Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 25.06.2021.
Просмотров - 282

Применение подмножеств пар натуральных чисел для доказательства Великой теоремы Ферма

Усов Геннадий Григорьевич

к.т.н.

МГУ, 1972

пенсионер

Аннотация:
Великая теорема Ферма доказана для любого натурального числа х и для всех натуральных чисел y, где x > y, при определённой последовательности значений степеней n.


Abstract:
Fermat's Last Theorem is proved for any natural number x and for all natural numbers y, where x> y, for a certain sequence of values of powers n.


Ключевые слова:
Великая теорема Ферма; натуральное число; бином Ньютона; модуль числа

Keywords:
Fermat's Last Theorem; natural number; Newton binomial; modulus of number


УДК 511

Введение

Великой теоремой Ферма (ВТФ) называется утверждение о том, что уравнение:

     x^n + y^n = z^n                                                                        (1)

не имеет решения в целых числах при n > 2 [1].

ВТФ доказал в 1994 году английский математик сэр Эндрю Уайлс. Данное доказательство составляло около 130 страниц [1].

Существуют доказательства для отдельных случаев, когда x и y – небольшие числа : n = 3, n = 4, n = 7, для простых чисел, меньших 100 [1].

Согласно теореме Грюнерта, доказанной в 1856 году, натуральные числа x, y, z, удовлетворяющие уравнению (1) (если такие числа существуют), должны удовлетворять неравенствам [2]:

    x > n,   y > n,   z > n.         (1а)

До сих пор появляется много публикаций, в которых авторы утверждают, что доказали ВТФ, причём намного проще. Однако не было подтверждений, что эти доказательства верны.

Все доказательства ВТФ строились на всём множестве пар натуральных чисел x и y.

В данной статье предлагается для доказательства ВТФ разбить всё множество пар натуральных чисел на подмножества этих пар натуральных чисел Рх, которые состоят из пар натуральных чисел x и y, где х – постоянная величина, а 0 < y =< x.

И на каждом таком подмножестве искать доказательства ВТФ.

 

Актуальность.

Весь предыдущий период, начиная с формулировки своей теоремы Пьером Ферма, не утихают попытки доказательств ВТФ. И эти попытки будут продолжаться, чтобы не говорили математики. Поэтому появляется необходимость в появлении нового подхода к получению доказательства ВТФ.

Новый подход заключается в разбивке множества пар всех натуральных чисел на отдельные подмножества этих пар, на каждом из которых проще доказывать ВТФ.

На каждом из таких подмножеств строится алгоритм определения перечня пар натуральных чисел, для которых справедлива ВТФ.

Если окажется, что эти алгоритмы справедливы для всех подмножеств Рх с небольшим значением числа х, то данные алгоритмы можно будет распространить на остальные подмножества пар натуральных чисел Рх (эвристические алгоритмы).

 

Цели и задачи

Основной задачей данной статьи является поиск алгоритмов определения пар натуральных чисел, для которых справедлива ВТФ. Поиск таких алгоритмов осуществляется на отдельных подмножествах пар натуральных чисел.

Всё множество пар натуральных чисел можно разбить на отдельные подмножества пар натуральных чисел Рх, которые определяются следующим образом:

- величина х – постоянная для данного подмножества;

- величина y принимает значения от 1 до х.

Поскольку при х = y доказана ВТФ, то принимается условие, что х > y.

Тогда подмножество Рх будет иметь вид некоторой последовательности пар чисел:

     (х, 1), (х, 2), (х, 3), … (х, х-1)

В работе [3] были получены эвристические алгоритмы определения пар натуральных чисел на подмножествах пар натуральных чисел Рх при некоторых значениях степени n, для которых справедлива ВТФ.

Основными в этих алгоритмах являются следующие два условия (два эвристических алгоритма):

 

Условие 1. ВТФ справедлива на всём подмножестве Рх при нечётной величине степени n такой, что величина n не будет кратна простым сомножителям (кроме 1 и 2) величины (х – 1).

 

Условие 2. Если величина степени n будет чётной и величина n1 = n +1 является простым числом, то ВТФ справедлива на каждом подмножестве Рх таком, что величина х не будет кратна величине n1. При этом ВТФ справедлива только для тех величин y в подмножестве Рх, которые не кратны величине n1.

 

Дальнейшее исследование алгоритма по условию 2 показало, что ВТФ будет справедлива на каждом подмножестве Рх таком, что величины х и y не будут кратны некоторому простому числу k, а величина степени n в уравнении (1) будет равна:

     n = (k  – 1) * b, где b – произвольное натуральное число.

 

Условие 2 было получено на основании теста Ферма [1]:

если а – простое число, то оно удовлетворяет сравнению:

     a ^ (n – 1) = 1 (mod n)

для любого а, которое не делится на n.

 

Таким образом, на каждом подмножестве Рх при определённых значениях величины степени n, а также при определённых значениях величины y (при чётных значениях величины n) , определен с помощью условий (эвристических алгоритмов) перечень пар натуральных чисел x и y, для которых справедлива ВТФ.

В данном случае можно говорить о некотором дискретном распределении пар натуральных чисел, для которых справедлива ВТФ, на всё множество пар натуральных чисел.

 

Поэтому необходима некоторая оценка пар натуральных чисел, которые не удовлетворяют ни условию 1, ни условию 2, с точки зрения того, что эти пары чисел всё же удовлетворяют ВТФ при всех величинах степени n.

 

На подмножестве Рх(y)  можно определить уравнение (1) следующим образом:

     x^n + y^n = (x+а)^n                                                            (2),

где а – некоторое натуральное число, а = z – x и a < y.

Если верно уравнение (2) для натуральных чисел, то правая часть этого уравнения на подмножестве Рх должна принимать одно из значений от (х + 1) до (х + х -2) в степени n.

В разумное время сравнить правую и левую части уравнения (2) можно только для небольшого количества значений величины х.

Поэтому предлагается определить наличие некоторого минимального целого числа р, при делении на который правая и левые части не равны по остатку на подмножестве Рх для некоторого значения степени n.

Была составлена программа на Python, задачей которой является сравнение правой и левой частей уравнения (2) на подмножестве Рх для всех величин степени n.

Были рассмотрены подмножества Рх от х = 3 до х = 200.

Ниже приведены отдельные результаты работы такой программы (для отдельных значений числа х):

1.На множестве Р11 для различных степеней n на интервале от 3 до 10 получены значения числа р, при деления на которые не равны правые и левые части уравнения (1):

31, 13, 32, 19, 27, 13, 32, 31

2.На множестве Р28 п для различных степеней n олучены следующие значения чисел р:

226, 39, 71, 43, 71, 39, 73, 31, 89, 37, 131, 43, 61, 39, 81, 43, 81, 31, 71, 67, 244, 37, 71, 79, 73

3.На множестве Р50 для различных степеней n получены следующие значения чисел р:

363, 81, 101, 57, 113, 81, 181, 71, 414, 57, 131, 71, 101, 51, 137, 57, 191, 61, 113, 67, 461, 57, 101, 79, 109, 71, 233, 57, 311, 51, 299, 81, 101, 57, 149, 81, 131, 61, 605, 57, 173, 67, 101, 81, 554, 51, 113

4.На множестве Р100 для различных степеней n получены следующие значения чисел р:

1417, 169, 738, 129, 491, 123, 523, 213, 947, 109, 443, 127, 211, 113, 239, 129, 419, 101, 211, 199, 461, 109, 251, 131, 271, 127, 233, 129, 311, 113, 331, 103, 281, 109, 486, 191, 313, 101, 747, 127, 431, 169, 211, 139, 659, 109, 491, 151, 239, 131, 743, 129, 486, 123, 229, 177, 827, 101, 977, 311, 211, 113, 443, 129, 269, 103, 277, 127, 569, 109, 293, 223, 211, 169, 491, 129, 317, 101, 271, 249, 1163, 109, 239, 431, 233, 123, 1587, 129, 443, 139, 311, 283, 419, 109, 389, 127, 331

5.На множестве Р200 для различных степеней n получены следующие значения чисел р:

2197, 697, 909, 301, 491, 533, 523, 213, 947, 247, 443, 211, 421, 221, 443, 301, 419, 213, 421, 201, 461, 219, 401, 237, 433, 211, 929, 209, 1427, 221, 463, 239, 491, 247, 593, 419, 443, 213, 821, 211, 431, 201, 421, 417, 659, 219, 491, 213, 409, 237, 743, 271, 881, 211, 419, 523, 827, 209, 977, 311, 421, 221, 443, 201, 1877, 239, 461, 211, 569, 219, 1607, 223, 401, 229, 491, 237, 2213, 213, 433, 249, 1163, 203, 443, 431, 929, 201, 3174, 209, 443, 277, 1303, 283, 419, 219, 971, 211, 463, 213, 809, 239, 1031, 237, 421, 321, 857, 247, 1091, 201, 593, 211, 1583, 301, 461, 349, 443, 729, 443, 209, 947, 367, 821, 311, 401, 211, 509, 221, 431, 213, 1049, 201, 419, 729, 421, 239, 1097, 301, 557, 211, 659, 569, 443, 219, 929, 439, 421, 223, 1193, 209, 1511, 229, 409, 201, 909, 237, 1571, 729, 743, 213, 461, 271, 653, 249, 421, 499, 2339, 203, 443, 213, 419, 431, 2423, 301, 401, 201, 709, 537, 1433, 209, 1811, 211, 733, 277, 593, 301, 443, 283, 421, 213, 3447, 219, 773, 729, 421, 211, 4205, 201, 797

Данные результаты исследований показали, что на каждом подмножестве Рх для различных степеней n, где 2 < n < x, можно найти некоторое целое число р такое, что остатки по mod p правой и левой частей уравнения (2) не совпадают.

Данное утверждение можно распространить на любое подмножество Рх при 2 < n < x.

 

Получается, что имеет место дискретное распределение пар натуральных чисел x и y на всём множестве натуральных чисел, для которых при определённых значениях степени n справедлива ВТФ.

 

Данная программа была применена для случая, когда на подмножествах Рх рассматривалась степень n = 2 (сумма квадратов).

В результате были определены подмножества Рх, на которых число р не определяется при n = 2. Это относится к подмножествам Рх из числа 3 < x < 200, у которых число х равно:

4, 8, 12, 15, 16, 20, 21, 24, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 52, 55, 56, 60, 63, 64, 68, 70, 72, 75, 76, 77, 80, 84, 88, 90, 91, 92, 96, 99, 100, 104, 105, 108, 110, 112, 116, 117, 120, 124, 126, 128, 132, 135, 136, 140, 143, 144, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 156, 160, 164, 165, 168, 171, 172, 175, 176, 180, 182, 184, 187, 188, 189, 192, 195, 196, 198.

Данное определение подмножеств Рх, на которых число р не определяется, можно продолжить.

 

Выводы.

Всё множество пар натуральных чисел разбивается на подмножества Рх, которые состоят из пар натуральных чисел x и y, где х – постоянно, а 0 < y =< x.

Великая теорема Ферма доказана для любого подмножества Рх при выполнении двух условий по выбору значений степеней n.

 

Научная новизна.

Разложение всего множества пар натуральных чисел на отдельные подмножества таких пар позволило доказать ВТФ на всех этих подмножествах при выполнении двух условий по выбору значений степеней n.

Библиографический список:

1. Ишмухаметов Ш.Т. Методы факторизации натуральных чисел: учебное пособие / Ш.Т. Ишмухаметов.– Казань: Казан. ун. 2011.– 190 с.
2. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1978. 128 с.
3. Усов Г. Г. Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью множеств пар натуральных чисел. Сайт электронного периодического рецензируемого научного журнала «SCI-ARTICLE.RU», Научное направление «Математика», Размещена 19.01.2021.




Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх