью порождающими октонионов. Поэтому каждый центр окружности или овала, изображенного на схеме, – это исток, в котором формируются пиксели нижнего подуровня.

Фактически октонион представляет собой матрешку. В каждом истоке октониона располагается пиксель второго уровня - кватернион. А в каждом истоке кватерниона расположен пиксель первого уровня. Получается, что пиксели первого, второго и третьего уровня вложены друг в друга по матрешечному типу. Только здесь образуется не одна «матрешка», а очень много.

Из-за этого сложного «матрешечного» состава октонион и может проявить себя только в составе произведения четырех разных чисел, о которых говорилось выше. Недаром Ян Стюарт, называя октонионы диковинкой второго сорта, отмечал, что сами по себе октонионы не имеют ни геометрической интерпретации, ни применений в науке и в математическом смысле ничего из них не следует. Но если посмотреть на октонионы под другим углом, т.е. в составе с другими числами, то можно получить очень интересные физические интерпретации.

3.5. Структурная организация пространства материи.

Итак, мы получили три способа образования различных пикселей пространства, т.е. три структурные организации пространства материи. Пиксель, построенный комплексными числами (рис.3.9), пиксель, построенный кватернионами (рис.3.9), и пиксель, построенный октонионами (рис.3.10).

Во второй части мы видели, что строение пикселя кватерниона может отражать в себе барионный октет или барионный декуплет. Поэтому мы вполне можем допустить, что существование таких пикселей соответствует реальности. А вот что можно сказать о пикселях, образованных октонионами? Могут ли они описывать реальные объекты или нет? Как сказано выше, наша схема октонионов вполне может отображать картину расположения протонов в ядре атома. Однако по этому поводу мы ничего сказать не можем. Поскольку никаких опытных результатов, которые касаются расположения протонов в ядре атома, мы не имеем. Но вполне можем допустить, что аналогично строится расположение электронов на электронных оболочках атома.

Такой вывод не сложно сделать, исходя из того, что протон и электрон в системе образуются в виде пары, вследствие нарушения симметрии. То есть пара протон-электрон образуется благодаря закону сохранения электрического заряда. Но электрону в нашей схеме места нет. Его «выбрасывает» далеко за пределы системы атомного ядра. Фактически он образуется как проекция протона в некотором проективном пространстве. Поэтому электрон по отношению к протону представляет собой далекую размазанную «тень».

 

Рис. 3.11. Центральное проектирование протона из точки ее₀ на электронную орбиталь. Электрон представляет собой как бы «тень» от протона в проективном пространстве.

По отношению к полученной схеме (рис.3.10) все электроны образуются в проективном пространстве путем центрального проектирования из точки ее₀ (рис.3.11). Благодаря такой операции мы можем получить схему расположения электронов на электронных оболочках атома аналогичную схеме октонионов (рис.3.12).

Для того чтобы понять, что именно отображается в результате процедуры проектирования в новой «проективной» схеме, введем следующие обозначения. Мнимые оси координатной сетки кватерниона обозначим буквой m. Тогда ось действительных чисел, поскольку она единственная и не мнимая, будет называться m=0. Далее по ходу возникновения мнимых осей получим:

для осейiе и –iе значения m=+1, m= –1.

для осей je, –je значенияm=+2, m= –2,

для осейke и –keзначения m=+3, m= –3.

 

Рис.3.12. Координатная сетка кватерниона с новыми обозначениями

На координатной сетке кватернионов имеются также три проективные оси: е₁, е₂, е₃, на каждой из которых располагаются проекции точек оси действительных чисел.

Так на проективной оси е₁ лежат три точки: iе₁ , ее₁, –iе₁.

на проективной оси е₂ лежат пять точек: iе₂ , je₂, , ее₂, –je₂, –iе₂

на проективной оси е₃ лежат семь точек: iе₃, je₃, ke₃ , ее₃, –ke₃, –je₃, –iе₃

Переобозначим три проективные оси как l₁, l₂, l₃. Все точки на проективных осях соответствуют одному и тому же значению, которое взято с оси действительных чисел. Поэтому

Для оси l₁, получим l = 1,

Для оси l₂, получим l = 2,

Для оси l₃, получим l = 3.

Центральная точка имеет значение l=0.

Мнимые числа октонионов тоже переобозначим:

n₁, n₂, n₃, n₄,n₅, n₆, n₇ как n= 1, n= 2, n= 3, n= 4, n= 5, n= 6, n= 7.

Теперь координатная сетка кватернионов выглядит следующим образом (рис.3.13). С учетом осевой симметрии мы можем задать еще одно число s, которое принимает два значения: s₁ = –½ , s₂ = +½. Таким образом, каждая точка октониона задается четырьмя числами s,m,l,n.

 

Рис.3.13. Схема расположения электронов в атоме для положительной оси действительных чисел.

Эти четыре числа s,m,l,nизвестны в квантовой механике как квантовые числа, описывающие электронные орбитали. Перечислим их:

n– главное квантовое число (n = 1-7), это целое число и характеризует энергию электронов;

l – орбитальное квантовое число, это целое число, имеющее значения от 0 до n – 1, описывает форму орбитали;

m – магнитное квантовое число определяет расположение орбитали в пространстве;

s –  спиновое квантовое число s характеризует 2 возможных направления вращения электрона вокруг своей оси: s = –½ , s = +½. Значения квантовых чисел сведены в таблицу.

Таблица 2. Значения квантовых чисел

 

В 1925 г. Вольфганг Паули сформулировал принцип запрета для электронов, который гласил: никакие два электрона в атоме не могут иметь одинаковые наборы четырех квантовых чисел. А полное обобщённое доказательство принципа было сделано им в 1940 г. Теперь принцип Паули  можно было сформулировать так: в пределах одной квантовой системы в данном квантовом состоянии может находиться только одна частица, состояние другой должно отличаться хотя бы одним квантовым числом.

Теперь, когда очевидно, что четыре числа показывают координату местонахождения электрона в атоме, сразу становится понятным и принцип Паули. Поскольку два электрона не могут занять одно и то же место в пространстве, то у каждого электрона в атоме должны быть свои однозначные координаты.

Сравнивая четыре квантовых числа со схемой октонионов, мы видим, что орбитали электронов в атоме можно описать при помощи чисел четырех исключительных алгебр. Квантовое состояние каждого электрона или его координата в пространстве атома представляет собой составное число, полученное в результате перемножения четырех чисел: действительного числа, комплексного числа, кватерниона и октониона.

Главному квантовому числу n соответствуют  мнимые числа или порождающие октониона. Они показывают количество энергии, выделенное в орбите действия. Причем графически на схеме количество энергии соответствует размеру круга (овала). Чем больше размер, тем больше выделено энергии.

Магнитному квантовому числу m соответствуют координатные оси ±iе, ±je, ±ke. Соответственно m относится к числовой системе кватернионов. Они образуются в результате произведения мнимых чисел кватерниона, комплексных и действительных чисел.

В квантовой физике орбитальное квантовое числоl определяет форму распределения амплитуды волновой функции электрона в атоме, то есть форму электронного облака. Характеризует число плоских узловых поверхностей и определяет подуровень энергетического уровня, задаваемого главным квантовым числом n. В нашем случае числоlявляется  «представителем» комплексных чисел. Оно определяет порядок внутренних подсистем. Хотя можно также сказать, что оно определяет подуровень энергетического уровня.

s – спиновое квантовое число это действительное число, которое принимает всего два значения: s = –½ , s = +½. В квантовой физике оно характеризует 2 возможных направления вращения электрона вокруг своей оси.

В том, что каждое из четырех квантовых чисел является представителем одной их числовых систем, видится внутреннее единство четырех исключительных алгебр с природой многоэлектронных атомов. И если рассматривать орбитали электронов с точки зрения четырех числовых систем, то у электронов появляется масса дополнительных возможностей. Например, принято считать, что электрон «вращается» или «размазан» вокруг ядра. В нашем же случае с появлением дополнительных осей электрон может «вращаться» вокруг них. В то время как сама ось также  может вращаться вокруг ядра.

Подведем небольшой итог. В проективном пространстве образуется группа точек, каждой из которых соответствует координата, состоящая из произведения четырех чисел: действительного числа, комплексного числа, кватерниона и октониона. Причем каждая точка проявляется  проекция или «тень» протона, которую мы полагаем электроном. В результате электрон описывается четырьмя числами, которые показывают наличие четырех степеней свободы. В этом смысле под степенями свободы мы понимаем независимые «направления» или переменные, характеризующие состояния системы. Благодаря четырем числовым системам становится понятным, как и почему появились квантовые числа, определяющие орбитали электронов.

3.6. Расположение электронов в атоме.

Теперь в качестве примера посмотрим, как могут заполняться энергией пиксели схемы октонионов для некоторых атомов. Как показано выше, на схеме октонионов изображены координаты электронов в атоме. Напомню, что мы полагаем электрон проекцией протона, его «тенью» в отрицательной части электрического заряда. Когда в пиксель поступает энергия, она последовательно  заполняет все подуровни пикселя, формируя в них протоны.

Последовательность формирования протонов имеет строгую очередность. Соответственно в такой же строгой очередности образуются и электроны. Количество протонов, образующихся в атомном ядре, зависит от количества поступающей энергии. Чем больше поступит энергии, тем больше протонов сформируется в атомном ядре, тем больше будет номер атома в таблице химических элементов.

Строгая последовательность заполнения подуровней связана с тем, что множество кватернионов является некоммутативной системой, а множество октонионов является и некоммутативной, и неассоциативной системой. В этой связи распространение энергии в пикселе не может быть произвольным. Путь энергии от одной координаты к другой строго «запрограммирован».

Посмотрим на примере нескольких атомов, как заполняется энергией схема октонионов. Атомы рассматриваем сразу в паре, полагая, что парный атом располагается в области отрицательных значений оси действительных чисел. Для всех атомов мы рассматриваем только последние орбиты действия. Предыдущие орбиты каждого последующего атома заполнены также как у предшествующих атомов.

У атомов лития и бериллия с атомными номерами 3 и 4 заполняются орбиты действия, лежащие на оси m=0 в точке с координатой l =0. Бор и углерод (атомные номера 5 и 6) аналогично, т.е. также на оси m=0, но в точке с координатой l =1.

Последние орбиты действия атомов азота и кислорода (атомные номера 7 и 8) лежат на оси m=+1 в точке с координатой l =1. Орбиты фтора и неона (атомные номера 9 и 10) лежат на оси m= –1 в точке с координатой l =1 . На рис.3.14 видно последовательность заполнения орбит действия различных атомов энергией. Очевидно, что чем больше энергии выделится в орбитах действия, тем больше протонов и нейтронов могут образоваться в атоме.

 

Рис. 3.14-1. Последовательность заполнения энергией орбит действия для атомов с номера 3 по номер 26. 3 литий, 4 бериллий, 5 бор, 6 углерод

Рис. 3.14-2. 7-азот, 8 кислород, 9 фтор, 10 неон

 

Рис.3.14-3. 11 натрий, 12 магний, 13 алюминий, 14 кремний, 15 фосфор,16 сера

 

Рис.3.14-4. 19 калий,20 кальций, 21 скандий, 22 титан, 23 ванадий, 24 хром, 25 марганец, 26 железо.

Соответственно, тем выше атомный номер в таблице химических элементов. На рис.3.14. показана последовательность заполнения энергией орбит действия для атомов с номера 3 по номер 26. Числа показывают атомные номера в периодической таблице химических элементов.

Сложная система самоорганизации многоэлектронного атома с его многоуровневыми орбиталями вряд ли могла образоваться сама по себе из хаоса. Интеграция частиц в атоме определялась сложными законами самоорганизации. В основе этих законов и лежат, скорее всего, четыре исключительные алгебры, которые образуются, благодаря процедуре удвоения, как одному из принципов самоорганизации. Поэтому то, что четыре квантовых числа, описывающие позицию электрона в атоме, соответствуют четырем числам исключительных алгебр, не является случайностью.

Заключение

Мы рассмотрели Вселенную как самоорганизующуюся систему, в которой каждый шаг развития – это усложнение предыдущей структуры. Каждый шаг эволюции – это рождение новой сложности.

Самоорганизация систем выводится из следующих соображений. У нас есть энергия, распространяющаяся в результате Большого взрыва, и есть четыре алгебры с делением, т.е. четыре числовые системы, в которых выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления. Эти числовые системы самым простым способом удвоения перестраиваются друг в друга. Естественно предположить, что если энергия могла распространяться в пространстве каким-то сложным образом, то наиболее логичный и доступный для нее способ, это тот, который описывается этими четырьмя исключительными алгебрами.

С этой точки зрения создание пространства Вселенной было описано при помощи четырех числовых систем. Формирование пространства определилось распространением энергии. При этом сделано допущение, что непременным атрибутом энергии является ее способность к непрерывному движению. Примером такого движения является фотон, который может существовать, только двигаясь со скоростью света. Сами точки пространства получались за счет энергии, перенесенной в эти точки. Поэтому перемещение энергии изначально задает структуру пространства и характеристики точек, которые его составляют.

Действительные числа. На первом этапе перенос энергии от точки к точке описывался с помощью действительных чисел. На втором этапе рождение сложности, вследствие нарушения симметрии, определилось возникновением дополнительного потока энергии. Изменилась структура пространства, оно стало двумерным. И поэтому его удобнее всего было описывать при помощи комплексных чисел.

Комплексные числа. Одновременно с усложнением пространства меняется и само понимание точки. Если после перемещения энергии в точке ничего не остается, то она как бы «схлопывается» обратно. Чтобы точка продолжала существовать и дальше, надо в ней что-то оставить, какую-то минимальную часть энергии, которая бы поддерживала существование самой точки в дальнейшем. Поэтому мы уже не можем рассматривать точки, как нечто, не имеющее частей. С этого момента точки называем пикселями. Понимая под термином «пиксель» минимальный структурный объем пространства. Термин «пиксель» взят только для того, чтобы не изобретать новые термины.

Дальнейшее усложнение пространства понимается уже с точки зрения усложнения пикселя. Пиксель, которым можно описать комплексными числами, является самым простым. Энергия, попадая в такой пиксель, остается внутри него, непрерывно перемещаясь по углам тетраэдра.

Кватернионы. Очередное нарушение симметрии приводит к усложнению пикселя. Новый пиксель можно описать при помощи числовой системы кватернионов. Геометрическая интерпретация кватерниона (рис.3.9) представляет собой тетраэдр, на ребрах которого расположены по четыре узла и три междоузлия. Каждый узел в кватернионе это особая точка, которая является истоком энергии. Поэтому в каждой такой точке может быть сформирована новая точка пространства или, другими словами, новый пиксель.

Способность систем к самоорганизации состоит в том, что одни точки пространства способны порождать другие точки.  Поэтому  «точки» пространства, которые описываются кватернионами, представляют собой сложные системы. Подобная самоорганизация потоков энергии в пространстве привела к пониманию того, что сложную форму пространства, обладающей структурой, можно уже рассматривать как некую форму материи. Следовательно, кватернион можно рассматривать как закон, описывающий образование первых материальных частиц.

Сопоставление кватерниона с барионным декуплетом показало, что каждую координату кватерниона можно представить в виде записи трёх чисел, соответствующих одному из четырёх членов кватерниона. А каждому члену кватерниона можно приписать один из четырёх кварков. Поэтому сам кватернион сопоставим с представлением группы унитарной симметрии SU(4), использующей четыре кварка u, d, s, с, и дающей мультиплеты трех измерений.

В случае трех кварков (u, d, s) группой симметрии является группа SU(3). Соответствующие мультиплеты при соответствующем значении изоспина имеют 2 измерения. В нашем случае они соответствуют плоскости треугольника в основании тетраэдра, обозначенного u, d, s «числами». Фактически, кварки представляют собой всего лишь координаты узлов в кватернионе.

Барионный октет получается из барионного декуплета в результате переноса кватерниона в проективное пространство. Поэтому плоскость треугольника преобразуется в трехмерный куб. Углы треугольника с кварковыми значениями uuu, ddd, sss переносятся в бесконечность, как точки попарного пересечения параллельных линий.

Таким образом, рассмотрев образование пространства в виде кватерниона, можно сказать, что кватернион это закон, описывающий структурную организацию пространства материи. Форма такой организации представлена в виде кварков.

Октонионы. Самый сложный пиксель, а значит, и самая сложная структурная организация пространства материи получилась на последнем этапе нарушения симметрии. Эта структура была описана при помощи числовой системы октонионов. Но это не просто октонион, который представляется в виде восьмимерного числа. Это составное число, которое является произведением сразу четырех чисел: действительного и комплексного чисел, кватерниона и октониона.

Построение такого сложного пространственного октониона определено распространением энергии. Оно начиналось с построения нескольких точек, соответствующих действительным числам (точки относятся к пространству с нулевым измерением). При перемножении действительных чисел с комплексными были получены оси комплексных чисел, т.е. линии,  которые образуют одномерное пространство. Дальнейшее умножение их с кватернионом дало двумерную плоскость. В результате последнего перемножения с октонионом было получено трехмерное пространство.

В результате получилась группа точек в трехмерном проективном пространстве, каждая из которых является истоком энергии, и каждой из них соответствует координата, состоящая из четырех чисел: действительного числа, комплексного числа, кватерниона и октониона.

Можно предположить, что в каждой точке с соответствующей координатой может организоваться протон или нейтрон. Тогда вся группа может соответствовать расположению протонов и нейтронов в ядре атома. В зависимости от количества заполняемой энергии в системе будут получаться атомы разных химических элементов. А схема октонионов в этом случае показывает, как расположены нуклоны внутри атомного ядра.

С другой стороны вполне можем предположить, что аналогично располагаются и электроны на электронных оболочках атома, исходя из того, что протон и электрон в системе образуются в виде пары, вследствие нарушения симметрии. Благодаря закону сохранения электрического заряда  можно допустить, что электроны проявляются в системе как проекции протонов, т.е. являются «тенью» протона в отрицательной части электрического заряда. Поскольку сам протон несёт в себе положительную часть электрического заряда. Используя центральное проектирование для определения положения электронов в атоме, мы получим для них идентичную схему октонионов.

На схеме октонионов, после того как были введены новые обозначения, мы получили запись координат точек схемы в виде четырех чисел s, m, l, n. Они известны в квантовой механике как квантовые числа, описывающие электронные орбитали.

Как видно, орбитали электронов в атоме можно описать при помощи схемы октонионов. В этом случае семь порождающих октониона соответствуют главному квантовому числу n, которое показывает количество энергии, выделенное в орбите действия.

На схеме имеется одна ось действительных чисел и три пары мнимых ±iе, ±je, ±ke. Это порождающие кватерниона и соответствуют они магнитному квантовому числу m.

Орбитальное квантовое число l, соответствующее комплексному числу, получается в результате перемножения действительных и мнимых чисел. Оно определяет порядок уровней подсистем.

s – спиновое квантовое число это действительное число, которое принимает всего два значения: s = –½ , s = +½.. Оно характеризует 2 возможных направления вращения электрона вокруг своей оси.

Таким образом, каждое квантовое число является представителем одной из четырёх числовых систем. Все вместе они определяют положение электрона в атоме, являясь его координатой, и обусловливают наличие четырех степеней свободы.

Очевидно, что сложность системы росла вместе с удвоением чисел. Благодаря  процедуре удвоения, октонионы определены как «удвоенные» кватернионы. Кватернионы получаются удвоением комплексных чисел и, в свою очередь, комплексные числа получаются удвоением действительных чисел. Процедура удвоения интересна тем, что простые числовые системы как бы самоорганизуются в более сложные числовые системы. И вместе с тем они очень логично описывают структурную организацию пространства материи. Благодаря этому становится понятным, как и почему появились квантовые числа, определяющие орбитали электронов, почему существует принцип Паули.

Трудно представить, что такая сложная система, как многоэлектронный атом, со сложным расположением его многоуровневых орбиталей, могла случайным образоваться из хаоса. Одно то, что все электроны в атоме удерживаются на своих местах, а не рассыпаются кучкой разлетающихся друг от друга частиц за счет сил электростатического отталкивания, приводит к мысли, что интеграция частиц в атоме «руководствовалась» сложными законами самоорганизации. В основе этих законов и лежат, скорее всего, четыре исключительные алгебры, которые образуются, благодаря процедуре удвоения, как одному из принципов самоорганизации. Поэтому то, что четыре квантовых числа, описывающие позицию электрона в атоме, соответствуют четырем числам исключительных алгебр, не является случайностью.

Таким образом, мы видим, что при помощи четырех алгебр (действительных, комплексных чисел, кватернионов и октонионов) вполне можно описать не только образование пространства Вселенной, но и структурную организацию пространства материи нашего мира.

1. Баэз Джон С. Октонионы [Электронный ресурс]. Режим доступа: www.hypercomplex.su свободный, (дата обращения: 16.11.2018)
2. Блан Д. Ядра, частицы, ядерные реакторы. М. Мир. 1989. С.336
3. Бояринова Ю. Е. Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://dspace.nbuv.gov.ua/bitstream/handle/123456789/50526/03-Boyarinova.pdf?sequence=1 свободный, (дата обращения: 16.11.2018).
4. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 400 с. Т. 2
5. Коккедэ Я. Теория кварков. Изд-во МИР. 1971.
6. Кубышкин Е.И. Октавы и наш восьмимерный мир. Модель пространства-времени на основе алгебры октав. М. Книжный дом «Либроком» 2013, стр. 256
7. Петров А.М. Квантовые эффекты взаимодействия вращающихся объектов [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://knigi.konflib.ru/8mehanika/110694-1-1-fiziki-szhigayut-mosti-eto-normalno-ponimat-kvantovuyu-mehaniku-potomu-chto-nikto-ee-ponimaet-richard-feyn.php свободный, (дата обращения: 16.11.2018).
8. Приходовский М. А. Комплексные и гиперкомплексные числа [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://math.tusur.ru/metod/pr/met4.pdf свободный, (дата обращения: 16.11.2018)
9. Сильвестров В.В. Системы чисел // Соросовский образовательный журнал, 1998, №8, с. 121-127.
10. Стюарт Иэн. Истина и красота. Всемирная история симметрии. Династия. Серия Элементы. 2010
11. Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М. Едиториал УРСС. 2004, с. 196

Рецензии:

5.12.2018, 12:51 Сулейманова Лилия Ирфановна
Рецензия: В рецензируемой работе представлен способ описания мира, а точнее создание пространства Вселенной, при помощи четырех исключительных алгебр. Это алгебры действительных, комплексных чисел, а также кватернионов и октонионов. Преимуществом статьи является то, что формулы в ней графически интерпретированы. Помимо графической интерпретации дан подробный анализ физической интерпретации четырёх числовых систем. В статье проведены аналогии между числовыми системами и физическими системами. Например, между кватернионами и кварками, или между октонионами и квантовыми числами, описывающими электронные орбитали. Вывод: рецензируемая работа может быть рекомендована к опубликованию . К.т.н., Сулейманова Л.И.

Комментарии пользователей:

18.12.2020, 10:22 Салманов Азер Элдар оглы Отзыв: Здравствуйте, Ирина Игоревна. Очень заинтересовали Ваши статьи о кватернионах и октонионах, особенно связь с таблицей Менделеева. Можно ли с Вами пообщаться напрямую посредством электронной почты или телефона, задать вопросы? Я написал запрос в редакцию журнала с просьбой дать Ваш электронный адрес. Буду благодарен за дополнительные разъяснения, был бы рад поделиться научными материалами о таблице Менделеева в привязке к Вашей статье (представления таблицы Дидыка, Румера-Фета-Кулакова, Бахарева)

19.01.2021, 12:49 Ильина Ирина Игоревна Отзыв: Здравствуйте Азер Элдар оглы. Спасибо за проявленный интерес. Вы можете написать на электронный адрес merkabo@mail.ru С уважением Ильина И.И.

Оставить комментарий