Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 19.01.2021. Последняя правка: 22.02.2021.
Просмотров - 1609

Доказательство Великой теоремы Ферма на множествах пар натуральных чисел (частный случай)

Усов Геннадий Григорьевич

к.т.н.

МГУ, 1972

пенсионер

Аннотация:
Великая теорема Ферма доказана для любого натурального числа х и для всех натуральных чисел y, где x > y, при определённой последовательности значений степеней n.


Abstract:
Fermat's Last Theorem is proved for any natural number x and for all natural numbers y, where x> y, for a certain sequence of values of powers n.


Ключевые слова:
Великая теорема Ферма; натуральное число; бином Ньютона; модуль числа

Keywords:
Fermat's Last Theorem; natural number; Newton binomial; modulus of number


УДК 511

Введение

Великой теоремой Ферма (ВТФ) называется утверждение о том, что уравнение:

     x^n + y^n = z^n                                                                        (1)

не имеет решения в целых числах при n > 2 [1].

ВТФ доказал в 1994 году английский математик сэр Эндрю Уайлс. Данное доказательство составляло около 130 страниц [1].

Существуют доказательства для отдельных случаев, когда x и y – небольшие числа : n = 3, n = 4, n = 7, для простых чисел, меньших 100 [1].

Согласно теореме Грюнерта, доказанной в 1856 году, натуральные числа x, y, z, удовлетворяющие уравнению (1) (если такие числа существуют), должны удовлетворять неравенствам [2]:

    x > n,   y > n,   z > n.         (1а)

До сих пор появляется много публикаций, в которых авторы утверждают, что доказали ВТФ, причём намного проще. Однако не было подтверждений, что эти доказательства верны.

Все доказательства ВТФ строились на всём множестве пар натуральных чисел x и y.

В данной статье предлагается для доказательства ВТФ разбить всё множество пар натуральных чисел на множества Рх, которые состоят из пар натуральных чисел x и y, где 0 < y =< x.

И на каждом из этих множеств доказывать ВТФ.

Как известно: "Слона надо есть по кусочкам!"



Актуальность.

Весь предыдущий период, начиная с формулировки своей теоремы Пьером Ферма, не утихают попытки доказательств ВТФ. И эти попытки будут продолжаться, чтобы не говорили математики. Поэтому появляется необходимость в появлении нового подхода к получению доказательства ВТФ.

Новый подход заключается в разбивке множества пар всех натуральных чисел на отдельные множества этих пар, на каждом из которых проще доказывать ВТФ.

Цели и задачи

Основной задачей данной статьи является доказательство ВТФ на отдельных множествах пар натуральных чисел. Чем больше будет таких множеств с доказательствами ВТФ, тем ближе можно приблизиться к доказательству ВТФ на множестве пар всех натуральных чисел.

Определение. Множество Рх состоит из пар натуральных чисел х и y, где х >= y.

И на каждом таком множестве будет доказываться ВТФ для чисел n, где 2 <  n < x.

Равенство x = y является решением ВТФ, поскольку корень n-ной степени из числа 2 (n > 2) не является натуральным числом.

Поэтому получается:

Вывод 1. Доказана ВТФ на всех множествах Рх для пар чисел х и y таких, что х = y.

В дальнейшем для всех множеств Рх принимается следующее условие: х > y.

Тогда множество Рх будет иметь вид некоторой последовательности пар чисел:

     (х, 1), (х, 2), (х, 3), … (х, х-1)

На множестве Рх можно определить уравнение (1) следующим образом:

     x^n + y^n = (x+а)^n                                                            (2),

где а – некоторое натуральное число, а = z – x.

Уравнение (2) преобразуется следующим образом:

     x^n + y^n = x^n +а^n + А                                                    (3),

где А – сумма остальных сомножителей бинома Ньютона для (x+а)^n в натуральных числах.

Каждый сомножитель в сумме А является произведением различных степеней, больших 0, величин х и а и некоторого коэффициента. Следовательно, можно записать, что:

     А = х * а * А1, где А1 – некоторая величина в натуральных числах.   

Тогда получается из уравнения (3) следующее выражение:

     y^n - а^n = х * а * А1                                                                 (4)

Из уравнения (4) следует, что:

- величина y делится на а;

- левая часть уравнения (4) делится на х.

Если окажется, что, либо на всём множестве Рх, либо на отдельных парах чисел х и y, для некоторых чисел n уравнение (4) не имеет решения в целых числах, то для этих комбинаций чисел x, y, n будет доказана ВТФ.

Поэтому необходимо рассмотреть задачи деления левой части уравнения (4).

 

Задача1. Величина y делится на а (а  <<  y).

Если величина y является простым числом, то y не делится на а. Следовательно, ВТФ будет верна для всех пар натуральных чисел, в которых число y будет простым числом, за исключением случая: а = 1.

Рассмотрим случай а = 1.

Тогда уравнение (4) будет иметь вид:

     y^n - 1 = х * А1                    (4а)

 или

    (y^n - 1) mod x = 0                (4б)                                                  

Была составлена программа на Python для изучения соотношения величин для случая, когда а = 1, то есть сравниваются значения (х+1)^n и (x^n + y^n) для различных y < x и для различных n.

Например, на множестве Р11 при n = 3 получается значения для уравнения (4б):

     0, 7, 4, 8, 3, 6, 1, 5, 2, 9.

Из этой последовательности чисел видно, что выражение (4б) не равно 0 на множестве Р11 для n = 3. За исключением значения y = 1, но это значение не рассматривается, так как есть условие: y >> a.

На множестве Р11 при n = 5 получается следующие значения для уравнения (4б):

     0, 9, 0, 0, 0, 9, 9, 9, 0, 9.

Из этой последовательности чисел видно, что выражение (4б) не всегда равно 0 на множестве Р11 для n = 5.

Число 5 получается из числа 11 следующим образом:

     11 - 1 = 2 * 5

То есть, число 5 является сомножителем числа (11 – 1).

В результате рассмотрения уравнения (4б) на различных множествах Рх для различных чисел n был получен:  

Эвристический алгоритм 1: определение на всех множествах Рх значений n, при которых доказана ВТФ для пар чисел этих множеств: чисел х и простых чисел y,

1.Для данного х определяются простые сомножители: х1, х2, х3,…, xm.

2. Для каждого простого сомножителя хj определяются k простых сомножителей числа (xj – 1), кроме 1 и 2.

3.Если число хj является квадратом числа А, то для числа хj сомножителем будет число A .

4.Если число хj является кубом числа А, то у числа хj будет два сомножителя: А и А*А.

5.Если число хj является 4-ой степенью числа А, то у числа хj будет уже три сомножителя: А, А*А и А*А*А.

И т.д.

6.Тогда для каждого такого сомножителя xjk можно будет определить числа последовательности Nxjk:

     nxjkt = nxjk + 2* nxjk * (t – 1), t > 0.

4.Последовательность Nx значений n для множества Рх будет состоять из чисел всех последовательностей Nxj.

5.Из всех нечётных чисел, больших 1, удаляются числа последовательности Nx, в результате получаются значения n, при которых доказана ВТФ для простых чисел y.

Вывод 2. Доказана ВТФ на всех множествах Рх для простых чисел y при нечётных значениях n, которые определяются с помощью эвристического алгоритма 1.

Исследования показали, что при больших значениях n величина (x^n + y^n) не превосходит величину (х+1)^n.

Поэтому появилась следующая задача:

 

Задача 2. Определение значения чисел n, при которых величина (x^n + y^n) не превосходит величину (х+1)^n на множестве Рх.

В этом случае не будет натурального числа а (здесь а < 1), для которого справедливо уравнение (2), и для этого случая доказана ВТФ.

Например, на множестве Р140 при n > 54 для всех пар натуральных чисел на этом множестве верно доказательство ВТФ.

Дальнейшие исследования показали, что для каждого множества Рх при х > 6 можно определить значение nх такое, что для n > nх на множестве Рх верно доказательство ВТФ.

При этом можно составить уравнение для определения величины nx:

nx = bx * x, где bx – некоторый коэффициент.

Оказывается, что для различных значений х коэффициенты bx будут разными.

Например, для x = 10 bx = 0,5, для x = 80 bx = 0,4875, для x = 100 bx = 0,49, для x = 125 bx = 0,488, для x = 200 bx = 0,485, для x = 250 bx = 0,484, для x = 400 bx = 0,4825, для x = 625 bx = 0,38, для x = 1000 bx = 0,481, для x = 1250 bx = 0,4808.

Для всех этих случаев можно принять некоторое общее значение, которое будет заведомо больше, чем все значения nx .Таким значением может быть значение х/2.

Тогда можно сформулировать:

Вывод 3. Доказательство ВТФ верно на всех множествах Рх для всех пар натуральных чисел при значениях n > x/2.

Данный вывод будет несколько сильнее неравенств теоремы Грюнерта (1а). 

 

Задача 3. Разность (y^n - а^n) делится на х.

Для того, чтобы разность (y^n - а^n) делилась на х, необходимо, чтобы эта разность по mod x была равна 0:

     (y^n - а^n) mod x = 0                                                    (5)

или:

     y^n mod x = а^n mod x.                                                  (6)

Была составлена программа на Python проверки условия (6) на различных множествах Рх.

Далее приводится несколько примеров этих исследований.

На множестве Р11 при n = 3, если величина y меняется от 1 до 10, то величины y^3 mod 11 принимают следующие значения:

     1, 8, 5, 9, 4, 7, 2, 6, 3, 10.                                              (7)

Следовательно, условие (6) не может быть выполнено на множестве Р11 при n = 3, поскольку при а << y все значения в (7) различны.

В результате, получаем доказательство ВТФ на множестве Р11 при n = 3.

На множестве Р12 при n = 3, если величина y меняется от 1 до 11, то величины y^3 mod 12 принимают следующие значения:

     1, 8, 3, 4, 5, 0, 7, 8, 9, 4, 11.                                              (8)

В этом случае имеем повторы значений 4 и 8. Следовательно, условие (6) может быть выполнено на множестве Р12 при n = 3

На множестве Р15 при n = 3, если величина y меняется от 1 до 14, то величины y^3 mod 15 принимают следующие значения:

     1, 8, 12, 4, 5, 6, 13, 2, 9, 10, 11, 3, 7, 14.                                 (9)

Следовательно, условие (6) не может быть выполнено на множестве Р15 при n = 3, поскольку при а << y все значения в (8) различны.

В результате, получаем доказательство ВТФ на множестве Р15 при n = 3.

Таким образом, можно рассмотреть выполнение доказательства ВТФ на любом множестве Pх при n = 3.

Были проведены исследования на отдельных множествах Рх для различных значений n.

На множестве Р11 доказательство ВТФ может быть выполнено для следующих нечётных значений n > 2:

     3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, и т.д.

В этой последовательности чисел отсутствуют следующие нечётные числа:

     n = 2 * b +1, b > 0,  и    n != 5 + 10 *(c – 1), c > 0                (10)

Таким образом, на множестве Р11 для нечётных значений n, которые не равны значениям (10), доказана ВТФ.

На множестве Р12 нельзя доказать ВТФ, поскольку для любого значения n имеют место повторы значений y^3 mod 12.

На множестве Р15 доказательство ВТФ может быть выполнено для следующих нечётных значений n > 2:

     3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, и т.д.

В этой последовательности чисел нет отсутствующих нечётных чисел.

Таким образом, на множестве Р15 для всех нечётных значений n доказана ВТФ.

Дальнейшие исследования позволили определить множества Рх, на которых при определённых значениях n, можно доказать ВТФ. Эти множества имеют значения х:

     3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, и т.д. (11)

То есть, из проверяемых 33-х значений х, выбрано 21 значение х.

Если рассматривать значения х до 500, то ВТФ можно доказать на 193-х множествах Рх при определённых значениях n.

Если рассматривать значения х до 1500, то ВТФ можно доказать на 584-х множествах Рх при определённых значениях n.

Если рассматривать значения х до 3000, то ВТФ можно доказать на 1175-х множествах Рх при определённых значениях n.

Если рассматривать значения х до 30000, то ВТФ можно доказать на 11757-х множествах Рх при определённых значениях n.

И этот процесс можно продолжить далее.

Анализ последовательности (11) для большого числа множеств показал, что данную последовательность можно представить в виде эвристического алгоритма. При этом оказалось, что доказать ВТФ можно только в том случае, когда значение х множества Рх не делится на квадраты простых чисел, начиная с 2.

Следовательно, можно сформулировать:

Вывод 4. Если величина х множества Рх не делится на величины квадратов простых чисел (кроме 1), то на таком множестве Рх может быть доказана ВТФ.

В задаче 1 при определении эвристического алгоритма рассматривались только отдельные пары множества Рх: пары, в которых простые числа y.

В задаче 2 рассматривается доказательство ВТФ на всём множестве Рх. Но при этом величина х не должна делиться на квадраты простых чисел.

Рассмотрим величины х, которые делятся на квадраты простых чисел.

На множестве Р12 значения (7а) для величин y^3 mod 12 при n = 3 будут:

     1, 8, 3, 4, 5, 0, 7, 8, 9, 4, 11.         (11)

Величина х = 12 делится на 4. Если в (11) вычеркнуть все числа, расположенные на чётных местах, то останутся значения:

     3, 5, 7, 9, 11        

На множестве Р25 значения (7а) для величин y^3 mod 25 при n = 3 будут:

     1, 8, 2, 14, 0, 16, 18, 12, 4, 0, 6, 3, 22, 19, 0, 21, 13, 7, 9, 0, 11, 23, 17, 24,                (11а)

Анализ последовательности (11) для большого числа множеств показал, что в данной последовательности отсутствуют числа, которые делятся на квадраты простых чисел, начиная с 2.

Следовательно, можно сформулировать:

Вывод 4. Если величина х множества Рх не делится на величины квадратов простых чисел (кроме 1), то на таком множестве Рх может быть доказана ВТФ для определённых значений числа n.

Рассмотрим величины х, которые делятся на квадраты простых чисел.

На множестве Р12 (12 делится на 4) значения (7а) для величин y^3 mod 12 при n = 3 будут:

     1, 8, 3, 4, 5, 0, 7, 8, 9, 4, 11.         (11а)

Если в (11а) вычеркнуть все числа, расположенные на чётных местах (4/2), а это числа 0, то останутся значения:

     3, 5, 7, 9, 11        

На множестве Р25 (25 делится на 25) значения (7а) для величин y^3 mod 25 при n = 3 будут:

     1, 8, 2, 14, 0, 16, 18, 12, 4, 0, 6, 3, 22, 19, 0, 21, 13, 7, 9, 0, 11, 23, 17, 24,                (11б)

Если в (11б) вычеркнуть все числа, расположенные на местах, кратных 5(25/5), а это числа 0, то останутся значения:

     1, 8, 2, 14, 16, 18, 12, 4, 6, 3, 22, 19, 21, 13, 7, 9, 11, 23, 17, 24,

Оказывается, что числа 0 в (11) и в (11а) можно не рассматривать, так как если число x кратно числу y, то 

     x = a * a * b     и     y = a * c.

и доказательство ВТФ определяется уже из уравнений:

    x1 = a * b,     y1 = c,     x1^n + y1^n = z1^n.

Следовательно, на множествах Рх, у которых величина х делится на квадраты простых чисел, можно рассматривать доказательство ВТФ, если на этих множествах не учитывать числа y, которые будут кратны этим простым числам.

Если же число y будет кратно простым числам, на квадраты которых делится значение х, то величины х и y делятся на эти простые числа, и задача доказательства ВТФ будет решаться для других значений х и y.

Вывод 5. Если на множестве Рх число х делится на квадраты простых чисел, то на этом множестве не рассматриваются числа y, значения которых делятся на эти простые числа.

Если значение y делится на простые числа, на квадраты которых делится значение х, то значения х и y  делятся на эти простые числа, и рассматривается задача доказательства ВТФ на новых числах x и y, как следствие, на новом множестве Рх.

Было проведено исследование для различных значений n, с целью определения наибольшего количество множеств Рх, доказывающих ВТФ.

Получилась последовательность количества Рх (из перечня х от 3 до 29), на которых можно доказать ВТФ, для каждого значения величины n, начиная с 3 по 29:

     10, 0, 14, 0, 15, 0, 10, 0, 15, 0, 16, 0, 8, 0,16, 0, 9, 0, 16, 0, 14, 0, 10, 0, 16.

Следовательно, можно сформулировать:

Вывод 6. Задача 3 по доказательству ВТФ на множествах Рх решается только при нечётных значениях величины n.

Согласно выводу 6 значения n, которые будут рассматриваться, получаются следующим образом:

      ni = 2 * i + 1, i > 0                          (12)

Для множества Р11 из последовательности (12) удаляются значения последовательности (10).

Аналогичная ситуация будет для большинства множеств Рх.

Для удобства построения эвристического алгоритма будут рассматриваться последовательности чисел Nx, которые для конкретного множества Рх удаляются из последовательности (12).

Тогда для множества Р11 получается последовательность чисел N11, которые надо вычеркнуть из последовательности (12):

      5, 15, 25,…

Такую последовательность можно описать следующим алгоритмом:

       n11j = 5 + (15 – 5) * (j – 1), j > 0.     (13)

Аналогичная последовательность получается для множеств Р22, Р33, Р44, Р55, Р66 и т.д.

А вот для множества Р77 последовательность N77 включает в себя, помимо последовательности N11 (13), ещё последовательность N7.

Для полноты картины необходимо отметить, что есть «нулевые» последовательности Nx, в которых нет ни одного числа. Такие последовательности существуют для следующих значений числа х:

     3, 5, 6, 10, 15, 17, 30, 34, 51, 85, 102, и т.д.

Такие «нулевые» последовательности будут для чисел х, которые либо простые числа вида 2^k +1, либо являются произведением простых чисел 2^k +1, без учета числа 2.


Проведённый анализ последовательностей Nx позволил описать:
Эвристический алгоритм определения значений n на множестве Рх, при которых можно доказать ВТФ на множестве Рх.

1.Для данного х определяются простые сомножители: х1, х2, х3,…

При этом: если эти простые сомножители образуют квадраты простых чисел

     а1, а2, а3, …     (14)

то значения y, равные значениям (14), на множестве Рх не рассматриваются.

В этом случае доказательство ВТФ осуществляется на множестве Рх1, где:

     х1 = х / а1 / а2  а3 / ….

2.Для каждого простого сомножителя хj определяется последовательность Nxj. Для этого необходимо найти k простых сомножителей числа (xj – 1), кроме 1 и 2.

Тогда для каждого такого сомножителя xjk последовательность Nxjk будет иметь вид:

nxjkt = nxjk + 2* nxjk * (t – 1), t > 0.

Последовательность Nxj будет состоять из чисел последовательностей Nxjk.

3. Последовательность Nx будет состоять из чисел всех последовательностей Nxj.

4.Составляется последовательность чисел Мх (12) при условии, что n < x / 2.

5.Из последовательности Мх удаляются числа последовательности Nx.

6.Оставшиеся числа в последовательности Мх  являются значениями n, при которых на множестве Рх имеет место доказательство ВТФ.

Следовательно, можно сформулировать:

Вывод 7. Для значений х получен эвристический алгоритм определения значений n, при которых доказана ВТФ на множестве Рх.

Эвристические алгоритмы, полученные в задачах 1 и 3, позволяют определять множества Рх, на которых ВТФ доказывается для нечётных чисел n.

Поэтому необходимо рассмотреть следующую задачу:

 

Задача 4. Доказательство ВТФ на множествах Рх при чётных числах n.

Поскольку будут рассматриваться чётные числа n, то число n можно представить следующим образом:

     n = 2 * t, t > 0                                                              (14)

Как известно, если делить квадраты натуральных чисел на 4, то в остатке получаются значения: либо 1, либо 0.

Представляется целесообразным рассмотреть такое же деления произвольных чисел x ^ n на различные целые числа.

Оказывается, что при делении различных степеней натуральных чисел на число 4 получаются следующие значения остатков:

- если значение n чётное, то получается последовательность остатков при увеличении числа х, начиная с 1:

     1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ….            (15)

- если значение n нечётное, то получается последовательность остатков при увеличении числа х, начиная с 1:

     1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, ….            (16)

Если взять множество Р11 при значении п, равном значению (14), то, согласно (15), остаток от деления 11^ n будет равен 1.

Тогда при тех же значениях n для нечётных значений y (y < 11) величина y ^ n при делении на 4 тоже будет иметь в остатке 1.

И если сложить величины  11^ n и y ^ n при нечётном y, а затем разделить сумму на 4, то в остатке получится 2. А в последовательности (15) только числа 0 и 1.

То есть, на множестве Р11 при чётных числах n для пар чисел х = 11 и y, где y – нечётное число, доказана ВТФ.

Аналогично можно доказать ВТФ на любом множестве Рх, где х – нечётное число, при чётных числах n.

Вывод 8. ВТФ доказана при чётных числах n на любом множестве Рх, где х – нечётное число, для пар чисел х и y, где y – нечётное число.

Аналогично можно исследовать последовательность чисел (16).

В этом случае определяются последовательности х1 и х3 чисел 1 и 3. Эти числа появляются с шагом 4, то есть:

х1j = 1 + 4 * (j – 1), j > 0                                            (17)

х3k = 3 + 4 * (k – 1), k > 0                                              (18)

Последовательности остатков (17) и (18) получаются при делении величин x^n на число 4 = 2^2. В этих последовательностях будут только числа 1 и 3 для нечётных чисел х.

Если величины x^n делить на число 8 = 2^3, то в остатках с шагом 8 будут все нечётные числа от 1 до 8 для нечётных чисел х. Остальные значения остатков будут равны 0.

Если величины x^n делить на число 16 = 2^4, то в остатках с шагом 16 будут все нечётные числа от 1 до 16 для нечётных чисел х. Остальные значения остатков будут равны 0.

Данный процесс можно продолжить дальше.

Если складывать нечётные величины x^n и y^n, и эту сумму делить 2^k, то в остатке будет чётное число, что противоречит делению на 2^k, за исключением случая, когда сумма остатков равна 0.

Была составлена программа на Рython для определения такого числа k, чтобы остатки всех сумм на отрезке от 1 до некоторого число Х были не равны 0.

Оказалось, что:

- для чисел от 1 до 500 необходимо применить k = 11;

- для чисел от 1 до 1000 необходимо применить k = 12;

- для чисел от 1 до 2000 необходимо применить k = 13;

- для чисел от 1 до 2500 необходимо применить k = 14;

- для чисел от 1 до 4500 необходимо применить k = 15.

Данный процесс определения чисел k можно продолжить далее, для любых чисел Х.

Следовательно, эвристически доказано, что для любого отрезка натуральных чисел при нечётных числах n можно найти такое число k, что на этом отрезке будет доказана ВТФ для нечётных чисел x и y.

Тогда

Вывод 9. ВТФ доказана при нечётных числах n на любом множестве Рх, где х – нечётное число, для пар чисел х и y, где y – нечётное число.

Выводы 8 и 9 были получены в результате деления произвольных чисел x ^ n на числа 4 и 2^k.

Был проведён анализ по делению произвольных чисел x ^ n на произвольные целые числа.

Пример.

При делении различных степеней натуральных чисел при n =10 на число 11 получаются следующие значения остатков:

     1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1,….                           (19)

То есть, число в последовательности (19), кратное 11, равно 0. Остальные числа – равны 1.

Такая же картина будет при делении на 11, если значения n будут:

     10, 20, 30, 40, …                                                         (20)

Шаг последовательности (20) будет равен 10 или (11 – 1).

В результате получается эвристический алгоритм, который позволяет определить:

-  последовательность чисел nj для чисел n из последовательности (20):

     nj = (11 – 1) * j, j > 0                                                   (21)

- последовательность чисел х0, которые определяют порядковый номер числа 0 в последовательности (19):

     x0k = 11 * k, k > 0.                                                       (22)

Тогда можно сказать, что ВТФ доказана на любом множестве Рх при значениях nj из последовательности (21), если:

- число х не равно числам из последовательности (22);

- в паре чисел х и y на множестве Рх число y не равно числам из последовательности (22).

Оказывается, что данный алгоритм деления на число 11 применим для любых простых чисел, больших 2, при этом последовательность значений остатков, состоящая только из чисел 0 и 1, будет только для чисел n, кратных числу (Р - 1).

Если рассматривать все последовательности чисел вида (21) для разных простых чисел, то оказывается, что эти последовательности могут иметь общие члены последовательностей.

Например, :

- для последовательностей чисел от чисел 5 и 7 общими числами будут 12, 24, 36, …

- для последовательностей чисел от чисел 5 и 11 общими числами будут 20, 40, 60, …

- для последовательностей чисел от чисел 7 и 11 общими числами будут 30, 60, 90, …

Этот процесс можно продолжить.

Получается, что для значения n = 30 ВТФ доказана на множества Рх, если числа х и y не будут кратны и 11, и 7. То есть, не будут кратны числу 7 * 11 = 77.

Получается, что доказана ВТФ на множестве Рх при n = 30 и для х < 77.

Теперь рассмотрим обратную задачу: какие последовательности чисел вида (21) имеют в своём составе некоторое число.

Допустим, имеется чётное число N.

Необходимо определить: к каким последовательностям вида (21) относится это число N.

Для этого определяются все сомножители числа N, и из этих сомножителей составляют все возможные множители А такие, что (А + 1) – простое число.

Произведение всех полученных таким образом множителей определяет число Х.

Тогда будет доказана ВТФ для всех множеств Рх при n = N и для х < Х.

 

Пример: N = 900. Сомножители: 2, 2, 3, 3, 5, 5.

Возможные множители – это различные комбинации произведений сомножителей. Из них нужно выбрать такие множители А, что (А +1) – простое число.

Из всех возможных множителей отбираем следующие множители: 180, 30,18, 10, 6, 2.

Для полученных множителей определяем простые числа: 181, 31, 19, 11, 7, 3.

Произведение полученных простых чисел равно:

Х = 24626679.

Следовательно, ВТФ доказана для всех множеств Рх, где х < 24626679, при n = 900.

Вывод 10. ВТФ доказана при величине чётной степени n для всех множеств Рх, где значение х меньше произведения простых чисел Р таких, что величина (Р – 1) является множителем величины n.

 

Задача 5. Результаты расчётов поиска комбинаций чисел x, y, n, для которых доказана ВТФ.

Были составлены две программы на компьютере с применением языка Python для определения комбинаций чисел x, y, n, для которых доказана ВТФ: одна программа - для чётных чисел n, другая программа - для нечётных чисел n.

Был выбран интервал расчётов для n < x < 1000, где х > 6.

Результаты расчётов для чётных чисел n показали, что:

- всего возможных комбинаций чисел  x, y, n – 164796254;

- количество комбинаций чисел  x, y, n, для которых доказана ВТФ – 159488479;

- количество комбинаций чисел  x, y, n, для которых пока не доказана ВТФ – 5307775.

Результаты расчётов для нечётных чисел n показали, что:

- всего возможных комбинаций чисел  x, y, n – 165543732;

- количество комбинаций чисел  x, y, n, для которых доказана ВТФ – 160976421;

- количество комбинаций чисел  x, y, n, для которых пока не доказана ВТФ – 4567311.


Выводы.

Всё множество пар натуральных чисел разбивается на множества Рх, которые состоят из пар натуральных чисел x и y, где 0 < y =< x.

Великая теорема Ферма доказана для любого множества Рх при определённой последовательности значений степеней n.

Научная новизна.

Разложение всего множества пар натуральных чисел на отдельные множества таких пар позволило доказать ВТФ на всех получаемых при этом множествах при определённой последовательности значений степеней n.

Библиографический список:

1. Ишмухаметов Ш.Т. Методы факторизации натуральных чисел: учебное пособие / Ш.Т. Ишмухаметов.– Казань: Казан. ун. 2011.– 190 с.
2. М.М.Постников. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1978. 128 с.




Комментарии пользователей:

19.01.2021, 9:47 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемые читатели данной статьи! Статья появилась неожиданно. Я часто публиковал рецензии или отзывы по различным статьям в настоящем журнале, в которых обсуждалось доказательство ВТФ. Многое в этих статьях мне не нравилось, тема серьёзная, изобретаются сложные аппараты для доказательства. Не думал, что буду позднее «фермистом». Однако последняя статья уважаемого Паршакова Д.В. натолкнула меня на интересную мысль: «а с чем Вы сравниваете 8^3 + 15^3?». На что был получен ответ; «зачем вообще это делать?». А вот моя попытка определиться с тезисом «а с чем Вы сравниваете 8^3 + 15^3?» привела к определению бесчисленного множества пар натуральных чисел, на которых справедлива ВТФ.


19.01.2021, 16:17 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавил актуальность, научную новизну и примеры для варианта 1.


20.01.2021, 17:13 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавил эвристический алгоритм определения множеств Рх, на которых можно доказать ВТФ (в варианте 2).


22.01.2021, 7:21 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Намного перестроил статью, сменил название, аннотацию, выводы и новизну, а также отдельные моменты статьи.


24.01.2021, 10:33 Немлихер Иосиф Ананьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич. Пощадите за нескромность. Хочу разместить доказательство Гипотезы Била в другом варианте. На аналогичном начальном подходе, но с другим продолжением. Редактировать предыдущую попытку, но тогда отзывы будут не понятны. Ваш совет. Надеюсь на ответ.


25.01.2021, 8:15 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Иосиф Ананьевич! Если Вы хотите применить отдельные моменты настоящей статьи, то это нормально. Только при этом необходимо сослаться на настоящую статью в библиографии. Вместе с тем я повторюсь: мои отзывы к Вашим статья говорят о том, что в Ваших статьях есть ошибочные моменты при доказательствах. На что Вы ответили примерно так: "не волнуйтесь, у меня всё нормально". Обращаю внимание, что применение метода множеств Рх предполагает применение компьютера для доказательства с применением эвристических алгоритмов. А в Ваших доказательствах не рассматривается применение компьютера. С уважением, Усов Геннадий Григорьевич


25.01.2021, 12:43 Немлихер Иосиф Ананьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич, спасибо за ответ и совет. Послал второй вариант. Если разместят, надеюсь услышать ваше мнение. Согласен, что по первому варианту завершающий аккорд не обеспечен.


26.01.2021, 17:49 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Сменил выводы, и закончил статью


5.02.2021, 15:51 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Нашел решения для чисел х, которые делятся на квадраты простых чисел. В результате: новое название, новая аннотация, выводы и некоторая редакция статьи.


9.02.2021, 16:23 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавил доказательство ВТФ для чётных степеней n (задача 3).


19.02.2021, 17:21 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавил результаты расчётов на компьютере для определённого интервала чисел х, y, n.


Оставить комментарий


 
 

Вверх