Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 20.07.2021. Последняя правка: 31.08.2021.
Просмотров - 675

Дальнейшие исследования гипотезы Коллатца с целью её доказательства

Усов Геннадий Григорьевич

к.т.н.

МГУ, 1972

пенсионер

Аннотация:
Определена модель ветвей дерева для последовательностей Коллатца. Решены отдельные задачи гипотеза Коллатца


Abstract:
A tree branch model for Collatz sequences is defined. Solved individual problems Collatz hypothesis


Ключевые слова:
гипотеза Коллатца; натуральное число; модуль числа

Keywords:
Collatz hypothesis; natural number; the absolute value of a number


УДК 511

Введение

Среди нерешённых математических задач, которые математиками рассматриваются постоянно, есть гипотеза Коллатца[1].

Немецкий математик Лотар Коллатц сформулировал в 1934 году следующую задачу [2]:

выбирается любое натуральное число n, с которым делаются следующие операции:

- если n - чётное число, то число n делится на число 2.

- если n - нечётное число, то число n умножается на число 3 и добавляется число 1.

Над полученным числом выполняются те же самые действия и так далее. В результате получается некоторая последовательность чисел, которая называется последовательностью Коллатца.

Формулировка гипотезы Коллатца [3]:

какие бы начальные числа n не выбирались, рано и поздно числом последовательности будет число 1.

С другой стороны, если существует некоторое начальное натуральное число последовательности Коллатца,  в которой отсутствует число 1, то, значит, гипотеза неверна.

В настоящее время отсутствует доказательство того, что гипотеза Коллатца верна для всех натуральных чисел.

Поскольку при умножении числа последовательности на число 3 с добавлением 1 получается чётное число, то элементы последовательности Коллатца можно представить следующими формулами:

- если:  n( i ) mod(2) = 1,  то n(i + 1) = (n( i ) * 3 + 1) / 2                              (1)

- если:  n( i ) mod(2) = 0,  то n(i + 1) = n( i ) / 2

В результате получается последовательность чисел, последним числом которой будет число 1.

По состоянию на апрель 2021 года проверены все натуральные числа, меньшие 9 789 690 303 392 599 179 036 и каждое из них за конечное количество шагов соответствовало условиям гипотезы Коллатца[2].

 

Актуальность.

Актуальность работы заключается в доказательстве гипотезы Коллатца для всех натуральных чисел, как одной из нерешённых математических задач.

 

Цели и задачи

В данной статье были продолжены исследования последовательностей Коллатца в развитие [3]. В процессе этих исследований был решен ряд задач.

 

Задача 1. Построение модели ветвей дерева для гипотезы Коллатца.

В работе [3] показан граф Коллатца для первых уровней в количестве 21. Граф Коллатца представляется в виде дерева, которое построено на числе 1, и которое представляет собой действие, обратное действию гипотезы Коллатца.

На этом графе легко просматриваются ветки дерева. Поэтому с целью доказательства гипотезы Коллатца строится модель этих веток в виде дерева, опирающегося на число 1.

Сначала определяется ствол дерева или 1-я ветка с номером V1 (1 – номер ветки). С учетом формул (1) получается последовательность Коллатца, состоящая из следующих чисел:

    V1(k) = 2 ^ k,                                                                                                    (3)  

где k >= 0 – целое число.

Назовём ветку V1 веткой нулевого уровня для последовательностей Коллатца.

На ветке V1 располагаются ветки на тех числах V1(k), для которых справедливо условие:

    (V1(k) – 1) mod 3 = 0.

Тогда номер новой ветки будет:

    A = (V1(k) – 1) / 3                                                                                            (4)

Следовательно, получаем новую ветку с номером А (нечётное число):

    VA(k) = A * 2 ^ kа,                                                                                           (4а)

где kа  >= 0 – целое число.  

Таким образом, на стволе дерева можно построить ветки:

     V1-4, V5-16, V21-64, V85-256, V341-1024, V1365-4096, и т.д.                    (5)                                      

То есть, ветки будут построены на стволе через каждые 2 шага последовательности (2).

Эти ветки составляют первый уровень для последовательностей Коллатца.

Аналогично можно построить ветки второго уровеня для последовательностей Коллатца:

- для ветки V5-16 получаем ветки V3-10, V13-40, V53-160, V213-640, и т.д.

- для ветки V85-256 получаем ветки V113-340, V453-1360, V1813-5440,  и т.д.

- для ветки V341-1024 получаем ветки V227-682, V909-2727, V3637-10912,  и т.д.

и т.д.

Для веток V21-64 и V1365-4096 (а также для веток далее с шагом 3 на стволе дерева) новые ветки построить нельзя, так как нельзя от числа, которое делится на 3, отнять 1 и получить число, которое делится на 3. Эти ветки будут существовать без новых веток.

Ветка V1-4 имеет особый статус. Она даёт возможность не заканчивать процесс прихода к числу 1, а продолжить процесс нахождения чисел:

16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4. 2, 1, 4, 2. 1,… и т.д.

Данный процесс можно продолжить и находить новые уровни для последовательностей Коллатца и ветки на этих уровнях, причем третий уровень определяется по второму уровню, четвертый уровень определяется по третьему уровню и т.д.

Любую последовательность Коллатца можно построить, если применить полученную модель веток дерева. Тогда последовательность Коллатца будет располагаться на некоторой последовательности веток дерева, или состоять из последовательности номеров этих веток согласно (1).

 

Задача 2. Представление всех натуральных чисел на ветках дерева.

Определённая выше модель веток дерева позволяет «расположить» все множество натуральных чисел на ветках этого дерева, основанием которого является число 1.

Докажем это.

Каждое натуральное число N можно представить единственным способом в виде:

      N = А * 2 ^ k, где А - нечётное число, k >= 0 – целое число.                        (9)

Поскольку ветки с числами можно построить для любого нечётного положительного числа, то выражение (9) совпадает с представлением веток для последовательностей Коллатца (4а).

Следовательно, на всех ветках для последовательностей Коллатца расположены все натуральные числа.

 

Задача 3. Представление на дереве всех возможных веток.

Допустим, есть одна ветка VH, для которой не существует места на модели веток дерева.

Тогда, согласно уравнениям (1), для числа Н следующим числом в последовательности Коллатца будет число М:

     М = 3 * Н + 1

Число М – чётное, которое можно представить в виде:

     М = В * 2 ^ t, где В – нечётное число, и t >= 0 – целое число.

Таким образом, для ветки VH найдено место на ветке VВ.

Аналогично, можно рассмотреть существования места на дереве для нескольких веток.

 

Задача 4. О построении «кольца» из нескольких веток.

Поскольку все ветки «построены» от числа 1, то можно «пройти» от любого числа на любой ветке к числу 1 по некоторой последовательности веток.

Допустим, есть несколько веток, которые определяются друг относительно друга, но эти ветки образуют замкнутую последовательность вне дерева.

Допустим их число g, и это последовательность веток, которые не находятся на дереве:

          VG1, VG2, VG3, … , VGg   

причем, ветка VG1 находится на ветке VG2, ветка VG2 находится на ветке VG3, и т. д.

И при этом ветка VGg находится на ветке VG1.

Согласно (9):

     G2 * 2 ^ a1 = G1 * 3 + 1                                                                 (9а)

     G3 * 2 ^ a2 = G2 * 3 + 1                                                                 (9b)

Предположим, что ветка VG3 находится на ветке VG1, то есть имеет место кольцо.

Тогда имеет место уравнение:

     G1 * 2 ^ а3 = G3 * 3 + 1                                                                   (9с)

Можно найти упростить уравнения (9а), (9b), (9с). Для этого в уравнение (9b) подставим значения G1 и G3 из уравнений (9а) и (9с). Получается:

     G2 * (2^a1 * 2^a2 * 2^a3 – 27) = 9 + 3 * 2^a1 + 2^a2 * 2^a3          (9d)

Как видно из правой части уравнения (9d) должно выполняться условие для суммы показателей степени 2:

     А = a1 + а2 + а3 > 4

При больших показателях степени с величиной  2^a1 * 2^a2 * 2^a3 может сравниться только величина 3 * 2^a1, однако величина  2^a1 * 2^a2 * 2^a3 ещё умножается на величину G2.

Поэтому при больших значениях величины G2 левая часть уравнения (9d) будет больше её правой части. А при малых значениях величины G2, как известно, кольца быть не может, так как уже были расчёты.

Таким образом, ветка VG3 не может находиться на ветке VG1.

Данный процесс можно продолжить дальше, сравнивая числа Gi, начиная с ветки VG4 до ветки VGg, с числом G1. И каждый раз необходимо проверять условия, аналогичные условию (9d).

 

Задача 5. Определение времени остановки для всех натуральных чисел.

Рихо Террас доказал[3], что почти каждое натуральное число имеет конечное время остановки при построении последовательности Коллатца.  Другими словами, почти каждая последовательность Коллатца VH достигает точки или числа U, которое находится строго ниже своего начального значения или U < H. 

В частности, для начальных чисел до 50:

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49,

существует время остановки, которое наступает через следующее количество шагов:

2, 1, 4, 1,  3,    1,   4,   1,   2,   1,   3,   1,  37,  1, 35,  1,   2,   1,   5,   1,   3,   1,   34,  1,   (10)

В частности, для последовательности V27 первое число, меньшее 27, встречается через 37 шагов.

Если взглянуть на числа (10), то видно, что одинаковые количества шагов будут у чисел с определённым интервалом между числами.

Тогда можно построить эвристические алгоритмы для определения начальных чисел, для которых имеет место одинаковое количество шагов до времени остановки.

В частности:

- шаги 1 будут у чисел, где начальное число 5 (всего 1), и числа с интервалом 4;

- шаги 2 будут у чисел, где начальное число 3 (всего 1), и числа с интервалом 16;

- шаги 3 будут у чисел, где начальные числа 11 и 23 (всего 2), и числа с интервалом 32;

- шаги 4 будут у чисел, где начальные числа 7, 15, 59 (всего 3), и числа с интервалом 128;

- шаги 5 будут у чисел, где начальные числа 39, 79, 95, 123, 175, 199, 219, (всего 7), и числа с интервалом 256;

Такие вычисления можно продолжить далее для всех натуральных чисел.

То есть, можно предположить, что у любого натурального числа есть определённое количество шагов до времени остановки.

В частности, шаги 37, как у числа 27, будут у чисел с интервалом 2^56.

 

Задача 6. О стремлении всех последовательностей Коллатца к числу 1.

Теперь можно показать, что почти все (согласно Рихо Терраса) последовательности Коллатца стремятся к числу 1.

Пусть есть минимальное "начальное" число, для которого неверна гипотеза Коллатца.

Тогда для почти каждого "начального" числа в последовательности Коллатца согласно доказательству Рихо Террас, а также согласно расчётам в задаче 5, найдётся число, которое будет меньшее "начального" (время остановки).

Получается, что для почти каждого "начального" числа не есть минимальное число, для которого неверна гипотеза Коллатца.

 

Задача 7. Определение последовательностей Коллатца, в которых на первых шагах числа либо всегда увеличиваются, либо всегда уменьшаются.

Существуют числа, для которых при построении последовательности Коллатца n( i ) из (1) получаются подряд либо несколько увеличений последующих чисел, либо несколько уменьшений последующих чисел.

Для чётных чисел получается:

- если число n(1) равно 2 + 4 * К, где К >= 0, то число n(2) будет нечётным. И тогда число n(2) = 1/2 * n(1);

- если число n(1) равно 4 + 8 * К, где К >= 0, то только число n(3) будет нечётным. И тогда число n(3) = 1/4 * n(1);

- если число n(1) равно 8 + 16 * К, где К >= 0, то только число n(4) будет нечётным. И тогда число n(4) = 1/8 * n(1);

- если число n(1) равно 16 + 32 * К, где К >= 0, то только число n(5) будет нечётным. И тогда число n(5) = 1/16 * n(1).

И т.д.

Для нечётных чисел получается:

- если число n(1) равно 1 + 4 * К, где К >= 0, то число n(2) будет чётным. И тогда число n(2) = 3/2 * n(1) (примерно);

- если число n(1) равно 3 + 8 * К, где К >= 0, то только число n(3) будет чётным. И тогда число n(3) = 9/4 * n(1) (примерно);

- если число n(1) равно 7 + 16 * К, где К >= 0, то только число n(4) будет чётным. И тогда число n(4) = 27/8 * n(1) (примерно);

- если число n(1) равно 15 + 32 * К, где К >= 0, то только число n(5) будет чётным. И тогда число n(5) = 81/16 * n(1) (примерно).

И т.д.

Количество чётных и нечётных чисел одинаковое. Причём одинаковы эти числа по шагам повторений.

Для чётных чисел уменьшение чисел в последовательности происходит на величину степени числа 2.

Для нечётных увеличение чисел в последовательности происходит на величину степени числа 1,5 (приблизительно).

Поэтому определяющим в стремлении чисел последовательности к числу 1 являются чётные числа.

 

Задача 8. Построение на компьютере дерева для последовательностей Коллатца.

Теперь можно строить конкретное дерево для последовательностей Коллатца на основании полученной модели.

Поскольку количество натуральных чисел безгранично, то для удобства построения дерева на компьютере необходимо выбрать некоторую границу рассматриваемых чисел.

Определим некоторое чётное число М, которое будет обозначать, что при построении дерева будут рассматриваться только нечётные числа, меньшие М. Число М будет зависеть от возможности компьютера построить дерево за реальное время.

Следовательно, в уравнениях (4) и (4а) будет:

     VA(k) < M, А < M                                                                                                (11)

Ветки, номера которых не превышают числа М, «складируются» на некотором складе (база данных). На каждой из этих веток остаются натуральные числа, которые не превышают числа М.

Получается, что на «складе» подготовлены все ветки, удовлетворяющие (11).

Теперь можно собирать дерево.

Основной ствол – это ветка с номером 1.

На этой ветке есть номера последующих веток, приведённые в (7) и (8).

Аналогично отбираются на «складе» новые ветки для уже установленных веток.

Данный процесс можно продолжить до тех пор, пока не будут установлены все ветки со «склада».

При этом получится следующая картина: на ветках дерева будут не все числа от 1 до М.

Например, если взять число М = 1000, то на ветках дерева не будет числа 27 (числа от 1 до 26 – присутствуют). Это связано с тем, что для того, чтобы от ствола по веткам дерева «добраться» до числа 27, необходимо перемещаться по 41 ветке. Причём, одна из этих веток имеет номер 3077, то есть, больше, чем М.

Если взять число М = 4000, то на ветках дерева не будет числа 255 (числа от 1 до 254 – присутствуют). Здесь имеет место 15 веток, и одна из веток имеет номер 4373.

Далее, при М = 5000 нет числа 447, здесь 34 и 13121,

при М = 14000 нет числа 703, здесь 62 и 83501,

при М = 90000 нет числа 1819, здесь 58 и 425645,

при М = 600000 нет числа 4255, здесь 73 и 2270045,

при М = 2400000 нет числа 4591, здесь 61 и 2717873,

Данные расчёты можно продолжить, и увеличивая число М, можно расставить на ветвях дерева большее количество натуральных чисел, которые идут подряд, начиная с 1.

 

Выводы.

Построена модель веток дерева для последовательностей Коллатца.

На ветках дерева будут представлены все натуральные числа.

Для каждой ветки существует место на модели веток дерева.

Время остановки для небольших натуральных чисел повторяется с определённым интервалом для натуральных чисел.


Научная новизна
.

Определена модель веток дерева для последовательностей Коллатца.

Получены новые исследования по гипотезе Коллатца.

Библиографический список:

1. Открытые математические проблемы. https://ru.wikipedia.org/wiki/Открытые_математические_проблемы (дата обращения 17.07.2021)
2. Гипотеза Коллатца. https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Коллатца (дата обращения 17.07.2021).
3. Collatz conjecture. https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture (дата обращения 17.07.2021).




Рецензии:

22.07.2021, 0:50 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Автор затронул т.н. "сиракузскую проблему", относящуюся к нерешённым задачам математики. По этой проблеме 12 лет назад был запущен проект добровольных распределённых вычислений «Collatz Conjecture», целью которого является проверка гипотезы Коллатца на больших числах. Кроме этого проекта, ровно 4 года назад поиском решения этой проблемы стал проект распределённых вычислений (http://www.rechenkraft.net/yoyo/). Интересно, что графики последовательностей этих чисел (автор не приводит) похожи на траектории движения градин в атмосфере, их даже назвали: числа-градины. В 1985 году по этой проблеме была интересная публикация в журнале American Mathematical Monthly Джефа Лагарьяса: The 3x+1 problem and its generalizations. Рецензент навскидку привёл факты, о которых в статье доказательного статуса ничего не говорится, будто автор впервые занялся и решил эту проблему. Рецензент не считает наспех (за один день пробега по электронным ресурсам) скомпиллированную статью, где большая часть - это копир из Википедии, при этом, само доказательство содержится в нескольких словах, достойной публикации в научном журнале в представленном виде. Вот если бы она была покороче, без явных переписок из википедии, да ещё с аналогом в другой системе счисления... рецензент был бы за её публикацию. А пока следует дождаться других двух положительных рецензии.

22.07.2021 14:14 Ответ на рецензию автора Усов Геннадий Григорьевич:
Уважаемый Эдуард Григорьевич! Благодарю Вас за рецензию к моей статье! Далее по замечаниям в рецензии. Статья Джефа Лагарьяса приведена в числе многих работ в [3], поэтому я не стал её отдельно рассматривать, поскольку выводы этой статьи были учтены в [3] (там ещё много других статей по проблеме). О числах-градинах не стал упоминать, поскольку это одно из интересных исследований по гипотезе, однако оно не даёт дополнительную информацию для решения проблемы Коллатца. Я не стал упоминать работы по рассмотрению последовательностей Коллатца в двоичной системе, поскольку это тоже не ведёт к решению проблемы Коллатца. Статья должна быть не очень длинной, а подобных направлений исследований приведено в [3] в количестве более 10. Я привёл в статье результаты вычислений на ЭВМ по проверке чисел на гипотезу Коллатца. В статье можно значительно сократить эти результаты, хотя они могут лучше объяснить «поведение» последовательностей Коллатца. И данные результаты ранее не приводились в таком виде. В начале статьи есть места, которые почти повторяют известные места из Википедии. Но это необходимо только для постановки задачи: постановка задачи единая для всех. Может быть, из этого что-то можно сократить. Теперь о новизне статьи. Ранее говорилось о графах Коллатца, которые представляют собой паутину чисел, связанных между собой некоторыми отрезками. И всё. В статье делается упор на построение веток дерева, которые сразу решают проблему. Ведь ветки дерева представляют собой определённую последовательность натуральных чисел. А это позволило продвинуться в доказательстве гипотезы. Кроме того, ранее говорилось, что для почти всех натуральных чисел существует время остановки (число в последовательности меньше начального числа). И всё. Я обнаружил закономерность появления одинакового времени остановки (количество шагов) для малых натуральных чисел через определённое количество чисел. А раз есть такая закономерность для малых чисел, значит, она есть и для больших чисел (эвристика). Значит, нет чисел, кроме 1, для которых можно ввести определение минимального числа, для которого, в свою очередь, неверна гипотеза. Извините за длинный ответ.



Комментарии пользователей:

23.07.2021, 15:53 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Сделал статью немного покороче


2.08.2021, 18:57 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: В "Задаче 3" ошибка (возможно, описка): "следующим нечетным числом ... будет число М, ... число М - четное". Но это мелочь. Лишнее слово. В "задаче 4" логическая ошибка. Выводится некое линейное уравнение относительно G3 и G1 с параметрами a1 и a2. Оно не совпадает с неким иным линейным уравнением относительно G1 и G3 с параметром k. Из этого делается вывод о некоем противоречии между двумя уравнениями. Однако система из двух линейных уравнений обычно имеет решение. ;) Следовало решить эту систему, получить G1 и G3, выраженные через a1, a2 и k, доказать (если это оказалось бы возможно), что при любых натуральных a1, a2 и k числа G1 и G3 не будут натуральными, показать, как проводится аналогичное доказательство для других G... Только тогда гипотеза могла бы считаться противоречащей данным. Есть и вторая логическая ошибка в той же "задаче 4". Предположим, что, как утверждается автором (хотя в доказательстве этого утверждения, как я сказал выше, я усматриваю логическую ошибку), нет конечного числа веток, находящихся вне дерева и образующих замкнутую последовательность. Однако даже и из этого не следует, что все ветки находятся на дереве. Возможно (и эта возможность никак не рассмотрена в статье), что есть бесконечное число веток, находящихся вне дерева, опирающихся друг на друга. Я не рекомендую статью с логическими ошибками в доказательствах к публикации.


2.08.2021, 21:55 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Борис Иосифович! Больше спасибо Вам, что Вы прочитали мою статью и высказали замечания. Попробую ответить на эти замечания. 1. В задаче 3 вместо «следующим нечётным числом» будет фраза «следующим числом». 2. В задаче 4 я два линейных уравнения свёл в одно уравнение. И при этом это одно уравнение я не так записал. Я это исправил. Тогда будет понятно, что надо сравнивать в этом и в следующем уравнении. Далее: решать первое из этих уравнений не надо, а просто нужно сравнивать коэффициенты при G1 и G3 в этих двух уравнениях. 3.У Вас есть фраза: «Возможно (и эта возможность никак не рассмотрена в статье), что есть бесконечное число веток, находящихся вне дерева, опирающихся друг на друга.» Эту возможность я уже рассмотрел в той же задаче 4 после слов: «Допустим, есть множество веток, которые находятся вне определённого выше дерева.» Далее было показано, что любая последовательность веток будет опираться на ветку V1, то есть на число 1. В результате я пока не вижу в моей статье «логических ошибок в доказательстве». Считаю, что будет интересно продолжить дискуссию по настоящей статье.


3.08.2021, 17:10 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Борис Иосифович! Я добавил номера для уравнений (9а) и (9б) с целью иметь возможность указывать нужное уравнение. Далее я сравнил правые части этих уравнений.


10.08.2021, 10:03 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: 2. Геннадий Григорьевич, обратите внимание, что то, что правые части двух уравнений не равны, не означает противоречия между уравнениями: ведь их левые части тоже не равны. 3. Бесконечное множество веток, опирающихся друг на друга, не обязаны опираться на какую-то ветку, не входящую в это множество. Ложно утверждение "И этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока очередной веткой не будет ветка V1." Этот процесс может продолжаться бесконечно, так как ветка с меньшим номером может опираться на ветку с большим номером.


10.08.2021, 15:46 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: 2. Борис Иосифович, если я не могу представить ветку через выражение G3 * 3 + 1 (а это есть правило для ветки), то получаемое уравнение не есть уравнение ветки. Поэтому не обязательно смотреть левую часть уравнений. 3. Как известно, бесконечность у нас ОДНА. Получается, что идя от числа 1 построили одну бесконечность, а идя от ветки V1 построили другую бесконечность. Противоречие.


11.08.2021, 20:52 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: 2. То, что "получаемое уравнение не есть уравнение ветки", никак не делает получаемое уравнение ложным или противоречащим другому уравнению. 3. Бесконечных последовательностей у нас много. Например: (1, 3, 5, ...) - бесконечная последовательность; (2, 4, 6, ...) - другая бесконечная последовательность; и, что интересно, они никак друг другу не противоречат. Мало того, хотя это не относится к делу, но бесконечностей у нас тоже много: счетная бесконечность, континуумная бесконечность, гиперконтинуумная бесконечность...


13.08.2021, 11:58 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: 2. На ветке VG1 может быть много веток, но только не ветка VG3, так как VG3 будет веткой для VG1 если только выполняется условие G3 * 3 + 1. 3. Вы приводите очень простые последовательности. В случае с ветками: для одной ветки б.м. чисел, и на каждом 2-м числе ветка. Данная ветка находится на другой ветке, а там - б.м. чисел и т.д. Каждая новая ветка порождает б.м. новых веток. Конечно, это не совсем строго. Поэтому в помощь этому идут следующие задачи. Задачи 5 и 6 - самое малое число, которое не стремится к 1 есть 1. Задача 7 - одинаковое количество чисел, которые увеличиваются или уменьшаются последовательно (1а) определённое число раз. Только уменьшение идёт намного быстрее, чем увеличение.


15.08.2021, 15:50 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: 2. Вы, видимо, немножко не понимаете смысла равенств в принципе. Вы получили зависимость G3 и G1. Вы показываете другую зависимость G3 и G1 и говорите, что раз зависимости не совпали, то одна из них ложна. Но два числа могут находиться в различных зависимостях. Конкретно в этом случае Вы получили два линейных уравнения. Данная система двух линейных уравнений имеет 1 решение. Длина комнаты может быть больше ширины комнаты одновременно и в полтора раза, и на три метра, это не противоречие. G3 может выражаться через G1 и как (G1 * 9 + 3 + 2 ^ a1) / 2 ^ (а1 + a2), и как (G1 * 2 ^ k - 1)/3, это не противоречие. Вы можете решить полученную систему линейных уравнений, выразив G1 и G3 через параметры a1, a2 и k. Может быть (хотя, глядя на Ваши "умозаключения", я в этом сомневаюсь), Вы даже сможете доказать, что при целых значениях параметров невозможно получить целые значения G1 и G3. Но, увы, даже это не докажет общий случай.


15.08.2021, 16:02 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: 3. Аргумент "Вы приводите очень простые бесконечные последовательности, тут труднее, поэтому бесконечность одна" бессмысленен. "Задачи 5 и 6" не имеют отношения к Вашей новой формулировке "самое малое число, которое не стремится к 1, есть 1". В "задачах 5 и 6" Вы всего лишь берете чужой результат, а затем делаете из него абсурдный вывод "гипотеза Коллатца доказана почти для всех чисел". Абсурдный - потому что гипотеза Коллатца - это утверждение про все множество чисел, она не может быть доказана для "почти всех чисел". Рассказывая мне про "задачу 7", Вы также просто пытаетесь увильнуть от простейшего указания на ошибочность Ваших умозаключений. До псевдодоказательства в "задачах 5-9" я просто еще не дошел, предпочитая не умножать сущности. Но да, это тоже не доказательство, это просто громкое заявление "Раз почти для всех, то не получается найти опровержение, значит, все доказано".


19.08.2021, 19:02 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: 2. Показано, что ветка VG3 не может находиться на ветке VG1. Внесено изменение в статью.


20.08.2021, 10:29 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Ок, такое принимаю. Конечно, доказательство изложено недостаточно строго для научной статьи, но пока мы в поисках истины и ищем хотя бы идею доказательства, и так сойдет. Для трех веток сойдет. Но вот "данный процесс можно продолжить дальше" тут не работает. Конечно, уравнения будут получаться однотипные, но чем больше веток, тем больше числа в этом уравнении. И, допустим, при гипотезе "миллион веток друг на друге, миллионная на первой" то самое "при малых значениях были расчеты" действовать никак не будет, так как в правой части будут огромные коэффициенты, а в левой части в скобке огромное вычитаемое. Ну и все еще осталась проблема, которую я нумеровал пунктом 3. Пусть ветка VG1 находится на ветке VG2, ветка VG2 находится на ветке VG3, VG3 на VG4 и так далее, и эта последовательность бесконечна, она не "зацикливается" и не сходится к единице. То есть для любого VGx существует такой VGy, что y>x, а VGy>VGx. Предположим, такая бесконечная последовательность из слишком больших для ручного поиска чисел существует. Чтобы доказать гипотезу Коллатца, это предположение надо опровергнуть.


21.08.2021, 18:47 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Решил добавить: Задача 10. Определение формулы расчёта нечётных чисел на всех ветках через первые две ветки: VG1 и VG5.


22.08.2021, 8:04 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Отменяю предыдущее сообщение: формулы будут не в задаче 10 (её не будет), а в задаче 7. Добавлено последнее предложение в задачу 2. Проведены изменения в задаче 7.


22.08.2021, 8:07 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: 3. В порядке доказательства добавил выводы в задаче 5. Для обсуждения.


23.08.2021, 8:32 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Простите, эти изменения как-то решают обсуждавшиеся проблемы в "доказательстве"?


23.08.2021, 11:37 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Статья называется "дальнейшие исследования...". Появляются исследования, связанные с построением очередных формул. Чем больше будет таких формул, тем больше будет доверия к другим, эвристическим формулам, например, к задаче 5: "Определение времени остановки для всех натуральных чисел". Эта задача может быть основной в доказательстве гипотезы Коллатца, так как говорит о том, что у ВСЕХ чисел в последовательностях Коллатца есть время остановки.


26.08.2021, 20:13 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: То есть Вы признаете, что "доказательство", изложенное в задачах 1-4, содержит проблемы, не позволяющие считать эти задачи доказательством гипотезы Коллатца, а вывод задачи 4 ложен, и предлагаете перейти к рассмотрению задачи 5 в отрыве от задачи 4?


27.08.2021, 10:32 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Насколько Вам известно, в задаче 4 рассматриваются два момента: отсутствие "кольца" и "цепочка в бесконечность". С доказательством кольца Вы согласились, а с доказательством "цепочки в бесконечность" - нет. Но это не говорит о том, что выводы задачи 4 ложны. Просто эти выводы в части "цепочки в бесконечность" требуют дополнительной проработки. Доказательств гипотезы Коллатца может быть несколько. Одним из таких доказательств является задача 5, которая, на мой взгляд, имеет больше шансов быть завершенной. Пока, на мой взгляд, у задач 4 и 5 разный подход к доказательству.


27.08.2021, 11:54 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Я согласился с доказательством кольца для трех веток, но не согласился с тем, что это доказательство можно легко преобразить в доказательство несуществования сколь угодно большого кольца. "Выводы задачи 4" ложны, так как не доказаны в ней. Хорошо, сейчас я рассмотрю задачу 5 в отрыве от задачи 4.


27.08.2021, 13:02 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Вы себе противоречите: "Выводы задачи 4" и ложны, и не доказаны. Должно быть одно из двух. Если не доказаны, то почему ложны. А если ложно, то почему не доказано (не доказано ложность)? Прошу определиться по вопросу 4.


27.08.2021, 13:09 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: 1. Рассматриваем задачу 5 в отрыве от задачи 4. Вы начинаете с "Рихо Террас доказал, что ПОЧТИ каждое натуральное число имеет конечное время остановки". Обращаем внимание на слово "почти". 2. Затем Вы проводите свой любимый перебор, видите некую закономерность, и, как обычно, не пытаясь эту закономерность доказать, называете замеченную гипотезу "эвристическим алгоритмом". Это типичная для Вас ошибка формулировки. При этом Вы без того, чтобы дать определение, называете "временем остановки" количество, за которое последовательность Коллатца приходит к числу, меньшему начального, что является не вполне ожидаемым значением словосочетания "время остановки", и заслуживает отдельного описания в статье. Несомненно, каждую из этих формулировок вида "7 и числа с интервалом 128" можно записать как 7+128a и без труда доказать, но без труда доказывается именно каждая из таких записей по отдельности, а Вы не стали доказывать ни одну из них. Итого до "вывода" мы нашли две проблемы: недоказанные гипотезы Вы снова называете "эвристическим алгоритмом", а количество таких недоказанных гипотез является бесконечно большим и не имеет замеченных и проанализированных закономерностей между гипотезами. 3. А дальше мы подходим к главной проблеме - "выводу". Вы говорите в четвертой части "вывода": "Все нечетные числа имеют формулы, подобные найденным выше". Из чего же Вы вывели, что все нечетные числа такие формулы имеют? Только из того, что проверили конечное количество чисел. А дальше сформулировали гипотезу, что и остальные тоже. Ну да, если x - нечетное число, которое сводится к меньшему, чем x, за N шагов, то все числа x+2^m тоже сводятся к меньшему, чем x, за N шагов, и можно даже без особого труда составить формулу для m. Но это не доказывает, что все числа попадают в подобные последовательности x+2^m, Вы это постулируете совершенно бездоказательно. Получается что Ваш вывод можно коротко свести к "Усов сформулировал гипотезу, которая заключается в том, что гипотеза Коллатца верна".


27.08.2021, 13:36 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Определяюсь по вопросу 4: термин "вывод" означает, что это утверждение, следующее из предыдущего текста. Если некое утверждение названо выводом, но не было доказано ранее и не следует из предыдущего текста, то вывод ложен, даже если само утверждение истинно. Пример: "Пятью пять - двадцать пять, делаем вывод: шестью шесть - тридцать шесть". Оба простых суждения верны, но вывод неверный, то есть умозаключение построено неверно.


30.08.2021, 5:57 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Несколько сократил статью, убрал все слова о доказанности гипотезы Коллатца (смысл статьи - как в названии: дальнейшие исследования). Уменьшил аннотацию.


30.08.2021, 15:56 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: 1. "Данный процесс можно продолжить дальше, сравнивая числа Gi, начиная с ветки VG4 до ветки VGg, с числом G1. И каждый раз окажется, что на ветка VG1 не может находиться любая из этих веток. Следовательно, не существует замкнутая последовательность веток вне дерева," - все еще ложное умозаключение. Доказательство для трех веток сводится к ручной проверке нескольких первых натуральных чисел. Чем большее количество веток в гипотетической замкнутой последовательности мы берем, тем большее количество начальных чисел надо проверить. В итоге, чтобы доказать, что не существует замкнутая последовательность веток вне дерева никакой длины, требуется проверить все натуральные числа, а их бесконечное количество. 2. "Пусть есть минимальное "начальное" число, для которого неверна гипотеза Коллатца. Тогда для каждого "начального" числа в последовательности Коллатца согласно доказательству Рихо Террас, а также согласно расчётам в задаче 5, найдётся число, которое будет меньшее "начального" (время остановки)," - ложное утверждение. Рихо Террас доказал не "для каждого", а "почти для каждого". Расчеты в задаче 5 ничего не доказали, только проиллюстрировали. Противоречия нет, вывод "задачи 6" неверен.


30.08.2021, 18:41 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: В задаче 4 ограничился пока "кольцом" с тремя ветками. В задаче 6 буду ждать доказательство Рихо Терраса для всех натуральных чисел. Главное - подготовлено начало доказательства в задаче 6.


30.08.2021, 20:29 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Геннадий Григорьевич, проблема в чем... Если Вы дождетесь доказательства Рихо Терраса для всех натуральных чисел, это будет означать, что Рихо Террас докажет гипотезу Коллатца. )


30.08.2021, 22:19 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Борис Иосифович! Я так понимаю, что больше замечаний нет? Предложение о Рихо Террасе убрал.


31.08.2021, 15:14 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Есть замечание. Кажется, последнее. Вы из выводов не убрали то, что убрали из самой статьи.


31.08.2021, 18:24 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Почистил выводы.


31.08.2021, 19:25 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Ну вот что "Все возможные ветки с натуральными числами будут находиться на дереве" - это утверждение равносильно гипотезе Коллатца.


31.08.2021, 20:04 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Поправил


2.09.2021, 13:43 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Борис Иосифович! Просьба теперь высказаться в отзыве о публикации для этой статьи.


2.09.2021, 15:50 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Мнение по состоянию статьи: все грубые математические ошибки исправлены, остались неточности формулировок. Научная польза/актуальность/новизна полученных в статье результатов сомнительна. От положительных или отрицательных рекомендаций воздержусь.


2.09.2021, 16:10 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Борис Иосифович! Спасибо за отзыв!


Оставить комментарий


 
 

Вверх