Разделы: Математика
Размещена 17.09.2020.
Просмотров - 1092

Приведение некоторых дифференциальных уравнений к уравнению Риккати

Санжак Владимир Леонидович

советник АЕ

Кибернетика

ГИП

УДК 511

Введение.

Имеется много происходящих в природе процессов, которые можно описать через дифференциальные уравнения.

В работе предлагается рассмотрение некоторых видов дифференциальных уравнений, связанных с уравнением Риккати и взаимосвязанного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, у которого общего решения, в отличие от линейного уравнения 1-го порядка, нет. Имеется только много частных решений и методов перевода из одного вида дифференциального уравнения в другой, с возможностью облегчения решения.

Актуальность.

При решении космогонических задач было установлено, что многие процессы могут быть решены через дифференциальные(интегральные) уравнения 2-го порядка. Вполне возможно, что среди сил, взаимодействующих во вселенной, есть и те, что могут быть представлены дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Было найдено, например, что у линейного уравнения 2-го порядка в общем случае решение расходится (как и наша вселенная).

Цели.

Найти пути подхода к решению дифференциальных уравнений 2-го порядка и ближайших к ним 1-го/3-го порядка.

Задачи.

Поиск решений дифференциальных уравнений с любыми независимыми функциями.

Новизна.

Рассматриваются разные преобразования некоторых уравнений в уравнение Риккати.

Результаты.

Представлено несколько уравнений, которые могут быть преобразованы в уравнение Риккати. 

Заключение.

Данное исследование может помочь в решение проблем, для описания которых может быть применено дифференциальное уравнения Риккати. 

Известно, что уравнение Риккати в общем виде:

       y’ + f₁(z)y² + f₂(z)y + f₃(z) = 0                                                                                       (1)

заменой  

        u = exp( ∫ f₁(z)ydz )

приводится к линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка ([1], гл.1, п.47):

       u” + g₁(z)u’ + g₂(z)u = 0                                                                                              (2)

где

            g₁(z) = f₂ – f₁’/ f₁    ,    g₂(z) = f₁ f₃

Функции  f₁, f₂, f₃ считаем непрерывными дифференцируемыми функциями.

В первом пункте приведено несколько дифференциальных уравнений, которые могут быть переведены в известное уравнение Риккати. Во втором пункте приведено одно из частных решений  дифференциального уравнения 2-го порядка.

1. К уравнению Риккати приводятся:

• Нелинейное уравнение 1-го порядка

   Y’ + f₁(z)cos(aY + f₂(z)) + f₃(z)sin(aY + f₄(z)) + f₅(z) = 0                                         (3)

где здесь и далее  a - const, а все f_m – известные функции аргумента z .

Приведённое уравнение (3) к уравнению Риккати (относительно неизвестной функции T=exp(aiY) = e^iay) приводится путём использования формулы Эйлера: exp(±iu)=cos u ± i∙sin u .

Получается:

T’ + (ai/2)[f₁ exp(if₂) - if₃ exp(if₄)]T² + aif₅T + (ai/2)[f₁ exp( - if₂) + if₃ exp( - if₄)] = 0

Имеется и более общее подобное нелинейное уравнение 1-го порядка:

Y’ + f₁ cos(aY + f₂) + f₃ sin(aY + f₄) + f₅ cos²(aY/2 + f₆) + f₇ sin²(aY/2 + f₈) +

+ f₉ cos(aY/2 + f₁₀) sin(aY/2 + f₁₁) + f₁₂ = 0

которое приводится к уравнению Риккати тем же способом, что и для уравнения (3), т.е. тоже заменой на T=exp(aiY).

 

• Нелинейное уравнение 1-го порядка

Y’ + f₁ tg(aY + b) + f₂ ctg(aY + b) = 0

где  b – const,  путём

   W = ctg²(aY + b)

приводится (относительно неизвестной функции W ) к уравнению Риккати:

  W’ - 2af₂W² - 2a(f₁ + f₂)W - 2af₁ = 0

 

• Нелинейное уравнение 1-го порядка

   Y’ + f₁ cos²(aY + f₂) + f₃ sin²(aY + f₄) + f₅ cos(aY + f₆) sin(aY + f₇) + f₈  = 0

к уравнению Риккати – относительно неизвестной функции T=exp(2aiY) – приводится путём использования формулы Эйлера. В результате получаем

T’+(ai/2){f₁ exp(2if₂ )- f₃ exp(2if₄) - if₅ exp[i(f₆+ f₇)]}T²+ai{f₁+f₃+(i/2)f₅ exp[i(f₆ - f₇)] -

- (i/2)f₅ exp[i(f₇ - f₆)]+2f₈}T+(ai/2){f₁ exp( -2if₂)-f₃ exp( -2if₄)+if₅ exp[-i(f₆+f₇)]} = 0

 

•  Нелинейное уравнение 1-го порядка

Y’ + f₁ tg(aY + b) + f₂ cos(aY + b) + f₃ sec(aY + b) = 0

приводится к уравнению Риккати – относительно неизвестной функции T=sin(aY+b) – путём умножения этого уравнения на cos(aY+b), в результате получим:

  T’-a(f₂T²+f₁T+f₂+f₃)=0

 

• Нелинейное уравнение 2-го порядка

Y”+ f₁ YY’+ f₂ Y²+f₃ Y’+ f₄ Y+ f₅ = 0

приводится к уравнению Риккати – для неизвестной, приведённой ниже функции  u – в случае  Y=q₁u+q₂ ,

где  q₁  находится из уравнения

 

(q₁’/q₁)’+(q₁’/q₁)² – (f₁’/f₁ - 3f₂/f₁)q₁’/q₁ - f₄ - 2((f₂ - f₁’)/f₁ - f₃)f₂/f₁ -f₁((f₂ - f₁’)/f₁²- f₃/f₁)’ = 0

 

А  q₂  из

q₂ = - 2q₁’/(f₁q₁) + ((f₂ – f₁’)/f₁ – f₃)/f₁

 

Теперь для неизвестной функции  u  уравнение Риккати будет

 

u’+ f₁q₁u² = - f₁exp(- ∫(f₂/f₁)dz)∫(f₁q₂q₂’+ q₂”+ f₂q₂²+ f₃q₂’+ f₄q₂ + f₅)exp(∫(f₂/f₁)dz)/(f₁q₁) dz

 

• Линейное однородное дифференциальное уравнение 3-го порядка

Y’”+ f₁(z)Y”+ f₂(z)Y’+ f₃(z)Y = 0

приводится к виду

(gU”)’+ wU = 0                                                                                                                   (4)

где

            U = y/p  ;        g = p³exp∫f₁dz ;

  w = p³exp(∫f₁dz)[f₃ + f₂(p’/p) + f₁(p”/p) + p’”/p]

а функция  p= p(z) ищется из линейного дифференциального уравнения 2-го порядка:

p”+(2/3)f₁ p’+(f₂/3) p = 0      .

Уравнение (4) с помощью некоторого бесконечного ряда

R = ∫∫wdzdz+∫∫w(∫g^-1∫∫wdzdzdz)dzdz+∫∫w[∫g^-1∫∫w(∫g^-1∫∫wdzdzdz)dzdzdz]dzdz+

+∫∫w{∫g^-1∫∫w[∫g^-1∫∫w(∫g^-1∫∫wdzdzdz)dzdzdz]dzdzdz}dzdz+…              

можно понизить на один порядок, т.е. привести к линейному дифференциальному уравнению второго порядка:

(g/w)R”U”- RU’+R’U = 0               ,

которое, кстати,  можно перевести и в уравнение Риккати.

На основании свойств ряда R:

(R”/w)’ = R/g

можно видеть, что искомая неизвестная величина  U=R₀ , где R₀ – тоже бесконечный ряд, аналогичный ряду R, в случае замены в нём функции  w на  g^-1 , a  g  на  -1/w .

 

• Приведём ещё 2 уравнения, приводимые к уравнению Риккати:

a)      yy”+ f₁ y'² + f₂ yy’+ f₃ y² = 0

получается при делении на y².

 

b)      t’ + (f₁(z)/cos t ) + f₂(z)cos t = 0

получается при умножении на cos t и подстановки cos²t = 1 - sin²t.

 

2. Имеется много частных решений как уравнения Риккати (1), так и уравнения 2-го порядка (2), представленных например в [3]. Было найдено ещё одно.

Так если в уравнении (2) функции

            g₁(z) = - (z + b)f(z) ;  g₂(z )= f(z)

где  f(z) –считаем любой функцией, то неизвестная имеет решение:

            u = ∫∫exp[∫(z + b)f(z)dz]f(z)dzdz

 

Доказательство – подставим решение u  в уравнение (2):

 

exp[∫(z+b)f(z)dz]f(z) - (z+b)f(z)∫exp[∫(z+b)f(z)dz]f(z)dz + f(z)∫∫exp[∫(z+b)f(z)dz]f(z)dzdz = 0

Разделив здесь на  f(z) и взяв от выражения производную, получим тождество. 

Нетрудно найти, что теперь дифференциальное уравнение

            y”- zf(z)y’+ f(z)y + P(z) = 0                                                                                      (5)

тоже может быть решено относительно искомой функции y. Для решения произведём замену y=qt. После подстановки в (5) получим

qt”+t’(2q’- zfq) + t(q”- zfq’+fq)+P = 0

Пусть функция q обнуляет выражение при t:

            q”- zfq’+fq = 0

Решение для q приведено выше. Теперь, если представить t’=R , получаем линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно R:

qR’+ (2q’- zfq)R + P = 0

решение которого (линейного, 1-го порядка) известно давно [2].

1. Э.Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Физматгиз, 1965.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1986
3. Журнал Дифференциальные уравнения. Минск, 2009

Рецензии:

20.10.2020, 2:11 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: В принципе тема статьи актуальна. Во-первых к одному из самых красивых дифференциальных уравнений - уравнению замечательного итальянского математика Якопо Франческо Риккати, которого Пётр Первый даже приглашал возглавить Петербургскую Академию наук, сводятся многие физические задачи пространственного характера, математические модели. Во-вторых, классическое ДУ Риккати, относящееся к большому числу ДУ, не разрешимых в квадратурах, можно во многих случаях сводить к разрешимому уравнению Д. Бернулли и другим вариантам возможности аналитического решения.Однако рецензент отмечает неготовность статьи к публикации. Статья некорректно структурирована, не на месте, например, заключение и пр. В научных статьях не приветствуется ссылка на справочники и учебные пособия. Библиографический список оформлен не совсем правильно, особенно [3] - что за журнал, чья там статья посвящена теме ссылки? Выправить синтаксис самому или дать на проверку и корректировку студенту или даже учащемуся. Рецензент считает представленную статью достойной публикации в данном журнале, но после тщательной корректировки. Можно было бы привести две-три задачи физического характера, которые описываются уравнениями Риккати, или уравнениями, требующими приведения их к оным. Но это по желанию автора, Рецензент ждёт вторичного представления этой работы на отзыв.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий