Разделы: Математика
Размещена 17.07.2022. Последняя правка: 19.09.2022.
Просмотров - 1956

Уточнение замечания Грюнерта к Великой теореме Ферма. Доказательство Великой теоремы Ферма для случая n = 3 с помощью нового метода.

Усов Геннадий Григорьевич

к.т.н.

МГУ, 1972

пенсионер

УДК 511

Введение.

Великой теоремой Ферма (ВТФ) называется утверждение о том, что уравнение:

     х ⁿ + y ⁿ = z ⁿ                                                                                       (1)

не имеет решения в натуральных числах при n > 2 [1].

Существует замечание Грюнерта к ВТФ [1], полученное в 1856 году, согласно которому натуральные числа x, y, z, n, удовлетворяющие уравнению (1) (если такие числа существуют), должны удовлетворять неравенствам:

     n < x,   n < y,   n < z.                                                                             (2)

В настоящей статье будет рассматриваться уточнение замечания Грюнерта к ВТФ.

 

Актуальность.

Замечание к ВТФ позволяет сократить пути поиска доказательства ВТФ. И чем больше будет замечаний, тем на меньшем количестве пар натуральных чисел x и y и для меньшего количества степеней n будет доказываться ВТФ.

 

Цель и задачи.

Цель данной работы заключается в уточнение замечания Грюнерта к ВТФ.

Будем считать без потери общности, что в уравнении (1) x > y.

Если y = х, то в уравнении (1) получается:

     x ⁿ + x ⁿ = z ⁿ

или:

     2 * x ⁿ = z ⁿ.     

или:

     x * 2 ^(1/2) = z                                                                                         (3)

Если уравнение (3) справедливо, то число z не будет целым числом при целом числе (х).

Следовательно, уравнение (3) нельзя разрешить в целых числах, а поскольку уравнение (3) получено из уравнения (1) при x = y, то уравнение (1) нельзя разрешить в целых числах при x = y.

В дальнейшем число х в уравнении (1) будет принимать значения:

     х > y.                                                                                                   (4)

     

Задача 1. Уточнение замечания Грюнерта к доказательству ВТФ в части числа y. 

Если y = 1, то уравнение (1) не будет выполняться, поскольку:

     x ⁿ + 1 < (x + 1) ⁿ,

где x > 1.

Поэтому будем увеличивать число y при данном числе х таким образом, чтобы выполнялось условие:

     х ⁿ + y ⁿ >= (х + 1) ⁿ.                                                                   (11)

Условие (11) можно представить следующим образом:

     y ⁿ >= (х + 1) ⁿ - х ⁿ,

или:

.    y ⁿ >= n * х ^{(n – 1)} + n * (n – 1) / 2 * х ^{(n – 2)} + ….                          (12)

Поскольку в правой части условия (12) все слагаемые положительные, то из условия (12) можно получить следующее неравенство:

     y ⁿ > n * х ^{(n – 1)},                                                                           (13)

или:

     y ⁿ > n * х ⁿ / х,

или:

     y > x * (n / x) ^(1/n)                                                                             (14)

То есть, получена граница для определения минимального значения числа y в уравнении (1) при заданных значениях чисел х и n.

 

Задача 2. Уточнение замечания Грюнерта к доказательству ВТФ в части величины x.

Будем считать, что число n – простое число.

Уравнение (1) можно представить следующим образом:

     х ⁿ + y ⁿ = (x + a) ⁿ,                                                                           (16)

где z = x + a, и а – натуральное число,

или:

     х ⁿ + y ⁿ = x ⁿ + n * x ^{(n – 1)} * a + n * (n – 1) / 2 * x ^{(n - 2)} * a ² + … + a ⁿ, 
или:

     y ⁿ = n * x ^{(n – 1)} * a + n * (n – 1) / 2 * x ^{(n - 2)} * a ² + … + а ⁿ,

или, поскольку число n – простое число, и все коэффициенты бинома Ньютона делятся нацело на число n, то:

     y ⁿ = n * а * x * А + а ⁿ,                                                                         

где:  А = x ^{(n – 2)} + (n – 1) / 2 * x ^{(n - 3}) * a + …+ a ^{(n – 2)},

или:

    y ⁿ - а  ⁿ = n * а * x * А.                                                                      (17)

 

Из (17) получаем, что величина y ⁿ делится на число a. 

Тогда у чисел а и y есть один или несколько простых делителей.

При этом, в числе а не может быть таких простых делителей, которых нет в числе y.

Следовательно, все простые делители числа а будут простыми делителями числа y.

Выберем из этих делителей один простой делитель d > 1.

Рассмотрим случай, когда d |= n.

Представим число а как:

     а = d ^m* М,                                                                                        (19)

где m и М – натуральные числа.

Представим число y как:

    y = d ^s * Y,                                                                                           (20)

где s и Y – натуральные числа.

Подставим (19) и (20) в уравнение (17) и получим:

    ( d ^s ) ⁿ * Y ⁿ – (d ^m ) ⁿ * М ⁿ  = n * (d ^m ) * М * x * А.                           (21)

Сравниваем 3 величины: ( d ^s ) ⁿ,  (d ^m) ⁿ,  (d ^m). 

Последняя величина всегда будет меньше 2-й величины. Поэтому нужно сравнивать 1-ю и 3-ю величины.

Для выполнения уравнения (21) необходимо, чтобы 1-я и 3-я величины были равны:   

    ( d ^s ) ⁿ  =  (d ^m ),                                                                                 (21a)

или:

     m = s * n.                                                                                            (22)

Уравнение (22) справедливо для любого другого общего простого делителя чисел а и y, не равного числу n.    

Рассмотрим случай, когда d = n.          

Из уравнения (21) получаем:

    ( n ^s ) ⁿ * Y ⁿ – (n ^m ) ⁿ * (М) ⁿ  = n * (n ^m ) * М * x * А.                          (23)                    
Аналогично условию (21а) для выполнения уравнения (23) необходимо, чтобы выполнялось равенство:

    ( n ^s ) ⁿ  =  n * (n ^m ),

или:

    ( n ^s ) ⁿ  =  (n ^m+1),

 или:

     m = s * n - 1.                                                                                        (24)

 

Представим число а в виде произведения простых делителей:

- если (а mod n) > 0, то:

     а = (d₁ ^s1 * d₂ ^s2 * d₃ ^s3 * …* d_D ^sD) ⁿ = a1 ⁿ,                                          (25)

- если (а mod n) = 0, то:

     а = (d₁ ^s1 * d₂ ^s2 * d₃ ^s3 * …* d_D ^sD) ⁿ / n = a1 ⁿ / n,                                 (26)

где d_i- простые делители, si – их степени, D - количество простых делителей.

Тогда и в числе y имеются те же простые делители:

    y = (a1)  * Y ,                                                                                        (26а)

где Y – некоторое натуральное число.

С учётом (25), (26) и (26a) уравнение (16) будет выглядеть следующим образом:

     х ⁿ + (a1 * Y) ⁿ = (x + а) ⁿ.                                                                    (27)               

С другой стороны, число а получается тогда, когда выбраны числа х и y.

Следовательно, числа а, возможные для пары чисел (х, y), получаются как комбинации различных простых делителей числа y вместе с их степенями. Может быть «нулевая комбинация», когда а = 1.

Но, как известно, y > a, или, подставляя (26а), получаем:

     y = (a1)  * Y > a1 ⁿ,  (или > a1 ⁿ / n).

Тогда имеет место ограничение для числа Y в (26а):

    Y > a1 ^n-1,  (или > a1 ^n-1 / n).                                                                  (27a)            

 Уравнение (16) можно записать по-другому:

     х ⁿ + y ⁿ = (y + b) ⁿ,                                                                              (28)

Получается, что уравнение (28) почти не отличается от уравнения (16), за исключением того, что b > 1.

Следовательно, можно сделать выводы по уравнению (28) аналогично выводу по уравнению (16).

Представим число b в виде произведения простых делителей:

- если (b mod n) > 0:

     b = (q₁ ^v1 * q₂^v2 * q₃^v3 * …* q_Q^vQ) ⁿ = b1 ⁿ,                                           (29)

- если (b mod n) = 0:

     b = (q₁ ^s1 * q₂ ^s2 * q₃ ^s3 * …* q_Q ^sQ) ⁿ / n = b1 ⁿ / n,                                (30)

где q_i- простые делители, v_i – их степени, Q – количество простых делителей.

Тогда и в числе x имеются те же простые делители:

    x = (b1)  * X ,                                                                                          (31)

где X – некоторое натуральное число.

Можно определить ограничение для числа X в (31):

    X > b1 ^n-1,  (или > b1 ^n-1 / n).                                                                  

Тогда уравнение (28), с учётом (29), (30), (31), можно представить следующим образом:

    (b1 * X) ⁿ  + y ⁿ = (y + b) ⁿ.                                                                      (32)

 

Задача 3. Сравнение чисел x, y и z.

Сравнивая уравнения (16) и (28), можно записать следующее уравнение:

    x + a = y + b.

Если a = 1, то b > 1.
Минимальным числом b может быть либо b = 2 ⁿ, либо b = n ^n-1 . При n = 3 получаем в первом случае 8, а во втором случае 9. При увеличении числа n разница будет увеличиваться.

Следовательно:

    x - y >= 2 ⁿ - 1,

или:

    x >= 2 ⁿ – 1 + y > 2 ⁿ,

и:

    y <= x - 2 ⁿ + 1.

Тогда получаем неравенство:

    z > 2 ⁿ + 1.

                                                                                         

В результате можно сформулировать замечание Грюнерта к Великой теореме Ферма по границам определения чисел х, y, z, n с учётом полученных уточнений следующим образом:

натуральные числа x, y, z, n, удовлетворяющие уравнению (1) (если такие числа существуют), должны удовлетворять неравенствам:

      x > 2 ⁿ,

      2 * n * (1 / 2) ^(1/n) < y <= x - 2 ⁿ + 1,

      z > 2 ⁿ + 1.

                                

Задача 4. Другое представление уравнения (1) для случая n = 3.

Запишем число z иначе:

     z = x + a = y + b.                                                                               (33)

Тогда уравнение (1) при n = 3 можно записать следующим образом:

     х³  + y³  = (x + a)³ ,                                                                      

или:

     x³  + y³  = x³  + 3 * x²  * a + 3 * x * a² + a³ ,

или:

     y³  – a³  = 3 * x²  * a + 3 * x * a² ,

или:

     (y – a)³  + 3 * y²  * a - 3 * y * a² = 3 * x²  * a + 3 * x * a² ,    

или:

     (y – a)³  = 3 * (x²  * a - y²  * a + x * a² + y * a²),

или:

     (y – a)³  = 3 * a * (x²  - y²  + a * (x + y) ),                                             (33a)

или:

     (y – a)³  = 3 * a * (x + y) * (x – (y - a) ),                       

или, из (33):

     (y – a)³  = 3 * a * b * (x + y).  

Определим:                

     w = x + y                                                                                            (34)

Тогда:

     (y – a)³  = 3 * a * b * w.                                                                      (35)

А применяя замену согласно (33), получаем:

     (x – b)³  = 3 * a * b * w.                                                                      (36)

 

Задача 5. Деление чисел a, b, w на 3.

Рассмотрим уравнение (35).

Поскольку в этом уравнении число 3 делит величину (y – a)³, то должно быть в правой части этого уравнения ещё число 3², на которое тоже делится величина (y – a)³. Это число 3² можно отнести к любому из чисел a, b, w. Тогда одно из этих чисел будет делиться на 3².

Число w не может делиться на 3², так в противном случае будут делиться на 3² числа x и y. Что не может быть, так как числа x и y – взаимно простые.

Тогда может быть только новое число 3 * w, а на остальные 3² будут делиться либо число а, либо число b.

Поэтому уравнение (35) можно записать так:

     (y – a)³  = a3 * b3 * w,                                                                            (40)

где одно из чисел a3, b3 делится на 3³.

Имеем 2 варианта представления чисел a3, b3:

     a3 = 3³ * a1³,    b3 = b1³,   

     a3 = a1³,    b3 = 3³ * b1³,   

Если выражение (y – a)³ есть целое число, то должно существовать целое число (y – a), которое будет выглядеть в виде:

- либо:

     (y – a) = 3 * a1 * b1 * w1, где w1³ = w = 3 * a1 * Y + b1 * X,                 (41)

- либо:

     (y – a) = 3 * a1 * b1 * w1, где w1³ = w = a1 * Y + 3 * b1 * X,                 (42)

Раз (y – a) представляет собой целое число, и делители a1, b1 являются целыми числами, то и число w1 должно быть целым числом.

 

Задача 5а. Определение числа w1.
Допустим, что число a делится на число n.

Тогда из (41) имеем: 

     (y – a) = 3 * a1 * b1 * w1       и         (x – b) = 3 * a1 * b1 * w1

или, с учётом (26а), (31):

     3 * a1 * Y + 3² * a1³ = 3 * a1 * b1 * w1, 

     b1 * X + b1³ = 3 * a1 * b1 * w1, 

или,

     Y + 3 * a1² = b1 * w1, 

     X + b1² = 3 * a1 * w1, 

или,

     Y = b1 * w1 - 3 * a1², 

     X = 3 * a1 * w1 - b1², 

Подставляем эти значения в (41) для числа w:

      w = 3 * a1 * Y + b1 * X = w = 3 * a1 * (b1 * w1 - 3 * a1² ) + b1 * (3 * a1 * w1 - b1² ), 

или, так как w = w13 , то:

     w1³ = w1 * (3 * a1 * b1 + b1 * 3 * a1) – (3 * a1 * 3 * a1² + b1 * b1² ).

Данное уравнение должно решаться в целых числах, так как число w1 – целое число.
Поэтому выражение (3 * a1 * 3 * a1² + b1 * b1² ) должно делиться нацело на число w1:

     (3 * a1 * 3 * a1² + b1 * b1² ) = w1 * W,

где W – натуральное число,

или,

     a1 * p + b1 * q = w1 * W,

где р = 9 * a1² ,    q = b1² .

Тогда получаем из уравнения (36), умножая его на W3:

     W³ * (y – a)³  = 3 * a * b * w1³ * W³,

или:

     W³ * (y – a)³  = 3 * a * b * (a1 * p + b1 * q)³ .

Теперь необходимо, чтобы после возведения в степень выражения (a1 * p + b1 * q) получилось выражение w вида (41), (42) с учётом ограничений на числа a1, Y, b1, X.

Аналогично можно определить число w1 в случаях, когда число b делится на число n (42).

 

Задача 6. Существует ли целое число w1 такое, что выполняются условия (41), (42)?

Числа а1, b1, X, Y, w являются взаимно простыми числами, и числа а1, b1, X, Y не делятся на число 3.

Согласно (41), (42) число w1 – целое число.

В задаче 5а было определено число w1 в виде сумму двух слагаемых, с делителями a1 и b1:

     w1 = a1 * р + b1 * q,                                                                           (46)

где p и q - натуральные числа.  

Если осуществить операцию w1³ , то в результате должно появиться число w или число 3 * w в виде суммы слагаемых с делителями a1 и b1, как в (41), (42).

Тогда:

     w = w1³  = (a1 * р + b1 * q)³ ,

или:

     w = a1³ * p³ + 3 * a1² * p² * b1 * q * + 3 * a1 * p * b1² * q² * + b1³ * q³.

Теперь надо эти 4 слагаемых разделить на 2 группы таким образом, чтобы в одной группе был общий делитель а1, а в другой группе общий делитель b1.

Тогда получаем 2 варианта:

     w = a1 * (p * (a1² * p² + 3 * b1² * q²)) + b1 * (q * (3 * a1² * p² + b1² * q²)).  (47)

и:

     w = a1 * (p² * (a1² * p + 3 * а1 * b1 * q)) + b1 * (q² * (3 * a1 * b1 * р + b1² * q)).  (48)

Могут быть ещё варианты 3 + 1 и 1 + 3, но эти варианты не будут отличаться от выше приведённых вариантов при доказательстве. Других таких вариантов не будет.

Согласно, (41), (42) число w может быть представлено в виде 2-х вариантов:

     w = 3 * a1 * Y + b1 * X,                                                     (49a)  

     w = a1 * Y + 3 * b1 * X,                                                     (49b)

где числа а1, b1, X, Y не делятся на число 3.

Для того, чтобы в уравнениях (47) и (48) коэффициенты при a1 делились на 3, необходимо, чтобы число p делилось на 3. Но тогда в уравнениях (47) и (48) коэффициент при делителе а1 будет делиться на 3² и 3³ соответственно.

Что противоречит условиям (49a).

Для того, чтобы в уравнениях (47) и (48) коэффициенты при b1 делились на 3, необходимо, чтобы число q делилось на 3. Но тогда в уравнениях (47) и (48) коэффициент при делителе b1 будет делиться на 3² и 3³ соответственно.

Что противоречит условиям (49b).

Получается, что каждый из вариантов (49) числа wне может быть выполнен, поскольку в каждом из них при переходе от уравнений (47) и (48) получается на одну степень числа 3 больше для одного из делителей а1 и b1, чем в условиях (49).

Таким образом, можно сделать следующий вывод: для числа w нет целого числа w1 такого, что w1³ = w при выполнении условия (49).

 

Задача 6а. Доказательство ВТФ (1) для случая n = 3.

Поскольку для числа w нет целого числа w1 такого, что w1³ = w при выполнении условия (49), то не могут быть выполнены условия уравнений (42), (41), (40), (35) при наличии условий (49).

А так как уравнение (35) было получено из уравнения (1) с помощью уравнений (33) и (34), то уравнение (1) не может быть выполнено при наличии условий (49).

Но условия (49) были получены из уравнений (1) и (35) при допущении, что ВТФ верна для n = 3.

Следовательно, имеет место противоречие.

Таким образом, допущение, что ВТФ верна для n = 3, неверно.

Следовательно, ВТФ (1) доказана для случая n = 3 при использовании нового метода.

Задача 7. Сравнение ВТФ с n = 2 и с n = 3.

Как известно, уравнение:

     х²  + y²  = z²  ,                                                                                (50)

имеет решения в целых числах.

Определим число z иначе:

     z = x + a = y + b.                                                                            (51)                                                                             

Тогда уравнение (22) можно записать следующим образом:

     х²  + y²  = (x + a)² ,                                                                       

или:

     x²  + y²  = x²  + 2 * x * a + a² ,

или:

     y²  – a²  = 2 * x * a,

или:

     (y – a)²  + 2 * y * a – 2 * a² = 2 * x * a,    

или:

     (y – a)²  = 2 * (x * a - y * a + a²),

или:

     (y – a)²  = 2 * a * (x - y + a),

или, с учётом (51):

     (y – a)²  = 2 * a * b.

Данное уравнение отличается от уравнения (36) тем, что в уравнении (36) появился сомножитель (x + y), который не позволяет решить уравнение (36) в целых числах.   

Таким образом, можно предположить, что появление сомножителя (x + y) в уравнениях вида (36), определённого подобно (49), говорит о том, что такие уравнения нельзя решить в целых числах.

Поэтому с целью доказательства ВТФ необходимо «распространить» уравнение (36) с условиями (49) на уравнение ВТФ (1) с простыми числами n > 2.

 

Задача 8. Определение обобщённого уравнения для доказательства ВТФ

Предположим, что можно получить из уравнения ВТФ (1) с помощью подстановки:

     z = x + a = y + b,

обобщённое уравнение следующего вида:

     (y – a)ⁿ  = n * a * b * w,                                                                               (52)

где:

1. число w может быть представлено в виде только 2-х вариантов:

     w = n * a1 * Y1 + b1 * X1,

     w = a1 * Y1 + n * b1 * X1,                                                                           (53)

2. X1, Y1 – натуральные числа, которые могут отличаться от чисел X, Y в числах x и y,

3. числа а1, b1, X1, Y1 не делятся на число n,

4. числа а1, b1, X1, Y1 являются взаимно простыми числами,

5. число n – простое число.

Уравнение (52) можно записать так:

     (y – a)ⁿ  = a4 * b4 * w,                                                                                    (54)

где одно из чисел a4, b4 делится на n^n-1.

Имеем 2 варианта представления чисел a4, b4, x, y:

     a4 = nⁿ * a1ⁿ,    b4 = b1ⁿ,        x = n * a1 * X,   y = b1 * Y,

     a4 = a1ⁿ,    b4 = nⁿ * b1ⁿ,        x = a1 * X,   y = n * b1 * Y,

 Докажем, что невозможно найти в целых числах число w1 такое, что w1ⁿ = w при выполнении условий к уравнениям (52), (53) и (54).

 

Выводы.

Получено уточнение замечания Грюнерта к Великой теореме Ферма.

Доказана Великая теорема Ферма для случая n = 3 при использовании нового метода.
Получено обобщённое уравнение для доказательства ВТФ.

Научная новизна.

Получено уточнение замечания Грюнерта к Великой теореме Ферма.

Доказана Великая теорема Ферма для случая n = 3 при использовании нового метода.

 

1. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1978. 128 с.

Комментарии пользователей:

17.07.2022, 15:43 Цорин Борис Иосифович Отзыв: {1} Опечатка в формуле B(a) между формулами (8) и (9), стоит сложение вместо умножения (в дальнейших преобразованиях умножение вернулось на место). {2} Между формулами (9) и (10) некорректно просуммирован по a коэффициент при x^(n-2), что повлияло на формулу (10). {3} "Поскольку в правой части условия (12) все слагаемые положительные" - докажите.

17.07.2022, 18:50 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: (1) Исправил. (2) Исправил. Очень удивился, что 0. Несколько раз проверял. Поэтому добавил ещё один коэффициент при x ^ (n – 3). Нашел ошибку в "Каждая из величин В(а) состоит из n (!!!) слагаемых". (3) Все коэффициенты многочлена - положительные, поскольку они являются коэффициентами многочлена (х + 1) ^ n , поэтому и все члены многочлена в (12) - положительные.

18.07.2022, 9:35 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Простите, при написании отзыва листал туда-сюда и не оттуда фразу взял. Пункт {3} должен был касаться совсем не условия (12). "Поскольку величина х ^ n больше или равна правой части условия (10), то величина х ^ n будет больше, чем любое слагаемое из правой части условия (10)" - вот здесь докажите, что все слагаемые положительные. )

18.07.2022, 9:46 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Хотя в целом я удивлен... Вы доказываете то, что уже доказывали, и допускаете при этом ошибки, которые уже допускали и исправляли ранее. P.S. Ну и вообще брать теорему, доказанную четверть века назад, и модифицировать замечание к ее доказательству, доказанное полтора века назад, - это странное увлечение.

18.07.2022, 17:58 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: (3) Бывает... Исправил.

18.07.2022, 18:02 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: "Ну и вообще брать теорему, доказанную четверть века назад, и модифицировать замечание к ее доказательству, доказанное полтора века назад, - это странное увлечение" - Но для чего-то упоминают в книгах данное замечание, несмотря на доказательство.

19.07.2022, 0:07 Цорин Борис Иосифович Отзыв: {1} Упоминают, упоминают. В рамках рассказа об истории попыток доказательства. И в скольки там книгах упоминают? ) {2} В текущем виде статья грубых ошибок не содержит, на три четверти дублирует другую статью за тем же авторством, научная ценность оставшейся четверти сомнительна, но надеяться на публикацию можно. {3} Раз Вам так нравится копаться в замечании Грунерта, попробуйте, что ли, усилить y>n, не сводя к зависимости y от x. Например, попробуйте доказать, что y>1.58n. Это вполне в Ваших силах.

19.07.2022, 13:45 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: (1.58n) - Пока вижу один вариант: 2 * n < x, y > x * (n / x) ^ (1/n), y > 2 * n * (1 / 2) ^ (1/n)

19.07.2022, 16:36 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Последний переход неверен, n/x<1/2, так что нельзя его так здесь заменять, не будет транзитивности. Оно к этому придет, но чуть более длинным путем.

21.07.2022, 16:28 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Я пропустил несколько действий: решил съэкономить. 2 * n < x, y ^ n > n * х ^ (n – 1), y ^ n > n * (2 * n) ^ (n – 1), y ^ n > (2 * n) ^ n * (1/2 ) , y > 2 * n * (1 / 2) ^ (1/n)

22.07.2022, 9:16 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Теперь верно, можете добавлять в статью.

22.07.2022, 11:06 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Борис Иосифович! Большое спасибо за участие в написании настоящей статьи! Добавил уточнение границы для y.

27.07.2022, 13:58 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Добавил задачи 3 и 4.

29.07.2022, 11:41 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Добавил пример при n = 2

30.07.2022, 1:43 Цорин Борис Иосифович Отзыв: {1} Новополученные формулы к Грунерту ни малейшего отношения не имеют, статья испортилась. {2} Проверять их вывод мне лень, благо, во-первых, казалось бы, уж в тексте-то статьи можно оформить с верхними и нижними индексами, но вот нет же, надо изо всех сил запутывать всевозможными xa, не равными x*a, а во-вторых, упражнения сии все равно бессмысленны и беспощадны, как русский бунт глазами Пушкина.

30.07.2022, 9:00 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Может быть я плохо указал, но получилось, что x > 2 ^ n - 1 + y. (задача 4). "...надо изо всех сил запутывать всевозможными xa, не равными x*a" - а это примерно в каком месте?

30.07.2022, 9:57 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "а это примерно в каком месте?" - "1.значения величины z: z = x + xa,". Проверять Ваши умозаключения я более не буду, пока Вы не перепишете их в приличный вид: степени через верхний индекс, номера через нижний индекс и т.д. Это в отзывах так не дают делать, а в тексте статьи можно. И, соответственно, называть величину буквосочетанием позволяет язык программирования, а не язык математических формул.

30.07.2022, 14:59 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Согласен. Разобрался в буквосочетаниях и упростил формулы в задачах 3 и 4

30.07.2022, 17:09 Цорин Борис Иосифович Отзыв: А индексы ставить что не позволяет? Лень-матушка?

30.07.2022, 18:09 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Разобрался с верхними. Исправил.

30.07.2022, 21:54 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Нижние ставятся аналогично верхним.

30.07.2022, 22:17 Цорин Борис Иосифович Отзыв: {1} "Из уравнения (18) следует, что величина (y ^ n – 1) делится на число n: Тогда можно определить последовательность натуральных чисел y, удовлетворяющих уравнению (18): y = n * k1 + 1" - совпадение остатков при делении y^n и y следует доказать. Аналогично и для случая a>1. {2} "Будем считать, что у чисел а и (y) больше нет общих делителей" - а у нас есть право так считать? {3} "Делитель d не может быть делителем числа х, поскольку он уже является делителем числа y. Поэтому, для того, чтобы выполнялось уравнение (24), необходимо, чтобы выполнялось условие: n – s = 0" - а что, то, что d не может быть делителем числа x, гарантирует, что d не является делителем произведения n*x*A? Далее пока не читаю.

31.07.2022, 8:37 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: (2) сделал только 1 делитель без S. (3) Показал, что А не делится на d. (1) пока увидел в таблице, думаю, получаемая при этом формула пока не очень важна. (нижние) - поправлю позднее, надо привыкнуть

31.07.2022, 8:45 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Исправил нижние

31.07.2022, 9:18 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: (1) доказал для 1 и для а

31.07.2022, 9:22 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "(1) пока увидел в таблице, думаю, получаемая при этом формула пока не очень важна." - вот "увидел в таблице" - вообще не аргумент. Доказывайте. "(3) Показал, что А не делится на d" - ок, принято, а почему там n – s = 0, а не n – s <= 0? "Допустим, у числа (а) есть только один простой делитель d > 1. ... Если среди делителей числа а есть ещё делители числа y, то для каждого из этих делителей рассуждения будут аналогичные." - точно будут? Откуда такая уверенность, если Вы провели рассуждение исключительно для случая одного простого делителя?

31.07.2022, 11:19 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уточнил n – s <= 0?

31.07.2022, 11:38 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: "Откуда такая уверенность, если Вы провели рассуждение исключительно для случая одного простого делителя?" - Показал на двух разных простых делителях. Далее можно для любого количества делителей.

31.07.2022, 12:53 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "Минимальным числом v, которое удовлетворяет уравнению (19), будет число 1. Тогда можно определить последовательность натуральных чисел y, удовлетворяющих уравнению (18):" - не обосновано. Малую теорему Ферма применять не хотите принципиально?

31.07.2022, 17:06 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Применил МТФ

31.07.2022, 17:45 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "Тогда уравнение (24) можно записать следующим образом: d^ (n) * d^ (n – u)..." - не сходится.

31.07.2022, 18:31 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Поторопился, исправил

1.08.2022, 9:18 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "Тогда уравнение (21) можно записать следующим образом: d^(n)*d^(n) * D1^n" - почему это (21)? И, главное, откуда взялся второй подряд множитель d^n?

1.08.2022, 10:53 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уточнил, а также немного дальше уточнил

1.08.2022, 14:34 Цорин Борис Иосифович Отзыв: {1} "то уравнение (24а) можно записать следующим образом: Тогда уравнение (21) можно записать следующим образом:" - тут явно что-то лишнее или что-то пропущено. Ну ладно, идем дальше. Хотя, отмечу, s=m*n из (23) можно было раза в три короче вывести. Итак, "Для того, чтобы выполнялось уравнение (25), необходимо, чтобы выполнялось условие: n – s – 1 = 0" - снова та же проблема с равенством вместо неравенства, хотя вывод s = m * n - 1 верен (только m другое). {2} "Если среди делителей числа (а) есть ещё делители числа (y), то для каждого из этих делителей рассуждения будут аналогичные. Пусть число а состоит из двух различных простых делителей d1 и d2 со степенями s1 и s2 соответственно:" - а нельзя сразу было "пусть число a при разложении на простые множители включает простой множитель d в степени s"? Чтоб не перебирать "один простой делитель, два простых делителя, далее аналогично". {3} "Поскольку простые делители d1 и d2 не равны, то получаем зависимости для степеней s1 и s2: s1 = m1 * n - 1, где m1 – некоторое натуральное число, s2 = m2 * n - 1, где m2 – некоторое натуральное число." - а почему для обоих делителей получились те же закономерности, которые при одном делителе были для случая d=n? {4} "Таким образом, если в уравнении (17) число (а) состоит из нескольких делителей: а = (d1 * d2 * d3 * …* dQ)^n" - это такой особый очень важный случай, когда в разложении а на простые множители все степени совпадают?

1.08.2022, 17:40 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: (1) Убрал (21) (2) Наверное надо упорядочить, посмотрю позднее (3) Исправил (4) Отредактировал

2.08.2022, 9:12 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: (2) - отредактировал и сократил

2.08.2022, 17:08 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Решил добавить: "Задача 5. Доказательство Великой теоремы Ферма при нечётных числах n >2." и "Задача 6. Сравнение варианта нечётного n> 2 с вариантом n = 2." с уточнение названия статьи и аннотации.

3.08.2022, 11:16 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Поправил нижние

3.08.2022, 14:32 Цорин Борис Иосифович Отзыв: то число (b) будет больше 1, и минимальное значение числа (b) будет число 2^n при условии, что a = 1", "Если a = 2^n, то минимальным значением (b) будет число 3^n" - а почему Вы перестаете рассматривать варианты с "> a1^n / n"?

3.08.2022, 14:44 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Как я понял, Вы предлагаете следующий вариант: ( n ) ^ n * Y ^ n – (n ) ^ n * (М) ^ n = n * (n ) * М * x * А. (23) - для варианта с число (а) = n. Аналогично будет для числа (b) = n. Но правая часть уравнения делится на ( n ) ^ n, а левая часть - только на (n ) ^ 2. Противоречие. То есть, число (а) или число (b) в данном варианте может быть только (n ) ^ (n - 1)

3.08.2022, 14:50 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: "а почему Вы перестаете рассматривать варианты с "> a1^n / n"?" - Любой вариант a1^n / n будет всегда больше, чем 2^n. Поэтому я взял по минимуму - 2^n .

3.08.2022, 14:58 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Получается, что надо сравнивать 2 ^ n и n ^ (n - 1). При n = 3 имеем 8 и 9. При большем n разница будет ещё больше.

3.08.2022, 15:40 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: В отзыве 14.44 перепутал правую и левую части

3.08.2022, 16:07 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Принято. Возвращаясь назад: "Тогда у чисел (а) и (y) есть один или несколько простых делителей, в том числе 1" - единица не является простым числом. Формулировка некорректна. Но на дальнейшие рассуждения эта формулировка вроде не влияет. Пока что читаю дальше.

3.08.2022, 16:19 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "Если a = 2^n, то минимальным значением (b) будет число 3^n. И т.д." - хотя вот здесь будет неверно при n=3, но можно изначально рассматривать n>3, так как для n=3 частный случай теоремы Ферма доказан очень давно.

3.08.2022, 16:20 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "y < x - 2^n + 1" - почему неравенство строгое?

3.08.2022, 16:29 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Ну вроде x>2^n Вы действительно доказали. Перехожу к "задаче 5". В левой части формулы (38), видимо, должен быть х, а не у? А вот дальше вижу уже серьезную проблему: "y * b * t1 = (y + b) * t3 * b. Тогда, в свою очередь, на число (b) должно делиться число t1" - тут-то с какой стати?

3.08.2022, 16:42 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: " "y < x - 2^n + 1" - почему неравенство строгое?" - Согласен, <=. Исправлю. 16:07 - Испраавлю. 16:19 - Уберу, достаточно моё объяснение от 14:58. Иправлю

3.08.2022, 19:40 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Виноват. Вернулся к старому тексту.

3.08.2022, 21:33 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Почитайте про формулу Евклида для определения примитивных пифагоровых троек и поймете, почему всё, что касается n=2, из статьи можно убирать. Благо, оно и не совсем в тему. Выводы 1 и 2 не имеют отношения к Грунерту, да и переформулировать бы их без всякого а, через z-x=.... Уточнениями к замечанию Грунерта могут считаться только неравенства, связывающие x, y или z (одно из них на одно неравенство) с n.

4.08.2022, 8:26 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Значительно сократил статью с учётом замечаний в последнем отзыве.

4.08.2022, 9:37 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Осталось еще много проблем с форматированием - уйма лишних скобок и т.д., остались мелкие дефекты формулировок. Но в текущем виде статью уже можно рекомендовать к публикации.

4.08.2022, 17:01 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Убрал скобки, изменил некоторые формулировки

25.08.2022, 17:05 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Борис Иосифович! Я могу показать, что одно из чисел x или y должно делиться на n. Нужно добавлять в статью?

25.08.2022, 17:36 Цорин Борис Иосифович Отзыв: К замечанию Грюнерта это не относится. Сделайте отдельной статьей - проще будет удалить, если обнаружится неустранимая ошибка.

12.09.2022, 11:52 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Добавил задачи 4,5,6

12.09.2022, 15:33 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Геннадий Григорьевич, учитывая, что Вы уже начали звонить мне на работу, чтоб я Вашу графоманию проверял, я думаю, я совсем перестану это делать. А то, чего доброго, однажды я встречу Вас у себя под подъездом с распечаткой очередной Вашей статьи и мясницким ножом.

12.09.2022, 18:17 Харт Алекс Отзыв: "Доказана Великая теорема Ферма для случая n = 3 при использовании нового метода." - Вероятность того, что Вы ошиблись составляет 99.99%. Постарайтесь найти ошибку.

12.09.2022, 18:24 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уважаемый Борис Иосифович! Прошу Вас меня извинить за такую назойливость. Просто у меня возникла интересная задача, связанная с Питоном и коэффициентами бинома Ньютона для очень больших чисел. Думал, что это будет для Вас интересно. Забудьте про мой телефон.

12.09.2022, 18:40 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: "Вероятность того, что Вы ошиблись составляет 99.99%. Постарайтесь найти ошибку." - И в каком уравнении, по-вашему, ошибка?

12.09.2022, 18:45 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: А почему не на 100 %? Или у Вас сбой в компьютере. Или у меня есть шанс доказать, что я прав.

13.09.2022, 0:55 Харт Алекс Отзыв: "И в каком уравнении, по-вашему, ошибка" - Хотелось бы чтобы Вы сами смогли ее найти. "А почему не на 100 %? Или у Вас сбой в компьютере. Или у меня есть шанс доказать, что я прав." - Компьютер здесь не при чем. Шанс что Ваше доказательство верно есть и он равен 100% - 99.99% = 0.01%.

13.09.2022, 8:11 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: "Хотелось бы чтобы Вы сами смогли ее найти." - Так не принято на обсуждении. Значит, Вы просто всех обманываете в том, что у меня есть ошибка.

13.09.2022, 8:15 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Немного упростил задачу 5

13.09.2022, 11:02 Харт Алекс Отзыв: "Значит, Вы просто всех обманываете в том, что у меня есть ошибка." - Естественно я обманываю. Ваше утверждение "Доказана Великая теорема Ферма для случая n = 3 при использовании нового метода." равносильно утверждению, что Вы голыми руками победили здоровенного кабана. А обманываю конечно я.

13.09.2022, 11:19 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: А знаете, здесь Вы правы. Так и получилось, что "голыми руками победили здоровенного кабана". Но не только я один. Мне помогали комментарии для этой статьи.

13.09.2022, 12:59 Харт Алекс Отзыв: Вы много раз "доказывали" разные сложные теоремы. У Вас никогда не возникает мысль "Неужели я действительно доказал это таким простым способом? Может я где-то ошибся?"

13.09.2022, 13:07 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Вы не поверите, возникают! И много таких вопросов! Большинство снимаю сам, то есть, нахожу ошибки. Часть ошибок выявляется при публикации. Но тема продвигается, и есть уже "реперные точки", которые я буду постепенно публиковать. Step by step!

13.09.2022, 13:38 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уточнил задачу 6

13.09.2022, 14:21 Харт Алекс Отзыв: Т.е. сейчас Вы уверены, что в очередной раз не ошиблись?

13.09.2022, 17:13 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Если бы не был уверен, то не стал бы печатать. Хотя..., может быть что-то не учёл (как всегда).

13.09.2022, 18:23 Харт Алекс Отзыв: "Хотя..., может быть что-то не учёл (как всегда)" - Вот и я об этом. А то такие ситуации - "Семён Семёныч. Вот оказывается где ошибка была." - как-то не к лицу.

14.09.2022, 7:10 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Добавил задачу 7 и уточнил аннотацию.

14.09.2022, 12:34 Харт Алекс Отзыв: Посмотрел Ваше "доказательство" пока бегло. Ошибка есть естественно, как я и писал ранее. (x–b)^3=3*a*b*w. Одно из чисел a, b, w совершенно спокойно может делиться на 3^(3*h-1). Где h>=2. Так как одно из чисел x, y или z собственно и должно делиться на 3^h. Где h>=2. А это не проблема для теоремы Ферма при n=3. Более подробно постарайтесь разобраться сами. Ничего сложного там нет. Вы поверите, если кто-то Вам скажет, что голыми руками победил кабана? Думаю нет. А сами тем не менее верите, что сделали это. Я все-таки советую Вам более досконально проверять Ваши идеи перед публикацией. Спешка тут неуместна. Тысячи и тысячи приводили свое "доказательство" теоремы Ферма, которое было ошибочно.

16.09.2022, 8:00 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: "Ошибка есть естественно, как я и писал ранее. (x–b)^3=3*a*b*w. Одно из чисел a, b, w совершенно спокойно может делиться на 3^(3*h-1). Где h>=2." - Об этом было сказано в (26) и (30) и развивалось в задаче 5. Так что Вы ничего нового не сказали.

16.09.2022, 10:34 Харт Алекс Отзыв: Ошибку свою найти Вы так и не смогли получается?

16.09.2022, 14:22 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уточнил задачу 5 - число w не может делиться на 3^2.

17.09.2022, 9:53 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Ранее я определил число w1 как возможный вариант. Теперь добавил задачу 5а, где определяется это число w1. Уточнил задачу 6, выделил задачу 6а, выделил задачу 8.

19.09.2022, 14:10 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: уточнил статью, так как будет не 4, а 2 варианта деления чисел на n.

Оставить комментарий