Разделы: Математика
Размещена 06.09.2021. Последняя правка: 18.09.2021.
Просмотров - 577

Замечание к Великой теореме Ферма

Усов Геннадий Григорьевич

к.т.н.

МГУ, 1972

пенсионер

УДК 511

Введение.

Великой теоремой Ферма (ВТФ) называется утверждение о том, что уравнение:

     х ^ n + y ^ n = z ^ n                                                                   (1)

не имеет решения в натуральных числах при n > 2 [1].

Существует замечание Грюнерта к ВТФ [1], полученное в 1856 году, согласно которому натуральные числа x, y, z, n, удовлетворяющие уравнению (1) (если такие числа существуют), должны удовлетворять неравенствам:

     n < x,   n < y,   n < z.                                                                 (2)

В настоящей статье будет рассматриваться замечание к ВТФ, ограничивающее числа x и z при некотором значении числа y < x, а также сильнее ограничивающее число n.

 

Актуальность.

Замечание к ВТФ позволяет сократить пути поиска доказательства ВТФ. И чем больше будет замечаний, тем на меньшем количестве пар натуральных чисел и для меньшего количества степеней будет доказываться ВТФ.

 

Цель и задачи.

Цель данной работы заключается в формулировании ограничений в виде замечания для всех чисел, которые рассматриваются в уравнении (1).

Будем считать без потери общности, что в уравнении (1) x > y.

Если подставить пару чисел х и y = х в уравнение (1), то получается:

     x ^ n + x ^ n = z ^ n

или:

     2 * x ^ n = z ^ n.     

или:

     2^(1/n) * x = z                                                                                (3)

Если уравнение (3) справедливо, то число z не будет целым числом при целом числе х.

Следовательно, уравнение (3) нельзя разрешить в целых числах, а поскольку уравнение (3) получено из уравнения (1) при x = y, то уравнение (1) нельзя разрешить в целых числах при x = y.

Кроме того, величина y в уравнении (1), с учетом (2), будет принимать значения:

     y > 3,                                                                                         (4)

а величина х в уравнении (1), с учётом, что x > y, будет принимать значения:

     х > y.

  

Замечание к ВТФ, устанавливающее зависимость числа х от числа y в уравнении (1)

Если выполняется условие:

     y ^ n < (х + 1) ^ n - x ^ n,                                                           (5)

то решение уравнения (1) не может быть в натуральных числах, и для случая (5) верна ВТФ.

Следовательно, если выполняется условие:

     y ^ n >= (х + 1) ^ n - x ^ n,                                                         (6)

то в этом случае возможно решение уравнения (1).              

Будем сравнивать две величины:

    Y = y ^ n

и

    D = (х + 1) ^ n  - x ^ n = n * x ^ (n + 1) + …> 0.                          (7)

Тогда решение уравнения возможно при:

    Y >= D                                                                                         (8)

Если число х увеличивается, то будет увеличиваться величина x ^ n, а также величина D согласно (7).

Соотношение (8) будем рассматривать с помощью величины а:

     а = x – y                                                                                      (9)

Тогда условие (9) можно записать следующим образом:

     y ^ n >= (y + a + 1) ^ n  - (y + a) ^ n = n * (y + a) ^ (n – 1) + (n – 1) * n / 2 * (y + a) ^ (n – 2) + …

или, оставляя только два первых члена многочлена, получаем:

     y ^ n > n * (y + a) ^ (n – 1) + (n – 1) * n / 2 * (y + a) ^ (n – 2) =

          = n * y^(n-1) + n * (n-1) * a * y^(n-2) + … + (n – 1) * n / 2 * y^(n-2)+ …

или, оставляя члены многочленов для степеней, больших (n - 3), получаем:

     y ^ n > n * y^(n-1) + n * (n-1) * a * y^(n-2) + (n – 1) * n / 2 * y^(n-2)

или:

     y ^ 2 > n * y + n * (n-1) * a + (n – 1) * n / 2 

или:

     a < A,                                                                                          

где:

     А = ( y ^ 2 - n * y  - (n – 1) * n / 2 *) / n / (n-1)                             (10)

или:

     a < ( y ^ 2 - n * y  ) / n / (n-1)                                                       (11)               

Из (9) получаем:

     x – y < A

или c учётом (9):

     x < y + ( y ^ 2 - n * y ) / n / (n-1)                                                  (12)

или:

     y < x < ( y ^ 2 + y * n * (n-1) - n * y ) / n / (n-1)  = ( y ^ 2 + y * n ^ 2  - 2 * n * y ) / n / (n-1) 

В результате, получено замечание к ВТФ по соотношению чисел х, y и n в уравнении (1).

  

Замечание к ВТФ, ограничивающее число z в уравнении (1).

Теперь напишем уравнение (1) чисел x и y = (x - 1) с произвольной степенью n:

     х ^ n + (x – 1) ^ n = (x + а) ^ n,                                                    (13)

где z = x + a.

Запишем уравнение (13) в следующем виде:

     х ^ n = (x + а) ^ n - (x – 1) ^ n                                                 

или:

     х ^ n = x^n + b(1) * a * x^(n-1) + b(2) * a^2 * x^(n-2) + b(3) * a^3 * x^(n-3) + …-

- ( x^n - b(1) * x^(n-1) + b(2) * x^(n-2) - b(3) * x^(n-3) + …),

где b(i)- биномиальные коэффициенты,

или:

     х ^ n = b(1) * (a+1) * x^(n-1) + b(2) * (a^2 - 1) * x^(n-2) + b(3) * (a^3+1) * x^(n-3) + … (14)

В уравнении (14) все коэффициенты неотрицательные при а >=1, поэтому можно записать неравенство при b(1) = n:

     х ^ n = (x + а) ^ n - (x – 1) ^ n > n * (a+1) * x^(n-1)                     (14а)          

или:

     х > (а + 1) *  n                                                                         

или:

     а + 1 < х / n                                                                                  (15)

А так как а = z – x, то:

     z < x / n + x – 1                                                                            (16) 

Таким образом, получается замечание к ВТФ, ограничивающее число z в уравнении (1).

 

Замечание к ВТФ, ограничивающее число n в уравнении (1)

Рассмотрим ситуацию, при которой для чисел x и (x - 1) в степени n выполняется следующее условие:

     х ^ n + (x – 1) ^ n > (x + 1) ^ n                                                     (17)

Выполнения данного условия при значении степени n означает, что хотя бы одно число y < x вместе с числом х при значении степени n удовлетворяет уравнению (1).

Если условие (17) для всех чисел y < x при значении степени n не выполняется, то для всех чисел y < x при значениях числа х и степени n верна ВТФ.

Неравенство (17) можно записать следующим образом:

     х ^ n > (x + 1) ^ n - (x – 1) ^ n                                                     (18)

Согласно (14а) при а = 1:

     (x + 1) ^ n - (x – 1) ^ n > n * 2 * x ^ (n - 1)

Тогда из (11) получаем:

     х ^ n > n * 2 * x ^ (n - 1)

или:

     х > 2 * n                                                                                      (19)

Таким образом, из неравенства (12) замечание к ВТФ по ограничению значения числа n в уравнении (1):

     n < x / 2.

 

Выводы.

В результате было получено замечание к Великой теореме Ферма, которое заключается в следующих ограничениях для чисел x, y, z, n, где y < x, при применении в уравнении (1):

      2 * n < x < ( y ^ 2 + y * n ^ 2  - 2 * n * y ) / n / (n-1),

      z < x / n + x – 1    

  

Научная новизна.

Получено замечание к Великой теореме Ферма, ограничивающее числа n, которое более сильное, чем замечание Грюнерта.

Получено замечание к Великой теореме Ферма, ограничивающее числа x и z при некотором значении числа y < x. 

1. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1978. 128 с.

Комментарии пользователей:

6.09.2021, 20:52 Цорин Борис Иосифович Отзыв: [1] Про случай "y=x" следовало бы написать нечто более подробное, чем просто "при x=y доказана ВТФ", тем более, формулировка "доказана ВТФ" в данном случае некорректна. [2]. Вы пишете: "Согласно замечанию Грюнерта на множестве Рх при доказательстве ВТФ будут рассматриваться следующие значения степени n: n < x – 1". Либо n<x, либо n<=x-1. Про n<x-1 Грюнерт ничего не говорил. [3]. В выражении (10) в правой части неравенства во втором множителе есть n слагаемых, каждое из них - многочлен, старший член x^(n-1) - это все верно. Но второй член некоторых из этих многочленов отрицательный. То, что A>0, надо доказать отдельно, иначе от (11) нельзя перейти к следующему, непронумерованному неравенству. [4] Аналогично для (12), (13) и (14). [5] Какое отношение к статье имеет пункт 1 из библиографического списка?

7.09.2021, 11:30 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: [1] Уточнил.[2].Уточнил [3].Рассмотрел отрицательные множители[4].Позднее рассмотрю.[5].Сократил

7.09.2021, 15:54 Цорин Борис Иосифович Отзыв: [1] "Поскольку корень n-ной степени числа 2 действительное число". Уточните формулировку. Само число 2 тоже вполне себе действительное. [3a] "Аналогично можно оценить другие степени числа х, при которых могут быть отрицательные коэффициенты" - "можно" не значит "точно получится тот же результат везде". Либо общее доказательство для всех степеней, либо индукция для суммы, либо другой подход, не требующий рассматривать каждую из неизвестного числа степеней отдельно. [3b] "B = n * x ^ (n – 1) + (– n) * x ^ (n – 2) +…., Из этого уравнения видно, что n * x ^ (n – 1) > ( n) * x ^ (n – 2)". Оно точно видно из этого уравнения, а не из того, что x>1? [3c] "Тогда, можно написать следующее неравенство: B > n * x ^ (n – 1)." Как оно следует из предыдущих формул? Непосредственно из предыдущих утверждений, процитированных в [3b], следует только B>0.

8.09.2021, 8:34 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: [1] Ещё уточнил. [3a] и [3b] Поменял доказательство n < x / 2.

8.09.2021, 14:20 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "И уравнение (11а) преобразуется: B(n - s) + B(s) = (x + 1) ^ k * (x – 1) ^ k * ((x + 1) ^ (n – s) + (x – 1) ^ (n – s))" - не сходится. Раскрываю скобки - половина степеней совпадает с уравнением (11а), половина нет.

8.09.2021, 15:57 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: [3a] и [3b] Поторопился. Исправил.

8.09.2021, 19:53 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: [4] Решил убрать из статьи замечание для числа z. Пока по новому доказательству не получается доказать.

8.09.2021, 22:47 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Теперь по сути вроде все верно (вроде - потому что все знаки до мелочи я не проверял, по сути пробежался). Только Вы две страницы текста доказывали то, что можно было доказать в пять, если не десять, раз короче, причем в середине доказательства использовали как вспомогательный именно тот факт, который, будучи применен в начале, давал бы сразу результат. ) Ну да хозяин-барин. По оформлению: во-первых, "(n – s)∑" - это крайне неочевидная запись для "суммы по j от 1 до n-s", здесь (n-s) слишком похоже на множитель. Во-вторых, "Величина (2 * x ^ 2) будет всегда больше величины (2 * a(2) – c(2))" - проверьте, то ли Вы имели в виду. В-третьих, у Вас доказаны два факта, а в выводах статьи трижды написано: "Доказано замечание".

9.09.2021, 8:07 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: [3a] и [3b] Перемудрил. Всё намного проще. Исправил.

9.09.2021, 9:39 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Добавил [4] Аналогично [3a] и [3b]. Для красоты картины лучше, наверное, сначала [4] , а потом [3a]. Сначала (а + 1), а потом (1 + 1), как следствие. [6]Ещё, для обсуждения, у числа X и у числа (Z - Y ) есть общие множители, если справедливо (1).

9.09.2021, 17:05 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уточнил [3a] и [4]

9.09.2021, 18:08 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Проблема решена за счёт суммы этих 2-х членов уравнений. Исправил

9.09.2021, 18:22 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "P = n * x ^ (n - 1) + x ^ (n – 2) * (n * n - 2 * ((n – 1 + 1) * n / 2) + n)" - здесь с ошибкой просуммированы s.

9.09.2021, 19:27 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Забыл про условие для s. Исправил

10.09.2021, 7:05 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Ну а теперь-то Вы получили "P = n * x ^ (n - 1)" по первым двум членам, а вдруг по остальным членам сумма отрицательна? )

10.09.2021, 8:58 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Сравнил 3-й член уравнения. Сказал об остальных. Поправил.

10.09.2021, 16:05 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Более-менее нормально, хотя в таком виде строгим доказательством не выглядит. Позавчерашняя версия была длиннее, но точнее. "z < x / n + x - 1" - n важнее оценить, чем z, я советую преобразовать это выражение в n(z,x), чтобы n<x/2 стал частным случаем, как Вы и хотели в отзыве от 9:39 09.09.2021. И в выводе все-таки формулировки "замечание к числу n" странные. Это называется "замечание к теореме, ограничивающее n", а не "замечание к числу n".

11.09.2021, 6:17 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Вернулся к позавчерашней версии, которую причесал, переставил n и z, поправил выводы и новизну. Изменил про замечание ...

11.09.2021, 8:59 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Одно "про замечание изменили", другое оставили почему-то.

11.09.2021, 9:15 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Подумал, что это только для сравнения... Исправил

11.09.2021, 9:25 Цорин Борис Иосифович Отзыв: В доказательстве для "+a" кое-где без изменений оставлены куски из "+1".

11.09.2021, 16:11 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Ошибка компоновки... Исправил

12.09.2021, 19:05 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "Q1 = k1∑(+- q1(j) * p1 ^ j); p1 = x ^ 2 - x + a * x – a" - не сходится.

13.09.2021, 8:23 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Согласен. Забыл 1. Исправил

13.09.2021, 9:11 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Нет, сильнее не сходится. У Вас там всё Q1=p1^k1 парой строк выше. Как Вы его внезапно превращаете в бином Ньютона, не раскладывая p1 на слагаемые?

13.09.2021, 10:05 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Замылилось. Исправил

13.09.2021, 14:26 Цорин Борис Иосифович Отзыв: U1 = x ^ (2 * k1) + (a – 1) * x > x ^ (2 * k1) - это не два первых члена разложения. И как раз U1 при a=1 не будет больше x ^ (2 * k1).

13.09.2021, 15:55 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Ввел многочлены Q11 и Q12... Исправил

13.09.2021, 17:12 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "x ^ k1 - k1 * x ^ (k1 – 1) > x ^ k1". Честно говоря, начинает надоедать. )

13.09.2021, 18:04 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Честно говоря, мне тоже ... Но надо добить задачу, если начал. Добавил произведение U11 * U12.

13.09.2021, 18:50 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "Теперь запишем первые два члена уравнения для Q11: U11 = x ^ k1 + k1 * x ^ (k1 – 1)" - неверно. Плюс все равно отсутствует оценка влияния остальных членов биномиального разложения. С чего Вы взяли, что второй член биномиального разложения по модулю будет больше суммы остальных? Это тоже надо доказывать.

13.09.2021, 18:53 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Ладно, так как уже сильно надоело, даю большую подсказку. Извращения начались с х ^ n = ( (x + а) - (x – 1) ) *...

14.09.2021, 7:32 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Вот это анекдот! Надо же такое пропустить! Ушел куда-то вглубь, искал новые многочлены... Зато под мудрым руководством освоил работу с многочленами (не занимался работой с многочленами со студенческой скамьи). Статья стала значительно короче.

14.09.2021, 15:48 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "В уравнении (10) все коэффициенты положительные при а >=1, b(1) = n". При a=1 не все коэффициенты положительные, есть нулевые. Но это не меняет ничего, кроме одного слова. "Вывод 3" можно не выводить отдельно, а просто подставить a>=1 в (12), опять лишний текст. А вот в первом "замечании" стоит, пожалуй, еще поработать. "С другой стороны, при увеличении величины степени n будет увеличиваться правая часть неравенства (6)" - так и левая часть будет увеличиваться. Тут бы построже доказать, что "минимальное значение числа ym в неравенстве (6) будет при минимальной величине степени n". Само-то утверждение верно, но не доказано.

15.09.2021, 9:05 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: 1. Больше 0. 2. Пока оставляю, поскольку это пункт, из-за которого вся эта статья. Нужны разъяснения 3. Поменял местами n и y, и по другому доказал для y

15.09.2021, 14:13 Цорин Борис Иосифович Отзыв: 1. "Положительные" и "Больше 0" - это одно и то же. 3. "И чем меньше будет число n, тем больше может быть пар чисел (x, y), удовлетворяющих уравнению (1)" - не доказано.

15.09.2021, 16:36 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: 1. Неотрицательные. 3. Доказал, но по другому

15.09.2021, 18:03 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "То есть, при увеличении степени n на множестве Рх увеличивается число y в уравнении (13б)." При увеличении степени в два раза - да, увеличивается, это Вы доказали. А вдруг при увеличении степени на 1 иногда уменьшается? ))) Вспоминайте школьный курс. Если при росте одного параметра растет связанный с ним другой, как это называется? Как проще всего доказать такую зависимость?

15.09.2021, 21:13 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Вы всегда говорите, чтобы вспомнил школьный курс, но очень тяжело всё из курса вспомнить, так как прошло более 50 лет. Теперь о статье. Привёл новое доказательство для y.

16.09.2021, 11:24 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Вопрос на засыпку: как можно писать математические статьи, осознавая, что даже школьный курс из головы вылетел? "y > 2 / (n – 1)√2 * n" - во-первых, обозначение (n – 1)√2 слишком похоже на умножение, используйте степенную запись для обозначения неквадратных корней. Во-вторых, зачем вводить n-1, если извлекали корень n-ной степени? Главное: "И при увеличении числа n в неравенстве (17) увеличивается число y" - не доказано. Доказано, что ограничение снизу для числа y увеличивается. Но если y1>a1, y2>a2 и a2>a1, это вовсе не гарантирует, что y2>y1.

16.09.2021, 13:13 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: А как Вы считаете, если всё время не заниматься математикой по серьёзному? И одно дело курс общий, а другое - отдельные частные решения. И не надо сравнивать современный курс с тем курсом. И тем более с уклоном. А то что пишу, то есть идея. Почему бы не опубликовать идею? По статье. 1. Описка. Исправил. 2. Нашел в редакторе. 3. Упростил. А остальное оставил для тех, кто лучше знает школьный курс.

16.09.2021, 13:44 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "y > n (18)" - а это Вы получили замечание Грюнерта.

16.09.2021, 16:00 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Спасибо за напоминание! Я об этом забыл, когда выводил (3). Это дополнительное ограничение на Рх, и может серьёзно отразится на доказательствах.

16.09.2021, 20:03 Цорин Борис Иосифович Отзыв: А замечание Грюнерта, увы, не может считаться Вашим результатом. Так что либо верните прежнюю версию и попробуйте все же ее доказать, либо удалите этот "Вывод 3".

17.09.2021, 8:06 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Вывод 3 уберу, а также весь раздел про y. Далее, будет позднее совсем другое доказательство. Наверное, с новой статьёй.

17.09.2021, 9:58 Цорин Борис Иосифович Отзыв: В текущем виде статью можно публиковать. Хотя неплохо было бы ее подсократить, а именно все рассуждения про Px заменить на стандартную формулировку "без потери общности возьмем x>=y".

17.09.2021, 10:46 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Именно я и хочу уйти от Рх "без потери общности возьмем x>=y". Почему новая статья? Потому что почти всё меняется.

17.09.2021, 11:00 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Уточняю: Ваше Px Вы используете в статье в двух целях. Во-первых, чтобы обозначить, что x>=y. Но в математике это обычно объявляют безо всяких "разделим на множества", а просто из соображений симметрии, есть устойчивое выражение "без потери общности". Во-вторых, Вы пишете "если на всех Px верно, то и вообще верно". Но это не требует выделения каких-либо множеств и отдельных формулировок. Когда доказывают для x, не задавая его значение, как раз и имеют в виду, что тем самым доказывается для всех случаев. Поэтому фразу "Формулирование замечания к ВТФ будет проходить на множествах Рх пар натуральных чисел, которые состоят из пар натуральных чисел (x, y), где 0 < y =< x" стоит записать как "Без потери общности возьмем x>=y", это и короче, и более традиционный вид. Фраза "Следовательно, при x = y доказана ВТФ для любых степеней n" бессмысленна, потому что это не "доказана ВТФ", а тот смысл, который в нее вкладывается у Вас, можно записать, например, как "Следовательно, x<>y, рассматриваем x>y". А следующие несколько абзацев, вплоть до "...произвольное множество Рх пар натуральных чисел", можно просто убрать, они не несут вообще никакой информации, кроме общих принципов любых доказательств.

17.09.2021, 11:49 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Согласен: уход от Рх значительно сократит выводы, а также немного статью

17.09.2021, 14:59 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Изменил статью

17.09.2021, 18:48 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Последний раз пробегаюсь по статье, выискивая мелкие ляпы, не влияющие на суть работы. Строка: "не имеет решения в целых числах при n > 2 [1]". Ляп: не "в целых", а "в натуральных", в целых неположительных как раз нетрудно найти решение. Строка: "должны удовлетворять неравенствам [1]:". Ляп: [1] стоит так, как будто относится к слову "неравенствам", его надо перенести либо к "замечанию Грюнерта", либо в конец предложения. Строка: "Для остальных значений степени n ВТФ считается доказанной согласно замечанию Грюнерта". Ляп: "считается доказанной для степени n" - это если при таком n для любых x и y верно; формулировка некорректна; впрочем, эту строчку можно просто убрать без потери смысла. Строка: "а также, дальше ограничивающее число n". Ляп: не "дальше", а "сильнее", и запятая лишняя. Строка: "Будем считать, что в уравнении (1) x > y". Ляп: в таких случаях принято писать "будем считать без потери общности". Строка: "n&#8730;2 * x = z". Ляп: выглядит похоже на умножение, лучше 2^(1/n). Строка: "Следовательно, при x = y доказана ВТФ для любых степеней n". Ляп: я уже писал, что "доказана ВТФ" здесь неприменимо. Строка: "x ^ n + y ^ n = (х + 1) ^ n. (5)". Ляп: видимо, стоит сразу сформулировать неравенство. Строка: "y ^ 2 > n * y + n * (n-1) * a + (n – 1) * n / 2 *". Ляп: заканчивается на *. Строка: "3<y" (в выводах). Ляп: ну это уже прямое следствие из замечания Грюнерта, заявлять, что это Ваш результат, не стоит. Как и в "2 < n < x / 2" писать своим результатом 2<n. Строка: "y < x < ( y ^ 2 + y * n ^ 2 - 2 * n * y ) / n / (n-1)". Ляп: y<x - не часть ограничения, а правило его применения, должно быть в первой строчке выводов, например, "в следующих ограничениях при y<x". Дополнительное предложение: z < x / n + x – 1 переформулировать как неравенство "x>..." и сформулировать ограничения в выводе "...<x<..., в частности, 2n<x", а не строить кучу отдельных неравенств. И назвать это двойное неравенство замечанием Грюнерта-Усова.

18.09.2021, 7:50 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Борис Иосифович! Большое спасибо за редактирование статьи! Всё поправил. В выводах главное - первое неравенство. Второе неравенство - только для информации. Ведь главное в уравнении (1) - проверка чисел x, y, n. Про z известно то, что это число - натуральное. А название замечания не от меня зависит.

21.09.2021, 13:01 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Борис Иосифович! Я, так понимаю, что замечаний по статье больше нет. Работа по статье была проделана большая. Большая просьба к Вам высказаться в отзыве о возможной публикации для этой статьи.

21.09.2021, 15:49 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Ок, официально: не гарантирую отсутствие мелких не выловленных мной опечаток и дефектов формулировок, но считаю, что в текущем виде работа достойна публикации.

21.09.2021, 17:32 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Борис Иосифович! Большое спасибо за отзыв!

Оставить комментарий