Замечание к Великой теореме Ферма

Тогда величину y можно представить следующим образом:

     y = d^s * Y1,                                                                                          (7)

где s и Y1 – натуральные числа.

Подставляем значения а и y из (6) и (7) в уравнение (4):

     ( d^s )ⁿ * Y1ⁿ – (d^m )ⁿ * Мⁿ  = (d^m ) * М * x * А1.                                     (8)

Сравниваем 3 величины: ( d^s )ⁿ,  ( d^m )ⁿ,  ( d^m ). Последняя величина всегда будет меньше 2-й величины. Поэтому нужно сравнивать 1-ю и 3-ю величины. Поскольку число Y1 не делится на делитель d, то для выполнения уравнения (8) необходимо, чтобы 1-я и 3-я величины были равны, или:   

    ( d^s )ⁿ  =  d^m,                                                                                         (9)

или:

     m = s * n.                                                                                             (10)

Уравнение (10) справедливо для любого другого общего простого делителя величин а и y в уравнении (4).    

Представим величину а из (6) в виде произведения простых делителей:

     а = ( d1^s1 * d2^s2 * d3^s3 * …* dD^sD )ⁿ = a1ⁿ,                                          (11)

где di - простые делители, si – их степени, D - количество простых делителей.

Тогда величина y из (7) имеет те же простые делители величины а1:

     y = (a1)  * Y,                                                                                        (12)

где Y – целое число.

Аналогично можно представить величину b как:

     b = d^m1 * М1,                                                                                        (13)

где m1 и М1 – натуральные числа,

и величину х как:

     x = d^v * X1,                                                                                          (14)

где v и Х1 – натуральные числа.

Тогда можно подставить (13) и (14) в уравнение (5):

     ( d^v )ⁿ * X1ⁿ – ( d^m1 )ⁿ * М1ⁿ  = ( d^m1 ) * М1 * x * B1.                            (15)

Аналогично получаем уравнение:

     m1 = v * n.                                                                                           (16)

Тогда, если представить величину b в виде произведения простых делителей:

     b = ( q1^v1 * q2^v2 * q3^v3 * …* qQ^vQ )ⁿ = b1ⁿ,                                           (16а)

где qi - простые делители, vi – их степени, Q – количество простых делителей,

то и в величине x имеются те же простые делители:

     x = (b1)  * X,                                                                                         (17)

где: Х – целое число.

Таким образом: уравнения (4) и (5) будут иметь вид:

    (a1 * Y)ⁿ – ( a1ⁿ )ⁿ = a1ⁿ * (b1 * X) * А1,                                               (17а)

    (b1 * X)ⁿ – ( b1ⁿ )ⁿ = b1ⁿ * (a1 * Y) * B1.                                               (17b)

Задача 3. Изменение уравнений (4) и (5) при простых числах n.

Если число n – простое число, то все коэффициенты бинома Ньютона в выражениях А1 и B1 делятся нацело на число n.

Тогда уравнения (4) и (5) можно записать:

и:

    xⁿ - bⁿ = n * b * y * B,                                                                            (19)

где: 

    А = x^{(n – 2)} + (n – 1) / 2 * x^{(n - 3)} * a + …+ a^{(n – 2)},

    B = y^{(n – 2)} + (n – 1) / 2 * y^{(n - 3)} * b + …+ b^{(n – 2)}.   

Задача 4. Представление величин y и x через делители величин а и b при простых числах n.

Рассмотрим случай, когда у величины а есть делитель d = n:

     а = n^m2 * М2,                                                                                        (20)

где m2 и М2 – натуральные числа.

Тогда величина y будет иметь вид:

     y = n^s1 * Y2,                                                                                         (21)

где s1 и Y2 – натуральные числа.

Из уравнения (18) получаем:

    ( n^s1 )ⁿ * Y2ⁿ – ( n^m2 )ⁿ * М2ⁿ  = n * ( n^m2 ) * М2 * x * А.                         (22)   

Аналогично условию (10) для выполнения уравнения (22) необходимо, чтобы выполнялось равенство:

    ( n^s1 )ⁿ  =  n * n^m2,

или:

    ( n^s1 )n  =  n^m2+1,

или:

     m2 = s1 * n - 1.                                                                                    (22а)

Тогда, если среди делителей величины а есть делитель n, уравнение (11) можно записать следующим образом:

     а = ( d1^s1 * d2^s2 * d3^s3 * …* dD^sD )ⁿ / n = a1ⁿ / n.                                  (23)

И, если среди делителей величины b есть делитель n, уравнение (16а) можно записать следующим образом:

     b = ( q1^v1 * q2^v2 * q3^v3 * …* qQ^vQ )ⁿ / n = b1ⁿ / n.                                  (24)

Следовательно, если среди делителей величины а есть делитель n, то уравнение (17а) будет иметь вид:

    (a1 * Y)ⁿ – ( a1ⁿ / n )ⁿ = a1ⁿ * (b1 * X) * А.                                             (25)

И, если среди делителей величины b есть делитель n, то уравнение (17b) будет иметь вид:

    (b1 * X)ⁿ – ( b1ⁿ / n )ⁿ = b1ⁿ * (a1 * Y) * B.                                              (26)

Задача 5. Дальнейшее изменение уравнения (1) при простых числах n.

В работе [4] было показано, что:

1.при n = 3 уравнение (1) можно представить как:

     (y – a)³ = 3 * a * b * (x + y),                                                                    (27)

2. при n = 5 уравнение (1) можно представить как:

     (y – a)⁵ = 5 * a * b * (x + y) * R5,                                                             (28)

где R5 = (Q1 + a²),

     Q1 = x * (x + a) + y * (y – a),

3. при n = 7 уравнение (1) можно представить как:

     (y – a)⁷ = 7 * a * b * (x + y) * R7,                                                             (29)

где: R7 = Q2 + 2 * a² * Q1 + a⁴,    

     Q1 = x * (x + a) + y * (y – a),

     Q2 = x² * (x + a)² + x * (x + a) * y * (y - a) + y² * (y - a)².                  

Таким образом, уравнение (1) для любой величины n можно представить следующим образом:

   (y – a)ⁿ = n * a * b * (x + y) * R,

где R – некоторый многочлен,

или:

   (y – a)ⁿ = (x – b)ⁿ = n * a * b * (x + y) * R.                                                (30)

Уравнение (30) можно представить с учётом задачи 4:

- если величина a делится на величину n:

     (a1 * Y – a1ⁿ / n)ⁿ = (b1 * X – b1ⁿ)ⁿ = (a1ⁿ / n) * b1ⁿ * (b1 * X + a1 * Y) * R,

- если величина b делится на величину n:

     (a1 * Y – a1ⁿ)ⁿ = (b1 * X – b1ⁿ / n)ⁿ = a1ⁿ * (b1ⁿ / n) * (b1 * X + a1 * Y) * R,

- если величины a и b не делятся на величину n:

     (a1 * Y – a1ⁿ)ⁿ = (b1 * X – b1ⁿ)ⁿ = n * a1ⁿ * b1ⁿ * (b1 * X + a1 * Y) * R.

Или:

- если величина a делится на величину n:

     (n * a1 * Y – a1ⁿ)ⁿ = nⁿ * (b1 * X – b1ⁿ)ⁿ = n^n-1 * a1ⁿ * b1ⁿ * (b1 * X + a1 * Y) * R,   (31)

- если величина b делится на величину n:

     nⁿ * (a1 * Y – a1ⁿ)ⁿ = (n * b1 * X – b1ⁿ)ⁿ = n^n-1 * a1ⁿ * b1ⁿ * (b1 * X + a1 * Y) * R,   (32)

- если величины a и b не делятся на величину n:

     (a1 * Y – a1ⁿ)ⁿ = (b1 * X – b1ⁿ)ⁿ = n * a1ⁿ * b1ⁿ * (b1 * X + a1 * Y) * R.                  (33)

Задача 6. Доказательство того, что уравнения (31) и (32) не могут быть решены в целых числах при простых числах n.

В работе [4] было доказано с помощью компьютера, что многочлен R не делится на величину n при n < 2500. При наличии более совершенного компьютера можно было бы доказать и для более больших величин n.

Величина:

     x + y = b1 * X + a1 * Y

не делится на величину n, поскольку либо величина х (или b1), либо величина y (или а1) делится на величину n.

Поэтому уравнения (31) и (32) не могут быть решены в целых числах, поскольку не существует в целых числах корень степени n из величины n^n-1, где величина n - простое число.

Задача 7. Получение нового уравнения для доказательства ВТФ.

Поскольку остаётся вариант «если величины a и b не делятся на величину n», то остаётся вариант того, что на величину n не делятся величины x и y.

Из уравнения (33) следует, что на величину n делится выражение:

     x + y = (b1 * X + a1 * Y).

А это означает, что поскольку выражение (x + y) делится на величину n, то на величину n делится величина z.

Это следует из разложения суммы степеней в уравнении (1).

Таким образом, из уравнений (31), (32), и (33) остаются два уравнения (33):

     (a1 * Y – a1ⁿ)ⁿ = (b1 * X – b1ⁿ)ⁿ = n * a1ⁿ * b1ⁿ * (b1 * X + a1 * Y) * R.              (34)               

Все величины, входящие в эти уравнения, за исключением величины n, не делятся на величину n.

В качестве решения уравнений (34) может быть определение целого числа w, удовлетворяющего как уравнениям:

     a1 * Y – a1ⁿ = b1 * X – b1ⁿ = w * a1 * b1,

так и  уравнению:

     wⁿ = n * (b1 * X + a1 * Y) * R.

Попытка нахождения такого целого числа w, а точнее доказательство того, что такого целого числа w не существует, была предпринята в работе [4].

Кстати, доказательство того, что при n = 3 такое целое число w не существует, следует из уравнения (27). Ведь, как известно, при n = 3 ВТФ верна.

Задача 8. Получение замечания к ВТФ.

Поскольку уравнения (31) и (32) не могут быть решены в целых числах, где величина n - простое число, то остаётся один вариант - величины a и b не делятся на величину n.

Следовательно, на величину n делится величина (х + y). 

Таким образом, получаем следующее:

Замечание к ВТФ: сумма чисел х и y, если такие числа существуют, должна делиться на число n.

Выводы.

Получено новое уравнение для доказательства ВТФ.

Получено замечание к Великой теореме Ферма: сумма чисел х и y, если такие числа существуют, должна делиться на число n.

Научная новизна.

Получено новое уравнение для доказательства ВТФ.

Получено замечание к Великой теореме Ферма: сумма чисел х и y, если такие числа существуют, должна делиться на число n.