Разделы: Педагогика, Математика, Образование
Размещена 09.01.2021.
Просмотров - 144

Метод наименьших квадратов как пример исследования квадратичной функции в свете формирования функциональной грамотности учащихся

Власов Андрей Алексеевич

нет

ГБОУ СОШ 401 Колпинского района Санкт-Петербурга

учитель математики

УДК 372.851

Введение.

В курсе алгебры 8 класса изучается квадратичная функция [1]. Исследования квадратичной функции встречается, например при решении задач по физике [2]. Квадратные уравнения и квадратичные функции являются обязательной составляющей ОГЭ и ЕГЭ [3].  Поэтому изучение квадратичных функций является актуальным для школьников 8-10 классов. В учебнике [1] приведены задачи, имеющие физический смысл, для решения которых требуется исследовать квадратичную функцию. В качестве дополнительной мотивации для изучения этой темы предлагается ознакомить учащихся с методом наименьших квадратов.

Кроме того, в современном курсе школьной математики уделяется особое внимание теории вероятности, комбинаторике, статистике, о чем подробно говорится в курсе повышения квалификации для педагогических работников системы общего образования по совершенствованию предметных и методических компетенций (в том числе в области формирования функциональной грамотности обучающихся) [6]. Изучение методов статистической обработки результатов измерений повышает актуальность рассматриваемой темы.

В общем виде метод наименьших квадратов относится к разделу высшей математики, так как при его применении используются частные производные. Однако в случае нахождения единственного коэффициента прямой пропорциональности задача поиска минимума сводится к нахождению вершины параболы, что соответствует программе алгебры 8 класса.

Цель:

         Привести пример применения полученных знаний по исследованию квадратичных функций для решения практических задач.

Задачи:

1. Ознакомиться с литературой по изучаемому вопросу.
2. Описать метод наименьших квадратов как пример исследования квадратичной функции.
3. Предложить пример использования метода для практического применения при решении школьных задач, соответствующих восьмому классу.

 

Краткое описание метода наименьших квадратов.

Для решения задачи нахождения функции, наилучшим образом задающей зависимость между экспериментально полученными данными, применяется метод наименьших квадратов. Метод подробно описан в различных источниках, например [4]. Найденная функция должна быть достаточно простой для дальнейшего использования. Такое решение называется аппроксимацией. Пусть в результате эксперимента получены пары значений x₁ и y₁,   x₂ и y₂,…,x_n и y_n. Предположим, что y зависит от x , и зависимость  описывается функцией y=f(x), имеющей коэффициентыk₁,k₂,…,k_m. Найдем такие значения коэффициентов, при которых значение суммы слагаемых вида (y_i-f(x_i))² будет минимальным. Данная сумма также является функцией, где   k₁,k₂,…,k_m служат аргументами. Ее исследование заключается в поиске минимума, то есть таких аргументов, при которых достигается минимальное значение функции. Решение системы из m уравнений, где каждое уравнение – частная производная по одному из коэффициентов, приравненная к нулю, будет искомыми аргументами или коэффициентами первоначальной функции. 

Метод наименьших квадратов как пример исследования квадратичной функции.

В школьном курсе математики не изучаются функции нескольких переменных и частные производные. Но пример решения исследовательской задачи уровня высшей школы методами, изученными в восьмом классе, служит дополнительной мотивацией для изучения предмета.

Рассмотрим исследование зависимости силы постоянного тока от напряжения при неизменном сопротивлении. Лабораторная работа на данную тему предусмотрена в программе физики 8 класса [5].  Пусть в результате эксперимента получены следующие значения и рассчитано сопротивление:

Номер по порядку	Напряжение, В	Сила тока, А	Сопротивление, Ом
1	1	0,8	1,25
2	2	1,0	2
3	3	1,4	2,14

 Предположим, что зависимость силы тока от напряжения описывается функцией y=kx, где y – сила тока, x – напряжение. Сумма квадратов разностей экспериментально полученного и теоретического значений – функция

φ(k)=(0,8-k∙1)²+(1,0-k∙2)²+(1,4-k∙3)²=

=0,64-1,6k+k²+1-4k+4k²+1,96-8,4k+9k²=

=14k²-14k+3,6

Функция квадратичная, ветви параболы направлены вверх (14>0),  ее минимум достигается в точке k₀==0,5, значение минимума φ(0,5)=14∙0,5²-14∙0,5+3,6=0,1

Таким образом, зависимость силы тока от напряжения описывается функцией y=0,5x.

Возвращаясь к физическому смыслу эксперимента, получаем, что найденный коэффициент это проводимость участка цепи, то есть его сопротивление – обратная величина: R==2Ом. Интересно заметить, что если рассчитать сопротивление в каждом измерении по формуле  R=, а затем вычислить среднее значение, то получится приблизительно 1,8 Ом. Тогда искомая функция будет иметь вид y=0,56x.

Для строгого сравнения полученных результатов следует пользоваться величиной достоверности аппроксимации, что выходит за рамки рассматриваемого вопроса, поэтому сравним только сумму квадратов отклонений:  

φ(0,56)=14∙0,56²-14∙0,56+3,6=0,99

Делаем вывод, что результат, полученный первым способом более точный.

В школьном курсе физики встречаются и другие прямо пропорциональные зависимости: сила трения, сила упругости, количество тепла, необходимого для нагрева или плавления и другие. Приведенный пример можно использовать для изучения любых зависимостей с единственным постоянным коэффициентом, например период колебаний нитяного маятника от длины нити.

Выведем формулу для нахождения коэффициента пропорциональности в общем виде. Пусть были произведены n опытов, в каждом из которых получены пары величин: x₁ и y₁,   x₂ и y₂,…,x_n и y_{n. .} Предполагаем, что y=kx.  Тогда минимум функции φ(k)= (y_i-kx_i)² будет искомой величиной.

φ(k)= (y_i-kx_i)²= y_i²-2k y_i x_i+k²x_i²,откуда

Применение MS Excel для аппроксимации экспериментальных данных.

Однако уже в случае аппроксимации линейной функцией нужно найти коэффициент пропорциональности и свободный член, что приводит к необходимости исследовать функцию двух переменных. Особых сложностей можно избежать, если привести примеры поверхностей в пространстве: поверхность отражателя прожектора, поверхность жидкости при вращении сосуда, но с целью экономии времени целесообразно найти другой способ решения поставленной задачи. Самым простым и доступным представляется использование приложения  MS Excel или аналогичных из пакета LibreOffice, OpenOffice.

Для примера решим задачу из базы заданий по физике, приведенную на сайте РЕШУ ЕГЭ (см.приложение). Введем данные в таблицу (рисунок 1):

Рис.1

Выделим ячейки С2:С8, выберем пункт меню Вставка-Диаграмма-График, выберем вид графика (рисунок 2).

 

Рис.2

Щелкнем левой кнопкой мыши по получившемуся графику, затем правой кнопкой мыши вызовем ниспадающее меню и выберем пункт «Добавить линию тренда». В диалоговом окне выберем «Построение линии тренда» – линейная, поставим флажок напротив «показывать уравнение на диаграмме» и «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации» (рисунок 3).

 

Рис.3

На диаграмме появился график функции y=0,2679x+2,1143 и величина достоверности R²=0,935 (максимальное значение 1). В данной функции y – введенные данные, а x – порядковый номер строки (1,2,3,..,7). Однако аргумент у исследуемой функции – значения массы в граммах : 10, 15, 20,…, 40. Переходя к нужному нам аргументу, имеем:

y=0,2679∙∙+2,1143=0,05358x+1,8464

         Физический смысл свободного члена – длина пружины в свободном состоянии l₀, коэффициент при x – отношение   . С учетом единиц измерения получаем

Выводы.

В работе показан  пример использования нахождения минимума квадратичной функции при определении коэффициента пропорциональности аппроксимируемой функции методом наименьших квадратов. Данный прием можно применять при обработке экспериментальных данных различных зависимостей, сводящихся к прямой пропорциональности. Показано, как в случае более сложных зависимостей для решения задачи можно воспользоваться приложением MS Excel.

Статья служит примером формирования функциональной грамотности учащихся. Приведенный материал можно использовать на обобщающих уроках в конце учебного года для учеников восьмого класса, успешно освоивших курс  алгебры,  а так же как материал для проектно-исследовательских работ учащихся.  При этом следует иметь ввиду, что на уроках физики обработке экспериментальных данных строгими математическими методами внимания не уделяется, и учащиеся могут получить другой ответ, рассчитывая только среднее арифметическое значение искомой величины. Оценка возникающей в результате таких подходов погрешности относится к теме математической статистики, выходит за рамки данной работы и может быть дополнительно рассмотрена в курсе алгебры 9 класса. Пример задачи из экзамена по физике служит подтверждением: ответ 20 , приведенный в решении на сайте РЕШУ ЕГЭ, отличается от найденного в статье 18,66  , но  с учетом условия «с точностью до 5» должен считаться правильным. Следует обратить внимание учащихся на такую особенность в задачах.

Приложение.

Адрес задачи: https://phys-ege.sdamgia.ru/problem?id=2413

Задание 23 № 2413

На графике представлены результаты измерения длины пружины при различных значениях массы грузов, лежащих в чашке пружинных весов. С учётом погрешностей измерений (Δm=г, Δl=см)определите приблизительно жёсткость пружины k (Ответ дайте в Н/м с точностью до 5 Н/м.)

 

  

Решение.

Согласно второму закону Ньютона, для груза на пружине имеем k(l-l₀)=mg где l₀  — длина нерастянутой пружины. Аппроксимируем результаты измерений с учётом погрешностей линейной зависимостью. Пересечение получившейся прямой с вертикальной осью даёт приблизительное значение длины нерастянутой пружины. Из рисунка имеем, l₀1,9 см

 

 

 

Рассчитаем для каждого измерения величину жесткости пружины по формуле k=   Расчёты приведены в таблице: 

m (г)	10	15	20	25	30	35	40
l (см)	2,2	2,8	3,0	3,3	3,4	3,5	4,1
l−l0 (см)	0,3	0,9	1,1	1,4	1,5	1,6	2,2
k (Н/м)	33	17	18	18	20	22	18

 

Среднее значение равно 20 Н/м  

Ответ: 20.

1. Колягин Ю.М. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. огранизаций /Колягин Ю.Н., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. – М.: Просвещение. 2013.- 336с.
2. Каталог курсов, вебинаров, тестов проекта «Инфоурок» [Электронный ресурс] - режим доступа: https://infourok.ru/
3. Федеральный институт педагогических измерений. Официальный сайт. [Электронный ресурс] - режим доступа: https://fipi.ru
4. Ресурс для студентов технических, экономических и гуманитарных специальностей [Электронный ресурс] - режим доступа: http://mathprofi.ru/metod_naimenshih_kvadratov.html http://www.mathprofi.ru
5. Белага В.В. Физика. Тетрадь-практикум. 8 класс: пособие для учащихся общеобразоват. учреждений/ Д.А.Артеменков, В.В.Белага, Н.И.Воронцова, И.А.Ломаченков, Ю.А. Панибратцев - М.: Просвещение. 2012.- 64 с.
6. Единый федеральный портал дополнительного профессионального педагогического образования. [Электронный ресурс] - режим доступа: https://dppo.edu.ru/

Комментарии пользователей:

11.01.2021, 16:14 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уважаемый Андрей Алексеевич! Зашел в Википедию и нашел https://exceltip.ru/метод-наименьших-квадратов-в-excel-исполь/, где рассматривается точно как Ваша задача: МНК в EXCEL. Как я уже ранее писал в отзыве на одну работу, важно не отдельная задача для школьников, а набор задач, пусть в перечислении, которые очень важно рассмотреть школьникам и которые, в настоящее время, не рассматриваются.

11.01.2021, 21:24 Власов Андрей Алексеевич Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! Спасибо за отзыв. Однако замечу, что статья не про МНК в EXCEL. Школьники изучили в восьмом классе квадратичную функцию, и я показываю, при решении каких задач можно применить полученные знания. Дальше пишу, что если задача оказалась сложнее, ее можно решить с помощью электронных таблиц. В продолжении темы готовится статья о нахождении двух коэффициентов, опять же, не применяя методы математического анализа. Наверно я недостаточно ясно выразил свою мысль в статье. Спасибо за замечания, учту в следующих работах.

12.01.2021, 10:27 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уважаемый Андрей Алексеевич! Вы должны определиться с вопросом: а для кого предназначена данная статья? У Вас Цель и Задачи для кого? Если для школьников, то они эти журналы не читают (как впрочем, и другие журналы). У Вас Цель и Задачи для кого? Если для преподавателей, то они, наверное, про работу в EXCEL знают, про МНК тоже знают (а кто только ранее не экспериментировал в EXCEL с разными программами). Преподавателям интересен новый подход к теме (а здесь надо выделить подход с пометкой НОВОЕ, не опубликованное), либо предложить другой метод (не МНК), другую формулу, интересную для преподавания с Вашей точки зрения, которую ранее не применяли. Либо комплеск методов с последовательным изучением. А для Ваших школьников можно направить пояснения к МНК просто через электронную почту. С уважением, Усов Геннадий Григорьевич

12.01.2021, 21:37 Власов Андрей Алексеевич Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! В настоящее время согласно ФГОС допуск к ОГЭ учеников 9-х классов осуществляется в том числе при наличии проектно-исследовательской работы. Несколько моих учеников пишут такие проекты на основании источников, в том числе моих статей. Я пишу: "Приведенный материал можно использовать на обобщающих уроках в конце учебного года для учеников восьмого класса, успешно освоивших курс алгебры, а так же как материал для проектно-исследовательских работ учащихся." Раньше я публиковал такие работы на учительских сайтах, а сейчас мне стало интересно мнение научного сообщества о моих работах. Спасибо, что уделили внимание. С уважением, учитель математики, Власов Андрей Алексеевич.

13.01.2021, 8:04 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уважаемый Андрей Алексеевич! Насколько я понимаю, Вы выпускаете материалы для школьников, ранее называлось - методички. Было бы неплохо, эти материалы где-то объединить, дать на них ссылку, а в статье уже дать общий обзор подготовленных материалов с указаниями: на что обратить внимание при работе. Наверное, у Вас не только этот пример с МНК. С уважением, бывший школьник, к.т.н., Усов Геннадий Григорьевич.

Оставить комментарий