Разделы: Астрономия
Размещена 28.04.2021.
Просмотров - 629

Исследование фридмановской космологической модели

Павлюк Леонид Алексеевич

Пенсионер

Преподаватель физики

УДК 524.83

Введение: Известны фридмановские космологические модели: Леметра, Эйнштейна-де Ситтера, Робертсона-Уокера и др. [1]. Эти модели описывают три варианта реализации Вселенной: закрытая Вселеннная; евклидово пространство; открытое пространство Лобачевского.

Актуальность: Идентификация варианта реализации Вселенной при исследовании фридмановской космологической модели. 

Цель: Рассчитать числовое значение параметра k в уравнениях фридмановской Вселенной.

Задачи: На основе законов СТО смоделировать свойства расширяющегося пространства-времени и дополнить фридмановскую космологическую модель дифференциальным уравнением.

 1. Космологическая модель содержит три функции времени: масштабный фактор R, плотность энергии ρ и давление Р. Из уравнений Эйнштейна получаются два обыкновенных дифференциальных уравнения для этих функций, а роль третьего уравнения играет уравнение состояния:
                 2R”/R + [R’/R]² +k/R² + 8πP = 0          (1)
                 
                 [R’/R]² + k/R² = 8πρ/3                         (2)
 
  где          R’ ≡ dR/dt                                            (3)
  
  Параметр k может иметь значения:
      k = +1       для 3-сферы (закрытая Вселенная);
      k = 0         для 3-пространства (евклидово пространство);
      k = –1       для 3-псевдосферы  (открытое пространство Лобачевского).
  Модель пространства-времени Робертсона-Уокера, удовлетворяющая приведенным выше уравнениям и соответствующему уравнению состояния, называется фридмановской Вселенной.[2].
  В системе единиц измерения, где гравитационная постоянная G = 1 и скорость света в вакууме с =1, давление Р и плотность энергии ρ выражаются соотношениями:
          P = H²/8π                 (4)
          ρ = 3H²/8π               (5)
  Тогда из уравнений (1), (2), (4) и (5) получаем:

         2R^”/R + 2H² = 0             (6)

 2. Моделируем свойства расширяющегося пространства-времени. Пусть стержень, имеющий в состоянии покоя длину R₀, движется со скоростью V вдоль оси ОХ. Длина стержня в результате лоренцевого сокращения: 
          R = R₀(1– V²/c²)^½           (7)
  Пусть стержень движется с ускорением а, направленным в первом случае по оси ОХ, а во втором случае–против оси ОХ. Поскольку скорость движения стержня изменяется, то будет изменяться и его длина R. Дифференцируем уравнение (7) по времени и получаем для обеих случаев уравнение:
         U = dR/dt = ^–/₊R₀V·a/c²(1–V²/c²)^½           (8)
 Где U—относительная скорость торцов стержня. При U = V, один конец стержня имеет нулевую скорость относительно неподвижного наблюдателя, а скорость другого торца равна V. При U=V, из уравнения (8) получаем:
          
         a=V’= ^–/₊c²(1–V²/c²)^½/R₀                       (9)
Дифференцируем уравнение (9) по времени и получаем:
           V”=±aV/R₀(1–V²/c²)^½                          (10)
 Подставляем в уравнение (10) значение ускорения а из формулы (9) и получаем:
            V”=–(c/R₀)²·V                                   (11)
 Уравнение (11) описывает свойство пространства-времени при наличии в нём ускорения (напряжённости) гравитационного поля. По аналогии, имеем для космологической модели:
                 V”=–H²·V                             (12)
Действительно, в космологической модели скорость пробной частицы массы вблизи неподвижного наблюдателя нулевая, а на расстоянии R₀ близка к скорости света.
 Напряжённость гравитационного поля пространства-времени равна с·H, где Н—постоянная Хаббла.[3]
  Потенциал гравитационного поля на расстоянии R от наблюдателя:
          φ=—HR/C = –V²/c²                  (13)
  Из уравнения (13) определяем скорость дрейфа пробной частицы массы (при условии стационарности гравитационного поля):
          V = (cHR)^½                      (14)
Дважды дифференцируем уравнение (14) и получаем:
         
           V”=(cH)^½(R”/2R^½ – [R’]²/4R·R^½)       (15)
 Подставляем уравнения (14) и (15) в формулу (12) и после алгебраических преобразований получаем дополнительное уравнение для фридмановской космологической модели:

       2R”/R – [R’/R]² +4H²=0                  (16)
Из уравнения (16) вычитаем уравнение (6) и получаем:
        
          [R’/R]² = 2H²                           (17)
 Тогда из уравнений (2) и (17) получаем соотношение:
           
          2H² +k/R² = H²                (18)
Из уравнения (18) очевидно, что числовое значение параметра k равно "–1". При k=–1 реализуется открытое пространство Лобачевского.

Заключение: Исследование фридмановской Вселенной привело к результату k=–1, поэтому Вселенная есть открытым пространством Лобачевского.

1. Климишин И.А. Релятивистская астрономия / Пер. с укр. / -2е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1989. -288 с.
2. Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. Пер. с англ.-М., Мир, 1985.-416с.
3. Павлюк Л.А. Физико-математическое моделирование гравитационного поля. [Электронный ресурс] // SCI-ARTICLE.RU. 2020. https://sci-article.ru/stat.php?i=1601185289 (дата обращения: 19.04.2021).

Комментарии пользователей:

Оставить комментарий