Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 30.11.2020. Последняя правка: 18.01.2021.
Просмотров - 316

Метод доказательства и необходимые условия неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах

Ремизов Вадим Григорьевич

Кандидат технических наук

Ярославский государственный технический университет

Доцент

Аннотация:
В статье изложен метод доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах, основанный на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых необходимые условия существования экстремума в точках экстремумов непрерывны и сформулированы необходимые условия неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Метод может быть использован для доказательства теоремы Ферма и гипотезы Била и проиллюстрирован на примере доказательства теоремы Ферма.


Abstract:
The article describes a method for proving the unsolvability of Diophantine equations in integers, based on the properties of the extrema of continuous and smooth functions, in which the necessary conditions for the existence of an extremum at the extremum points are continuous, and the necessary conditions for the absence of integer solutions for Diophantine equations are formulated. The method can be used to prove Fermat's theorem and bill's conjecture, and is illustrated by an example of proving Fermat's theorem.


Ключевые слова:
диофантовы уравнения; теорема Ферма; гипотеза Била: вещественные, целые и натуральные числа; непрерывные и гладкие функции; математический анализ; экстремумы, максимумы и минимумы функций; необходимые условия существования экстремумов функций; эквивалентные уравнения, разрешимость и неразрешимость диофантовых уравнений в целых числах

Keywords:
diophantine equations; Fermat's theorem; Beale's hypothesis: real, integer, and natural numbers; continuous and smooth functions; mathematical analysis; extrema, maxima, and minima of functions; necessary conditions for the existence of extremums of functions; equivalent equations; solvability and unsolvability of Diophantine equations in integers


УДК 510

Вступление   

Диофантово уравнение – алгебраическое уравнение относительно нескольких переменных (неизвестных) с целыми коэффициентами и натуральными параметрами (значения которых предполагаются фиксированными), для которого требуется найти целочисленные (или натуральные) решения (целые значения переменных, удовлетворяющих диофантову уравнению). В качестве параметров выступают степени при переменных (неизвестных).

Диофантово уравнение –  неопределенное уравнение, которое содержит более одной неизвестной, то есть содержит две и более переменные (неизвестные). Под решением неопределенного диофантова уравнения понимается совокупность целых значений неизвестных, которые обращают данное уравнение в верное равенство.

Диофантовы уравнения могут иметь одно решение, конечное число решений, могут иметь бесчисленное число решений и могут не иметь целочисленных решений, то есть когда диофантовы уравнения не разрешимы в целых числах. Своё название уравнения получили в честь выдающегося античного математика Диофанта Александрийского, который, как считается, первым систематически изучал неопределённые уравнения и описывал методы их решения.

Диофантовы уравнения подразделяются по числу переменных (неизвестных) на уравнения с двумя, тремя и большим числом переменных (неизвестных).

Диофантовы уравнения подразделяются на диофантовы уравнения первой степени с наибольшими степенями при неизвестных равной единице, диофантовы уравнения второй степени с наибольшими степенями при неизвестных равными двум, и диофантовы уравнения степени большей двух с наибольшими степенями при неизвестных больше двух.

Простейшими нелинейными диофантовыми уравнениями являются уравнения с коэффициентами при неизвестных равными единице. Простейшим уравнением второй степени с тремя неизвестными является диофантово уравнение Пифагора -  x2 + y2 = z2. Это уравнение имеет бесчисленное число решений, минимальными решениями (попарно взаимно простыми) которого являются Пифагоровы тройки, остальные решения получаются умножением Пифагоровых троек на целые множители. Пифагоровы тройки определяются следующими формулами (решениями):

x= 2km;  y= k2 - m2;  z= k2 +m2,  где  k > m - взаимно простые числа различной четности. Проверка:  x2 + y2 = z2   →   4k2m2 + (k2 - m2)2 = k4 + 2k2m2 + m4 = (k2 + m2)2.

x= ij;  y= (i2 - j2)/2;  z= (i2 + j2)/2,  где  i  > j- взаимно простые нечетные числа.

Проверка:  (ij)2 + ((i2 - j2)/2)2 = i2j2 + (i4 - 2i2j2 + j4)/4 = (i4 + 2i2j2 + j4)/4 = ((i2 + j2)/2)2.

Формулы перехода от одних переменных к другим:

i = k + m,                   j = k - m;

k = (i+ j)/2,               m = (i - j)/2.

Простейшим уравнением  n-ой степени с тремя неизвестными является диофантово уравнение Ферма -   xn + yn= zn. Это уравнение при n > 2 не имеет решений в целых числах, что в 1994 году доказал Эндрю Уайлс. Это утверждение формулируется теоремой Ферма: "Для любого натурального числа  n > 2  уравнение Ферма не разрешимо в целых положительных числах   x, y, z".

Обобщением теоремы Ферма, когда показатели степеней при неизвестных могут быть различными натуральными числами, является гипотеза Била, которая утверждает, что  "Натуральные числа  A, B, C, X, Y, Z   с условием   X, Y, Z  > 2  могут удовлетворять уравнению Била -   AX   +  BY  =  CZ,  если  НОД(A, B, C) > 1". В диофантовом уравнении Била:   A, B, C - неизвестные переменные, а степени при неизвестных  X, Y, Z  - параметры. Уравнение Била может иметь целочисленные решения  A, B, C, когда указанные целые числа имеют общие делители, и не разрешимо в целых числах, когда числа  A, B, C попарно взаимно простые числа.

Проблема решения диофантовых уравнений в целых числах является полностью решённой для уравнений с одним неизвестным, а также для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными.

Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории и науке.

 Актуальность  

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Надо сказать, что это не было изобретением Ферма - он только возродил интерес к поиску целочисленных решений. А вообще задачи, допускающие только целые решения, были распространены во многих странах еще в очень далёкие от нас времена.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Способ перебора вариантов.

2. Алгоритм Евклида.

3. Цепные дроби.

4. Метод разложения на множители.

5. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной.

6. Метод остатков.

7. Метод бесконечного спуска.

Первые 6 методов решения диофантовых уравнений позволяют найти решения уравнений, а последний метод позволяет доказать, что диофантово уравнение не разрешимо в целых числах.

Метод бесконечного спуска изобрел Ферма, и этим изобретением он очень гордился, заявив, что во всех своих доказательствах пользовался этим методом. Этот метод состоит в следующем: некоторые свойства или соотношения невозможны для целых чисел, если исходя из предположения о том, что они выполняются для каких-либо целых чисел, удается доказать, что они выполняются и для некоторых меньших целых чисел. Действительно, в таком случае то же самое рассуждение позволяет заключить, что они выполняются для еще меньших чисел, т.д. – ad infinitum, - что невозможно, поскольку последовательность положительных целых чисел не может бесконечно убывать. Как подтверждал сам Ферма, метод бесконечного спуска – это метод доказательства невозможности [1].

Решение диофантовых уравнений является очень трудной задачей. Так, например, доказательство Великой теоремы Ферма, то есть доказательство отсутствия целочисленных решений у диофантова уравнения Ферма, заняло у лучших умов человечества три с половиной века. До сих пор не доказана гипотеза Била, которая является обобщением Великой теоремы Ферма. Теория чисел, и ее раздел - решение диофантовых уравнений, очень широко используется в настоящее время в современной науке, в технике и на практике и является передовым краем современной математической науки.

Поэтому любые достижения в разработке методов решения диофантовых уравнений являются очень актуальными. Доказательство отсутствия решений у диофантовых уравнений тоже является их решением, поскольку неразрешимость диофантовых уравнений свидетельствует о том, что множество решений диофантова уравнения пустое. На основании свойств экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых необходимые условия существования экстремума в точках экстремумов являются непрерывными функциями, были сформулированы необходимые условия неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

Цели и задачи

Изложить новый метод доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах, сформулировать условия, при которых диофантовы уравнения не могут иметь целочисленных решений, изложить основные идеи, на которых основан метод, пояснить в каких случаях он может быть использован и проиллюстрировать его использование на примере доказательства теоремы Ферма. Показать, что новый метод доказательства отсутствия целочисленных решений у диофантовых уравнений является ключом к доказательству гипотезы Била.

Научная новизна

Единственным известным и общепринятым методом доказательства неразрешимости диофантовых уравнений является метод бесконечного спуска Ферма. В данной статье изложен новый метод доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах, основанный на свойствах экстремумов непрерывных и гладких вещевтсенных функций, у которых необходимые условия существования экстремума в точках экстремумов непрерывны. С помощью указанного метода были доказаны Великая теорема Ферма [2] и гипотеза Била [3], доказательства которых до сих пор не признаны. Впервые, для решения диофантовых уравнений были использованы непрерывные и гладкие вещественные функции – синусоиды.

Всегда имелся соблазн использовать для решения диофантовых уравнений синусоиды, поскольку  sin(πz) = 0 тогда и только тогда, когда  z  является целым, то есть синусоиды являются лакмусовыми бумажками на целые числа.

Поэтому более подробно остановимся на обосновании метода, используемого для доказательства и теоремы Ферма и гипотезы Била. Это новый метод, он основан на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых необходимые условия существования экстремумов непрерывны в точках экстремумов. Справедливо так же утверждение, что в точках, в которых необходимые условия существования экстремумов функции имеют разрывы, непрерывные и гладкие функции не могут иметь экстремумов, либо сами функции не являются непрерывными и гладкими. Для существования экстремумов функции необходимо удовлетворение всех необходимых условий существования экстремумов функции. Из указанного свойства экстремумов непрерывных и гладких функций следуют необходимые условия отсутствия экстремумов у непрерывных и гладких функций в точках, в которых одно (любое) из необходимых условий существования экстремумов не является непрерывным и имеет разрывы. Таким образом, в точках, в которых необходимое условие существования экстремума имеет разрыв, непрерывная и гладкая функция не может иметь экстремума (нулевых локальных минимумов). Если необходимые условия существования экстремумов имею разрывы в точках экстремумов, то это означает, что либо в этой точке не может быть экстремума у функции, либо сама функция не является непрерывной и гладкой. Использование указанного метода, основанного на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, позволяет доказать теорему Ферма и гипотезу Била, причем изложить доказательство теоремы Ферма на одной странице!

В методе используется тот факт, что целочисленные решения диофантовых уравнений доставляют соответствующей непрерывной и гладкой вещественной функции нулевые локальные минимумы. Справедливо и обратное, что целые координаты нулевых минимумов соответствующей непрерывной и гладкой функции являются и целочисленными решениями диофантова уравнения.

Непрерывные и гладкие функции могут иметь экстремумы, только если выполняются все необходимые условия существования экстремумов. В тех случаях, когда выполнение необходимых условий существования экстремумов при произвольных (любых) целых значениях переменных достоверно установить не возможно, для решения вопроса о достижении непрерывной и гладкой функцией экстремума следует использовать свойство непрерывности необходимых условий существования экстремумов в точках экстремумов непрерывной и гладкой функции.

Таким образом, диофантово уравнение может иметь целочисленные решения, только если соответствующая неотрицательная, непрерывная и гладкая вещественная функция в точках с целыми координатами имеет локальные нулевые минимумы. Непрерывная и гладкая вещественная функция может иметь экстремумы, если выполняются необходимые условия существования экстремумов функции. Если невозможно установить выполнение необходимых условий существования экстремумов при произвольных целых значениях переменных (в случае доказательства неразрешимости диофантова уравнения в целых числах), то для установления существования экстремумов или их отсутствия можно использовать условия непрерывности необходимых условий существования экстремумов в указанных точках непрерывных и гладких вещественных функций. Диофантово уравнение не будет иметь целочисленных решений, если соответствующая непрерывная и гладкая вещественная функция в точках с целыми координатами не имеет нулевых минимумов, то есть когда необходимые условия существования экстремумов функции в указанных точках имеют разрывы.

Для использования указанного метода доказательства неразрешимости диофантова уравнения следует поставить в соответствие каждому диофантову уравнению вещественную, неотрицательную, непрерывную и гладкую функцию.

Все диофантовы уравнения с тремя переменными (неизвестными) можно подразделить на три типа:

  • Первый, когда при любых целых переменных (неизвестных) диофантово уравнение всегда имеет целочисленные решения, когда у одной из переменной коэффициент и степень равны единице. Например, диофантово уравнение  xn + yn =  z  имеет целочисленные решения при любых целых  x  и  y.
  • Второй, когда при произвольных значениях целых переменных, например, произвольные Пифагоровы тройки, диофантово уравнение может, как иметь целочисленные решения, так может и не иметь целочисленных решений, то есть диофантово уравнение разрешимо в целых числах. У этих диофантовых уравнений минимальная степень при неизвестных равна двум. Так, например, диофантово уравнение Пифагора  x2 + y2 =  z2  имеет бесчисленное множество целочисленных решений, но не все наборы (троек) целых переменных  x, y и являются решениями диофантова уравнения; диофантово уравнение  x3 + y3 =  zимеет единственное решение; а диофантово уравнение  x4 + y4 =  z2  неразрешимо в целых числах, что доказал еще Ферма [1].
  • Третий, когда диофантово уравнение не имеет целочисленных решений, то есть диофантово уравнение не разрешимо в целых числах, но что еще требуется доказать. В этом случае степени у неизвестных больше двух, то есть три и более. Например, диофантово уравнение Ферма  xn + yn =  zn  при  > 2  неразрешимо в целых числах.

Указанный метод нельзя использовать в случае, когда диофантово уравнение при целых значениях параметров и произвольных целых значениях переменных (неизвестных) всегда имеет целочисленные решения, то есть когда диофантово уравнение всегда разрешимо в натуральных числах, так как доказать отсутствие решений у диофантова уравнения, разрешимого в целых числах, невозможно. Это имеет место для диофантовых уравнений первого типа, так как все необходимые условия существования экстремумов соответствующей функции выполняются и обращаются в тождества.

Метод применяется в случаях, когда ищутся целые значения параметров, при которых диофантово уравнение либо разрешимо в целых числах (может иметь и не иметь целочисленные решения), либо диофантово уравнением неразрешимо в целых числах, то есть метод может применяться для диофантовых уравнений второго и третьего типа. Для этих диофантовых уравнений не удается установить выполнение всех необходимых условий существования экстремумов непрерывных и гладких функций при произвольных (любых) целых значениях переменных и заданных целых значениях параметров. Поэтому в этих случаях следует воспользоваться свойствами экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых необходимые условия существования экстремумов в точках экстремумов непрерывны.

Если в точках предполагаемых экстремумов необходимые условия существования экстремума непрерывны, то в этих точках непрерывная и гладкая функция может, как иметь, так и не иметь экстремумы (нулевые локальные минимумы). В этом случае диофантово уравнение разрешимо в целых числах, то есть диофантово уравнение может иметь целочисленные решения.

Если в точках предполагаемых экстремумов необходимые условия существования экстремума имеют разрывы, то в этих точках непрерывная и гладкая функция не может иметь экстремумов (нулевых локальных минимумов), а поэтому диофантово уравнение неразрешимо в натуральных числах.

Указанный метод доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах не используется для диофантовых уравнений первого типа, так как необходимые условия существования экстремумов у таких непрерывных и гладких функций в точках с целыми координатами обращаются в тождества, а сами функции в точках с целыми координатами имеют экстремумы (нулевые локальные минимумы).

Метод может использоваться только для диофантовых уравнений второго и третьего типа, так как в этих случаях нельзя достоверно установить, выполняются или не выполняются необходимые условия существования экстремумов при произвольных (любых) целых значениях переменных, и поэтому для установления имеет ли место экстремум приходится использовать свойство непрерывности необходимых условий существования экстремумов в точках предполагаемых экстремумов. Чтобы установить имеют или не имеют диофантовы уравнения целочисленные решения, надо установить могут ли иметь соответствующие функции нулевые локальные минимумы, для чего требуется установить, непрерывны или имеют разрывы необходимые условия существования экстремумов в точках  предполагаемых экстремумов. Условия разрывности необходимых условий существования экстремумов в точках экстремумов при произвольных (любых) целых значениях переменных и являются необходимыми условиями неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Метод применяется в случаях, когда невозможно найти координаты точек экстремумов непрерывных и гладких вещественных функций с помощью необходимых условий существования экстремумов.

Для того, чтобы реализовать свойства экстремумов непрерывных и гладких вещественных функций для доказательства неразрешимости диофантова уравнения в целых числах, надо из необходимых условий существования экстремумов функции в произвольной точке с целыми координатами получить зависимость для параметров диофантова уравнения от дополнительной переменной и исследовать ее на непрерывность в точке экстремума.

Рассмотрим сущность метода, перечислим условия применения указанного метода и рассмотрим ограничения на применение указанного метода.

Этот метод используется для доказательства неразрешимости в целых числах диофантовых уравнений, то есть для установления значений целых параметров, при которых диофантово уравнение неразрешимо. Метод используется для доказательства отсутствия целочисленных решений у диофантовых уравнений,  имеющих три переменные (x, y и z – для теоремы Ферма и  А, В и С  – для гипотезы Била) и параметры (один параметр  n - для теоремы Ферма и три параметра  x, y и z  – для гипотезы Била). Метод не позволяет найти целочисленные решения диофантовых уравнений, но позволяет установить значения параметров, при которых диофанотово уравнение разрешимо или неразрешимо в целых числах, то есть доказать разрешимость диофантова уравнения или отсутствие целочисленных решений у диофантовых уравнений (доказать неразрешимость диофантова уравнения).

  • Во-первых, надо записать диофантово уравнение, разрешение которого в целых числах исследуется. Метод применяется для диофантоых уравнений трех переменных с единичными коэффициентами и нулевым свободным членом, то есть уравнениями следующего вида

  • Во-вторых, надо записать действительную, неотрицательную, непрерывную и гладкую как относительно переменных (неизвестных), так и относительно параметров функцию, которая сопоставляется (соответствует) заданному диофантову уравнению. Функция содержит: две независимые переменные -  x1 и x2 , которые могут принимать любые целые значения, третья (зависимая) переменная  x3 находится из диофантова уравнения (1). Также функция содержит: k  параметров диофантова уравнения -  n1, n2, … , nk ,  и один дополнительный параметр  а, который имеет область допустимых значений в ближайшей окрестности точки  а = 1. Задаваемая функция имеет следующий вид:
где:   x3  - выражается из диофантова уравнения (1) и может при целых значениях  x1 и x2  быть либо иррациональным, либо целым числом, что априори не определено.
  • В-третьих, надо приравнять функцию (2) к нулю и записать полученное уравнение

  • Следует заметить, что уравнение (3) при  а = 1 равно нулю только при целых значениях  x1, x2, x3, n1, n2, … , nk , которые одновременно являются и целочисленными решениями диофантова уравнения и координатами локальных нулевых минимумов функции (2), то есть поставили в соответствие целочисленные решения диофантова уравнения (1),  решения уравнения (3) при  а = 1 и локальные нулевые минимумы непрерывной и гладкой функции (2) при  а = 1. Таким образом, показали, что целочисленные решения диофантова уравнения (1) являются одновременно и координатами локальных нулевых минимумов непрерывной и гладкой вещественной функции (2) при  а = 1, и, обратное, что координаты нулевых локальных минимумов функции (2) при  а = являются целочисленные решениями диофантова уравнения (1).  Поэтому они (целочисленные решения диофантова уравнения) должны обладать свойствами экстремумов и координат точек экстремумов функции (2). Диофантово уравнение (1) и уравнение (3) при  а = имеют одно и тоже множество решений, поэтому эти уравнения эквивалентны!

  • Для доказательства отсутствия решений у диофантова уравнения (1) надо решить следующую задачу. Надо найти натуральные значения параметров n1, n2, … , nk , которые при произвольных целых  xи x2  могут доставлять непрерывной и гладкой функции (2) локальные нулевые минимумы, и которые при произвольных целых  xи  x2  не могут доставить непрерывной и гладкой функции (2) локальные нулевые минимумы. Так как непрерывная и гладкая функция (2) должна иметь локальные нулевые минимумы в точках  xи  x2, то в этих точках должны удовлетворяются необходимые условия существования экстремумов. Достаточные условия существования экстремумов функции (2) можно не рассматривать, поскольку в этих точках функция (2) равна нулю, то есть функция (2) будет иметь нулевые локальные минимумы. Запишем необходимые условия существования экстремумов функции (2)

  • С помощью эквивалентных и равносильных преобразований можно зависимую переменную  x(определяемую из диофантова уравнения) исключить из уравнений (4) и (5)  и получить еще одно необходимое условие существования экстремума функции (2), содержащее только независимые переменные x1 и x2, и которое выполняется при  а = 1 при любых целых значениях  x1 и x2

  • При  а = 1  и заданныхцелых  n1, n2, … , nk   и произвольных (любых) целых   x1, x2  зависимая переменная  x3   может принимать как целые, так и иррациональные значения, поэтому уравнения (4) и (5)  могут, как удовлетворяться, так и не удовлетворяться. В случаях, когда при заданных значениях параметров  n1, n2, … , nk   не найдено целочисленных решений диофантова уравнения, нельзя достоверно установить неразрешимость диофантова уравнения, это требует доказательства. Поэтому для ответа на вопрос имеет или не имеет непрерывная и гладкая функция (2) локальный нулевой минимум при произвольных (любых) целых   x и  x2  нельзя использовать необходимые условия существования экстремумов. Для решения задачи в этом случае следует использовать свойства экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов непрерывны, то есть исследовать на непрерывность необходимое условие (6). Если при заданных целых значениях параметров   n1, n2, … , nk    необходимое условие существования экстремумов (6) непрерывной и гладкой функции (2) в точках экстремумов непрерывно, то указанная функция (2) может иметь нулевые локальные минимумы, а диофантово уравнение при заданных   n1, n2, … , nk    разрешимо в целых числах. Если же при заданных целых значениях параметров   n1, n2, … , nk    необходимое условие (6) непрерывной и гладкой функции (2) в точках экстремумов имеет разрывы, то указанная функция (2) не может иметь локальных минимумов, а диофантово уравнение при заданных целых значениях параметров   n1, n2, … , nk    неразрешимо в целых числах. Далее следует исследовать непрерывность необходимого условия существования экстремума (6) в точке экстремума с произвольными целыми координатами  x1 и  x2. Для этого необходимое условие существования экстремума (6) надо представить в виде функции параметров   n1, .. , nk   в зависимости от дополнительного параметра  а  при произвольных фиксированных целых   x и  x2. Эта функция при  а = 1  и целых  x1  и  x2   не определена, имеет место неопределенность типа  0/0. Поэтому надо раскрыть эту неопределенность и получить диофантово уравнение-ограничение для определения целых значений параметров   n1, .. , nk,   при которых непрерывная и гладкая функция (2) при целых значениях  x1  и  x2   может иметь или не иметь нулевые минимумы, а, следовательно, и диофантово уравнение будет разрешимо или неразрешимо в целых числах. Если необходимое условие существования экстремума (6) непрерывной и гладкой функции (2) в точках экстремума будет непрерывно, то функция (2) в этих точках может иметь и может не иметь локальный нулевой минимум, а диофантово уравнение может иметь или не иметь целочисленные решения, то есть диофантово уравнение разрешимо в целых числах. Если необходимое условие существования экстремума (6) непрерывной и гладкой функции (2) в точках экстремума будет иметь разрывы, то функция (2) в этих точках не может иметь локальный нулевой минимум, а диофантово уравнение не может иметь целочисленных решений, то есть диофантово уравнение не разрешимо в целых числах.
  • Следует заметить, что каждое необходимое условие существования экстремумов непрерывной и гладкой функции (2) накладывает свои ограничения на параметры  n1, n2, … , nk   диофантового уравнения (свои диофантовые уравнения-ограничения на параметры исходного диофантова уравнения). Но поскольку эти условия-ограничения имеют место для одной и той же точки экстремума (нулевого локального минимума) непрерывной и гладкой функции (2), то все ограничения на параметры  n1, n2, … , nk   диофантова уравнения (1) должны быть объединены.

Суть метода доказательства неразрешимости диофантовых уравнений можно изложить кратко следующим образом. Требуется доказать, что диофантово уравнение (1) неразрешимо в целых числах при некоторых значениях параметров   n1, n2, … , nk.  Допустим противное, что существует решение диофантова уравнения (1) при заданных значениях параметров   n1, n2, … , nk ,  тогда непрерывная и гладкая функция (2) в соответствующих точках при заданных значениях параметров   n1, n2, … , nk  и  a = 1  должна иметь нулевой локальный минимум. В сухом остатке, для установления факта существования нулевого локального минимума у функции (2) мы имеем только одно необходимое условие существования экстремума (6), которое выполняется при  а = 1   и любых целых значениях  x1 и  x2.  В качестве второго условия могут использоваться необходимые условия неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Оказывается, что если в точке предполагаемого нулевого локального минимума при  a = 1  необходимое условие условие существования экстремума (6) функции (2) имеет разрыв, то функция (2) в этих точках не может иметь нулевых локальных минимумов, и поэтому диофантово уравнение (1) при заданных значениях параметров   n1, n2, … , nk  неразрешимо в целых числах. Если же необходимое условие существования экстремума (6) в точке экстремума функции (2) непрерывно при заданных значениях параметров   n1, n2, … , nk, то функция (2)  в этой точке может иметь и не иметь нулевой локальный минимум. В этом случае диофантово уравнение (1) разрешимо в целых числах, как это имеет место для диофантова уравнения Пифагора.

Таким образом, задачу доказательства неразрешимости диофантова уравнения свели к задаче нахождения значений параметров диофантова уравнения, при которых соответствующая непрерывная и гладкая функция при  a = 1  не будет иметь нулевых локальных минимумов в точках с целыми координатами.

Для того чтобы лучше можно было понять суть метода доказательства неразрешимости диофантовых уравнений, рассмотрим применение метода к доказательству частного случая гипотезы Била, когда все показатели степеней при неизвестных равны  n, то есть рассмотрим суть метода на примере доказательства теоремы Ферма, когда диофантово уравнение имеет один параметр n.

Для применения метода необходимо записать диофантово уравнение и построить (поставить в соответствие ему) действительную, неотрицательную, непрерывную и гладкую, как относительно двух независимых действительных переменных (в нашем случае  x и y), так и относительно действительных параметров (в нашем случае параметров  n и а), функцию (8). Третья переменная  z  выражается в соответствии с формулой (9) из диофантова уравнения (7) через переменные  x,  y и  n.

Теорема Ферма утверждает, что для любого натурального числа  n > 2 уравнение Ферма (7) не имеет решений в целых ненулевых числах  x, y, z , то есть теорема Ферма устанавливает целые значения параметра n, при которых диофантово уравнение Ферма (7) может иметь, а может и не иметь целочисленные решения.

Запишем диофантово уравнение Ферма (7) и действительную, неотрицательную, непрерывную и гладкую функцию (8) двух независимых действительных переменных  x, y и двух действительных параметров n, а. Дополнительный параметр  а  имеет область допустимых значений в окрестности точки  а = 1.



Теперь надо приравнять функцию (8) к нулю и записать полученное уравнение


Уравнение (10)  равно нулю при  а = тогда и только тогда, когда x, y, z  и  n  целые, то есть одновременно являются и целочисленными решениями диофантова уравнения Ферма (7) и координатами локальных нулевых минимумов функции (8). Таким образом, поставили в соответствие целочисленные решения диофантова уравнения Ферма (7), решения эквивалентного вещественного уравнения (10) при  а = 1 и локальные нулевые минимумы непрерывной и гладкой функции (8) при  а = 1. Так как Диофантово уравнение Ферма (7) и вещественное уравнение (10)  при  а = имеют одно и то же множество решений, то эти уравнения  при  а = 1 являются эквивалентными. Также показали, что целочисленные решения диофантова уравнения Ферма (7) являются одновременно и координатами локальных нулевых минимумов непрерывной и гладкой функции (8)  при  а = 1, и поэтому они (целочисленные решения диофантова уравнения) должны обладать свойствами экстремумов и координат точек локальных нулевых минимумов функции (8)  при  а = 1.

Очевидно, что целые числа  x, y, z и n, которые удовлетворяют уравнению Ферма (7) при  а = 1,  обращают функцию (8) в ноль, то есть в этих точках непрерывная и гладкая функция (8) будет иметь локальные нулевые минимумы. Справедливо и обратное, целые x, y, z и n, при которых функция (8) при  а = 1  имеет нулевые минимумы, удовлетворяют диофантову уравнению (7), то есть являются целочисленными решениями диофантова уравнения Ферма (7). Следует заметить, что функция (8) при  а = 1 равна нулю, тогда и только тогда, когда переменные  x, y, z и n  принимают целые значения одновременно. И поэтому целые значения  x, y, z  и n, которые доставляют нулевые минимумы функции (8), одновременно являются и целочисленными решениями диофантова уравнения Ферма (7).

Великая теорема Ферма утверждает, что уравнение (7) неразрешимо в натуральных числах для любого натурального  n > 2. Если натуральные числа  x, y, z, удовлетворяющие уравнению Ферма (7),имеют общий делитель, то на него можно сократить числа x, y, z  и считать, что числа  x, y, z  являются попарно взаимно простыми.

Для доказательства теоремы Ферма решим следующую задачу. Будем искать натуральные значения параметра  n  при произвольных целых  x и y, при которых непрерывная и гладкая функция (8)  может иметь локальные нулевые минимумы, и при которых непрерывная и гладкая функция (8) не имеет локальных нулевых минимумов, где целые  x и это координаты точек экстремумов функции (8), а  n -  это значение параметра в точке нулевого минимума при а = 1. То есть установим значения параметра n, при которых диофантово уравнение (7) будет разрешимо и будет неразрешимо в целых числах.

Установить это становится возможным потому, что была установлена связь между целочисленными решениями уравнения Ферма (7) и нулевыми локальными минимумами непрерывной и гладкой функции (8)  при  а = 1. Если функция (8) может иметь нулевые минимумы (при целых  x, y  и натуральном  n), то диофантово уравнение Ферма (7) разрешимо в целых числах при заданном n, а если функция (8) не имеет нулевых минимумов (при целых  x, y  и натуральном  n), то диофантово уравнение Ферма (7) не разрешимо в целых числах при заданном  n.

Непрерывная и гладкая функция (8) имеет локальные нулевые минимумы в точках, в которых удовлетворяются необходимые условия существования экстремумов. Достаточные условия существования экстремумов функции (8) можно не рассматривать, поскольку в этих точках функция (8) будет равна нулю, то есть будет иметь нулевые локальные минимумы.  Запишем необходимые условия существования экстремумов функции (8)

где  z  определяется зависимостью (9) и, априори, не определено является ли  z  целым или иррациональным.

Из уравнений (11) и (12) с помощью эквивалентных (равносильных) преобразований можно получить еще одно необходимое условие существования экстремумов (13) непрерывной и гладкой функции (8), содержащее только независимые переменные  и  y, которое удовлетворяется при любых целых  x,  y   и   а = 1. Однако вопрос удовлетворяются ли необходимые условия существования экстремума (11) и (12) функции (8) при произвольных целых  и y  и значениях параметра  > 2, остается открытым.


Все необходимые условия существования экстремумов (11), (12) и (13), функции (8), равноправны, поскольку для нахождения координат точек экстремумов функции (8) могут быть использованы любые два уравнения. Но, если не выполняется одно из необходимых условий существования экстремумов функции (8) и одно из необходимых условий имеет разрыв в предполагаемой точке экстремума, то функция (8) не может иметь экстремума в указанной точке.

Следует заметить, что не при любых целы  x, и n  переменная  z   будет целой. Поэтому условия (11) и (12) при произвольных целых   x, y   будут не всегда удовлетворяться, причем заранее неизвестно, когда эти условия будут выполняться, а когда не будут выполняться. Поэтому необходимые условия существования экстремумов  (11) и (12) не позволяют нам установить, достигается или не достигается при произвольных целых  и y  нулевой минимум функцией (8). И поэтому необходимые условия существования экстремумов (11) и (12) не могут быть использованы для решения указанной задачи.

Для решения задачи надо использовать свойства экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых необходимые условия существования экстремумов в точках экстремумов непрерывны. Для исследования непрерывности необходимых условий существования экстремумов следует выбрать необходимое условие (13), содержащее только независимые переменные  и y, которые могут принимать произвольные (любые) целые значения, и которое выполняется при  a = 1   при любых целых значениях переменных  и y. В качестве второго условия для установления факта существования экстремума у функции (8) могут использоваться необходимые условия неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах. Только тогда, когда необходимое условие существования экстремумов (13) в точках экстремумов непрерывно, непрерывная и гладкая функция (8) может иметь локальные нулевые минимумы (а диофантово уравнение Ферма разрешимо в целых числах). В точках, в которых необходимое условие существования экстремумов (13)  при заданном  n  имеет разрывы, непрерывная и гладкая функция (8) не может иметь локальных нулевых минимумов (а диофантово уравнение Ферма не разрешимо в целых числах)! И поэтому наличие разрыва необходимого условия существования экстремумов (13) в точках предполагаемого экстремума и является необходимым условием невозможности локальных нулевых минимумов у непрерывной и гладкой функции (8) в этих точках и необходимым условием неразрешимости диофантова уравнения в целых числах.

Для разрешимости диофанотова уравнения Ферма необходимо, чтобы удовлетворялись все необходимые условия существования экстремума функции (8) в точках предполагаемого нулевого минимума. Удовлетворение только одного необходимого условия существования экстремумов (13) недостаточно для достижения функцией (8) нулевого минимума. Если необходимое условие существования экстремума (13) функции (8) в точках с целыми  x, y имеет разрыв, то диофантово уравнение Ферма (7) неразрешимо в целых числах. Для доказательства теоремы Ферма можно использовать условие непрерывности любого из трех необходимых условий существования экстремумов. Так как в условиях  (11) и (12)  входит неопределенная величина z (неопределенно - целая она или иррациональная), то эти уравнения могут, как удовлетворяться, так и не удовлетворяться. Поэтому легче проверить, непрерывна или имеет разрыв функция (13) в точках с произвольными целыми координатами  х и y. Следует заметить, что условие (13) выполняется при любых целых х и y  и  а=1.

Будем искать значения параметра n, при которых функция (8) может иметь или не имеет нулевые минимумы. Для решения поставленной задачи надо воспользоваться необходимыми условиями неразрешимости диофантовых уравнений, то есть надо получить зависимость переменной  n от дополнительного параметра  a   при произвольных целых значениях  х  и  у,  и  исследовать эту функцию  n = f(a)  на наличие разрыва в точке предполагаемого экстремума, и тем самым установить является ли необходимое условие существования экстремума (13) функции (8) в точках предполагаемых экстремумов  с целыми  и y  непрерывным или имеет разрыв.

Поскольку уравнение (13) содержит четыре переменные  x, y, n  и a, то его можно рассматривать как неявную функцию переменной  n  от параметра  a, а  целые  x, y, которые являются координатами произвольной точки, зафиксировать. Поэтому переменные  х и у  (координаты фиксированной точки экстремума) будут не зависеть от параметра  a. Перепишем уравнение (13) в виде функции переменой  n  в зависимости от параметра а, где целые  x и y - постоянные коэффициенты.



В случае доказательства теоремы Ферма переменную  n можно явно выразить в виде функции от переменной  a


Графики функций  n(a)  для различных фиксированных координат   x и y   точек экстремумов функции (8) показаны на рис.1.

Проверим, при каких условиях необходимое условие существования экстремумов (14) функции (8) при целых фиксированных значениях  х и у  будет иметь разрыв или будет  непрерывным.

Теперь исследуем непрерывность необходимого условия существования экстремума (14) в точках локального нулевого минимума с целыми координатами  х и у.

При целых   x и y   и   a = 1   правая часть функции (14) неопределенна, то есть имеет место неопределенность типа  0/0, которую можно раскрыть с помощью правила Лопиталя. В точке  a = 1  функция (14) не определена и имеет устранимый разрыв I рода, так как пределы функции (14) справа  и  слева при a 1 равны. Поэтому, для того чтобы функция (14) была непрерывной, надо доопределить функцию (14) в точке  a = 1 значением, равным пределу функции (14) при  a 1.

Чтобы функция (14) была непрерывной, необходимо чтобы значение левой части в этих точках должно быть равно пределу правой части при   a  1.  Раскроем неопределенность типа  0/0  по правилу Лопиталя, когда  x  и  y  произвольные фиксированные числа

откуда следует, что уравнение (14) при различных целых (взаимно простых)  х и у  может быть непрерывным, а равенство (16) выполняться, только при  n = 2. И только в этом случае функция (8) может иметь нулевые минимумы, а диофантово уравнение Ферма (7) разрешимо в целых числах. Уравнение (16), которое является условием непрерывности функции (14), можно записать в виде диофанотова уравнения-ограничения

Из  условия  непрерывности (17)  функции  (14) следует, что  теорема Ферма верна только при целых  n  > 2, то есть диофантово уравнение Ферма (7) не разрешимо в целых числах и нет таких целых чисел  x, y, z  которые бы удовлетворяли уравнению Ферма (7) при натуральных  n  > 2. В том случае, если  n = 2 функция (14) непрерывна, а непрерывная и гладкая функция (8) может иметь нулевой локальный минимум, а диофантово уравнение Ферма (7) может иметь целочисленные решения, то есть разрешимо в целых числах.

Таким образом доказали, что если целое  > 2, функция (14) имеет разрыв, и поэтому функция  (8) при целых взаимно простых целых числах   х и у  не может иметь нулевых минимумов, а поэтому диофантово уравнение Ферма (7) не разрешимо в натуральных числах.

Следует заметить, что при  n = 2, непрерывная и гладкая функция (8) может иметь или не иметь нулевой локальный минимум, все зависит от того выполняются ли или нет необходимые условия существования экстремумов функции (8). Если тройки  x, y и  z  являются Пифагоровыми тройками, то функция (8)  имеет нулевой локальный минимум, а если не являются Пифагоровыми тройками, то функция (8) не имеет нулевого локального минимума. Но в этом случае диофантово уравнение Пифагора разрешимо в целых числах.

Если диофантово уравнение-ограничение (17) в точках экстремумов имеет разрыв, то непрерывная и гладкая функция (8) не имеет нулевых локальных минимумов, так как необходимые условия существования экстремума непрерывной и гладкой функции (8) не могут выполняться, и потому диофантово уравнение (7) неразрешимо в целых числах.

Суть доказательства теоремы Ферма можно свести к следующему. Требуется доказать, что диофантово уравнение Ферма (7) неразрешимо в целых числах при n  > 2. Допустим противное, что существует решение диофантова уравнения Ферма при  n > 2, тогда непрерывная и гладкая функция (8) в соответствующих точках при  n  > 2  и  a = 1  должна иметь нулевой локальный минимум, но оказывается, что в точке предполагаемого нулевого локального минимума при  a = 1  необходимое условие существования экстремума (13) функции (8) имеет разрыв (невыполнение уравнения-ограничения (17)), и поэтому функция (8) в этих точках не может иметь нулевых локальных минимумов, и поэтому диофаното уравнение Ферма при  n > 2  неразрешимо в целых числах.

Таким образом, задачу доказательства теоремы Ферма, то есть доказательство неразрешимости диофантова уравнения Ферма при  n > 2  свели к задаче нахождения значений параметра  n, при которых соответствующая непрерывная и гладкая функция (8) при  a = 1  не будет иметь нулевых локальных минимумов в точках с целыми координатами.

Проиллюстрировать свойство экстремумов непрерывной и гладкой функции (8) можно рис.2. Наличие разрывов функции (15) в точках предполагаемых экстремумов при  a = 1  является  доказательством отсутствия экстремумов (нулевых локальных минимумов) у непрерывной и гладкой функции (8) в точке с целыми значениями  x, y при  n > 2  и  a = 1, а поэтому является и доказательством отсутствия целочисленных решений у диофантова уравнения Ферма при  n  > 2. В данном случае имеет место противоречие – корни диофантова уравнения Ферма при  n > 2, если бы они существовали, не обращают функцию (8) в ноль, так как у функции (8) отсутствуют нулевые локальные минимумы прицелых  x, y и  n > 2.

Функцию (8) так же можно рассматривать и как непрерывную и гладкую функцию четырех независимых переменных  x,  y,  n  и  a. В этом случае можно графически проиллюстрировать наличие разрыва функции (8) в точке  a = 1  при изменении переменной  и фиксированных целых значениях переменных  x и y (координат точек экстремумов), что следует из прерывности (наличия разрыва) при  a = 1  у функции (15). На рис. 2  показано наличие разрыва у функции  n(a)  в точке  a = 1, где  n = 3, что следует из предположения о существования целочисленного решения у диофантова уравнения Ферма при  n = 3.

Непрерывная и гладкая функция (8) может иметь нулевые минимумы в точке с целыми координатами   x,  y, если в этой точке выполняются все необходимые условия существования экстремума, но это установить мы не можем. В этом случае функция (8) может иметь нулевые локальные минимумы, если в этой точке непрерывно необходимое условие существования экстремума (13) функции (8). Поэтому у непрерывной и гладкой функции (8) может быть нулевой минимум, если при непрерывном изменении параметра  a  непрерывным образом изменяется и параметр  n.  В данном случае функция  n(a)  имеет разрыв в точке  a = 1,то есть функция (8) в этой точке имеет разрыв и поэтому функция (8) не может иметь локального нулевого минимума.


    Рис. 2. Графики функций  min f(x,y)  и  n(a)  при фиксированных  х, у, z    и   n=3.

Если  n = 1, то функция (8) будет иметь нулевые минимумы при любых (произвольных) целых  х и у, все необходимые условия существования экстремумов функции (8) удовлетворяются и обращаются в тождества. В этом случае диофантово уравнение Ферма (7) всегда имеет целочисленные решения, то есть при произвольных целых числах  х и у  всегда разрешимо. В этом случае указанный метод доказательства разрешимости диофантова уравнения Ферма при целых  х и у  применять нужды нет, так как при любых целых  х и у  функция (8) будет иметь локальные нулевые минимумы, а диофантово уравнение целочисленные решения.

Указанное доказательство теоремы Ферма было изложено на одной странице (см. Рис.4) и опубликовано в 1994 году. Доказательство того, что одностраничное доказательство теоремы Ферма было представлено для рецензирования в 1994 году, приведено на рис.3.




Рис.4. Одностраничное доказательство теоремы Ферма 1994 г.

 

Выводы 

  1. Показано, что только целочисленные решения диофантова уравнения доставляют нулевые локальные минимумы соответствующей непрерывной и гладкой вещественой функции при  а = 1, то есть доказано соответствие между целочисленными решениями диофантова уравнения и нулевыми локальными минимумами соответствующей непрерывной и гладкой вещественной функции при  а = 1.
  2. Показано, что диофантовы уравнения могут иметь целочисленные решения только в точках, в которых соответствующая непрерывная и гладкая вещевтсенная функция при  а = 1  имеет нулевые минимумы.
  3. Показано, что непрерывные и гладкие функции могут иметь нулевые минимумы, только когда необходимые условия существования экстремумов функции при  а =1  в точках экстремумов непрерывны и не имеют разрывов. 
  4. Показано, что непрерывные и гладкие вещественные функции не могут иметь экстремумов в точках, в которых необходимые условия существования экстремумов имеют разрывы.
  5. Показано, что необходимым условием неразрешимости диофантова уравнения в целых числах является наличие разрывов у необходимых условий существования экстремумов соответствующей непрерывной и гладкой функции в точках нулевых локальных минимумов при  а = 1
  6. Разработан метод доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах, основанный на свойствах экстремумов непрерывных и гладких функций, у которых в точках экстремумов необходимые условия существования экстремумов непрерывны.
  7. С помощью разработанного метода доказательства неразрешимости диофантовых уравнений в целых числах доказаны Великая теорема Ферма [2] и гипотеза Била [3].

Библиографический список:

1. Эдвардс Г. Последняя терема Ферма. - М:, Мир, 1980. – 486 с.
2. Ремизов В.Г., Ремизов К.В. Теорема Ферма. Сайт электронного периодического рецензируемого научного журнала «SCI-ARTICLE.RU», Научное направление «Математика», Размещена 25.12.2018.
3. Ремизов В.Г. Доказательство гипотезы била, понятное школьникам. Сайт электронного периодического рецензируемого научного журнала «SCI-ARTICLE.RU», Научное направление «Математика», Размещена 30.01.2020.




Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх