нет
ГБОУ СОШ 401 Колпинского района Санкт-Петербурга
учитель математики
УДК 372.851
Введение.
В курсе алгебры 8 класса изучается квадратичная функция [1]. Исследования квадратичной функции встречается, например при решении задач по физике [2]. Квадратные уравнения и квадратичные функции являются обязательной составляющей ОГЭ и ЕГЭ [3]. Поэтому изучение квадратичных функций является актуальным для школьников 8-10 классов. В учебнике [1] приведены задачи, имеющие физический смысл, для решения которых требуется исследовать квадратичную функцию. В качестве дополнительной мотивации для изучения этой темы предлагается ознакомить учащихся с методом наименьших квадратов.
Кроме того, в современном курсе школьной математики уделяется особое внимание теории вероятности, комбинаторике, статистике, о чем подробно говорится в курсе повышения квалификации для педагогических работников системы общего образования по совершенствованию предметных и методических компетенций (в том числе в области формирования функциональной грамотности обучающихся) [6]. Изучение методов статистической обработки результатов измерений повышает актуальность рассматриваемой темы.
В общем виде метод наименьших квадратов относится к разделу высшей математики, так как при его применении используются частные производные. Однако в случае нахождения единственного коэффициента прямой пропорциональности задача поиска минимума сводится к нахождению вершины параболы, что соответствует программе алгебры 8 класса.
Цель:
Привести пример применения полученных знаний по исследованию квадратичных функций для решения практических задач.
Задачи:
Краткое описание метода наименьших квадратов.
Для решения задачи нахождения функции, наилучшим образом задающей зависимость между экспериментально полученными данными, применяется метод наименьших квадратов. Метод подробно описан в различных источниках, например [4]. Найденная функция должна быть достаточно простой для дальнейшего использования. Такое решение называется аппроксимацией. Пусть в результате эксперимента получены пары значений x1 и y1, x2 и y2,…,xn и yn. Предположим, что y зависит от x , и зависимость описывается функцией y=f(x), имеющей коэффициентыk1,k2,…,km. Найдем такие значения коэффициентов, при которых значение суммы слагаемых вида (yi-f(xi))2 будет минимальным. Данная сумма также является функцией, где k1,k2,…,km служат аргументами. Ее исследование заключается в поиске минимума, то есть таких аргументов, при которых достигается минимальное значение функции. Решение системы из m уравнений, где каждое уравнение – частная производная по одному из коэффициентов, приравненная к нулю, будет искомыми аргументами или коэффициентами первоначальной функции.
Метод наименьших квадратов как пример исследования квадратичной функции.
В школьном курсе математики не изучаются функции нескольких переменных и частные производные. Но пример решения исследовательской задачи уровня высшей школы методами, изученными в восьмом классе, служит дополнительной мотивацией для изучения предмета.
Рассмотрим исследование зависимости силы постоянного тока от напряжения при неизменном сопротивлении. Лабораторная работа на данную тему предусмотрена в программе физики 8 класса [5]. Пусть в результате эксперимента получены следующие значения и рассчитано сопротивление:
Номер по порядку |
Напряжение, В |
Сила тока, А |
Сопротивление, Ом |
1 |
1 |
0,8 |
1,25 |
2 |
2 |
1,0 |
2 |
3 |
3 |
1,4 |
2,14 |
Предположим, что зависимость силы тока от напряжения описывается функцией y=kx, где y – сила тока, x – напряжение. Сумма квадратов разностей экспериментально полученного и теоретического значений – функция
φ(k)=(0,8-k∙1)2+(1,0-k∙2)2+(1,4-k∙3)2=
=0,64-1,6k+k2+1-4k+4k2+1,96-8,4k+9k2=
=14k2-14k+3,6
Функция квадратичная, ветви параболы направлены вверх (14>0), ее минимум достигается в точке k0==0,5, значение минимума φ(0,5)=14∙0,52-14∙0,5+3,6=0,1
Таким образом, зависимость силы тока от напряжения описывается функцией y=0,5x.
Возвращаясь к физическому смыслу эксперимента, получаем, что найденный коэффициент это проводимость участка цепи, то есть его сопротивление – обратная величина: R==2Ом. Интересно заметить, что если рассчитать сопротивление в каждом измерении по формуле R=, а затем вычислить среднее значение, то получится приблизительно 1,8 Ом. Тогда искомая функция будет иметь вид y=0,56x.
Для строгого сравнения полученных результатов следует пользоваться величиной достоверности аппроксимации, что выходит за рамки рассматриваемого вопроса, поэтому сравним только сумму квадратов отклонений:
φ(0,56)=14∙0,562-14∙0,56+3,6=0,99
Делаем вывод, что результат, полученный первым способом более точный.
В школьном курсе физики встречаются и другие прямо пропорциональные зависимости: сила трения, сила упругости, количество тепла, необходимого для нагрева или плавления и другие. Приведенный пример можно использовать для изучения любых зависимостей с единственным постоянным коэффициентом, например период колебаний нитяного маятника от длины нити.
Выведем формулу для нахождения коэффициента пропорциональности в общем виде. Пусть были произведены n опытов, в каждом из которых получены пары величин: x1 и y1, x2 и y2,…,xn и yn. . Предполагаем, что y=kx. Тогда минимум функции φ(k)= (yi-kxi)2 будет искомой величиной.
φ(k)= (yi-kxi)2= yi2-2k yi xi+k2xi2,откуда
Применение MS Excel для аппроксимации экспериментальных данных.
Однако уже в случае аппроксимации линейной функцией нужно найти коэффициент пропорциональности и свободный член, что приводит к необходимости исследовать функцию двух переменных. Особых сложностей можно избежать, если привести примеры поверхностей в пространстве: поверхность отражателя прожектора, поверхность жидкости при вращении сосуда, но с целью экономии времени целесообразно найти другой способ решения поставленной задачи. Самым простым и доступным представляется использование приложения MS Excel или аналогичных из пакета LibreOffice, OpenOffice.
Для примера решим задачу из базы заданий по физике, приведенную на сайте РЕШУ ЕГЭ (см.приложение). Введем данные в таблицу (рисунок 1):Рис.1
Выделим ячейки С2:С8, выберем пункт меню Вставка-Диаграмма-График, выберем вид графика (рисунок 2).
Рис.2
Щелкнем левой кнопкой мыши по получившемуся графику, затем правой кнопкой мыши вызовем ниспадающее меню и выберем пункт «Добавить линию тренда». В диалоговом окне выберем «Построение линии тренда» – линейная, поставим флажок напротив «показывать уравнение на диаграмме» и «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации» (рисунок 3).
Рис.3
На диаграмме появился график функции y=0,2679x+2,1143 и величина достоверности R2=0,935 (максимальное значение 1). В данной функции y – введенные данные, а x – порядковый номер строки (1,2,3,..,7). Однако аргумент у исследуемой функции – значения массы в граммах : 10, 15, 20,…, 40. Переходя к нужному нам аргументу, имеем:
y=0,2679∙∙+2,1143=0,05358x+1,8464
Физический смысл свободного члена – длина пружины в свободном состоянии l0, коэффициент при x – отношение . С учетом единиц измерения получаем
Выводы.
В работе показан пример использования нахождения минимума квадратичной функции при определении коэффициента пропорциональности аппроксимируемой функции методом наименьших квадратов. Данный прием можно применять при обработке экспериментальных данных различных зависимостей, сводящихся к прямой пропорциональности. Показано, как в случае более сложных зависимостей для решения задачи можно воспользоваться приложением MS Excel.
Статья служит примером формирования функциональной грамотности учащихся. Приведенный материал можно использовать на обобщающих уроках в конце учебного года для учеников восьмого класса, успешно освоивших курс алгебры, а так же как материал для проектно-исследовательских работ учащихся. При этом следует иметь ввиду, что на уроках физики обработке экспериментальных данных строгими математическими методами внимания не уделяется, и учащиеся могут получить другой ответ, рассчитывая только среднее арифметическое значение искомой величины. Оценка возникающей в результате таких подходов погрешности относится к теме математической статистики, выходит за рамки данной работы и может быть дополнительно рассмотрена в курсе алгебры 9 класса. Пример задачи из экзамена по физике служит подтверждением: ответ 20 , приведенный в решении на сайте РЕШУ ЕГЭ, отличается от найденного в статье 18,66 , но с учетом условия «с точностью до 5» должен считаться правильным. Следует обратить внимание учащихся на такую особенность в задачах.
Приложение.
Адрес задачи: https://phys-ege.sdamgia.ru/problem?id=2413
Задание 23 № 2413
На графике представлены результаты измерения длины пружины при различных значениях массы грузов, лежащих в чашке пружинных весов. С учётом погрешностей измерений (Δm=г, Δl=см)определите приблизительно жёсткость пружины k (Ответ дайте в Н/м с точностью до 5 Н/м.)
Решение.
Согласно второму закону Ньютона, для груза на пружине имеем k(l-l0)=mg где l0 — длина нерастянутой пружины. Аппроксимируем результаты измерений с учётом погрешностей линейной зависимостью. Пересечение получившейся прямой с вертикальной осью даёт приблизительное значение длины нерастянутой пружины. Из рисунка имеем, l01,9 см
Рассчитаем для каждого измерения величину жесткости пружины по формуле k= Расчёты приведены в таблице:
m (г) |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
l (см) |
2,2 |
2,8 |
3,0 |
3,3 |
3,4 |
3,5 |
4,1 |
l−l0 (см) |
0,3 |
0,9 |
1,1 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
2,2 |
k (Н/м) |
33 |
17 |
18 |
18 |
20 |
22 |
18 |
Среднее значение равно 20 Н/м
Ответ: 20.
Рецензии:
22.02.2021, 12:15 Наумов Владимир Аркадьевич
Рецензия: Статья не содержит элементов научной новизны, относящихся к математике. Не может быть рекомендована в качестве научной статьи в раздел "Математика". Кроме того, обращаю внимание автора на неверный метод решения задачи, приведенной в приложении. Судя по рисунку, длина нерастянутой пружины Lo не приведена в экспериментальных данных. Тогда это задача с двумя неизвестными параметрами (Lo, k), а не с одним.
11.01.2021, 16:14 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уважаемый Андрей Алексеевич! Зашел в Википедию и нашел https://exceltip.ru/метод-наименьших-квадратов-в-excel-исполь/, где рассматривается точно как Ваша задача: МНК в EXCEL. Как я уже ранее писал в отзыве на одну работу, важно не отдельная задача для школьников, а набор задач, пусть в перечислении, которые очень важно рассмотреть школьникам и которые, в настоящее время, не рассматриваются. |
11.01.2021, 21:24 Власов Андрей Алексеевич Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! Спасибо за отзыв. Однако замечу, что статья не про МНК в EXCEL. Школьники изучили в восьмом классе квадратичную функцию, и я показываю, при решении каких задач можно применить полученные знания. Дальше пишу, что если задача оказалась сложнее, ее можно решить с помощью электронных таблиц. В продолжении темы готовится статья о нахождении двух коэффициентов, опять же, не применяя методы математического анализа. Наверно я недостаточно ясно выразил свою мысль в статье. Спасибо за замечания, учту в следующих работах. |
12.01.2021, 10:27 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уважаемый Андрей Алексеевич! Вы должны определиться с вопросом: а для кого предназначена данная статья? У Вас Цель и Задачи для кого? Если для школьников, то они эти журналы не читают (как впрочем, и другие журналы). У Вас Цель и Задачи для кого? Если для преподавателей, то они, наверное, про работу в EXCEL знают, про МНК тоже знают (а кто только ранее не экспериментировал в EXCEL с разными программами). Преподавателям интересен новый подход к теме (а здесь надо выделить подход с пометкой НОВОЕ, не опубликованное), либо предложить другой метод (не МНК), другую формулу, интересную для преподавания с Вашей точки зрения, которую ранее не применяли. Либо комплеск методов с последовательным изучением. А для Ваших школьников можно направить пояснения к МНК просто через электронную почту. С уважением, Усов Геннадий Григорьевич |
12.01.2021, 21:37 Власов Андрей Алексеевич Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! В настоящее время согласно ФГОС допуск к ОГЭ учеников 9-х классов осуществляется в том числе при наличии проектно-исследовательской работы. Несколько моих учеников пишут такие проекты на основании источников, в том числе моих статей. Я пишу: "Приведенный материал можно использовать на обобщающих уроках в конце учебного года для учеников восьмого класса, успешно освоивших курс алгебры, а так же как материал для проектно-исследовательских работ учащихся." Раньше я публиковал такие работы на учительских сайтах, а сейчас мне стало интересно мнение научного сообщества о моих работах. Спасибо, что уделили внимание. С уважением, учитель математики, Власов Андрей Алексеевич. |
13.01.2021, 8:04 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уважаемый Андрей Алексеевич! Насколько я понимаю, Вы выпускаете материалы для школьников, ранее называлось - методички. Было бы неплохо, эти материалы где-то объединить, дать на них ссылку, а в статье уже дать общий обзор подготовленных материалов с указаниями: на что обратить внимание при работе. Наверное, у Вас не только этот пример с МНК. С уважением, бывший школьник, к.т.н., Усов Геннадий Григорьевич. |
22.02.2021, 14:56 Олевский Виктор Аронович Отзыв: Сейчас актуально обсуждают отсутствие мотивации учиться, массовое списывание, не кажется ли Вам, что всё это из-за Вас, особенно, в 8 классе. |
23.02.2021, 9:05 Власов Андрей Алексеевич Отзыв: Уважаемый Виктор Аронович! Благодарю за отзыв и потраченное время. Отвечаю на Ваш вопрос: мне не кажется что "отсутствие мотивации учиться, массовое списывание ... особенно, в 8 классе" происходит из-за меня. С уважением, Власов Андрей Алексеевич. |