Статья опубликована в №109 (сентябрь) 2022
Разделы: Математика
Размещена 23.09.2022. Последняя правка: 12.10.2022.
Просмотров - 1247

Метод опорных делителей для доказательства Великой теоремы Ферма при простых числах n

Усов Геннадий Григорьевич

к.т.н.

МГУ, 1972

пенсионер

УДК 511

Введение.

Великой теоремой Ферма (ВТФ) называется утверждение о том, что уравнение:

     xⁿ + yⁿ = zⁿ                                                                                                        (1)

не имеет решения в целых числах при n > 2 [1].

Английский математик сэр Эндрю Уайлс доказал ВТФ в 1994 году. Данное доказательство составляло около 130 страниц [3].

Существуют доказательства для отдельных случаев, когда числа x и y – небольшие числа: n = 3, n = 4, для простых чисел x и y, меньших 100 [3].

Кроме того, было показано, что если уравнение справедливо, то число n является простым числом [1].

В данной статье предложен метод опорных делителей, позволяющий доказывать ВТФ при простых числах n.

 

Актуальность.

Весь предыдущий период, начиная с формулировки своей теоремы Пьером Ферма, не утихают попытки доказательств ВТФ.

И эти попытки будут продолжаться, чтобы не говорили математики.

Поэтому появляется необходимость в появлении новых методов при доказательстве ВТФ.

 

Цели и задачи.

В работе [2] был показан новый метод, который ниже формулируется в виде нескольких утверждений.

Основной задачей данной статьи является дальнейшая разработка этого метода для доказательства ВТФ (1) при простых числах n.

При этом для тех утверждений, которые не были рассмотрены в [2], далее будет следовать отдельное доказательство.

В дальнейшем при доказательстве ВТФ будем допускать, что уравнение (1) верно.

 

Утверждение 1. Число z в уравнении (1) можно определить с помощью следующих уравнений:

     z = x + a = y + b,

где а и b – натуральные числа.

 

Утверждение 2. (x + y) mod n = z mod n = (x + a) mod n = (y + b) mod n.

Докажем это.

Рассмотрим уравнение (1) по mod n.

Тогда получаем:

      (xⁿ  + yⁿ) mod n = zⁿ mod n,   

или:

     x mod n * x^n-1 mod n + y mod n * y^n-1 mod n = z mod n * z^n-1 mod n,   

или, так как n – простое число, то:

     x mod n + y mod n = z mod n,

или:

     (x + y) mod n = z mod n = (x + a) mod n = (y + b) mod n.

Таким образом:

- если выражение (x + y) делится на число n, то и выражения (x + a) и (y + b) делятся на число n;

- если выражение (x + y) не делится на число n, то и выражения (x + a) и (y + b) не делятся на число n.

 

Утверждение 3. Числа x, y, а, b, которые могут удовлетворять уравнению (1), определяются с помощью делителей a1 и b1 следующим образом:

    y = n1^k1 * a1 * Y,                a = n1ⁿ³ * a1ⁿ,                                       (3a)

    x = n2^k2 * b1 * X,                b = n2ⁿ⁴ * b1ⁿ,                                       (3b)

где k1, k2 – натуральные числа, n3 = k1 * n – 1, n4 = k2 * n – 1.

где n1 и n2 – натуральные числа, равные либо числу n, либо 1.

При этом число n не может быть делителем одновременно числа х и числа y.

Возможные комбинации чисел n1 и n2: (n,1), (1,n), (1,1).
Числа а1, b1, X, Y, n являются взаимно простыми числами. 

 

Утверждение 4. Применяя замену из утверждения 1, можно записать уравнение (1) следующим образом:

     (y – a)ⁿ  = n * a * b * (x + y) * R,                                                   (4a) 

и:

     (x – b)ⁿ  = n * a * b * (x + y) * R,                                                   (4b)

где R – натуральное число, которое не делится на число n (об этом будет сказано в задаче 7).

Кроме того, в задаче 8 показан алгоритм определения числа R из уравнения (1) с учётом утверждения 1.

При этом уравнения (4а) и (4b) можно записать следующим образом:

     (y – a)ⁿ  = a3 * b3 * w3,                                                                (4c) 

и:

     (x – b)ⁿ  = a3 * b3 * w3,                                                                (4d)

Имеется 3 варианта представления чисел a3, b3, w3:

     a3 = n^n*k1 * a1ⁿ,   b3 = b1ⁿ,            w3 = (x + y) * R,                     (4e)

     a3 = a1ⁿ,             b3 = n^n*k2 * b1ⁿ,  w3 = (x + y) * R,                     (4f)

     a3 = a1ⁿ,             b3 = b1ⁿ,            w3 = n * (x + y) * R.                (4h)

 

Утверждение 5. Число w3, с учётом (3а) и (3b), можно определить следующим образом:

     w3 = n2^k2 * b1 * X1 + n1^k1 * a1 * Y1,                                              (5)

где X1 = X * R,    Y1 = Y * R.

Числа X1, Y1, R не делятся на число n. 

Числа n1 и n2 равны либо числу n, либо 1.

Умножив уравнения (4с) и (4d) на некоторое натуральное число Q, которое не делится на число n, получаем:

     Q * (y – a)ⁿ  = a3 * b3 * w3 * Q,                                                              

и:

     Q * (x – b)ⁿ  = a3 * b3 * w3 * Q.

Тогда можно определить число w4, с учётом (3а) и (3b), следующим образом:

     w4 = w3 * Q = n2^k2 * b1 * X1 + n1^k1 * a1 * Y1,                               (5a)

где X1 = X * R * Q,    Y1 = Y * R * Q.

Числа X1, Y1, R, Q не делятся на число n. 

 

Утверждение 6. Определим целое число w1 такое, что:

     w1ⁿ = w3.                                                                                         (6a) 

Из утверждения 4 следует:

1.если числа а или b делятся на число n, то:

     (y – a) = n^k1 * a1 * b1 * w1,                                                                (6b)

и:

     (x – b) = n^k2 * a1 * b1 * w1,                                                                (6c)

2.если числа а или b не делятся на число n, то:

     (y – a) = a1 * b1 * w1,                                                                      (6d)

и:

     (x – b) = a1 * b1 * w1,                                                                      (6e)

Тогда из уравнения (1) с помощью утверждения 1 для некоторого натурального числа W можно определить следующее равенство:

     W * w1 = a1 * р + b1 * q,                                                                   (6f)

где p и q – целые числа. 

Если в (5а) определить Q = Wⁿ, то можно записать следующее уравнение:

     (W * w1)ⁿ = w4.                                                                                 (6k)

Ниже в задаче 1 определяется выражение (W * w1) для различных вариантов деления чисел а и b на число n.

 

Утверждение 7. При подстановке выражения (W * w1) и числа w4 в уравнение (6k) получается противоречие в правых и левых частях уравнения (5а) по степени числа n при делителях a1 и b1.

Ниже в задаче 2 доказывается это утверждение.

 

Вывод. На основании утверждения 7 для выражения (W * w1) нельзя найти число w4 такое, чтобы имело равенство в правых и левых частях уравнения (6k) по величине степени числа n при делителях a1 и b1.

В числе w4 в качестве сомножителя есть число R, которое в настоящее время ещё не определёно, и которое не делится на число n.

Получается, что при таком значении числа R для выражения (W * w1) нельзя найти число w4 такое, чтобы имело равенство в правых и левых частях уравнения (6k) по величине степени числа n при делителях a1 и b1.

Число w4  и выражение (W * w1) получены из условия, что выражение (1) является равенством. Тогда можно сделать вывод, что выражение (1) не является равенством при таком числе R, что число R не делится на число n.

А раз выражение (1) не является равенством при данном значении R, то это означает, что ВТФ (1) будет верна при таких простых числах числа n, при которых можно будет найти число R, которое не делится на число n.

То есть, задачей нового метода является определение для простых чисел n в уравнениях (4а) и (4b) числа R такого, чтобы число R не делилось на число n.

Если такое число R будет найдено, то будет определено число w4 в таком виде, как записано в (5а).

Тогда Великая теорема Ферма для данного числа n будет доказана.

Все вышеуказанные утверждения определяют метод опорных делителей (МОД) для доказательства Великой теоремы Ферма для простых чисел n.

 

В статье [2] были решены не все задачи, которые определяют МОД. Поэтому некоторые задачи из МОД будут приведены ниже.

Кроме того, далее будут рассмотрены примеры доказательства ВТФ для n = 3, n = 5, n = 7 и n = 11 с помощью МОД.

В задаче 9 показано применение компьютера при работе с МОД. В результате доказана ВТФ (1) по всем простым числам n в следующем диапазоне: 2 < n < 2500.

Автор не ставил задачи считать дальше, поскольку тратится очень много времени для следующих простых чисел n, а увеличение диапазона будет незначительно.

 

Задача 1. Определение выражения (W * w1).

Рассмотрим вариант 1 из утверждения 6.
Подставим в уравнения (6b) и (6с) значения чисел х, y, а и b из утверждения 3 для случая, когда число а делится на число n: 

     n^k1 * a1 * Y - nⁿ³ * a1ⁿ = n^k1 * a1 * b1 * w1,    и      b1 * X - b1ⁿ = n^k1 * a1 * b1 * w1,

или:

     Y - n^n3-k1 * a1^n-1 = b1 * w1,    и    X - b1^n-1 = n^k1 * a1 * w1,

или:

     Y = b1 * w1 + n^n3-k1 * a1^n-1,    и     X = n^k1 * a1 * w1 + b1^n-1. 

Подставляем значения чисел X и Y  в (5) для числа w3:

      w3 = n^k1 * a1 * Y * R + b1 * X * R =

          = n^k1 * a1 * (b1 * w1 + n^n3-k1 * a1^n-1) * R + b1 * (n^k1 * a1 * w1 + b1^n-1) * R, 

или:

      w3 = w1ⁿ = w1 * (n^k1 * a1 * b1 + b1 * n^k1 * a1) * R + (n^k1 * a1 * n^n3-k1 * a1^n-1 + b1 * b1^n-1) * R,

или:

      w3 = w1ⁿ = w1 * 2 * n^k1 * a1 * b1 * R + (a1 * nⁿ³ * a1^n-1 + b1 * b1^n-1) * R.

Так как  w1 – целое число, то выражение ((a1 * nⁿ³ * a1^n-1 + b1 * b1^n-1) * R) должно делиться нацело на число w1:

     (a1 * nⁿ³ * a1^n-1 + b1 * b1^n-1) * R = w1 * W,  где W – натуральное число,

или:

    w1 * W = a1 * p + b1 * q,                                                                      (10)

где р = nⁿ³ * a1^n-1 * R,    q = b1^n-1 * R.

Число р делится на число n, а числа a1, b1, q, R не делится на число n. Поэтому число W не делится на число n.

Аналогично можно определить выражение (W * w1) в случае, когда число  b  делится на число n (4a):

     w1 * W = a1 * p + b1 * q,                                                                      (11)

где р = a1^n-1 * R,    q = nⁿ⁴ * b1^n-1 * R,

где число q делится на число n, а числа p и W не делятся на число n.
Теперь рассмотрим вариант (4h), где 3 * w = w1ⁿ.

Имеем: 

     (y – a) = a1 * b1 * w1,       и         (x – b) = a1 * b1 * w1,

или:

     a1 * Y - a1ⁿ = a1 * b1 * w1,    и        b1 * X - b1ⁿ = a1 * b1 * w1, 

или:

     Y - a1^n-1 = b1 * w1,   и      X - b1^n-1 = a1 * w1, 

или:

     Y = b1 * w1 + a1^n-1,   и      X = a1 * w1 + b1^n-1. 

Подставляем значения X и Y в (5) для числа w3:

      w3 = a1 * Y * R + b1 * X * R = a1 * (b1 * w1 + a1^n-1) * R + b1 * (a1 * w1 + b1^n-1) * R, 

или:

      w3 = w1ⁿ = w1 * (a1 * b1 + b1 * a1) * R + (a1 * a1^n-1 + b1 * b1^n-1) * R.

или:

      w1ⁿ = w1 * 2 * a1 * b1 * R + (a1ⁿ + b1ⁿ) * R.

Число w3 делится на число n, тогда число w1 делится на число n.

Следовательно, выражение ((a1ⁿ+ b1ⁿ) * R) делится на число n:

     (a1 * a1^n-1 + b1 * b1^n-1) * R = w1 * W,  где W – натуральное число,

или:

    w1 * W = a1 * p + b1 * q,                                                                      (12)

где р = a1^n-1 * R,    q = b1^n-1 * R.

При этом числа р, q, R и W не делятся на число n.

 

Задача 2. Определение противоречия между выражением (W * w1) и числом w4 в уравнении (6k).

Уравнение (6k) выглядит так:

     (W * w1)ⁿ = w4.                                                                                     

Тогда:

    (W * w1)ⁿ  = (a1 * р + b1 * q)ⁿ =

     = a1ⁿ * pⁿ + c₁ * a1^n-1 * p^n-1 * b1 * q + c₂ * a1^n-2 * p ^n-2 * b1² * q² + c₃ * a1^n-3 * p ^n-3 * b1³ * q³ +

     + c₄ * a1^n-4 * p ^n-4 * b1⁴ * q⁴ + ….  + c_n-2 * a1 * p * b1^n-1 * q^n-1 + b1ⁿ * qⁿ,              (14)

где с_i – коэффициенты бинома Ньютона.

Поскольку рассматриваются в статье только простые числа n, то все коэффициенты с_i  делятся на число n.

Теперь надо (n + 1) слагаемых из уравнения (14) разделить на 2 группы таким образом, чтобы в одной группе был общий делитель а1, а в другой группе - общий делитель b1.

Рассмотрим группу слагаемых с делителем а1 в случае, когда число а делится на число n.

В этой группе может быть слагаемое с минимальной степенью числа р – это слагаемое (c_n-2 * a1 * p * b1^n-1 * q^n-1).

Согласно (10а) число р делится на число nⁿ³ . Кроме того, коэффициент c_n-2  делится на число n. Следовательно, слагаемое с минимальной степенью числа р будет делиться на число n в степени k:

     k = n3 + 1 = k1 * n – 1 + 1 = k1 * n.

Таким образом, группа слагаемых с делителем а1 будет делиться на число n в степени, которая не меньше числа (k1 * n).

В то же время, согласно (5а) в числе w4 коэффициент перед делителем  а1  делится только на число n в степени (k1).

То есть, имеет место противоречие.

Аналогично можно рассмотрим группу слагаемых с делителем b1 в случае, когда число b делится на число n.

В этом случае слагаемое с минимальной степенью числа q, а именно слагаемое (c₁ * a1^n-1 * p^n-1 * b1 * q), будет делиться на число n в степени k:

     k = n4 + 1 = k2 * n – 1 + 1 = k2 * n.

В то же время, согласно (5а) в числе w4 коэффициент перед делителем b1  делится только на число n в степени (k2).

И здесь получаем противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда выражение (x + y) делится на число n.

Тогда в каждой группе будет по одному слагаемому, в которых нет коэффициентов с_i, а именно:

- в группе слагаемых с делителем а1 этим слагаемым будет (a1ⁿ * pⁿ);

- в группе слагаемых с делителем b1 этим слагаемым будет (b1ⁿ * qⁿ).

Получается, что в каждой группе слагаемых все слагаемые, кроме одного, делятся на число n, так как в каждом из них есть сомножитель с_i, который делится на число n.

Числа p и q не делятся на число n согласно (12).

Поэтому каждая группа слагаемых, как с делителем а1, так и с делителем b1, не делится на число n.

Однако, согласно (4h) и (5), в числе w3 коэффициенты перед делителями а1 и b1 делятся на число n.

Получается противоречие.

 

Задача 3. Доказательство ВТФ (1) для случая n = 3 с помощью МОД.

С учётом утверждения 1 уравнение (1) при n = 3 можно записать следующим образом:

     х³ + y³ = (x + a)³,                                                                      

или:

     x³ + y³ = x³  + 3 * x²  * a + 3 * x * a² + a³,

или:

     y³ – a³  = 3 * x² * a + 3 * x * a²,

или:

     (y – a)³ + 3 * y² * a - 3 * y * a² = 3 * x² * a + 3 * x * a²,    

или:

     (y – a)³ = 3 * (x² * a - y² * a + x * a² + y * a²),

или:

     (y – a)³ = 3 * a * (x² - y²  + a * (x + y) ),                                            

или:

     (y – a)³ = 3 * a * (x + y) * (x – y + a),                       

или, с учётом утверждения 1:

     (y – a)³ = 3 * a * b * (x + y).                                                                (15)

Уравнение (15) соответствует уравнению (4а) при условии, что R = 1.

Следовательно, согласно МОД, имеем доказательство ВТФ (1) при n = 3.

                                                                                     ,

Задача 4. Доказательство ВТФ (1) для случая n = 5 с помощью МОД.

С учётом утверждения 1 уравнение (1) при n = 5 можно записать следующим образом:

     x⁵ + y⁵ = (x + a)⁵,                                                                      

или:

     x⁵ + y³ = x⁵ + 5 * x⁴ * a + 10 * x³ * a² + 10 * x² * a³ + 5 * x * a⁴ + a⁵,

или:

     y⁵ - a⁵ = 5 * x⁴ * a + 10 * x³ * a² + 10 * x² * a³ + 5 * x * a⁴,

или:

     (y – a)⁵ + 5 * y⁴ * a - 10 * y³ * a² + 10 * y² * a³ - 5 * y * a⁴ = 5 * x⁴ * a + 10 * x³ * a² + 10 * x² * a³ + 5 * x * a⁴,      

или:

     (y – a)⁵ + 5 * a * y² * (y² - 2 * y * a + a²) + 5 * a³  * (y² - y * a) = 5 * a * x² * (x² + 2 * x * a + a²) + 5 * a³ * (x² + x * a),      

или:

     (y – a)⁵ = 5 * a * (x² * (x + a)² - y² * (y – a)²) + 5 * a³ * (x² + x * a - y² + y * a),      

или:

     (y – a)⁵ = 5 * a * (x * (x + a) – y * (y – a)) * (x * (x + a) + y * (y – a)) + 5 * a³  * (x² + x * a - y² + y * a),      

или:

     (y – a)⁵ = 5 * a * (x² + x * a – y² + y * a) * ( (x * (x + a) + y * (y – a)) + 5 * a³  * (x² + x * a - y² + y * a),      

или:

     (y – a)⁵ = 5 * a * (x + y) * (x – (y - a) ) * (x * (x + a) + y * (y – a)) + a²),

или, так как b = x – (y - a), то:

     (y – a)⁵ = 5 * a * b * (x + y) * ( x * (x + a) + y * (y – a) + a²),                        

или:

     (y – a)⁵ = 5 * a * b * (x + y) * R,                                                                (16)

где R = x * (x + a) + y * (y – a) + a².

Если число а делится на число n, то первое слагаемое не делится на число n, а второе и третье слагаемые делятся на число n каждое. Поэтому, если число а делится на число n, то число R не делится на число n.

Если число b делится на число n, то первое и второе слагаемые делится на число n каждое, а третье слагаемое не делится на число n. Поэтому, если число b делится на число n, то число R не делится на число n.

Если число (x + y) делится на число n, то первое (согласно утверждению 2) и второе слагаемые делятся на число n каждое, а третье слагаемое не делится на число n. Поэтому, если число (x + y) делится на число n, то число R не делится на число n.

Таким образом, уравнение (16) соответствует уравнению (4а), так как число R не делится на число n.

Следовательно, согласно МОД, имеем доказательство ВТФ (1) при n = 5.

 

Задача 5. Доказательство ВТФ (1) для случая n = 7 с помощью МОД.

С учётом утверждения 1 уравнение (1) при n = 7 можно записать следующим образом:

     (y – a)⁷ + 7 * y⁶ * a - 21 * y⁵ * a² + 35 * y⁴ * a³ - 35 * y³ * a⁴ + 21 * y² * a⁵ - 7 * y * a⁶ =

        = 7 * х⁶ * a + 21 * х⁵ * a² + 35 * х⁴ * a³ + 35 * y³ * a⁴ + 21 * х² * a⁵ + 7 * х * a⁶,      

или:

     (y – a)⁷ + 7 * a * y³ * (y³ - 3 * y² * a + 3 * y * a² - a³) + 2 * 7 * a³ * y² * (y² - 2 * y * a + a²) + 7 * a5  * (y² - y * a) =

        = 7 * a * x * (x³ + 3 * x² * a + 3 * x * a² + a³) + 2 * 7 * a³ * x² * (x² + 2 * x * a + a²) + 7 * a⁵ * (x² + x * a),      

или:

     (y – a)⁷ + 7 * a * y³ * (y - a)³ + 2 * 7 * a³ * y² * (y - a)² + 7 * a⁵ * (y² - y * a) =

        = 7 * a * x³ * (x + a)³ + 2 * 7 * a³ * x² * (x + a)² + 7 * a⁵  * (x² + x * a),      

или:

     (y – a)⁷ = 7 * a * (x³ * (x + a)³ - y³ * (y - a)³) + 2 * 7 * a³ * (x² * (x + a)² - y² * (y - a)²) + 7 * a⁵ * ((x² + x * a) - (y² - y * a)), 

или:

     (y – a)⁷ = 7 * a * (x * (x + a) - y * (y - a)) * R2 + 2 * 7 * a³ * (x * (x + a) - y * (y - a)) * R1 + 7 * a⁵ * ((x² + x * a) - (y² - y * a)), 

где:    

     R1 = x * (x + a) + y * (y – a).

     R2 = x² * (x + a)² + x * (x + a) * y * (y - a) + y² * (y - a)²,                  

или:

     (y – a)⁷ = 7 * a * (x + y) * (x – y + a) * (R2 + 2 * 7 * a² * R1 + 7 * a⁴), 

Или:

     (y – a)⁷ = 7 * a * b * (x + y) * R,                                                                            (17)

где R = R2 + 2 * a² * R1 + a⁴.    

Рассмотрим число R.

Соберём три группы слагаемых: с выражением (х + а), с выражением (y – a) и с числом a⁴.

Получаем:

     R = x² * (x + a)² + 2 * x * (x + a) + x * (x + a) * y * (y - a) +  y² * (y - a)² + 2 * y * (y – a) + a⁴,

или:

     R = (x * (x + a)+ 2*a²) * х * (x + a) + (x * (x + a) + y * (y - a)+ 2*a²) * y * (y – a) + (2*a² + a²) * a²,

или:

     R = (x * (x + a)+ 2*a²) * х *(x + a) + (x * (x + a) + y * (y - a) + 2*a²) * y * (y – a) + 3*a⁴.

Первое слагаемое делится на число n в том случае, когда на число n делится либо число b, либо выражение (x + y) или (x + a).

Второе слагаемое всегда делится на число n.

Третье слагаемое делится на число n в том случае, когда на число n делится число а.

На число n должно делиться либо одно из чисел а, b, либо выражение (x + y).

Поэтому при любом варианте деления числа n на числа а, b и на выражение (x + y) число R не будет делиться на число n.

Таким образом, уравнение (17) соответствует уравнению (4а), так как число R не делится на число n.

Следовательно, согласно МОД, имеем доказательство ВТФ (1) при n = 7.

 

Задача 6. Доказательство ВТФ (1) для случая n = 11 с помощью МОД.

С учётом утверждения 1 уравнение (1) при n = 11 можно записать следующим образом:

     (y – a)¹¹ + 11 * y¹⁰ * a - 55 * y⁹ * a² + 165 * y⁸ * a³ - 330 * y⁷ * a⁴ + 462 * y⁶ * a⁵ - 462 * y⁵ * a⁶ + 330 * y⁴ * a⁷ - 165 * y³ * a⁸ + 55 * y² * a⁹ - 11 * y * a¹⁰ =

        = 11 * х¹⁰ * a + 55 * х⁹ * a² + 165 * х⁸ * a³ + 330 * х⁷ * a⁴ + 462 * х⁶ * a⁵ + 462 * х⁵ * a⁶ + 330 * х⁴ * a⁷ + 165 * х³ * a⁸ + 55 * х² * a⁹ + 11 * х * a¹⁰,      

или:

     (y – a)¹¹ + 11 * a * y⁵ * (y⁵ - 5 * y⁴ * a + 10 * y³ * a² - 10 * y² * a³ + 5 * y * a⁴ - a⁵) +  5 * 11 * a³ * y⁴ * (y⁴ - 4 * y³ * a + 6 * y² * a² - 4 * y * a³ + a⁴) + 7 * 11 * a⁵ * y³ * (y³ - 3 * y² * a + 3 * y * a² - a³) + 4 * 11 * a⁷ * y² * (y² - 2 * y * a + a²) + 11 * a⁹ * (y² - y * a) =

        = 11 * a * х⁵ * (х⁵ + 5 * х⁴ * a + 10 * х³ * a² + 10 * х² * a³ + 5 * х * a⁴ + a⁵) +  5 * 11 * a³ * х⁴ * (х⁴ + 4 * х³ * a + 6 * х² * a² + 4 * х * a³ + a⁴) + 7 * 11 * a⁵ * х³ * (х³ + 3 * х² * a + 3 * х * a² + a³) + 4 * 11 * a⁷ * х² * (х² + 2 * х * a + a²) + 11 * a⁹ * (х² + х * a),      

или:

     (y – a)¹¹ + 11 * a * y⁵ * (y + a)⁵ +  5 * 11 * a³ * y⁴ * (y – a)⁴ + 7 * 11 * a⁵ * y³ * (y – a)³ + 4 * 11 * a⁷ * y² * (y – a)² + 11 * a⁹ * (y² - y * a) =

        = 11 * a * х⁵ * (х + a)⁵ +  5 * 11 * a³ * х⁴ * (х + a)⁴ + 7 * 11 * a⁵ * х³ * (х + a)³ + 4 * 11 * a⁷ * х² * (х + a)² + 11 * a⁹ * (х² + х * a),      

или:

     (y – a)¹¹ = 11 * a * (х⁵ * (х + a)⁵ - y⁵ * (y + a)⁵) +  5 * 11 * a³ * (х⁴ * (х + a)⁴ - y⁴ * (y – a)⁴ ) + 7 * 11 * a⁵ * (х³ * (х + a)³ - y³ * (y – a)³) + 4 * 11 * a⁷ * (х² * (х + a)² - y² * (y – a)²) + 11 * a⁹ * ((х² + х * a) - (y² - y * a)),

или:

     (y – a)¹¹ = 11 * a * (x * (x + a) - y * (y - a)) * R4 + 5 * 11 * a³ * (x * (x + a) - y * (y - a)) * R3 + 7 * 11 * a⁵ * (x * (x + a) - y * (y - a)) * R2 + 4 * 11 * a⁷ * (x * (x + a) - y * (y - a)) * R1 + a⁹ * ((х² + х * a) - (y² - y * a)), 

где,

     R1 = x * (x + a) + y * (y – a),

     R2 = x² * (x + a)² + x * (x + a) * y * (y - a) + y² * (y - a)²,                  

     P3 = x³ * (x + a)³ + x² * (x + a)² * y * (y - a) + x * (x + a) * y² * (y - a)² + y³ * (y - a)³,

     P4 = x⁴ * (x + a)⁴ + x³ * (x + a)³ * y * (y - a) + x² * (x + a)² * y² * (y - a)² + x * (x + a) * y³ * (y - a)³ +  y⁴ * (y - a)⁴,

или:

     (y – a)¹¹ = 11 * a * (x + y) * (x – (y - a)) * R4 + 5 * 11 * a³ * (x + y) * (x – (y - a))* R3 + 7 * 11 * a⁵ * (x + y) * (x – (y - a))* R2 + 4 * 11 * a⁷ * (x + y) * (x – (y - a))* R1 + 11 * a⁹  * (x + y) * (x – (y - a)), 

или:

     (y – a)¹¹ = 11 * (x + y) * (x – (y - a)) * (а * R4 + 5 * a³ * R3 + 7 * a⁵ * R2 + 4 * a⁷ * R1 + a⁹). 

или:

     (y – a)¹¹ = 11 * a * b * (x + y) * R,                                                                        (18)

где R = (R4 + 5 * a² * R3 + 7 * a⁴ * R2 + 4 * a⁶ * R1 + a⁸). 

Рассмотрим число R= А1 + А2 + А3.

Соберём три группы слагаемых:

- слагаемое А1 включает в себя слагаемые с выражением (х + а),

- слагаемое А2 включает в себя все слагаемые с выражением (y – a),

- слагаемое А3 включает в себя число a⁴  .

Получаем для А1:

     А1 = x⁴ * (x + a)⁴ + 5 * a² * x³ * (x + a)³ + 7 * a⁴ * x² * (x + a)²+ 4 * a⁶ * x * (x + a),

или:

     А1 = x⁴ * (x + a)⁴ * (x³ * (x + a)³ + 5 * a² * x² * (x + a)² + 7 * a⁴ * x * (x + a)+ 4 * a⁶).

Получаем для А3:

     А3 = a⁸.                   

Первое слагаемое А1 делится на число n в том случае, когда на число n делится либо число b, либо выражение (x + y) или (x + a).

Второе слагаемое А2 всегда делится на число n.

Третье слагаемое А3 делится на число n в том случае, когда на число n делится число а.

На число n должно делиться либо одно из чисел а, b, либо выражение (x + y).

Получается, что:

- либо слагаемые А1 и А2 делятся на число n, а слагаемое А3 не делится на число n,

- либо слагаемые А3 и А2 делятся на число n, а слагаемое А1 не делится на число n.

Поэтому при любом варианте деления числа n на числа а, b и на выражение (x + y) число R не будет делиться на число n,

Таким образом, уравнение (18) соответствует уравнению (4а), так как число R не делится на число n.

Следовательно, согласно МОД, имеем доказательство ВТФ (1) при n = 11.

 

Задача 7. Делимость числа R на число n для любого простого числа n.

Доказательства ВТФ (1) для чисел n = 5, 7, 11 показали, что число R в этих случаях не делится на число n.

Рассмотрим случай произвольного числа n.

В этом случае число R будет равно сумме 3-х слагаемых: А1, А2, А3. При этом:

- слагаемое А1 будет включать в себя слагаемые с выражением (х + а),

- слагаемое А2 будет включать в себя все слагаемые с выражением (y – a),

- слагаемое А3 будет включать в себя слагаемые с выражением a^n-3.

Первое слагаемое А1 состоит из делителей x и (x + a) и делителя, состоящего из слагаемых вида a * x* (x + a).  Делитель х делится на число n в том случае, если число b делится на число n. Делитель (x + a) делится на число n в том случае, если на число n делится выражение (x + y) или (x + a). Делитель из слагаемых вида (a * x* (x + a)) не делится на число n, так как:

- все слагаемые, кроме последнего, делятся на n в том случае, когда на число n делится число b,

- все слагаемые, кроме первого, делятся на n в том случае, когда на число n делится число а.

А так как числа а и b не могут одновременно делиться на число n, то делитель, состоящий из слагаемых вида (a * x* (x + a)), никогда не делится на число n. 

Второе слагаемое А2 состоит из делителей (y – a), поэтому это слагаемое всегда делится на число n.

Третье слагаемое А3 делится на число n в том случае, когда на число n делится число а.

На число n должно делиться либо одно из чисел а, b, либо выражение (x + y).

Получается, что:

- либо слагаемые А1 и А2 делятся на число n, а слагаемое А3 не делится на число n,

- либо слагаемые А3 и А2 делятся на число n, а слагаемое А1 не делится на число n.

Поэтому при любом варианте деления числа n на числа а, b и на выражение (x + y) число R не будет делиться на число n.

Таким образом, число R будет соответствовать уравнению (4а), так как число R не делится на число n.

Следовательно, если для простого числа n > 3 определяется число R, которое не делится на n, и имеют место уравнения (4а) и (4b) для этого числа n, то это будет основанием для того, что имеет место доказательство ВТФ (1) при простом числе n > 3.

Задача 8. Представление числа R в виде 3-х слагаемых для простых чисел n.

В задаче 7 было показано, что для n = 5, 7, 11 число R можно представить в виде суммы 3-х слагаемых: А1, А2, А3. При этом:

- слагаемое А1 будет включать в себя слагаемые с выражением (х + а),

- слагаемое А2 будет включать в себя все слагаемые с выражением (y – a),

- слагаемое А3 будет включать в себя слагаемое с выражением a^n-3.

Поэтому надо рассмотреть произвольное простое число n и определить для этого числа n вид слагаемых для числа R (утверждение 4).

Для произвольного простого числа n имеем:

     (y – a)ⁿ + c₁ * y^n-1 * a – c₂ * y^n-2 * a² + c₃ * y^n-3 * a³ – c₄ * y^n-4 * a⁴ + …+ c_n-2 * y² * a^n-2 – c_n-1 * y * a^n-1 =

        = c₁ * x^n-1 * a + c₂ * x^n-2 * a² + c₃ * x^n-3 * a³ + c₄ * x^n-4 * a⁴ + …+ c_n-2 * x² * a^n-2 + c_n-1 * x * a^n-1,                (19)

где c_i - коэффициенты бинома Ньютона.

Поскольку основными элементами числа R должны быть выражения (х + а) и (y – a), то необходимо эти выражения делать основными при получении слагаемых.

Кроме того, необходимо сделать так, чтобы была возможность объединения выражений (х + а) и (y – a) в каждом слагаемом.

Объединение выражений (х + а) и (y – a) в каждом слагаемом возможно, если эти выражении получать в виде степеней. Тогда разность между степенями выражений (х + а) и (y – a) позволит объединить эти выражения.

 

Поэтому предлагается следующий алгоритм разложения многочлена на сумму слагаемых, которые представляют другой многочлен в разной степени.

1.Известно, что коэффициенты c_i делятся на простое число n.

2.Выделяются из уравнения (19) следующие слагаемые с числом y:

     y^n-1 * a – s₂ * y^n-2 * a² + s₃ * y^n-3 * a³ – s₄ * y^n-4 * a⁴ + …+ s_n-2 * y² * a^n-2 – y * a^n-1,                              (20)

где s_i = c_i / n.

3.Определяется число m = (n – 1) / 2.

4.Строится многочлен (a * y^m * (y – a)^m), общий вид которого будет:

     a * y^m * (y – a)^m = y^n-1 * a – d₁ * y^n-2 * a² + d₃ * y^n-3 * a³ – d₄ * y^n-4 * a⁴ + …+ d_n-2 * y^m+1 * a^m-1 – y^m * a^m+1.                              (21)

5.Отнимаем от слагаемых (20) слагаемые (21). При этом:

     s_i= с_i / n = (n – 1) / 2.

Тогда первые два слагаемых выражения (20) становятся нулевыми.

Если длина многочлена (20) есть (n – 2) слагаемых, то длина многочлена (21) есть ((n +1) / 2) слагаемых.

6.После вычитания в выражении (20) слагаемым с максимальной степенью числа y будет слагаемое: (v * y^n-3 * a³), где v – новый коэффициент при этом слагаемом.

7.Строим следующий многочлен (v * a³ * y^m * (y – a)^m), и отнимаем его от нового выражения (20).

8.И так далее, до тех пор, пока в конце не окажется последний многочлен (a^n-2 * y * (y – a)).

Окончанием работы данного алгоритма считается обнуление коэффициентов s_iвыражения (20).

Таким образом, вместо выражения (20) была получена сумма слагаемых вида (v_i * a^j * y^k * (y – a)^k).

Проверка на компьютере показала, что в данном алгоритме при простых числах n не может быть случая, когда коэффициенты выражения 20 будут меньше нуля (при условии, что машинного времени достаточно для данного варианта числа n).

Аналогично можно преобразовать в уравнении (19) слагаемые с числом х.

Тогда получается следующее уравнение:

     (y – a)ⁿ + n * (a * v₁ * y^m * (y – a)^m + a³ * v₂ * y^m-1 * (y – a)^m-1 + a⁵ * v₃ * y^m-2 * (y – a)^m-2 + a⁷ * v₄ * y^m-4 * (y – a)^m-4 + …+ a^n-4 * v_m-1 * y² * (y – a)² + a^n-2 * v_m * y * (y – a) =

        = n * (a * v₁ * x^m * (x + a)^m + a³ * v₂ * x^m-1 * (x + a)^m-1 + a⁵ * v₃ * x^m-2 * (x + a)^m-2 + a⁷ * v₄ * x^m-4 * (x + a)^m-4 + …+ a^n-4 * v_m-1 * x² * (x + a)² + a^n-2 * v_m * x * (x – a),  

где v_i – некоторые целые коэффициенты,   

или:

     (y – a)ⁿ = n * (a * v₁ * (x^m * (x + a)^m – y^m * (y – a)^m) + a³ * v₂ * (x^m-1 * (x + a)^m-1 – y^m-1 * (y – a)^m-1) + a⁵ * v₃ * (x^m-2 * (x + a)^m-2 – y^m-2 * (y – a)^m-2) +

     + a⁷ * v₄ * (x^m-4 * (x + a)^m-4 – y^m-4 * (y – a)^m-4)+ …+ a^n-4 * v_m-1 * (x² * (x + a)² - y² * (y – a)²) + a^n-2 * v_m * (x * (x – a) - y * (y – a)).                                                           (22)

Из уравнения (22) видно, что основным его элементом является выражение Рj:

     Рj = aⁿ³ * v_j * (xⁿ²* (x + a)ⁿ² - yⁿ² * (y – a)ⁿ²),

где n2 = m – j+1,   n3 = 2 * j – 1,

или:

     Рj = aⁿ³ * v_j * (xⁿ² * (x + a)ⁿ² - yⁿ² * (y – a)ⁿ²),

или:

     Рj = aⁿ³ * v_j * (x* (x + a) - y * (y – a)) * (x^n2-1 * (x + a)^n2-1 + x^n2-2 * (x + a)^n2-2 * y * (y – a) + x^n2-3 * (x + a)^n2-3 * y² * (y – a)² + … + x* (x + a) * y^n2-2 * (y – a)^n2-2 + y^n2-1 * (y – a)^n2-1), 

или:

     Рj = aⁿ³ * v_j * b* (x + y) * (x^n2-1 * (x + a)^n2-1 + x^n2-2 * (x + a)^n2-2 * y * (y – a) + x^n2-3 * (x + a)^n2-3 * y² * (y – a)² + … + x* (x + a) * y^n2-2 * (y – a)^n2-2 + y^n2-1 * (y – a)^n2-1).

Тогда уравнение (22) можно представить в следующем виде:

     (y – a)ⁿ = n * a * b* (x + y) * (х * (x + a) * А1 + y * (y – a) * А2 + a^n-3).                    

где:

     А1 = (v₁ * x^n2-2 * (x + a)^n2-2 + a² * v₂ * x^n2-3 * (x + a)^n2-3 + a⁴ * v₃ * x^n2-4 * (x + a)^n2-4 + … + a^n2-3 * v_m-2 * x* (x + a) + v_m-1 * a^n2-2 ),

     А2 – натуральное число.

Таким образом, было доказано, что число R можно представить в виде 3-х слагаемых с делителями (x + a), (y – a) и a.

При этом число A1 не делится на число n.

 

Задача 9. Решение задачи определения коэффициентов v_j с помощью компьютера.

Была составлена программа на компьютере на языке Python для расчёта коэффициентов v_j из уравнения (22).

Расчёт коэффициентов v_j оказался очень трудоёмким по времени. Например, для простого числа n = 2477 расчёт коэффициентов v_j на домашнем компьютере составляет около 15 минут.

В настоящее время проведён расчёт коэффициентов v_j по всем простым числам n в следующем диапазоне: 2 < n < 2500.

В данном диапазоне после применения алгоритма, описанного в задаче 8, были определены все коэффициенты v_j из уравнения (22).

При этом не было случая, когда коэффициенты s_i выражения 20 были меньше нуля.

Таким образом, можно сказать, что доказана ВТФ (1) по всем простым числам n в следующем диапазоне: 2 < n < 2500.

Данный процесс доказательства ВТФ можно продолжить на другие диапазоны простого числа n, однако это будет связано с большим временем расчётов.

Выводы.

Определён метод опорных делителей для доказательства Великой теоремы Ферма при простых числах n.

С помощью метода опорных делителей доказана Великая теорема Ферма для случаев n = 3, n = 5, n = 7, n = 11.

Получен алгоритм разложения многочлена на сумму слагаемых, которые представляют собой другой многочлен в разной степени.

С помощью метода опорных делителей на компьютере доказана Великая теорема Ферма по всем простым числам n в следующем диапазоне: 2 < n < 2500.

 

Научная новизна.

Определён метод опорных делителей для доказательства Великой теоремы Ферма при простых числах n.

С помощью метода опорных делителей доказана Великая теорема Ферма для случаев n = 3, n = 5, n = 7, n = 11.

Получен алгоритм разложения многочлена на сумму слагаемых, которые представляют собой другой многочлен в разной степени.

С помощью метода опорных делителей на компьютере доказана Великая теорема Ферма по всем простым числам n в следующем диапазоне: 2 < n < 2500.

1. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1978. 128 с.
2. Усов Г. Г. Уточнение замечания Грюнерта к Великой теореме Ферма. Сайт электронного периодического рецензируемого научного журнала «SCI-ARTICLE.RU», Научное направление «Математика», Размещена 17.07.2022.
3. Ишмухаметов Ш.Т. Методы факторизации натуральных чисел: учебное пособие / Ш.Т. Ишмухаметов.– Казань: Казан. ун. 2011.– 190 с.

Рецензии:

23.09.2022, 14:25 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Статья подготовлена корректно. Начиная с формулировки своей теоремы Пьером Ферма, не утихают попытки доказательств ВТФ. И эти попытки будут продолжаться, чтобы не говорили классаические математики. Поэтому появляется необходимость в появлении новых методов при доказательстве ВТФ. Рецензент поддерживает по этой проблеме любые попытки и усилия, в которых используется та группа, для которой это доказывается. Доказательства арифметических задач с помощью интегралов, функций Грина, дифференцирования, по мнению рецензента, кем бы они не делались - не корректны и более того. Сначала надо доказать, что Ферма лгал, что у него есть элементарное доказательство, а уж потом расширять кольцо, полугруппу, группу Галуа, включая уравнения Дифофнта, и запутывать читателя. Этот автор остаётся в группе целых чисел, используя подгруппы чётных и нечётных чисел, и это рецензенту нравится. В сиаите нет ошибок, она построена математически логично. А уж примет её классическая научная общественность или нет - это боль автора. Рецензент считает возможным публикацию статьи Г.Г. Усова "Метод опорных делителей для доказательства Великой теоремы Ферма при простых числах n" в настоящем журнале.

Комментарии пользователей:

25.09.2022, 11:37 Харт Алекс Отзыв: «Отличная» статья, в которой «доказана» Великая теорема Ферма для случаев n=3 и n=5. Ошибок в статье «не обнаружено». Безусловно «имеет смысл» опубликовать данную статью в журнале. Есть только маленькие вопросы от одного из читателей. Один из них по уравнению (3а): a=n1^(n-1)*a1^n. Скажите, это единственный вариант числа «а», который может удовлетворять уравнению (1)? Подскажите, a=n1^(n*2-1)*a1^n – такой вариант числа «а» не может удовлетворять уравнению (1)?

25.09.2022, 16:29 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Для лучшего понимания МОД добавил задачу 5 (n = 7), задачу 6 (n = 11) и задачу 7 (R, при 3-х слагаемых, не делится на n для любого n)

26.09.2022, 8:57 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Харт Алекс, спасибо за вопрос! Кстати, уже второй хороший вопрос от Вас по теме МОД. Я в работе [2] рассматривал разные степени делителей числа а1 (b1), а вот про число n забыл. В ближайшее время я учту Ваше замечание. При этом немного изменится число w1, а также задача 2.

26.09.2022, 18:38 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Поправил утверждения 3, 4 и 5, переработал задачи 1 и 2.

26.09.2022, 22:17 Харт Алекс Отзыв: Читатели благодарят Вас, что Вы дали пояснения по первому вопросу. Теперь статья приняла «законченный» вид. Пожалуйста, еще ответьте на второй вопрос. Он касается уравнений (4e) и (4f). На примере уравнений (4e): a3 = n^n3 * a1^n, b3 = b1^n, w3 = (x + y) * R - поясните читателям. Вы писали что: a = n1^n3 * a1^n (уравнение (3а)). А уравнение (4а) имеет такой вид: (y – a)^n = n * a * b * (x + y) * R, которое Вы записали так: (y – a)^n = a3 * b3 * w3 (уравнение (4c)). «n1» Вы приняли равной «n» в уравнениях (4e). Если посчитать степень «n» исходя из уравнений (3а) и (4а), то она станет равна «n3+1». А если посчитать степень «n» исходя из уравнений (4е) и (4c), то она равна «n3». Читатели недоумевают. Им не знакома математическая операция, проводящая к такому исчезновению одной «n». Дайте пожалуйста пояснения читателям.

27.09.2022, 8:45 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Прошу передать читателям, что (4e) и (4f) исправлены. Тем более, что далее в (6b) и (6c) всё встало на свои места.

27.09.2022, 13:16 Харт Алекс Отзыв: Читатели благодарят Вас, что Вы дали пояснения на два их вопроса. Они также просят расписать подробнее как получилось уравнение (6f). "Тогда из уравнения (1) с помощью утверждения 1 можно определить число w1:" - читатели просят подробнее расписать этот момент. Для них не всё так очевидно как для Вас.

27.09.2022, 14:21 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: В утверждении 6 показан вид числа w1. А как такое число получается, ПОДРОДНО показано в задаче 1. Об этом сказано в утверждении 6.

27.09.2022, 18:24 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Поправил утверждения 5,6,7,выводы к МОД, часть задачи 1 (теперь выражения (W * w1)), часть задачи 2.

27.09.2022, 23:07 Харт Алекс Отзыв: Читатели хотят Вам задать еще один вопрос. Вопрос по задаче 1 и тексту «Подставим в уравнения (6b) и (6с) значения чисел х, y, а и b из утверждения 3 для случая, когда число а делится на число n». У Вас получилась такая формула: n^k1 * a1 * Y + n^n3 * a1^n = n^k1 * a1 * b1 * w1. Как читатели поняли, левая часть уравнения это «у-а». При этом y = n1^k1 * a1 * Y, a = n1^n3 * a1^n. Вы написали, что n1=n. Тогда y-a = n^k1 * a1 * Y - n^n3 * a1^n. А у Вас n^k1 * a1 * Y + n^n3 * a1^n. Читатели делают вывод, что «-» и «+» это равнозначные знаки. Прокомментируйте пожалуйста данный вывод читателей. Также читатели благодарят Вас, что Вы добавляете в статью что-то новое ещё и ещё, будь-то новые буквенные обозначения или новые формулы. Это говорит о «законченности» Вашей статьи, о том, что она «абсолютно готова» к печати. И эти постоянные добавления только «облегчают» чтение Вашей статьи.

28.09.2022, 7:35 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Поправил опечатку. Как я Вам уже говорил в отзыве к другой статье, в данном доказательстве "подгружаются" новые "реперные точки", на которых основано доказательство ВТФ. Поэтому может что-то поменяться в предыдущем тексте. Кстати, теперь главное не w3 и w1, а число R.

28.09.2022, 12:28 Харт Алекс Отзыв: Читатели надеются, что Ваша статья будет обязательно опубликована. Ее нужно опубликовать. Теперь у читателей вопрос по задаче 2. Кстати спасибо за все Ваши предыдущие ответы. Если правильно читатели поняли, то w4 можно записать двумя способами. 1) w4 = n^(k1*n) * a1 * I + J. 2) w4 = n^k1 * a1 * L + M. И это является противоречием с Вашей точки зрения. Читатели пробовали подставить в эти выражения такие значения: n = 3, k1 = 1, a1 = 5, I = 7, J = 53, L = 13, M = 803. В обоих случаях получилось w4 = 998, что собственно является «противоречием». И теорема Ферма «доказана». Читатели хотят, чтобы Ваш «метод» опорных делителей для доказательства Великой теоремы Ферма обязательно опубликовали в журнале как можно скорее. Многие столетия никому не удавалось доказать теорему Ферма оставшись только в целых числах простыми методами. Вам это «удалось». Читатели считают Вас новым «Уайлсом».

28.09.2022, 15:30 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Ваши читатели плохо прочитали МОД: в методе ничего не говорится о равенстве или неравенстве чисел. В методе говорится только о " ... противоречие в правых и левых частях уравнения (5а) по степени числа n при делителях a1 и b1. " (из вывода после утверждения 7). Пусть Ваши читатели попробуют другой пример: "построить" w1 как в статье 1 и возвести его хотя бы в степень 3. И посмотреть, что получится с числами n при делителях.

28.09.2022, 17:33 Харт Алекс Отзыв: Объясните читателям пожалуйста. Вашими преобразованиями получены такие два уравнения: 1) w4 = n^(k1*n) * a1 * I + J. 2) w4 = n^k1 * a1 * L + M. Вы написали, что это противоречие, так как у множителя "a1", у его сомножителя "n" разные степени. Вы можете доказать читателям, что это противоречие? Они привели пример с конкретным значением чисел, где всё выполняется. Вы предлагаете читателям возвести что-то в степень 3. Без проблем. Допустим возведем в степень 3 число "a+b". Т.е. будет (a+b)^3 = что-то. Но число (a+b)^3 может быть равно чему-то другому ещё. Например, (a+b)^3 = t + 999. Как в Вашем случае. У Вас два разных уравнения. Докажите читателям их противоречивость друг дружке. Они верят Вам.

28.09.2022, 18:20 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Вы повторяетесь. Я предлагаю Вам взять число w1*W из (10) или (11) или (12) и возвести, например в куб. И сравните с w4. У Вас будут совпадать степени числа n при делителях a1 и b1? И не надо брать всякие "3 число "a+b" ", и даже "1) w4 = n^(k1*n) * a1 * I + J. 2) w4 = n^k1 * a1 * L + M.". Берите то, что Вам говорят. А иначе Вы пытаетесь сравнивать численно числа. Они будут равны, так как (W * w1)^n = w4.

28.09.2022, 19:23 Харт Алекс Отзыв: Как не повторяться, если Вы уходите от ответа Ваших читателей. "И сравните с w4. У Вас будут совпадать степени числа n при делителях a1 и b1?" - Не будут. Но это не противоречие. Докажите читателям, что это противоречие. Вы запутались в трех соснах. Давайте вместе с читателями еще раз. Возведем в 3-ю степень (3а+b). Получим (3a+b)^3 = 27*a^3 + 3*9*a^2*b + 3*3*a*b^2 + b^3. Вы говорите, соберем степени числа 3 у множителя "a". Получим: (3a+b)^3 = 3^2*a*(что-то) + b^3. И Вы говорите. Смотрите. Здесь максимальная степень у числа 3 равна 2. Да. Замечательно. Но из этого не следует, что число (3a+b)^3 не может быть представлено иначе. Например так: (3a+b)^3 = 3^4 * a + G. Здесь уже у числа 3 при множителе "a" степень равна 4. Где противоречие? Тогда уж объявите так. У Вас два разных уравнения для w4. А поскольку их два, а не одно, это и есть противоречие. Читатели не зря назвали Вас новым «Уайлсом». Вы "открыли" новую математику.

28.09.2022, 21:15 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: При этом Вы "теряете" b. А в w4 есть ещё делитель b! (в статье b1, если а - это а1)

29.09.2022, 6:44 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Добавил задачи 8,9. Добавил в аннотации и в выводах.

29.09.2022, 8:17 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: "Читатели надеются, что Ваша статья будет обязательно опубликована. Ее нужно опубликовать. " - Харт Алекс, спасибо Вам за поддержку статьи!

29.09.2022, 9:05 Харт Алекс Отзыв: Читатели с Вашей подачи пришли к выводу, что математика это полный хаос. Они записали так: (3a+b)^3 = 27*a^3 + 3*9*a^2*b + 3*3*a*b^2 + b^3. Потом так: (3a+b)^3 = 3^2*a*(3a^2+3ab+b^2)+b^3. Обозначили p1=3a^2+3ab+b^2, q1=b^3. И получили уравнение (1): (3a+b)^3=3^2*a*p1+q1. Затем они записали так: (3a+b)^3=3^3*a*(a^2+ab) + 3*3*a*b^2 + b^3. Обозначили: p2= a^2+ab, q2=3*3*a*b^2 + b^3. И получили уравнение (2): (3a+b)^3=3^3*a*p2+q2. Читатели увидели, что в уравнениях (1) и (2) разные показатели степени числа 3 при сомножителе «а». Оба уравнения получены из одного простыми действиями. Раз имеет место быть такое противоречие, значит математика это полный хаос. Читатели расстроены. Помогите читателям, пожалуйста.

29.09.2022, 13:14 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Успокойте читателей. Оба варианта - есть противоречие, поскольку в w4 3 в степени 1.

29.09.2022, 14:46 Харт Алекс Отзыв: Читатели очень сильно волнуются. Вы получили два уравнения по аналогии с: (3a+b)^3=3^2*a*p1+q1, (3a+b)^3=3^3*a*p2+q2. Вы "убедили" их, что это противоречие. Они пришли к выводу, что вся математика противоречива. Спасайте Ваших читателей.

12.10.2022, 13:33 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Немного поправил статью (мелкие ошибки при печати)

12.01.2024, 2:26 Харт Алекс Отзыв: У Усова и Ремизова математическая близорукость наверно -4. А у Архипова пожалуй в районе -8. Только так можно объяснить его отзывы и его статью. Не зря же сказано "слепой ведет слепого".

13.01.2024, 21:02 Усов Геннадий Григорьевич Отзыв: Уважаемый Вячеслав Георгиевич! Спасибо за подсказку насчёт малой теоремы Ферма. Новое доказательство получилось!

Оставить комментарий