Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?

Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 04.12.2022. Последняя правка: 23.12.2022.
Просмотров - 177

Простое доказательство Великой теоремы Ферма

Усов Геннадий Григорьевич

к.т.н.

МГУ, 1972

пенсионер

Аннотация:
Получено новое уравнение для доказательства Великой теоремы Ферма. Доказано, что при доказательстве Великой теоремы Ферма могут рассматриваться только те величины z, которые делятся на величину n. Получено простое доказательство Великой теоремы Ферма для любого n > 3.


Abstract:
A new equation for proving Fermat's Last Theorem is obtained. It is proved that only those values of z that are divisible by the value of n can be considered in the proof of Fermat's Last Theorem. A simple proof of Fermat's Last Theorem for any n > 3 is obtained.


Ключевые слова:
Великая теорема Ферма; замечание Грюнерта

Keywords:
Fermat's Last Theorem; remark by Grunert


УДК 511

Введение.

Великой теоремой Ферма (ВТФ) называется утверждение о том, что уравнение:

     хn + yn = zn                                                                                       (1)

не имеет решения в натуральных числах при n > 2 [1].

В уравнении (1) имеем 4 величины: x, y, z, n.

Английский математик сэр Эндрю Уайлс доказал ВТФ в 1994 году. Данное доказательство составляло около 130 страниц [3].

Существуют доказательства для отдельных случаев, когда x и y – небольшие числа: n = 3, n = 4, для простых чисел x и y, меньших 100 [3].

Однако все эти доказательства довольно громоздки. Это связано с тем, что из уравнения (1) невозможно выделить зависимость величин друг от друга.

Поэтому необходимо немного изменить уравнение (1) с целью выделение зависимости величин этого уравнения друг от друга.

В работе [4] автором была предпринята попытка перейти на новую формулу для ВТФ. В настоящей работе будет рассмотрен этот переход на новую формулу. При этом были учтены ошибки, допущенные в работе [4]. 

Актуальность.

Изменение уравнения (1) с целью определения зависимости величин нового уравнения друг от друга позволяет сократить пути поиска простого доказательства ВТФ.

Цель и задачи.

Цель данной работы заключается в определении нового уравнения ВТФ с целью определения зависимости величин нового уравнения друг от друга и доказательства ВТФ.

Задача 1. Замена в уравнении (1) величины z на другую величину.

Величину z в уравнении (1) можно определить с помощью следующих уравнений:

     z = x + a = y + b,                                                                                 (1а)

где а и b – натуральные числа.

В результате вместо уравнения (1) получаются два уравнения:

     хn + yn = (x + a)n,                                                                                 (2)

     хn + yn = (y + b)n.                                                                                 (3)

Уравнение (2) можно представить следующим образом:

     хn + yn = xn + n * x(n – 1) * a + n * (n – 1) / 2 * x(n - 2) * a2 + … + an
или:

     yn = n * x(n – 1) * a + n * (n – 1) / 2 * x(n - 2) * a + … + аn,

или:

     yn = а * x * А1 + аn,                                                                         

где:  А1 = n * (x(n – 2) + (n – 1) / 2 * x(n - 3) * a + …+ a(n – 2)),

или:

    yn - аn = а * x * А1.                                                                                (4)

Аналогично, уравнение (3) можно представить следующим образом:

    xn - bn = b * y * B1,                                                                                (5)

где:  B1 = n * (y(n – 2) + (n – 1) / 2 * y(n - 3) * b + …+ b(n – 2)).   

Таким образом, вместо одного уравнения (1) получено 2 уравнения (4) и (5), в которых имеются зависимости:

1.Величина yn делится на величину а.

2.Величина xn делится на величину b.


Задача 2. Представление величин y и
 x через делители величин а и b.

Получается, что все простые делители величины а будут простыми делителями величины y.

Выберем из делителей величины а один простой делитель d > 1.

Представим величину а как:

     а = dm * М,                                                                                           (6)

где m и М – натуральные числа.

Тогда величину y можно представить следующим образом:

     y = ds * Y1,                                                                                          (7)

где s и Y1 – натуральные числа.

Подставляем значения а и y из (6) и (7) в уравнение (4):

     ( ds )n * Y1n – (dm )n * Мn  = (dm ) * М * x * А1.                                     (8)

Сравниваем 3 величины: ( ds )n,  ( dm )n,  ( dm ). Последняя величина всегда будет меньше 2-й величины. Поэтому нужно сравнивать 1-ю и 3-ю величины. Поскольку число Y1 не делится на делитель d, то для выполнения уравнения (8) необходимо, чтобы 1-я и 3-я величины были равны, или:   

    ( ds )n  =  dm,                                                                                         (9)

или:

     m = s * n.                                                                                             (10)

Уравнение (10) справедливо для любого другого общего простого делителя величин а и y в уравнении (4).    

Представим величину а из (6) в виде произведения простых делителей:

     а = ( d1s1 * d2s2 * d3s3 * …* dDsD )n = a1n,                                          (11)

где di - простые делители, si – их степени, D - количество простых делителей.

Тогда величина y из (7) имеет те же простые делители величины а1:

     y = (a1)  * Y,                                                                                        (12)

где Y – целое число.

 

Аналогично можно представить величину b как:

     b = dm1 * М1,                                                                                        (13)

где m1 и М1 – натуральные числа,

и величину х как:

     x = dv * X1,                                                                                          (14)

где v и Х1 – натуральные числа.

Тогда можно подставить (13) и (14) в уравнение (5):

     ( dv )n * X1n – ( dm1 )n * М1n  = ( dm1 ) * М1 * x * B1.                            (15)

Аналогично получаем уравнение:

     m1 = v * n.                                                                                           (16)

Тогда, если представить величину b в виде произведения простых делителей:

     b = ( q1v1 * q2v2 * q3v3 * …* qQvQ )n = b1n,                                           (16а)

где qi - простые делители, vi – их степени, Q – количество простых делителей,

то и в величине x имеются те же простые делители:

     x = (b1)  * X,                                                                                         (17)

где: Х – целое число.

 

Таким образом: уравнения (4) и (5) будут иметь вид:

    (a1 * Y)n – ( a1n )n = a1n * (b1 * X) * А1,                                               (17а)

    (b1 * X)n – ( b1n )n = b1n * (a1 * Y) * B1.                                               (17b)

 

Задача 3. Изменение уравнений (4) и (5) при простых числах n.

Если число n – простое число, то все коэффициенты бинома Ньютона в выражениях А1 и B1 делятся нацело на число n.

Тогда уравнения (4) и (5) можно записать:

    yn - аn = n * а * x * А,                                                                            (18)

и:

    xn - bn = n * b * y * B,                                                                            (19)

где: 

    А = x(n – 2) + (n – 1) / 2 * x(n - 3) * a + …+ a(n – 2),

    B = y(n – 2) + (n – 1) / 2 * y(n - 3) * b + …+ b(n – 2).   

 

Задача 4. Представление величин y и x через делители величин а и b при простых числах n.

Рассмотрим случай, когда у величины а есть делитель d = n:

     а = nm2 * М2,                                                                                        (20)

где m2 и М2 – натуральные числа.

Тогда величина y будет иметь вид:

     y = ns1 * Y2,                                                                                         (21)

где s1 и Y2 – натуральные числа.

Из уравнения (18) получаем:

    ( ns1 )n * Y2n – ( nm2 )n * М2n  = n * ( nm2 ) * М2 * x * А.                         (22)   

Аналогично условию (10) для выполнения уравнения (22) необходимо, чтобы выполнялось равенство:

    ( ns1 )n  =  n * nm2,

или:

    ( ns1 )n  =  nm2+1,

или:

     m2 = s1 * n - 1.                                                                                    (22а)

Тогда, если среди делителей величины а есть делитель n, уравнение (11) можно записать следующим образом:

     а = ( d1s1 * d2s2 * d3s3 * …* dDsD )n / n = a1n / n.                                  (23)

И, если среди делителей величины b есть делитель n, уравнение (16а) можно записать следующим образом:

     b = ( q1v1 * q2v2 * q3v3 * …* qQvQ )n / n = b1n / n.                                  (24)

 

Следовательно, если среди делителей величины а есть делитель n, то уравнение (17а) будет иметь вид:

    (a1 * Y)n – ( a1n / n )n = a1n * (b1 * X) * А.                                             (25)

И, если среди делителей величины b есть делитель n, то уравнение (17b) будет иметь вид:

    (b1 * X)n – ( b1n / n )n = b1n * (a1 * Y) * B.                                              (26)

 

Задача 5. Дальнейшее изменение уравнения (1) при простых числах n.

В работе [4] было показано, что:

 

1.при n = 3 уравнение (1) можно представить как:

     (y – a)3 = 3 * a * b * (x + y),                                                                    (27)

 

2. при n = 5 уравнение (1) можно представить как:

     (y – a)5 = 5 * a * b * (x + y) * R5,                                                             (28)

где R5 = (Q1 + a2),

     Q1 = x * (x + a) + y * (y – a),

 

3. при n = 7 уравнение (1) можно представить как:

     (y – a)7 = 7 * a * b * (x + y) * R7,                                                             (29)

где: R7 = Q2 + 2 * a2 * Q1 + a4,    

     Q1 = x * (x + a) + y * (y – a),

     Q2 = x2 * (x + a)2 + x * (x + a) * y * (y - a) + y2 * (y - a)2.                  

 

Таким образом, уравнение (1) для любой величины n можно представить следующим образом:

   (ya)n = n * a * b * (x + y) * R,

где R – некоторый многочлен,

или:

   (y – a)n = (x – b)n = n * a * b * (x + y) * R.                                                (30)

Уравнение (30) можно представить с учётом задачи 4:

- если величина a делится на величину n:

     (a1 * Y – a1n / n)n = (b1 * X – b1n)n = (a1n / n) * b1n * (b1 * X + a1 * Y) * R,

- если величина b делится на величину n:

     (a1 * Y – a1n)n = (b1 * X – b1n / n)n = a1n * (b1n / n) * (b1 * X + a1 * Y) * R,

- если величины a и b не делятся на величину n:

     (a1 * Y – a1n)n = (b1 * X – b1n)n = n * a1n * b1n * (b1 * X + a1 * Y) * R.

Или:

- если величина a делится на величину n:

     (n * a1 * Y – a1n)n = nn * (b1 * X – b1n)n = nn-1 * a1n * b1n * (b1 * X + a1 * Y) * R,   (31)

- если величина b делится на величину n:

     nn * (a1 * Y – a1n)n = (n * b1 * X – b1n)n = nn-1 * a1n * b1n * (b1 * X + a1 * Y) * R,   (32)

- если величины a и b не делятся на величину n:

     (a1 * Y – a1n)n = (b1 * X – b1n)n = n * a1n * b1n * (b1 * X + a1 * Y) * R.                  (33)

 

Задача 6. Доказательство того, что уравнения (31) и (32) не могут быть решены в целых числах при простых числах n.

В работе [4] было доказано с помощью компьютера, что многочлен R не делится на величину n при n < 2500. При наличии более совершенного компьютера можно было бы доказать и для более больших величин n.

Величина:

     x + y = b1 * X + a1 * Y

не делится на величину n, поскольку либо величина х (или b1), либо величина y (или а1) делится на величину n.

Поэтому уравнения (31) и (32) не могут быть решены в целых числах, поскольку не существует в целых числах корень степени n из величины nn-1, где величина n - простое число.

 

Задача 7. Получение нового уравнения для доказательства ВТФ.

Поскольку остаётся вариант «если величины a и b не делятся на величину n», то остаётся вариант того, что на величину n не делятся величины x и y.

Из уравнения (33) следует, что на величину n делится выражение:

     x + y = (b1 * X + a1 * Y).

А это означает, что поскольку выражение (x + y) делится на величину n, то на величину n делится величина z.

Это следует из разложения суммы степеней в уравнении (1).

Таким образом, из уравнений (31), (32), и (33) остаются два уравнения (33):

     (a1 * Y – a1n)n = (b1 * X – b1n)n = n * a1n * b1n * (b1 * X + a1 * Y) * R.              (34)               

Все величины, входящие в эти уравнения, за исключением величины n, не делятся на величину n.

В качестве решения уравнений (34) может быть определение целого числа w, удовлетворяющего как уравнениям:

     a1 * Y – a1n = b1 * X – b1n = w * a1 * b1,

так и  уравнению:

     wn = n * (b1 * X + a1 * Y) * R.

Попытка нахождения такого целого числа w, а точнее доказательство того, что такого целого числа w не существует, была предпринята в работе [4].

Кстати, доказательство того, что при n = 3 такое целое число w не существует, следует из уравнения (27). Ведь, как известно, при n = 3 ВТФ верна.

 

Задача 8. Простое доказательство Великой теоремы Ферма.

Как было замечено в предыдущей задаче, при n = 3 уравнение (27)

     (y – a)3 = 3 * a * b * (x + y),                                                                                     (35)

не имеет решения в целых числах, поскольку при n = 3 ВТФ верна.

Уравнение (35) можно представить следующим образом:

     (y – a)3 = 33 * a * b * ( d1s1 * d2s2 * d3s3 * …* dDsD )3,                                              (36)

где di - простые делители, включая число 3, si – их степени, D - количество простых делителей.

Отсюда можно сделать вывод 1:

Вывод 1. При n = 3 для любого выражения (ya)3 не существует комбинации делителей di, при которых уравнение (36) выполнимо в целях числах.

Но «уравнение» (36) можно упростить:

     y – a = 3* a1 * b1 * ( d1s1 * d2s2 * d3s3 * …* dDsD ).                                               (37)

И это «уравнение» тоже не будет иметь решения в целых числах.

«Уравнение» (37) можно преобразовать: из всех возможных делителей выбрать делитель n, а делитель 3 перевести в перечень остальных делителей:

     y – a = n* a1 * b1 * ( 3 * d1s1 * d2s2 * d3s3 * …* dDsD ).                                         (37a)

«Уравнение» (37) можно возвести в степень n:

     (y – a)n = nn * a * b * ( 3 * d1s1 * d2s2 * d3s3 * …* dDsD )n,                                       (38)

которое тоже не будет иметь решения в целях числах, то есть, для любого выражения (y – a)n не существует комбинации делителей di, при которых уравнение (38) выполнимо в целях числах.

В свою очередь, выражение (x + y) для уравнения (30) можно представить в виде:

     х + y = nn-1 * ( q1s1 * q2s2 * q3s3 * …* qFsF )n,                                                          (39)

где qi - простые делители, включая число 3, si – их степени, F - количество простых делителей.

Тогда получаем из уравнения (30):

     (y – a)n = nn * a * b * ( q1s1 * q2s2 * q3s3 * …* qFsF )n.                                              (40)

Всё множество делителей di с их степенями, для которых нет решения «уравнения» (38), будет включать и множество делителей qi.

Поэтому можно сделать вывод, что «уравнение» (40) тоже не будет иметь решения в целях числах, то есть, получаем вывод 2:

Вывод 2. Для любого выражения (ya)n не существует комбинации делителей qi, при которых уравнение (40) выполнимо в целях числах.

 

В результате, можно сказать, что уравнение (30) нельзя решить в целых числах для любого n > 3.

А поскольку уравнение (30) было получено из уравнения (1) с помощью замены (1а), то уравнение (1) не имеет решения в целых числах для любого n > 3.

То есть, доказана Великая теорема Ферма для любого n > 3.

Выводы.

Получено новое уравнение для доказательства ВТФ.

Доказано, что при доказательстве ВТФ могут рассматриваться только те величины z, которые делятся на величину n.

Получено простое доказательство Великой теоремы Ферма для любого n > 3.


Научная новизна.

Получено новое уравнение для доказательства ВТФ.

Доказано, что при доказательстве ВТФ могут рассматриваться только те величины z, которые делятся на величину n.

Получено простое доказательство Великой теоремы Ферма для любого n > 3.

Библиографический список:

1. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1978. 128 с.
2. Усов Г. Г. Уточнение замечания Грюнерта к Великой теореме Ферма. Сайт электронного периодического рецензируемого научного журнала «SCI-ARTICLE.RU», Научное направление «Математика», Размещена 17.07.2022.
3. Ишмухаметов Ш.Т. Методы факторизации натуральных чисел: учебное пособие / Ш.Т. Ишмухаметов.– Казань: Казан. ун. 2011.– 190 с.
4. Усов Г. Г. Метод опорных делителей для доказательства Великой теоремы Ферма при простых числах n. Сайт электронного периодического рецензируемого научного журнала «SCI-ARTICLE.RU», Научное направление «Математика», Размещена 23.09.2022.




Комментарии пользователей:

23.12.2022, 16:28 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Получено простое доказательство - задача 8. Изменены: название, цель работы, выводы и новизна.


16.01.2023, 19:29 Харт Алекс
Отзыв: Кто-нибудь может сказать, как Усов Геннадий Григорьевич стал рецензентом раздела "Математика"? Уже всем понятно, что он не понимает математику, если пишет такие статьи. Главное быстрее публикует статьи. То ли он совсем не проверяет свои статьи, то ли у него не хватает знаний, чтобы найти ошибку. Но факт в том, что публикуя эту статью он назвал всех математиков мира мягко говоря не очень умными людьми. Они не смогли так просто за 300 лет доказать теорему Ферма, а он смог. Блестяще.


16.01.2023, 22:44 Усов Геннадий Григорьевич
Отзыв: Харт Алекс. Вы себя причисляете ко всем математикам мира? И за них решили напечатать данный отзыв? Понимаю, в душе у Вас обида за рецензию на Вашу статью ... Я немного изменил предыдущее название статьи и высказал некоторые соображения по доказательству ВТФ. Ошибку я видел, но статью пока не снимаю, поскольку очень интересная получилась задача 8. Не волнуйтесь, скоро сниму статью, если она Вас нервирует и не дает серьезно подумать о мужском и о женском в математике.


26.01.2023, 10:54 Харт Алекс
Отзыв: "Простое доказательство Великой теоремы Ферма". "Доказательство Великой теоремы Ферма понятное школьникам". Где-то я уже это видел. Там автор был к.т.н. И здесь автор к.т.н. Там был "Григорьевич", и здесь "Григорьевич". Или Вы, Вадим Григорьевич, так шифруетесь? Только ответа на вопрос нет. Юление есть, а ответа нет. Как Вы стали рецензентом раздела "Математика"?


Оставить комментарий

 
 

Вверх