Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 19.01.2021. Последняя правка: 03.03.2021.
Просмотров - 2703

Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью множеств пар натуральных чисел

Усов Геннадий Григорьевич

к.т.н.

МГУ, 1972

пенсионер

Аннотация:
Великая теорема Ферма доказана для любого натурального числа х и для всех натуральных чисел y, где x > y, при определённой последовательности значений степеней n. Построен эвристический алгоритм, который доказывает Великую теорему Ферма для любых натуральных чисел x, y, n.


Abstract:
Fermat's Last Theorem is proved for any natural number x and for all natural numbers y, where x> y, for a certain sequence of values of powers n. A heuristic algorithm is constructed that proves Fermat's Last Theorem for any natural numbers x, y, n.


Ключевые слова:
Великая теорема Ферма; натуральное число; бином Ньютона; модуль числа

Keywords:
Fermat's Last Theorem; natural number; Newton binomial; modulus of number


УДК 511

Введение

Великой теоремой Ферма (ВТФ) называется утверждение о том, что уравнение:

     x^n + y^n = z^n                                                                        (1)

не имеет решения в целых числах при n > 2 [1].

ВТФ доказал в 1994 году английский математик сэр Эндрю Уайлс. Данное доказательство составляло около 130 страниц [1].

Существуют доказательства для отдельных случаев, когда x и y – небольшие числа : n = 3, n = 4, n = 7, для простых чисел, меньших 100 [1].

Согласно теореме Грюнерта, доказанной в 1856 году, натуральные числа x, y, z, удовлетворяющие уравнению (1) (если такие числа существуют), должны удовлетворять неравенствам [2]:

    x > n,   y > n,   z > n.         (1а)

До сих пор появляется много публикаций, в которых авторы утверждают, что доказали ВТФ, причём намного проще. Однако не было подтверждений, что эти доказательства верны.

Все доказательства ВТФ строились на всём множестве пар натуральных чисел x и y.

В данной статье предлагается для доказательства ВТФ разбить всё множество пар натуральных чисел на множества Рх, которые состоят из пар натуральных чисел x и y, где 0 < y =< x.

И на каждом из этих множеств доказывать ВТФ.

Как известно: "Слона надо есть по кусочкам!"



Актуальность.

Весь предыдущий период, начиная с формулировки своей теоремы Пьером Ферма, не утихают попытки доказательств ВТФ. И эти попытки будут продолжаться, чтобы не говорили математики. Поэтому появляется необходимость в появлении нового подхода к получению доказательства ВТФ.

Новый подход заключается в разбивке множества пар всех натуральных чисел на отдельные множества этих пар, на каждом из которых проще доказывать ВТФ.

Цели и задачи

Основной задачей данной статьи является доказательство ВТФ на отдельных множествах пар натуральных чисел. Чем больше будет таких множеств с доказательствами ВТФ, тем ближе можно приблизиться к доказательству ВТФ на множестве пар всех натуральных чисел.

Определение. Множество Рх состоит из пар натуральных чисел х и y, где х >= y.

И на каждом таком множестве будет доказываться ВТФ для чисел n, где 2 <  n < x.

Равенство x = y является решением ВТФ, поскольку корень n-ной степени из числа 2 (n > 2) не является натуральным числом.

Поэтому получается:

Вывод 1. Доказана ВТФ на всех множествах Рх для пар чисел х и y таких, что х = y.

В дальнейшем для всех множеств Рх принимается следующее условие: х > y.

Тогда множество Рх будет иметь вид некоторой последовательности пар чисел:

     (х, 1), (х, 2), (х, 3), … (х, х-1)

На множестве Рх можно определить уравнение (1) следующим образом:

     x^n + y^n = (x+а)^n                                                            (2),

где а – некоторое натуральное число, а = z – x.

Уравнение (2) преобразуется следующим образом:

     x^n + y^n = x^n +а^n + А                                                    (3),

где А – сумма остальных сомножителей бинома Ньютона для (x+а)^n в натуральных числах.

Каждый сомножитель в сумме А является произведением различных степеней, больших 0, величин х и а и некоторого коэффициента. Следовательно, можно записать, что:

     А = х * а * А1, где А1 – некоторая величина в натуральных числах.   

Тогда получается из уравнения (3) следующее выражение:

     y^n - а^n = х * а * А1                                                                 (4)

Из уравнения (4) следует, что:

- величина y делится на а;

- левая часть уравнения (4) делится на х.

Если окажется, что, либо на всём множестве Рх, либо на отдельных парах чисел х и y, для некоторых чисел n уравнение (4) не имеет решения в целых числах, то для этих комбинаций чисел x, y, n будет доказана ВТФ.

Поэтому необходимо рассмотреть задачи деления левой части уравнения (4).

 

Задача1. Величина y делится на а (а  <<  y).

Если величина y является простым числом, то y не делится на а. Следовательно, ВТФ будет верна для всех пар натуральных чисел, в которых число y будет простым числом, за исключением случая: а = 1.

Рассмотрим случай а = 1.

Тогда уравнение (4) будет иметь вид:

     y^n - 1 = х * А1                    (4а)

 или

    (y^n - 1) mod x = 0                (4б)                                                  

Была составлена программа на Python для изучения соотношения величин для случая, когда а = 1, то есть сравниваются значения (х+1)^n и (x^n + y^n) для различных y < x и для различных n.

Например, на множестве Р11 при n = 3 получается значения для уравнения (4б):

     0, 7, 4, 8, 3, 6, 1, 5, 2, 9.

Из этой последовательности чисел видно, что выражение (4б) не равно 0 на множестве Р11 для n = 3. За исключением значения y = 1, но это значение не рассматривается, так как есть условие: y >> a.

На множестве Р11 при n = 5 получается следующие значения для уравнения (4б):

     0, 9, 0, 0, 0, 9, 9, 9, 0, 9.

Из этой последовательности чисел видно, что выражение (4б) не всегда равно 0 на множестве Р11 для n = 5.

Число 5 получается из числа 11 следующим образом:

     11 - 1 = 2 * 5

То есть, число 5 является сомножителем числа (11 – 1).

В результате рассмотрения уравнения (4б) на различных множествах Рх для различных чисел n был получен:  

Эвристический алгоритм 1: определение на всех множествах Рх значений n, при которых доказана ВТФ для пар чисел этих множеств: чисел х и простых чисел y,

1.Для данного х определяются простые сомножители: х1, х2, х3,…, xm.

2. Для каждого простого сомножителя хj определяются k простых сомножителей числа (xj – 1), кроме 1 и 2.

3.Если число хj является квадратом числа А, то для числа хj сомножителем будет число A .

4.Если число хj является кубом числа А, то у числа хj будет два сомножителя: А и А*А.

5.Если число хj является 4-ой степенью числа А, то у числа хj будет уже три сомножителя: А, А*А и А*А*А.

И т.д.

6.Тогда для каждого такого сомножителя xjk можно будет определить числа последовательности Nxjk:

     nxjkt = nxjk + 2* nxjk * (t – 1), t > 0.

4.Последовательность Nx значений n для множества Рх будет состоять из чисел всех последовательностей Nxj.

5.Из всех нечётных чисел, больших 1, удаляются числа последовательности Nx, в результате получаются значения n, при которых доказана ВТФ для простых чисел y.

Вывод 2. Доказана ВТФ на всех множествах Рх для простых чисел y при нечётных значениях n, которые определяются с помощью эвристического алгоритма 1.

Исследования показали, что при больших значениях n величина (x^n + y^n) не превосходит величину (х+1)^n.

Поэтому появилась следующая задача:

 

Задача 2. Определение значения чисел n, при которых величина (x^n + y^n) не превосходит величину (х+1)^n на множестве Рх.

В этом случае не будет натурального числа а (здесь а < 1), для которого справедливо уравнение (2), и для этого случая доказана ВТФ.

Например, на множестве Р140 при n > 54 для всех пар натуральных чисел на этом множестве верно доказательство ВТФ.

Дальнейшие исследования показали, что для каждого множества Рх при х > 6 можно определить значение nх такое, что для n > nх на множестве Рх верно доказательство ВТФ.

При этом можно составить уравнение для определения величины nx:

nx = bx * x, где bx – некоторый коэффициент.

Оказывается, что для различных значений х коэффициенты bx будут разными.

Например, для x = 10 bx = 0,5, для x = 80 bx = 0,4875, для x = 100 bx = 0,49, для x = 125 bx = 0,488, для x = 200 bx = 0,485, для x = 250 bx = 0,484, для x = 400 bx = 0,4825, для x = 625 bx = 0,38, для x = 1000 bx = 0,481, для x = 1250 bx = 0,4808.

Для всех этих случаев можно принять некоторое общее значение, которое будет заведомо больше, чем все значения nx .Таким значением может быть значение х/2.

Тогда можно сформулировать:

Вывод 3. Доказательство ВТФ верно на всех множествах Рх для всех пар натуральных чисел при значениях n > x/2.

Данный вывод будет несколько сильнее неравенств теоремы Грюнерта (1а). 

 

Задача 3. Разность (y^n - а^n) делится на х.

Для того, чтобы разность (y^n - а^n) делилась на х, необходимо, чтобы эта разность по mod x была равна 0:

     (y^n - а^n) mod x = 0                                                    (5)

или:

     y^n mod x = а^n mod x.                                                  (6)

Была составлена программа на Python проверки условия (6) на различных множествах Рх.

Далее приводится несколько примеров этих исследований.

На множестве Р11 при n = 3, если величина y меняется от 1 до 10, то величины y^3 mod 11 принимают следующие значения:

     1, 8, 5, 9, 4, 7, 2, 6, 3, 10.                                              (7)

Следовательно, условие (6) не может быть выполнено на множестве Р11 при n = 3, поскольку при а << y все значения в (7) различны.

В результате, получаем доказательство ВТФ на множестве Р11 при n = 3.

На множестве Р12 при n = 3, если величина y меняется от 1 до 11, то величины y^3 mod 12 принимают следующие значения:

     1, 8, 3, 4, 5, 0, 7, 8, 9, 4, 11.                                              (8)

В этом случае имеем повторы значений 4 и 8. Следовательно, условие (6) может быть выполнено на множестве Р12 при n = 3

На множестве Р15 при n = 3, если величина y меняется от 1 до 14, то величины y^3 mod 15 принимают следующие значения:

     1, 8, 12, 4, 5, 6, 13, 2, 9, 10, 11, 3, 7, 14.                                 (9)

Следовательно, условие (6) не может быть выполнено на множестве Р15 при n = 3, поскольку при а << y все значения в (8) различны.

В результате, получаем доказательство ВТФ на множестве Р15 при n = 3.

Таким образом, можно рассмотреть выполнение доказательства ВТФ на любом множестве Pх при n = 3.

Были проведены исследования на отдельных множествах Рх для различных значений n.

На множестве Р11 доказательство ВТФ может быть выполнено для следующих нечётных значений n > 2:

     3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, и т.д.

В этой последовательности чисел отсутствуют следующие нечётные числа:

     n = 2 * b +1, b > 0,  и    n != 5 + 10 *(c – 1), c > 0                (10)

Таким образом, на множестве Р11 для нечётных значений n, которые не равны значениям (10), доказана ВТФ.

На множестве Р12 нельзя доказать ВТФ, поскольку для любого значения n имеют место повторы значений y^3 mod 12.

На множестве Р15 доказательство ВТФ может быть выполнено для следующих нечётных значений n > 2:

     3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, и т.д.

В этой последовательности чисел нет отсутствующих нечётных чисел.

Таким образом, на множестве Р15 для всех нечётных значений n доказана ВТФ.

Дальнейшие исследования позволили определить множества Рх, на которых при определённых значениях n, можно доказать ВТФ. Эти множества имеют значения х:

     3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, и т.д. (11)

То есть, из проверяемых 33-х значений х, выбрано 21 значение х.

Если рассматривать значения х до 500, то ВТФ можно доказать на 193-х множествах Рх при определённых значениях n.

Если рассматривать значения х до 1500, то ВТФ можно доказать на 584-х множествах Рх при определённых значениях n.

Если рассматривать значения х до 3000, то ВТФ можно доказать на 1175-х множествах Рх при определённых значениях n.

Если рассматривать значения х до 30000, то ВТФ можно доказать на 11757-х множествах Рх при определённых значениях n.

И этот процесс можно продолжить далее.

Анализ последовательности (11) для большого числа множеств показал, что данную последовательность можно представить в виде эвристического алгоритма. При этом оказалось, что доказать ВТФ можно только в том случае, когда значение х множества Рх не делится на квадраты простых чисел, начиная с 2.

Следовательно, можно сформулировать:

Вывод 4. Если величина х множества Рх не делится на величины квадратов простых чисел (кроме 1), то на таком множестве Рх может быть доказана ВТФ.

В задаче 1 при определении эвристического алгоритма рассматривались только отдельные пары множества Рх: пары, в которых простые числа y.

В задаче 2 рассматривается доказательство ВТФ на всём множестве Рх. Но при этом величина х не должна делиться на квадраты простых чисел.

Рассмотрим величины х, которые делятся на квадраты простых чисел.

На множестве Р12 значения (7а) для величин y^3 mod 12 при n = 3 будут:

     1, 8, 3, 4, 5, 0, 7, 8, 9, 4, 11.         (11)

Величина х = 12 делится на 4. Если в (11) вычеркнуть все числа, расположенные на чётных местах, то останутся значения:

     3, 5, 7, 9, 11        

На множестве Р25 значения (7а) для величин y^3 mod 25 при n = 3 будут:

     1, 8, 2, 14, 0, 16, 18, 12, 4, 0, 6, 3, 22, 19, 0, 21, 13, 7, 9, 0, 11, 23, 17, 24,                (11а)

Анализ последовательности (11) для большого числа множеств показал, что в данной последовательности отсутствуют числа, которые делятся на квадраты простых чисел, начиная с 2.

Следовательно, можно сформулировать:

Вывод 4. Если величина х множества Рх не делится на величины квадратов простых чисел (кроме 1), то на таком множестве Рх может быть доказана ВТФ для определённых значений числа n.

Рассмотрим величины х, которые делятся на квадраты простых чисел.

На множестве Р12 (12 делится на 4) значения (7а) для величин y^3 mod 12 при n = 3 будут:

     1, 8, 3, 4, 5, 0, 7, 8, 9, 4, 11.         (11а)

Если в (11а) вычеркнуть все числа, расположенные на чётных местах (4/2), а это числа 0, то останутся значения:

     3, 5, 7, 9, 11        

На множестве Р25 (25 делится на 25) значения (7а) для величин y^3 mod 25 при n = 3 будут:

     1, 8, 2, 14, 0, 16, 18, 12, 4, 0, 6, 3, 22, 19, 0, 21, 13, 7, 9, 0, 11, 23, 17, 24,                (11б)

Если в (11б) вычеркнуть все числа, расположенные на местах, кратных 5(25/5), а это числа 0, то останутся значения:

     1, 8, 2, 14, 16, 18, 12, 4, 6, 3, 22, 19, 21, 13, 7, 9, 11, 23, 17, 24,

Оказывается, что числа 0 в (11) и в (11а) можно не рассматривать, так как если число x кратно числу y, то 

     x = a * a * b     и     y = a * c.

и доказательство ВТФ определяется уже из уравнений:

    x1 = a * b,     y1 = c,     x1^n + y1^n = z1^n.

Следовательно, на множествах Рх, у которых величина х делится на квадраты простых чисел, можно рассматривать доказательство ВТФ, если на этих множествах не учитывать числа y, которые будут кратны этим простым числам.

Если же число y будет кратно простым числам, на квадраты которых делится значение х, то величины х и y делятся на эти простые числа, и задача доказательства ВТФ будет решаться для других значений х и y.

Вывод 5. Если на множестве Рх число х делится на квадраты простых чисел, то на этом множестве не рассматриваются числа y, значения которых делятся на эти простые числа.

Если значение y делится на простые числа, на квадраты которых делится значение х, то значения х и y  делятся на эти простые числа, и рассматривается задача доказательства ВТФ на новых числах x и y, как следствие, на новом множестве Рх.

Было проведено исследование для различных значений n, с целью определения наибольшего количество множеств Рх, доказывающих ВТФ.

Получилась последовательность количества Рх (из перечня х от 3 до 29), на которых можно доказать ВТФ, для каждого значения величины n, начиная с 3 по 29:

     10, 0, 14, 0, 15, 0, 10, 0, 15, 0, 16, 0, 8, 0,16, 0, 9, 0, 16, 0, 14, 0, 10, 0, 16.

Следовательно, можно сформулировать:

Вывод 6. Задача 3 по доказательству ВТФ на множествах Рх решается только при нечётных значениях величины n.

Согласно выводу 6 значения n, которые будут рассматриваться, получаются следующим образом:

      ni = 2 * i + 1, i > 0                          (12)

Для множества Р11 из последовательности (12) удаляются значения последовательности (10).

Аналогичная ситуация будет для большинства множеств Рх.

Для удобства построения эвристического алгоритма будут рассматриваться последовательности чисел Nx, которые для конкретного множества Рх удаляются из последовательности (12).

Тогда для множества Р11 получается последовательность чисел N11, которые надо вычеркнуть из последовательности (12):

      5, 15, 25,…

Такую последовательность можно описать следующим алгоритмом:

       n11j = 5 + (15 – 5) * (j – 1), j > 0.     (13)

Аналогичная последовательность получается для множеств Р22, Р33, Р44, Р55, Р66 и т.д.

А вот для множества Р77 последовательность N77 включает в себя, помимо последовательности N11 (13), ещё последовательность N7.

Для полноты картины необходимо отметить, что есть «нулевые» последовательности Nx, в которых нет ни одного числа. Такие последовательности существуют для следующих значений числа х:

     3, 5, 6, 10, 15, 17, 30, 34, 51, 85, 102, и т.д.

Такие «нулевые» последовательности будут для чисел х, которые либо простые числа вида 2^k +1, либо являются произведением простых чисел 2^k +1, без учета числа 2.


Проведённый анализ последовательностей Nx позволил описать:
Эвристический алгоритм определения значений n на множестве Рх, при которых можно доказать ВТФ на множестве Рх.

1.Для данного х определяются простые сомножители: х1, х2, х3,…

При этом: если эти простые сомножители образуют квадраты простых чисел

     а1, а2, а3, …     (14)

то значения y, равные значениям (14), на множестве Рх не рассматриваются.

В этом случае доказательство ВТФ осуществляется на множестве Рх1, где:

     х1 = х / а1 / а2  а3 / ….

2.Для каждого простого сомножителя хj определяется последовательность Nxj. Для этого необходимо найти k простых сомножителей числа (xj – 1), кроме 1 и 2.

Тогда для каждого такого сомножителя xjk последовательность Nxjk будет иметь вид:

nxjkt = nxjk + 2* nxjk * (t – 1), t > 0.

Последовательность Nxj будет состоять из чисел последовательностей Nxjk.

3. Последовательность Nx будет состоять из чисел всех последовательностей Nxj.

4.Составляется последовательность чисел Мх (12) при условии, что n < x / 2.

5.Из последовательности Мх удаляются числа последовательности Nx.

6.Оставшиеся числа в последовательности Мх  являются значениями n, при которых на множестве Рх имеет место доказательство ВТФ.

Следовательно, можно сформулировать:

Вывод 7. Для значений х получен эвристический алгоритм определения значений n, при которых доказана ВТФ на множестве Рх.

Эвристические алгоритмы, полученные в задачах 1 и 3, позволяют определять множества Рх, на которых ВТФ доказывается для нечётных чисел n.

Поэтому необходимо рассмотреть следующую задачу:

 

Задача 4. Доказательство ВТФ на множествах Рх при чётных числах n.

Поскольку будут рассматриваться чётные числа n, то число n можно представить следующим образом:

     n = 2 * t, t > 0                                                              (14)

Как известно, если делить квадраты натуральных чисел на 4, то в остатке получаются значения: либо 1, либо 0.

Представляется целесообразным рассмотреть такое же деления произвольных чисел x ^ n на различные целые числа.

Оказывается, что при делении различных степеней натуральных чисел на число 4 получаются следующие значения остатков:

- если значение n чётное, то получается последовательность остатков при увеличении числа х, начиная с 1:

     1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ….            (15)

- если значение n нечётное, то получается последовательность остатков при увеличении числа х, начиная с 1:

     1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, ….            (16)

Если взять множество Р11 при значении п, равном значению (14), то, согласно (15), остаток от деления 11^ n будет равен 1.

Тогда при тех же значениях n для нечётных значений y (y < 11) величина y ^ n при делении на 4 тоже будет иметь в остатке 1.

И если сложить величины  11^ n и y ^ n при нечётном y, а затем разделить сумму на 4, то в остатке получится 2. А в последовательности (15) только числа 0 и 1.

То есть, на множестве Р11 при чётных числах n для пар чисел х = 11 и y, где y – нечётное число, доказана ВТФ.

Аналогично можно доказать ВТФ на любом множестве Рх, где х – нечётное число, при чётных числах n.

Вывод 8. ВТФ доказана при чётных числах n на любом множестве Рх, где х – нечётное число, для пар чисел х и y, где y – нечётное число.

Аналогично можно исследовать последовательность чисел (16).

В этом случае определяются последовательности х1 и х3 чисел 1 и 3. Эти числа появляются с шагом 4, то есть:

х1j = 1 + 4 * (j – 1), j > 0                                            (17)

х3k = 3 + 4 * (k – 1), k > 0                                              (18)

Последовательности остатков (17) и (18) получаются при делении величин x^n на число 4 = 2^2. В этих последовательностях будут только числа 1 и 3 для нечётных чисел х.

Если величины x^n делить на число 8 = 2^3, то в остатках с шагом 8 будут все нечётные числа от 1 до 8 для нечётных чисел х. Остальные значения остатков будут равны 0.

Если величины x^n делить на число 16 = 2^4, то в остатках с шагом 16 будут все нечётные числа от 1 до 16 для нечётных чисел х. Остальные значения остатков будут равны 0.

Данный процесс можно продолжить дальше.

Если складывать нечётные величины x^n и y^n, и эту сумму делить 2^k, то в остатке будет чётное число, что противоречит делению на 2^k, за исключением случая, когда сумма остатков равна 0.

Была составлена программа на Рython для определения такого числа k, чтобы остатки всех сумм на отрезке от 1 до некоторого число Х были не равны 0.

Оказалось, что:

- для чисел от 1 до 500 необходимо применить k = 11;

- для чисел от 1 до 1000 необходимо применить k = 12;

- для чисел от 1 до 2000 необходимо применить k = 13;

- для чисел от 1 до 2500 необходимо применить k = 14;

- для чисел от 1 до 4500 необходимо применить k = 15.

Данный процесс определения чисел k можно продолжить далее, для любых чисел Х.

Следовательно, эвристически доказано, что для любого отрезка натуральных чисел при нечётных числах n можно найти такое число k, что на этом отрезке будет доказана ВТФ для нечётных чисел x и y.

Тогда

Вывод 9. ВТФ доказана при нечётных числах n на любом множестве Рх, где х – нечётное число, для пар чисел х и y, где y – нечётное число.

Выводы 8 и 9 были получены в результате деления произвольных чисел x ^ n на числа 4 и 2^k.

Был проведён анализ по делению произвольных чисел x ^ n на произвольные целые числа.

Пример.

При делении различных степеней натуральных чисел при n =10 на число 11 получаются следующие значения остатков:

     1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1,….                           (19)

То есть, число в последовательности (19), кратное 11, равно 0. Остальные числа – равны 1.

Такая же картина будет при делении на 11, если значения n будут:

     10, 20, 30, 40, …                                                         (20)

Шаг последовательности (20) будет равен 10 или (11 – 1).

В результате получается эвристический алгоритм, который позволяет определить:

-  последовательность чисел nj для чисел n из последовательности (20):

     nj = (11 – 1) * j, j > 0                                                   (21)

- последовательность чисел х0, которые определяют порядковый номер числа 0 в последовательности (19):

     x0k = 11 * k, k > 0.                                                       (22)

Тогда можно сказать, что ВТФ доказана на любом множестве Рх при значениях nj из последовательности (21), если:

- число х не равно числам из последовательности (22);

- в паре чисел х и y на множестве Рх число y не равно числам из последовательности (22).

Оказывается, что данный алгоритм деления на число q = 11 применим для любых простых чисел q, больших 2, при этом последовательность значений остатков, состоящая только из чисел 0 и 1, будет только для чисел n, кратных числу (q - 1).

Если рассматривать все последовательности чисел вида (21) для разных простых чисел, то оказывается, что эти последовательности могут иметь общие члены последовательностей.

Например, :

- для последовательностей чисел от чисел 5 и 7 общими числами будут 12, 24, 36, …

- для последовательностей чисел от чисел 5 и 11 общими числами будут 20, 40, 60, …

- для последовательностей чисел от чисел 7 и 11 общими числами будут 30, 60, 90, …

Этот процесс можно продолжить.

Получается, что для значения n = 30 ВТФ доказана на множества Рх, если числа х и y не будут кратны и 11, и 7. То есть, не будут кратны числу 7 * 11 = 77.

Получается, что доказана ВТФ на множестве Рх при n = 30 и для х < 77.

Теперь рассмотрим обратную задачу: какие последовательности чисел вида (21) имеют в своём составе некоторое число.

Допустим, имеется чётное число N.

Необходимо определить: к каким последовательностям вида (21) относится это число N.

Для этого определяются все сомножители числа N, и из этих сомножителей составляют все возможные множители А такие, что (А + 1) – простое число.

Произведение всех полученных таким образом множителей определяет число Х.

Тогда будет доказана ВТФ для всех множеств Рх при n = N и для х < Х.

 

Пример: N = 900. Сомножители: 2, 2, 3, 3, 5, 5.

Возможные множители – это различные комбинации произведений сомножителей. Из них нужно выбрать такие множители А, что (А +1) – простое число.

Из всех возможных множителей отбираем следующие множители: 180, 30,18, 10, 6, 2.

Для полученных множителей определяем простые числа: 181, 31, 19, 11, 7, 3.

Произведение полученных простых чисел равно:

Q = 24626679.

Следовательно, ВТФ доказана для всех множеств Рх, где х < Q = 24626679, при n = 900.

Вывод 10. ВТФ доказана при величине чётной степени n для всех множеств Рх, где значение х меньше величины Q, равной произведению простых чисел q таких, что величина (q – 1) является множителем величины n.

Последовательности, аналогичные последовательности (19), будут состоять из чисел 1 и 0, причём числа 0 будут иметь порядковый номер, кратный числу Q.

Если взять такие последовательности чисел 1 и 0 при степени n, и взять такие числа х и y, что числа x^n mod Q = 1 и y^n mod Q = 1, то получаем сумму:

     (x^n + y^n) mod Q = 2

С другой стороны, согласно уравнению (1), значение z^n mod Q должно принадлежать той же последовательности чисел, и принимать значения либо 1, либо 0.

Имеем противоречие.

Следовательно, для таких чисел x и y доказана ВТФ.

Поэтому вывод 10 можно распространить на всё множество натуральных чисел:

Вывод 11. ВТФ доказана для всех пар натуральных чисел х и y при следующих условиях:

- наличие чётной степени числа n;

- числа х и y не будут кратными величине Q, где величина Q равна произведению простых чисел q, для которых величина (q – 1) будет множителем числа n;

 

В выводе 10 была доказана ВТФ при чётной степени n для всех множеств Рх, где значение х меньше произведения простых чисел q таких, что величина (q – 1) является множителем величины n.

Такую же задачу можно решить и для нечётных чисел n.

 

Задача 5. Доказательство ВТФ на множествах Рх при нечётных числах n.

Вывод 10 можно записать следующим образом:

     x^n mod Q = 1,                                                   (23)

где x < Q и Q – произведения простых чисел q таких, что величина (q – 1) является множителем величины n.

Если умножить правую и левую части уравнения (23) на число х, то получается уравнение:

     x^(n + 1) mod Q = х                                            (24)

Если построить множество Рх1 такое, что x1 < Q, то тогда для этого множества при степени n будет решена ВТФ.

Для этого на множестве Рх1 выбирается пара чисел х1 и y таких, что y < x1. Если подставить эти значения в уравнение (2), и решить это уравнение по модулю Q, то получается, что a = y при значении n. А это не может быть в силу условия задачи 1:а  <<  y.

Следовательно, получаем:

Вывод 12. ВТФ доказана при величине нечётной степени n для всех множеств Рх, где значение х меньше величины Q, равной произведению простых чисел q таких, что величина (q – 1) является множителем величины (n - 1).

Пример:

Если n = 8401,
то ВТФ доказана на всех множествах Рх
для n = 8401 и

при х < Q = 15360926145700225177993898668252031309861655165130148535.

 

Задача 6. Результаты расчётов по поиску комбинаций чисел x, y, n, для которых доказана  ВТФ.

Были составлены две программы на компьютере с применением языка Python для определения комбинаций чисел x, y, n, для которых доказана ВТФ: одна программа - для чётных чисел n, другая программа - для нечётных чисел n.

Был выбран интервал расчётов для n < x < 1000, где х > 6.

Результаты расчётов для чётных чисел n показали, что:

- всего возможных комбинаций чисел  x, y, n – 164796254;

- количество комбинаций чисел  x, y, n, для которых доказана ВТФ – 159488479;

- количество комбинаций чисел  x, y, n, для которых пока не доказана ВТФ – 5307775.

Результаты расчётов для нечётных чисел n показали, что:

- всего возможных комбинаций чисел  x, y, n – 165543732;

- количество комбинаций чисел  x, y, n, для которых доказана ВТФ – 160976421;

- количество комбинаций чисел  x, y, n, для которых пока не доказана ВТФ – 4567311.

Данные расчёты были проведены на основании эвристических алгоритмов, которые позволяют определить комбинации чисел x, y, n, для которых доказана ВТФ.

Однако остаётся ещё некоторое количество комбинаций чисел x, y, n, для которых пока нет эвристического алгоритма, доказывающего ВТФ для этих чисел.

Поэтому необходимо рассмотреть задачу:

 

Задача 7. Построение эвристического алгоритма, который доказывает ВТФ для любых натуральных чисел x, y, n.

Большинство эвристических алгоритмов, перечисленных в настоящей статье, основываются на уравнении (4), где рассматривается делимость левой части уравнения на числа х и а.

Теперь необходимо вернуться к уравнению (2) на множестве Рх:

     x^n + y^n = (x+а)^n , а < y.                                                           (25)

 

Если делить все члены уравнения (25) на некоторое число u, которое порядка числа х для множества Рх, то с большой долей вероятности остатки по mod правой и левой части будут совпадать, поскольку сравниваются только числа, меньшие числа u, и количество которых u.

Например, если рассматривать величины уравнения (25) при делении по mod 11 на множестве Р11, то все 3 члена этого уравнения принимают значения от 0 до 10, как в правой части, так и в левой части уравнения.

Если же рассматривать величины уравнения (25) при делении по mod (Q) на множестве Р11, где Q = 11 * 11, то получаются 11 чисел, как в правой части, так и в левой части уравнения, которые принимают значения от 1 до 121. При этом уже меньше вероятность того, что правая и левая части уравнения (25) при делении по mod (Q) совпадают. 

Был проведён расчёт по применению различных делителей Q на различных множествах Рх с целью определению таких делителей, при делении на которые правые и левые части уравнения (25) не будут совпадать для всех чисел а, y и n.

Тогда с помощью таких делителей Q будет доказана ВТФ на конкретных множествах Рх.

Были получены следующие результаты на компьютере с применением языка Python:

Если число Q = 2 * 3 = 6, то для всех множеств Рх, где х < 8, доказана ВТФ при любом числе n.

Если число Q = 2 * 3 * 5 = 30, то для всех множеств Рх, где х < 9, доказана ВТФ при любом числе n.

Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 = 210, то для всех множеств Рх, где х < 13, доказана ВТФ при любом числе n.

Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 2310, то для всех множеств Рх, где х < 21, доказана ВТФ при любом числе n.

Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 30030, то для всех множеств Рх, где х < 25, доказана ВТФ при любом числе n.

Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 = 510510, то для всех множеств Рх, где х < 33, доказана ВТФ при любом числе n.

Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 = 9699690, то для всех множеств Рх, где х < 76, доказана ВТФ при любом числе n.

Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 = 223092870, то для всех множеств Рх, где х < 207, доказана ВТФ при любом числе n.

Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 = 6469693230, то для всех множеств Рх, где х < 406, доказана ВТФ при любом числе n.

Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 = 200560490130, то для всех множеств Рх, где х < 551, доказана ВТФ при любом числе n.

Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 = 7420738134810, то для всех множеств Рх, где х < 782, доказана ВТФ при любом числе n.

Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 = 13082761331670030, то для всех множеств Рх, где х < 1885, доказана ВТФ при любом числе n. При этом добавление числа 41 пока не дало увеличения числа х для множества Рх, где доказана ВТФ.

Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 = 614889782588491410, то для всех множеств Рх, где х < 3196, доказана ВТФ при любом числе n.

 Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 * 53 = 32589158477190044730, то для всех множеств Рх, где х < 4350 (предварительно), доказана ВТФ при любом числе n.

Данные расчёты можно продолжить для последующих простых чисел.

При этом окажется, что, увеличивая количества простых чисел в произведении числа Q, можно вместо ранее найденного числа x1 найти новое х2, где х2 > x1, такое, что для всех множеств Рх, где x < x2, будет доказана ВТФ.

В результате этих расчётов можно построить:

 

Эвристический алгоритм, который  доказывает ВТФ для любых натуральных чисел x, y, n.

Уравнение ВТФ (1) на множестве пар натуральных чисел Рх, где y < x, можно представить в следующем виде:

     x^n + y^n = (x+а)^n,

где a – натуральное число, а < y.                                                          

Тогда для любого множества Рх можно найти произведение Q простых чисел такое, что

     x^n mod Q + y^n mod Q

не будет равно

     (x+а)^n  mod Q

для любых чисел y и n и для любых натуральных чисел а, a < y.

Следовательно, на любом множестве Рх для любых чисел n уравнение:

     x^n + y^n = z^n, где z = x + a,

не имеет целочисленного решения.

Что доказывает ВТФ на всех множествах Рх для любых степеней n. А поскольку все множества пар натуральных чисел Рх объединяют все пары натуральных чисел, то ВТФ доказана для всех пар натуральных чисел для любых степеней n.


Выводы.

Всё множество пар натуральных чисел разбивается на множества Рх, которые состоят из пар натуральных чисел x и y, где 0 < y =< x.

Великая теорема Ферма доказана для любого множества Рх при определённой последовательности значений степеней n.

Построен эвристический алгоритм, который доказывает ВТФ для любых натуральных чисел x, y, n.

Научная новизна.

Разложение всего множества пар натуральных чисел на отдельные множества таких пар позволило доказать ВТФ на всех получаемых при этом множествах при определённой последовательности значений степеней n.

Построен эвристический алгоритм, который доказывает ВТФ для любых натуральных чисел x, y, n.

Библиографический список:

1. Ишмухаметов Ш.Т. Методы факторизации натуральных чисел: учебное пособие / Ш.Т. Ишмухаметов.– Казань: Казан. ун. 2011.– 190 с.
2. М.М.Постников. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1978. 128 с.




Комментарии пользователей:

19.01.2021, 9:47 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемые читатели данной статьи! Статья появилась неожиданно. Я часто публиковал рецензии или отзывы по различным статьям в настоящем журнале, в которых обсуждалось доказательство ВТФ. Многое в этих статьях мне не нравилось, тема серьёзная, изобретаются сложные аппараты для доказательства. Не думал, что буду позднее «фермистом». Однако последняя статья уважаемого Паршакова Д.В. натолкнула меня на интересную мысль: «а с чем Вы сравниваете 8^3 + 15^3?». На что был получен ответ; «зачем вообще это делать?». А вот моя попытка определиться с тезисом «а с чем Вы сравниваете 8^3 + 15^3?» привела к определению бесчисленного множества пар натуральных чисел, на которых справедлива ВТФ.


19.01.2021, 16:17 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавил актуальность, научную новизну и примеры для варианта 1.


20.01.2021, 17:13 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавил эвристический алгоритм определения множеств Рх, на которых можно доказать ВТФ (в варианте 2).


22.01.2021, 7:21 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Намного перестроил статью, сменил название, аннотацию, выводы и новизну, а также отдельные моменты статьи.


24.01.2021, 10:33 Немлихер Иосиф Ананьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич. Пощадите за нескромность. Хочу разместить доказательство Гипотезы Била в другом варианте. На аналогичном начальном подходе, но с другим продолжением. Редактировать предыдущую попытку, но тогда отзывы будут не понятны. Ваш совет. Надеюсь на ответ.


25.01.2021, 8:15 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Иосиф Ананьевич! Если Вы хотите применить отдельные моменты настоящей статьи, то это нормально. Только при этом необходимо сослаться на настоящую статью в библиографии. Вместе с тем я повторюсь: мои отзывы к Вашим статья говорят о том, что в Ваших статьях есть ошибочные моменты при доказательствах. На что Вы ответили примерно так: "не волнуйтесь, у меня всё нормально". Обращаю внимание, что применение метода множеств Рх предполагает применение компьютера для доказательства с применением эвристических алгоритмов. А в Ваших доказательствах не рассматривается применение компьютера. С уважением, Усов Геннадий Григорьевич


25.01.2021, 12:43 Немлихер Иосиф Ананьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич, спасибо за ответ и совет. Послал второй вариант. Если разместят, надеюсь услышать ваше мнение. Согласен, что по первому варианту завершающий аккорд не обеспечен.


26.01.2021, 17:49 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Сменил выводы, и закончил статью


5.02.2021, 15:51 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Нашел решения для чисел х, которые делятся на квадраты простых чисел. В результате: новое название, новая аннотация, выводы и некоторая редакция статьи.


9.02.2021, 16:23 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавил доказательство ВТФ для чётных степеней n (задача 3).


19.02.2021, 17:21 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавил результаты расчётов на компьютере для определённого интервала чисел х, y, n.


28.02.2021, 20:35 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавил выводы 11 и 12


3.03.2021, 18:23 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Построен эвристический алгоритм, который доказывает ВТФ для любых натуральных чисел x, y, n (Задача 7). Изменено название статьи, аннотация, выводы и научная новизна.


9.03.2021, 7:33 Портон Виктор Львович
Отзыв: "Построен эвристический алгоритм, который доказывает Великую теорему Ферма для любых натуральных чисел x, y, n." - неоднозначная фраза на русском языке. Означает ли это, что вы нашли доказательство того, что Ваш алоритм найдет доказательство этой теоремы (и как следствие, что теорема ферма доказуема - доказана Вами)? Или это просто означает, что ваш алгоритм пытается найти доказательство? И еще не нашел на вашем компьютере? Ваша формулировка ДОЛЖНА быть откорректирована. Я призываю рецензентов удалить вашу статью, если Вы не сформулируете четко, утвеерждаете ли Вы, что доказали ВТФ этой статьей уже. Если Вы ее, действительно, доказали - это очень странно: миллион людей пытался найти короткое доказательство и Вам вдруг это удалось... читать не хочется, потому что не верю, но вдруг... вопрос к рецензентам.


10.03.2021, 13:14 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Виктор Львович! Вы не заметили две важные фразы в статье: « с помощью множеств пар натуральных чисел» и «Слона надо есть по кусочкам». Вы говорите о миллионе людей, а ведь они доказывали ВТФ на всём бесконечном множестве пар натуральных чисел. Я же предлагаю рассмотреть доказательство ВТФ на отдельных конечных множествах пар натуральных чисел и уже потом распространить это доказательство на всё множество пар натуральных чисел. На множестве пар натуральных чисел Рх : х – постоянный, y < x, n < y. Величина z не превышает значение 3*х / 2. Если правую и левую части уравнения ВТФ разделить по mod на большое число (у меня – это Q - произведение простых чисел, которое подбирается для Рх), то остатки по mod этих частей не будут совпадать для всех пар х и y из множества Рх для любых n < x. При увеличении количества простых чисел в произведении Q можно увидеть несовпадения правой и левой части уравнения ВТФ для множеств Рх с большей величиной числа х. Что говорит о том, что для любого множества Рх можно построить такое число Q, что правая и левая части уравнения ВТФ для всех пар чисел множества Рх при любых n < x будут не совпадать по mod Q. Что доказывает ВТФ.


10.03.2021, 17:25 Портон Виктор Львович
Отзыв: То есть, Вы таки утверждаете, что доказали ВТФ, причем элементарно? Если бы я думал, что Вы, наверно, действительно, это сделали, то я бы выделил время разобраться в Вашем доказетельстве... но я на это время не выделяю. В конце концов, это функция рецензентв, коим я не являюсь. P.S. Миллион людей доказывали очень разными способами, определенно и "по кусочкам" тоже.


12.03.2021, 6:28 Портон Виктор Львович
Отзыв: А почему отсутсвует ссылка на программу на Пайтоне? Вроде, в ней особого секрета нет, а Вы ее, вроде как, скрыли.


13.03.2021, 16:37 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Виктор Львович! Как правило, в научных статьях редко публикуют тексты программ. Надеюсь, что для Вас не составляет большого труда составить простую программу на 15-20 строчек по делению по mod правой и левой частей уравнений (1) и (2), где перебираются числа x, y, a, n, mod Q. Пока для небольших чисел.


15.03.2021, 5:45 Портон Виктор Львович
Отзыв: Труда не составляет, но мое время сколько-то стоит. "Редко" не релевантно (и не правда). Ничего не мешает всё-таки вставить программу в текст или выгрузить ее куда-то: например, выгрузить через https://pinata.cloud - это "вечный" (пока Пината не обанкротится) хостинг файлов. P.S. Python - ерунда, D (или dlang) - крутой язык программирования.


31.03.2021, 0:36 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! Вы зря старались доказывать, что теорема Ферма (ВТФ) справедлива для четных n. Это известно и очевидно! Для того, чтобы доказать ВТФ, достаточно доказать ее для случая, когда n=4, что сделал сам Ферма, и для простых степеней n. Поэтому в Вашем доказательстве можно сразу исключить случаи четного n и непростого n. Это сократило бы Ваше доказательство и повысило его читаемость. С уважением РВГ.


31.03.2021, 16:41 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! И Вы зря стараетесь: ведь ВТВ уже доказана! Доказательство ВТФ с помощью множества пар натуральных чисел (МПНЧ) позволяет не рассматривать отдельно доказательства как самостоятельные для четных или для нечётных величин n. В этом и преимущество МПНЧ. В доказательстве ВТФ с помощью МПНЧ случаи чётных или нечётных величин n являются отдельными частями доказательства. Так же как и для любых натуральных чисел x, y, n. В результате имеется относительно короткое и понятное доказательство.


31.03.2021, 18:00 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! Во-первых. Вывод 1. Доказана ВТФ на всех множествах Рх для пар чисел х и y таких, что х = y. Вы опять доказали известное. Когда х=у, то получаем другое диофантово уравнение 2*x^n=z^n, которое не имеет решений в целых числах, потому этот случай надо было сразу исключить из рассмотрения. В ВТФ переменные х не равно y. Почему Вы не можете рассматривать множества Рх пар натуральных чисел х и у, где у<x. Во-вторых. Задача 1. Величина y делится на а (а << y). Не могли бы Вы пояснить на каком основании Вы сделали вывод, что a<<y. Известно, х+у>z=x+a, откуда следует, что у>a, но ни как не a<<y. Ну вот пока и все. С уважением РВГ


31.03.2021, 21:50 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Вывод 1. Доказана ВТФ на всех множествах Рх для пар чисел х и y таких, что х = y. Поскольку я рассматриваю ВСЕ пары натуральных чисел, то рассмотрел, в частности, и пары чисел, где х = y. Далее стал рассматривать только случаи х > y. Далее. Задача 1. Величина y делится на а (а << y). Здесь я имел в виду, что на множестве Рх число а не превосходит значения х/2 (получено на ЭВМ). То есть, число а не превосходит значение y/2.


1.04.2021, 19:10 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! Не могли бы Вы пояснить, что это за метод доказательства в математике - "эвристически доказано"? Как понимать Ваше утверждение - Если делить все члены уравнения (25) на некоторое число u, которое порядка числа х для множества Рх, то с большой долей вероятности остатки по mod правой и левой части будут совпадать, поскольку сравниваются только числа, меньшие числа u, и количество которых u. Какова вероятность того, что Вы доказали теорему Ферма? Вы так и не ответили Портону Виктору Львовичу на вопрос - Доказали Вы теорему Ферма или нет? Нельзя делать такой вывод - "Следовательно, на любом множестве Рх для любых чисел n уравнение: x^n + y^n = z^n, где z = x + a, не имеет целочисленного решения", рассмотрев только ограниченное число множества пар Рх.


4.04.2021, 14:10 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! В интернете очень хорошо описано: "Эвристический алгоритм" - алгоритм решения задачи, включающий практический метод, не являющийся гарантированно точным или оптимальным, но достаточный для решения поставленной задачи. В статье - увеличение на одно простое число произведение простых чисел позволяет найти увеличение на большое число чисел х при доказательстве ВТФ на множествах Рх. Причём, это увеличение в свою очередь увеличивается. По поводу правой и левой части уравнения - сначала определяли бег спортсменов с точностью до секунды, потом с точностью до десятой доли секунды, а теперь с точностью до сотой доли секунды. А в каких-то видах - с точностью до тысячных долей секунды.


4.04.2021, 17:48 Портон Виктор Львович
Отзыв: Уважаемый Усов, Если Вы нашли новое доказательство теоремы Ферма, то это здорово! (в первую очередь потому, что Вы не испортили своим решением поиск первого найденного доказательства, анализ которого оказался очень полезным для криптографии) Но уважайте читателей: Вот я, например, открыл около 3-4 новых фундаментальных разделов математики (а больше одного никто в известной истории не открыл - поправьте меня, если кто-то открыл 2). Так что, новое доказательство теоремы ферма может быть для кого-то мелочью. Уважайте читателей и сформулируйте всё четко, пожалуйста: 1. Вы доказази теорему Ферма или доказали ее с некоторой вероятностью? (Кстати, что такое доказать теорему с вероятностью? Я давно пытался думать о том, как дать определение понятию вероятности теоремы ДЛЯ ДАННОГО МАТЕМАТИКА и у меня ничего не получилось!) 2. Перечитайте все претензии читателей и перепишите всё так, чтобы было понятно. Не понятно даже, утверждаете ли Вы, что доказали эту теорему - аннотацию надо исправить. Доказательство, может быть, хорошее, но аннотация плохая.


4.04.2021, 18:39 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Геннадий Григорьевич! Вы упорно, в третий раз не хотите ответить на вопрос Портона Виктора Львовича - Доказали Вы теорему Ферма или нет? Это во-первых. А во-вторых, Вы попутали понятия "Эвристический алгоритм" и "Эвристический метод доказательства", которого нет в математике! Можно было бы допустить Ваш подход к доказательству теоремы Ферма, если бы совершили переход от ограниченного числа множества пар Рх к бесконечному числу множества пар Рх с помощью метода математической индукции.


5.04.2021, 17:31 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемые оппоненты! Первое и главное в статье - это переход в доказательстве ВТФ от бесконечного пространства (x , y) к конечному множеству Рх (конкретное х и y < x). Как известно, число n < x и n < y на множестве Рх. Получается, что намного проще доказывать ВТФ на конечном множестве Рх, а потом распространить это доказательство на все числа х. Второе – оказалось, что для каждого множества Рх можно построить несколько эвристических алгоритмов определения степени n (n < x), при которых будет доказана ВТФ на конкретном множестве Рх. То есть, на всё множество троек натуральных чисел (x, y, n) «набрасывается» некоторая сеть троек чисел, для которых справедлива ВТФ. Третье – было замечено, что чем больше число Q, на которое делятся правая и левая части уравнения ВТФ по mod Q, то тем для большего числа множеств Рх не будут совпадать остатки по mod Q. Таким числом Q может быть произведение простых чисел от 2 до q. При анализе оказалось, что число q будет намного меньше числа х. То есть, для любого числа х найдется такое число Q, равное произведению простых чисел от 2 до q, где q << x, что на множестве Рх правая и левая части уравнения ВТФ не совпадают по mod Q для любых степеней n (n < x).


5.04.2021, 17:36 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Вадим Григорьевич! Если Вы войдете в ИНТЕРНЕТ и наберёте "Эвристический метод доказательства", то найдёте кучу работ, в которых рассматривается, в частности, "эвристический подход к построению математических доказательств в рамках логического подхода". И ещё много различных начных статей по математике на эту тему.


5.04.2021, 18:57 Ремизов Вадим Григорьевич
Отзыв:  Уважаемый Геннадий Григорьевич! Мы с вами не найдем общего языка. У нас разная система аксиом.


Оставить комментарий


 
 

Вверх