советник АЕ
Кибернетика
ГИП
УДК 511
Введение.
Имеется много происходящих в природе процессов, которые можно описать через дифференциальные уравнения.
В работе предлагается рассмотрение некоторых видов дифференциальных уравнений, связанных с уравнением Риккати и взаимосвязанного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, у которого общего решения, в отличие от линейного уравнения 1-го порядка, нет. Имеется только много частных решений и методов перевода из одного вида дифференциального уравнения в другой, с возможностью облегчения решения.
Актуальность.
При решении космогонических задач было установлено, что многие процессы могут быть решены через дифференциальные(интегральные) уравнения 2-го порядка. Вполне возможно, что среди сил, взаимодействующих во вселенной, есть и те, что могут быть представлены дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Было найдено, например, что у линейного уравнения 2-го порядка в общем случае решение расходится (как и наша вселенная).
Цели.
Найти пути подхода к решению дифференциальных уравнений 2-го порядка и ближайших к ним 1-го/3-го порядка.
Задачи.
Поиск решений дифференциальных уравнений с любыми независимыми функциями.
Новизна.
Рассматриваются разные преобразования некоторых уравнений в уравнение Риккати.
Результаты.
Представлено несколько уравнений, которые могут быть преобразованы в уравнение Риккати.
Заключение.
Данное исследование может помочь в решение проблем, для описания которых может быть применено дифференциальное уравнения Риккати.
Известно, что уравнение Риккати в общем виде:
y’ + f1(z)y2 + f2(z)y + f3(z) = 0 (1)
заменой
u = exp( ∫ f1(z)ydz )
приводится к линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка ([1], гл.1, п.47):
u” + g1(z)u’ + g2(z)u = 0 (2)
где
g1(z) = f2 – f1’/ f1 , g2(z) = f1 f3
Функции f1, f2, f3 считаем непрерывными дифференцируемыми функциями.
В первом пункте приведено несколько дифференциальных уравнений, которые могут быть переведены в известное уравнение Риккати. Во втором пункте приведено одно из частных решений дифференциального уравнения 2-го порядка.
Y’ + f1(z)cos(aY + f2(z)) + f3(z)sin(aY + f4(z)) + f5(z) = 0 (3)
где здесь и далее a - const, а все fm – известные функции аргумента z .
Приведённое уравнение (3) к уравнению Риккати (относительно неизвестной функции T=exp(aiY) = eiay) приводится путём использования формулы Эйлера: exp(±iu)=cos u ± i∙sin u .
Получается:
T’ + (ai/2)[f1 exp(if2) - if3 exp(if4)]T2 + aif5T + (ai/2)[f1 exp( - if2) + if3 exp( - if4)] = 0
Имеется и более общее подобное нелинейное уравнение 1-го порядка:
Y’ + f1 cos(aY + f2) + f3 sin(aY + f4) + f5 cos2(aY/2 + f6) + f7 sin2(aY/2 + f8) +
+ f9 cos(aY/2 + f10) sin(aY/2 + f11) + f12 = 0
которое приводится к уравнению Риккати тем же способом, что и для уравнения (3), т.е. тоже заменой на T=exp(aiY).
Y’ + f1 tg(aY + b) + f2 ctg(aY + b) = 0
где b – const, путём
W = ctg2(aY + b)
приводится (относительно неизвестной функции W ) к уравнению Риккати:
W’ - 2af2W2 - 2a(f1 + f2)W - 2af1 = 0
Y’ + f1 cos2(aY + f2) + f3 sin2(aY + f4) + f5 cos(aY + f6) sin(aY + f7) + f8 = 0
к уравнению Риккати – относительно неизвестной функции T=exp(2aiY) – приводится путём использования формулы Эйлера. В результате получаем
T’+(ai/2){f1 exp(2if2 )- f3 exp(2if4) - if5 exp[i(f6+ f7)]}T2+ai{f1+f3+(i/2)f5 exp[i(f6 - f7)] -
- (i/2)f5 exp[i(f7 - f6)]+2f8}T+(ai/2){f1 exp( -2if2)-f3 exp( -2if4)+if5 exp[-i(f6+f7)]} = 0
Y’ + f1 tg(aY + b) + f2 cos(aY + b) + f3 sec(aY + b) = 0
приводится к уравнению Риккати – относительно неизвестной функции T=sin(aY+b) – путём умножения этого уравнения на cos(aY+b), в результате получим:
T’-a(f2T2+f1T+f2+f3)=0
Y”+ f1 YY’+ f2 Y2+f3 Y’+ f4 Y+ f5 = 0
приводится к уравнению Риккати – для неизвестной, приведённой ниже функции u – в случае Y=q1u+q2 ,
где q1 находится из уравнения
(q1’/q1)’+(q1’/q1)2 – (f1’/f1 - 3f2/f1)q1’/q1 - f4 - 2((f2 - f1’)/f1 - f3)f2/f1 -f1((f2 - f1’)/f12- f3/f1)’ = 0
А q2 из
q2 = - 2q1’/(f1q1) + ((f2 – f1’)/f1 – f3)/f1
Теперь для неизвестной функции u уравнение Риккати будет
u’+ f1q1u2 = - f1exp(- ∫(f2/f1)dz)∫(f1q2q2’+ q2”+ f2q22+ f3q2’+ f4q2 + f5)exp(∫(f2/f1)dz)/(f1q1) dz
Y’”+ f1(z)Y”+ f2(z)Y’+ f3(z)Y = 0
приводится к виду
(gU”)’+ wU = 0 (4)
где
U = y/p ; g = p3exp∫f1dz ;
w = p3exp(∫f1dz)[f3 + f2(p’/p) + f1(p”/p) + p’”/p]
а функция p= p(z) ищется из линейного дифференциального уравнения 2-го порядка:
p”+(2/3)f1 p’+(f2/3) p = 0 .
Уравнение (4) с помощью некоторого бесконечного ряда
R = ∫∫wdzdz+∫∫w(∫g-1∫∫wdzdzdz)dzdz+∫∫w[∫g-1∫∫w(∫g-1∫∫wdzdzdz)dzdzdz]dzdz+
+∫∫w{∫g-1∫∫w[∫g-1∫∫w(∫g-1∫∫wdzdzdz)dzdzdz]dzdzdz}dzdz+…
можно понизить на один порядок, т.е. привести к линейному дифференциальному уравнению второго порядка:
(g/w)R”U”- RU’+R’U = 0 ,
которое, кстати, можно перевести и в уравнение Риккати.
На основании свойств ряда R:
(R”/w)’ = R/g
можно видеть, что искомая неизвестная величина U=R0 , где R0 – тоже бесконечный ряд, аналогичный ряду R, в случае замены в нём функции w на g-1 , a g на -1/w .
a) yy”+ f1 y'2 + f2 yy’+ f3 y2 = 0
получается при делении на y2.
b) t’ + (f1(z)/cos t ) + f2(z)cos t = 0
получается при умножении на cos t и подстановки cos2t = 1 - sin2t.
Так если в уравнении (2) функции
g1(z) = - (z + b)f(z) ; g2(z )= f(z)
где f(z) –считаем любой функцией, то неизвестная имеет решение:
u = ∫∫exp[∫(z + b)f(z)dz]f(z)dzdz
Доказательство – подставим решение u в уравнение (2):
exp[∫(z+b)f(z)dz]f(z) - (z+b)f(z)∫exp[∫(z+b)f(z)dz]f(z)dz + f(z)∫∫exp[∫(z+b)f(z)dz]f(z)dzdz = 0
Разделив здесь на f(z) и взяв от выражения производную, получим тождество.
Нетрудно найти, что теперь дифференциальное уравнение
y”- zf(z)y’+ f(z)y + P(z) = 0 (5)
тоже может быть решено относительно искомой функции y. Для решения произведём замену y=qt. После подстановки в (5) получим
qt”+t’(2q’- zfq) + t(q”- zfq’+fq)+P = 0
Пусть функция q обнуляет выражение при t:
q”- zfq’+fq = 0
Решение для q приведено выше. Теперь, если представить t’=R , получаем линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно R:
qR’+ (2q’- zfq)R + P = 0
решение которого (линейного, 1-го порядка) известно давно [2].
Рецензии:
20.10.2020, 2:11 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: В принципе тема статьи актуальна. Во-первых к одному из самых красивых дифференциальных уравнений - уравнению замечательного итальянского математика Якопо Франческо Риккати, которого Пётр Первый даже приглашал возглавить Петербургскую Академию наук, сводятся многие физические задачи пространственного характера, математические модели. Во-вторых, классическое ДУ Риккати, относящееся к большому числу ДУ, не разрешимых в квадратурах, можно во многих случаях сводить к разрешимому уравнению Д. Бернулли и другим вариантам возможности аналитического решения.Однако рецензент отмечает неготовность статьи к публикации. Статья некорректно структурирована, не на месте, например, заключение и пр. В научных статьях не приветствуется ссылка на справочники и учебные пособия. Библиографический список оформлен не совсем правильно, особенно [3] - что за журнал, чья там статья посвящена теме ссылки? Выправить синтаксис самому или дать на проверку и корректировку студенту или даже учащемуся. Рецензент считает представленную статью достойной публикации в данном журнале, но после тщательной корректировки. Можно было бы привести две-три задачи физического характера, которые описываются уравнениями Риккати, или уравнениями, требующими приведения их к оным. Но это по желанию автора, Рецензент ждёт вторичного представления этой работы на отзыв.
Комментарии пользователей:
Оставить комментарий