Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?

Научные направления
Поделиться:
Публикация научных статей в научно-издательском центре Аэтерна


Разделы: Математика
Размещена 17.07.2022. Последняя правка: 04.08.2022.
Просмотров - 1016

Уточнение замечания Грюнерта к Великой теореме Ферма.

Усов Геннадий Григорьевич

к.т.н.

МГУ, 1972

пенсионер

Аннотация:
Получено уточнение замечания Грюнерта к Великой теореме Ферма.


Abstract:
A refinement of Grünert's remark to Fermat's Last Theorem is obtained.


Ключевые слова:
Великая теорема Ферма; замечание Грюнерта

Keywords:
Fermat's Last Theorem; remark by Grunert


УДК 511

Введение.

Великой теоремой Ферма (ВТФ) называется утверждение о том, что уравнение:

     х n + y n = z n                                                                                       (1)

не имеет решения в натуральных числах при n > 2 [1].

Существует замечание Грюнерта к ВТФ [1], полученное в 1856 году, согласно которому натуральные числа x, y, z, n, удовлетворяющие уравнению (1) (если такие числа существуют), должны удовлетворять неравенствам:

     n < x,   n < y,   n < z.                                                                             (2)

В настоящей статье будет рассматриваться уточнение замечания Грюнерта к ВТФ.

 

Актуальность.

Замечание к ВТФ позволяет сократить пути поиска доказательства ВТФ. И чем больше будет замечаний, тем на меньшем количестве пар натуральных чисел x и y и для меньшего количества степеней n будет доказываться ВТФ.

 

Цель и задачи.

Цель данной работы заключается в уточнение замечания Грюнерта к ВТФ.

Будем считать без потери общности, что в уравнении (1) x > y.

Если y = х, то в уравнении (1) получается:

     x n + x n = z n

или:

     2 * x n = z n.     

или:

     x * 2 (1/2) = z                                                                                         (3)

Если уравнение (3) справедливо, то число z не будет целым числом при целом числе (х).

Следовательно, уравнение (3) нельзя разрешить в целых числах, а поскольку уравнение (3) получено из уравнения (1) при x = y, то уравнение (1) нельзя разрешить в целых числах при x = y.

В дальнейшем число х в уравнении (1) будет принимать значения:

     х > y.                                                                                                   (4)

     

Задача 1. Уточнение замечания Грюнерта к доказательству ВТФ в части числа y

Если y = 1, то уравнение (1) не будет выполняться, поскольку:

     x n + 1 < (x + 1) n,

где x > 1.

Поэтому будем увеличивать число y при данном числе х таким образом, чтобы выполнялось условие:

     х n + y n >= (х + 1) n.                                                                   (11)

Условие (11) можно представить следующим образом:

     y n >= (х + 1) n - х n,

или:

.    y n >= n * х (n – 1) + n * (n – 1) / 2 * х (n – 2) + ….                          (12)

Поскольку в правой части условия (12) все слагаемые положительные, то из условия (12) можно получить следующее неравенство:

     y n > n * х (n – 1),                                                                           (13)

или:

     y n > n * х n / х,

или:

     y > x * (n / x) (1/n)                                                                             (14)

То есть, получена граница для определения минимального значения числа y в уравнении (1) при заданных значениях чисел х и n.

 

Задача 2. Уточнение замечания Грюнерта к доказательству ВТФ в части величины x.

Будем считать, что число n – простое число.

Уравнение (1) можно представить следующим образом:

     х n + y n = (x + a) n,                                                                           (16)

где z = x + a, и а – натуральное число,

или:

     х n + y n = x n + n * x (n – 1) * a + n * (n – 1) / 2 * x (n - 2) * a 2 + … + a n
или:

     y n = n * x (n – 1) * a + n * (n – 1) / 2 * x (n - 2) * a 2 + … + а n,

или, поскольку число n – простое число, и все коэффициенты бинома Ньютона делятся нацело на число n, то:

     y n = n * а * x * А + а n,                                                                         

где:  А = x (n – 2) + (n – 1) / 2 * x (n - 3) * a + …+ a (n – 2),

или:

    y n - а  n = n * а * x * А.                                                                      (17)

 

Из (17) получаем, что величина y n делится на число a

Тогда у чисел а и y есть один или несколько простых делителей.

При этом, в числе а не может быть таких простых делителей, которых нет в числе y.

Следовательно, все простые делители числа а будут простыми делителями числа y.

Выберем из этих делителей один простой делитель d > 1.

Рассмотрим случай, когда d |= n.

Представим число а как:

     а = d m* М,                                                                                        (19)

где m и М – натуральные числа.

Представим число y как:

    y = d s * Y,                                                                                           (20)

где s и Y – натуральные числа.

Подставим (19) и (20) в уравнение (17) и получим:

    ( d s ) n * Y n – (d n * М n  = n * (d ) * М * x * А.                           (21)

Сравниваем 3 величины: ( d s ) n,  (d mn,  (d m). 

Последняя величина всегда будет меньше 2-й величины. Поэтому нужно сравнивать 1-ю и 3-ю величины.

Для выполнения уравнения (21) необходимо, чтобы 1-я и 3-я величины были равны:   

    ( d s ) n  =  (d ),                                                                                 (21a)

или:

     m = s * n.                                                                                            (22)

Уравнение (22) справедливо для любого другого общего простого делителя чисел а и y, не равного числу n.    

Рассмотрим случай, когда d = n.          

Из уравнения (21) получаем:

    ( n s ) n * Y n – (n n * (М) n  = n * (n ) * М * x * А.                          (23)                    
Аналогично условию (21а) для выполнения уравнения (23) необходимо, чтобы выполнялось равенство:

    ( n s ) n  =  n * (n ),

или:

    ( n s ) n  =  (n m+1),

 или:

     m = s * n - 1.                                                                                        (24)

 

Представим число а в виде произведения простых делителей:

- если (а mod n) > 0, то:

     а = (d1 s1 * d2 s2 * d3 s3 * …* dD sDn = a1 n,                                          (25)

- если (а mod n) = 0, то:

     а = (d1 s1 * d2 s2 * d3 s3 * …* dD sDn / n = a1 / n,                                 (26)

где di- простые делители, si – их степени, D - количество простых делителей.

Тогда и в числе y имеются те же простые делители:

    y = (a1)  * Y ,                                                                                        (26а)

где Y – некоторое натуральное число.

С учётом (25), (26) и (26a) уравнение (16) будет выглядеть следующим образом:

     х n + (a1 * Y) n = (x + а) n.                                                                    (27)               

С другой стороны, число а получается тогда, когда выбраны числа х и y.

Следовательно, числа а, возможные для пары чисел (х, y), получаются как комбинации различных простых делителей числа y вместе с их степенями. Может быть «нулевая комбинация», когда а = 1.

Но, как известно, y > a, или, подставляя (26а), получаем:

     y = (a1)  * Y > a1 n,  (или > a1 / n).

Тогда имеет место ограничение для числа Y в (26а):

    Y > a1 n-1,  (или > a1 n-1 / n).                                                                  (27a)            

 Уравнение (16) можно записать по-другому:

     х n + y n = (y + b) n,                                                                              (28)

Получается, что уравнение (28) почти не отличается от уравнения (16), за исключением того, что b > 1.

Следовательно, можно сделать выводы по уравнению (28) аналогично выводу по уравнению (16).

Представим число b в виде произведения простых делителей:

- если (b mod n) > 0:

     b = (q1 v1 * q2v2 * q3v3 * …* qQvQn = b1 n,                                           (29)

- если (b mod n) = 0:

     b = (q1 s1 * q2 s2 * q3 s3 * …* qQ sQn / n = b1 / n,                                (30)

где qi- простые делители, vi – их степени, Q – количество простых делителей.

Тогда и в числе x имеются те же простые делители:

    x = (b1)  * X ,                                                                                          (31)

где X – некоторое натуральное число.

Можно определить ограничение для числа X в (31):

    X > b1 n-1,  (или > b1 n-1 / n).                                                                  

Тогда уравнение (28), с учётом (29), (30), (31), можно представить следующим образом:

    (b1 * X) n  + y n = (y + b) n.                                                                      (32)

 

Задача 3. Сравнение чисел x, y и z.

Сравнивая уравнения (16) и (28), можно записать следующее уравнение:

    x + a = y + b.

Если a = 1, то b > 1.
Минимальным числом b может быть либо b = 2 n, либо b = n n-1 . При n = 3 получаем в первом случае 8, а во втором случае 9. При увеличении числа n разница будет увеличиваться.

Следовательно:

    x - y >= 2 n - 1,

или:

    x >= 2 n – 1 + y > 2 n,

и:

    y <= x - 2 n + 1.

Тогда получаем неравенство:

    z > 2 + 1.

                                                                                         

В результате можно сформулировать замечание Грюнерта к Великой теореме Ферма по границам определения чисел х, y, z, n с учётом полученных уточнений следующим образом:

натуральные числа x, y, z, n, удовлетворяющие уравнению (1) (если такие числа существуют), должны удовлетворять неравенствам:

      x > 2 n,

      2 * n * (1 / 2) (1/n) < y <= x - 2 n + 1,

      z > 2 n + 1.

 

Выводы.

Получено уточнение замечания Грюнерта к Великой теореме Ферма.

 

Научная новизна.

Получено уточнение замечания Грюнерта к Великой теореме Ферма.

 

Библиографический список:

1. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1978. 128 с.




Комментарии пользователей:

17.07.2022, 15:43 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: {1} Опечатка в формуле B(a) между формулами (8) и (9), стоит сложение вместо умножения (в дальнейших преобразованиях умножение вернулось на место). {2} Между формулами (9) и (10) некорректно просуммирован по a коэффициент при x^(n-2), что повлияло на формулу (10). {3} "Поскольку в правой части условия (12) все слагаемые положительные" - докажите.


17.07.2022, 18:50 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: (1) Исправил. (2) Исправил. Очень удивился, что 0. Несколько раз проверял. Поэтому добавил ещё один коэффициент при x ^ (n – 3). Нашел ошибку в "Каждая из величин В(а) состоит из n (!!!) слагаемых". (3) Все коэффициенты многочлена - положительные, поскольку они являются коэффициентами многочлена (х + 1) ^ n , поэтому и все члены многочлена в (12) - положительные.


18.07.2022, 9:35 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Простите, при написании отзыва листал туда-сюда и не оттуда фразу взял. Пункт {3} должен был касаться совсем не условия (12). "Поскольку величина х ^ n больше или равна правой части условия (10), то величина х ^ n будет больше, чем любое слагаемое из правой части условия (10)" - вот здесь докажите, что все слагаемые положительные. )


18.07.2022, 9:46 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Хотя в целом я удивлен... Вы доказываете то, что уже доказывали, и допускаете при этом ошибки, которые уже допускали и исправляли ранее. P.S. Ну и вообще брать теорему, доказанную четверть века назад, и модифицировать замечание к ее доказательству, доказанное полтора века назад, - это странное увлечение.


18.07.2022, 17:58 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: (3) Бывает... Исправил.


18.07.2022, 18:02 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: "Ну и вообще брать теорему, доказанную четверть века назад, и модифицировать замечание к ее доказательству, доказанное полтора века назад, - это странное увлечение" - Но для чего-то упоминают в книгах данное замечание, несмотря на доказательство.


19.07.2022, 0:07 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: {1} Упоминают, упоминают. В рамках рассказа об истории попыток доказательства. И в скольки там книгах упоминают? ) {2} В текущем виде статья грубых ошибок не содержит, на три четверти дублирует другую статью за тем же авторством, научная ценность оставшейся четверти сомнительна, но надеяться на публикацию можно. {3} Раз Вам так нравится копаться в замечании Грунерта, попробуйте, что ли, усилить y>n, не сводя к зависимости y от x. Например, попробуйте доказать, что y>1.58n. Это вполне в Ваших силах.


19.07.2022, 13:45 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: (1.58n) - Пока вижу один вариант: 2 * n < x, y > x * (n / x) ^ (1/n), y > 2 * n * (1 / 2) ^ (1/n)


19.07.2022, 16:36 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Последний переход неверен, n/x<1/2, так что нельзя его так здесь заменять, не будет транзитивности. Оно к этому придет, но чуть более длинным путем.


21.07.2022, 16:28 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Я пропустил несколько действий: решил съэкономить. 2 * n < x, y ^ n > n * х ^ (n – 1), y ^ n > n * (2 * n) ^ (n – 1), y ^ n > (2 * n) ^ n * (1/2 ) , y > 2 * n * (1 / 2) ^ (1/n)


22.07.2022, 9:16 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Теперь верно, можете добавлять в статью.


22.07.2022, 11:06 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Борис Иосифович! Большое спасибо за участие в написании настоящей статьи! Добавил уточнение границы для y.


27.07.2022, 13:58 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавил задачи 3 и 4.


29.07.2022, 11:41 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Добавил пример при n = 2


30.07.2022, 1:43 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: {1} Новополученные формулы к Грунерту ни малейшего отношения не имеют, статья испортилась. {2} Проверять их вывод мне лень, благо, во-первых, казалось бы, уж в тексте-то статьи можно оформить с верхними и нижними индексами, но вот нет же, надо изо всех сил запутывать всевозможными xa, не равными x*a, а во-вторых, упражнения сии все равно бессмысленны и беспощадны, как русский бунт глазами Пушкина.


30.07.2022, 9:00 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Может быть я плохо указал, но получилось, что x > 2 ^ n - 1 + y. (задача 4). "...надо изо всех сил запутывать всевозможными xa, не равными x*a" - а это примерно в каком месте?


30.07.2022, 9:57 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: "а это примерно в каком месте?" - "1.значения величины z: z = x + xa,". Проверять Ваши умозаключения я более не буду, пока Вы не перепишете их в приличный вид: степени через верхний индекс, номера через нижний индекс и т.д. Это в отзывах так не дают делать, а в тексте статьи можно. И, соответственно, называть величину буквосочетанием позволяет язык программирования, а не язык математических формул.


30.07.2022, 14:59 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Согласен. Разобрался в буквосочетаниях и упростил формулы в задачах 3 и 4


30.07.2022, 17:09 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: А индексы ставить что не позволяет? Лень-матушка?


30.07.2022, 18:09 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Разобрался с верхними. Исправил.


30.07.2022, 21:54 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Нижние ставятся аналогично верхним.


30.07.2022, 22:17 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: {1} "Из уравнения (18) следует, что величина (y ^ n – 1) делится на число n: Тогда можно определить последовательность натуральных чисел y, удовлетворяющих уравнению (18): y = n * k1 + 1" - совпадение остатков при делении y^n и y следует доказать. Аналогично и для случая a>1. {2} "Будем считать, что у чисел а и (y) больше нет общих делителей" - а у нас есть право так считать? {3} "Делитель d не может быть делителем числа х, поскольку он уже является делителем числа y. Поэтому, для того, чтобы выполнялось уравнение (24), необходимо, чтобы выполнялось условие: n – s = 0" - а что, то, что d не может быть делителем числа x, гарантирует, что d не является делителем произведения n*x*A? Далее пока не читаю.


31.07.2022, 8:37 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: (2) сделал только 1 делитель без S. (3) Показал, что А не делится на d. (1) пока увидел в таблице, думаю, получаемая при этом формула пока не очень важна. (нижние) - поправлю позднее, надо привыкнуть


31.07.2022, 8:45 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Исправил нижние


31.07.2022, 9:18 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: (1) доказал для 1 и для а


31.07.2022, 9:22 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: "(1) пока увидел в таблице, думаю, получаемая при этом формула пока не очень важна." - вот "увидел в таблице" - вообще не аргумент. Доказывайте. "(3) Показал, что А не делится на d" - ок, принято, а почему там n – s = 0, а не n – s <= 0? "Допустим, у числа (а) есть только один простой делитель d > 1. ... Если среди делителей числа а есть ещё делители числа y, то для каждого из этих делителей рассуждения будут аналогичные." - точно будут? Откуда такая уверенность, если Вы провели рассуждение исключительно для случая одного простого делителя?


31.07.2022, 11:19 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уточнил n – s <= 0?


31.07.2022, 11:38 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: "Откуда такая уверенность, если Вы провели рассуждение исключительно для случая одного простого делителя?" - Показал на двух разных простых делителях. Далее можно для любого количества делителей.


31.07.2022, 12:53 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: "Минимальным числом v, которое удовлетворяет уравнению (19), будет число 1. Тогда можно определить последовательность натуральных чисел y, удовлетворяющих уравнению (18):" - не обосновано. Малую теорему Ферма применять не хотите принципиально?


31.07.2022, 17:06 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Применил МТФ


31.07.2022, 17:45 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: "Тогда уравнение (24) можно записать следующим образом: d^ (n) * d^ (n – u)..." - не сходится.


31.07.2022, 18:31 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Поторопился, исправил


1.08.2022, 9:18 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: "Тогда уравнение (21) можно записать следующим образом: d^(n)*d^(n) * D1^n" - почему это (21)? И, главное, откуда взялся второй подряд множитель d^n?


1.08.2022, 10:53 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Уточнил, а также немного дальше уточнил


1.08.2022, 14:34 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: {1} "то уравнение (24а) можно записать следующим образом: Тогда уравнение (21) можно записать следующим образом:" - тут явно что-то лишнее или что-то пропущено. Ну ладно, идем дальше. Хотя, отмечу, s=m*n из (23) можно было раза в три короче вывести. Итак, "Для того, чтобы выполнялось уравнение (25), необходимо, чтобы выполнялось условие: n – s – 1 = 0" - снова та же проблема с равенством вместо неравенства, хотя вывод s = m * n - 1 верен (только m другое). {2} "Если среди делителей числа (а) есть ещё делители числа (y), то для каждого из этих делителей рассуждения будут аналогичные. Пусть число а состоит из двух различных простых делителей d1 и d2 со степенями s1 и s2 соответственно:" - а нельзя сразу было "пусть число a при разложении на простые множители включает простой множитель d в степени s"? Чтоб не перебирать "один простой делитель, два простых делителя, далее аналогично". {3} "Поскольку простые делители d1 и d2 не равны, то получаем зависимости для степеней s1 и s2: s1 = m1 * n - 1, где m1 – некоторое натуральное число, s2 = m2 * n - 1, где m2 – некоторое натуральное число." - а почему для обоих делителей получились те же закономерности, которые при одном делителе были для случая d=n? {4} "Таким образом, если в уравнении (17) число (а) состоит из нескольких делителей: а = (d1 * d2 * d3 * …* dQ)^n" - это такой особый очень важный случай, когда в разложении а на простые множители все степени совпадают?


1.08.2022, 17:40 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: (1) Убрал (21) (2) Наверное надо упорядочить, посмотрю позднее (3) Исправил (4) Отредактировал


2.08.2022, 9:12 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: (2) - отредактировал и сократил


2.08.2022, 17:08 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Решил добавить: "Задача 5. Доказательство Великой теоремы Ферма при нечётных числах n >2." и "Задача 6. Сравнение варианта нечётного n> 2 с вариантом n = 2." с уточнение названия статьи и аннотации.


3.08.2022, 11:16 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Поправил нижние


3.08.2022, 14:32 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: то число (b) будет больше 1, и минимальное значение числа (b) будет число 2^n при условии, что a = 1", "Если a = 2^n, то минимальным значением (b) будет число 3^n" - а почему Вы перестаете рассматривать варианты с "> a1^n / n"?


3.08.2022, 14:44 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Как я понял, Вы предлагаете следующий вариант: ( n ) ^ n * Y ^ n – (n ) ^ n * (М) ^ n = n * (n ) * М * x * А. (23) - для варианта с число (а) = n. Аналогично будет для числа (b) = n. Но правая часть уравнения делится на ( n ) ^ n, а левая часть - только на (n ) ^ 2. Противоречие. То есть, число (а) или число (b) в данном варианте может быть только (n ) ^ (n - 1)


3.08.2022, 14:50 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: "а почему Вы перестаете рассматривать варианты с "> a1^n / n"?" - Любой вариант a1^n / n будет всегда больше, чем 2^n. Поэтому я взял по минимуму - 2^n .


3.08.2022, 14:58 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Получается, что надо сравнивать 2 ^ n и n ^ (n - 1). При n = 3 имеем 8 и 9. При большем n разница будет ещё больше.


3.08.2022, 15:40 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: В отзыве 14.44 перепутал правую и левую части


3.08.2022, 16:07 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Принято. Возвращаясь назад: "Тогда у чисел (а) и (y) есть один или несколько простых делителей, в том числе 1" - единица не является простым числом. Формулировка некорректна. Но на дальнейшие рассуждения эта формулировка вроде не влияет. Пока что читаю дальше.


3.08.2022, 16:19 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: "Если a = 2^n, то минимальным значением (b) будет число 3^n. И т.д." - хотя вот здесь будет неверно при n=3, но можно изначально рассматривать n>3, так как для n=3 частный случай теоремы Ферма доказан очень давно.


3.08.2022, 16:20 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: "y < x - 2^n + 1" - почему неравенство строгое?


3.08.2022, 16:29 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Ну вроде x>2^n Вы действительно доказали. Перехожу к "задаче 5". В левой части формулы (38), видимо, должен быть х, а не у? А вот дальше вижу уже серьезную проблему: "y * b * t1 = (y + b) * t3 * b. Тогда, в свою очередь, на число (b) должно делиться число t1" - тут-то с какой стати?


3.08.2022, 16:42 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: " "y < x - 2^n + 1" - почему неравенство строгое?" - Согласен, <=. Исправлю. 16:07 - Испраавлю. 16:19 - Уберу, достаточно моё объяснение от 14:58. Иправлю


3.08.2022, 19:40 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Виноват. Вернулся к старому тексту.


3.08.2022, 21:33 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Почитайте про формулу Евклида для определения примитивных пифагоровых троек и поймете, почему всё, что касается n=2, из статьи можно убирать. Благо, оно и не совсем в тему. Выводы 1 и 2 не имеют отношения к Грунерту, да и переформулировать бы их без всякого а, через z-x=.... Уточнениями к замечанию Грунерта могут считаться только неравенства, связывающие x, y или z (одно из них на одно неравенство) с n.


4.08.2022, 8:26 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Значительно сократил статью с учётом замечаний в последнем отзыве.


4.08.2022, 9:37 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: Осталось еще много проблем с форматированием - уйма лишних скобок и т.д., остались мелкие дефекты формулировок. Но в текущем виде статью уже можно рекомендовать к публикации.


4.08.2022, 17:01 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Убрал скобки, изменил некоторые формулировки


Оставить комментарий


 
 

Вверх