Статья опубликована в №113 (январь) 2023
Разделы: Физика
Размещена 02.01.2023.
Просмотров - 450

К ВОПРОСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНТЕНСИФИЦИРОВАННОГО ТЕПЛООБМЕНА В ОБЛАСТЯХ ПРИСОЕДИНЕНИЯ ПОТОКА ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ В ТРУБАХ С ТУРБУЛИЗАТОРАМИ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА ТУРБУЛЕНТНОЙ ПУЛЬСАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ И ДВУСЛОЙНОЙ МОДЕЛИ ПОТОКА

Лобанов Игорь Евгеньевич

доктор технических наук

Московский авиационный институт

ведущий научный сотрудник

УДК 532.517.4 : 536.24

1. ВВЕДЕНИЕ

Моделирование интенсифицированного теплообмена при турбулентном течении в каналах с турбулизаторами для открытых впадин и относительно малых высот турбулизаторов очень важно, поскольку именно в этой области имеет место высокий уровень интенсификации теплообмена при относительно незначительном повышении гидравлического сопротивления [1]. В этом случае имеет место отрыв и присоединение потока.

Ранее данный подход применялся для решения задачи о предельном теплообмене при турбулентном течении в каналах за счет турбулизации потока [2, 3].

Ранее в смысле генерирования обобщённой теории рассматривались турбулизаторы потока, высота которых меньше или равна толщине пристенного слоя [9—13]. В этом случае возмущения, сгенерированные турбулизаторами, в ядре потока невелики, следовательно, остается справедливой формула для пути смешения  l = æ · y  ( y — поперечная координата; æ — константа для пути смешения) и логарифмический профиль скорости [4].

В рамках настоящего научного исследования рассматриваются аспекты теории интенсифицированного теплообмена, которая была бы применима и к турбулизаторам бóльших высот, в том числе, больше пристенного слоя.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНТЕНСИФИЦИРОВАННОГО ТЕПЛООБМЕНА В ОБЛАСТЯХ ПРИСОЕДИНЕНИЯ ПОТОКА ПРИ ПРИМЕНЕНИИ УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА ТУРБУЛЕНТНОЙ ПУЛЬСАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ

В областях присоединения потока довольно успешно использовался метод расчёта теплообмена, основанный на решении уравнения баланса пульсационной турбулентной энергии [9—13]. Следует сказать, что методы, реализованные в работах [9—13], имели определённые ограничения, поэтому необходимо разработать такую теорию на основе баланса турбулентной энергии, которая имела бы более широкую общность, чем [9—13].

Необходимость генерирования теории для расчёта теплообмена, основанной на уравнении баланса турбулентной энергии, обусловливается тем, что аналогия Рейнольдса, на базе которой основан расчёт теплообмена при турбулентном течении в трубах, строго говоря, не может быть непосредственно использована для расчёта теплообмена в трубах с дискретными турбулизаторами потока, в том числе, в трубах с диафрагмами, поскольку в критических точках — в областях отрыва и присоединения потока — она нарушается, но справедлива вне вышеуказанных областей.

Для решения задачи о теплообмене в областях присоединения потока с привлечением уравнения баланса турбулентной пульсационной энергии, необходимо сгенерировать расчётную схему потока.

Схема течения в трубах с турбулизаторами представляется следующим образом. Поток на расстоянии от 5 до 8 высот турбулизатора отрывается от турбулизатора высотой h и снова присоединяется к гладкой поверхности трубы, образуя область присоединения. В вышеупомянутой области присоединения имеют место сильные пульсации, поэтому к ней можно описать критической точкой, т.е. точкой, где касательные напряжения τ_w=0, а плотность теплового потока максимальна q_w=q_wmax.

При отрывном обтекании напряжение трения равно нулю, но турбулентность потока велика и турбулентная энергия диффундирует к стенке, что и обусловливает, в том числе, интенсификацию теплообмена в области присоединения. Экспериментальные данные по измерению напряжения трения на стенке указывают на то, что в областях присоединения потока τ_w≈0 при очень незначительном разбросе экспериментальных точек [7, 8, 21].

В критических точках происходит полное нарушение аналогии Рейнольдса, обусловливая то, что эти точки являются идеальными с точки зрения интенсификации теплообмена, обеспечивая в них стремление к нулю значения фактора аналогии Рейнольдса r :  r:=ξ/St→0, где St — число Стентона, ξ — коэффициент сопротивления.

В процессе генерирования критических точек имеет место необходимость затраты определённой энергии. Известный эффект превалирующего увеличения теплообмена над увеличением гидравлического сопротивления [1] при относительно малых высотах турбулизаторов можно объяснить положительным влиянием областей отрыва и присоединения потока, в то время как потери энергии, связанные с отрывом потока при относительно малых высотах турбулизаторов довольно незначительны, а при увеличении высоты турбулизаторов эта энергия возрастает и превалирования теплообмена над гидросопротивлением не возникает.

Вышесказанное обусловливает важность рассмотрения вопроса о теплообмене в критических точках для детерминирования интенсифицированного теплообмена в трубах с турбулизаторами.

Как уже отмечалось, в рамках настоящего научного исследования рассматриваются аспекты теории теплообмена в критических точках, которая была бы применима и к турбулизаторам как малых, так и больших высот, в том числе, больше пристенного слоя; в последнем случае высота турбулизаторов будет больше расстояния от стенки трубы до нижней границы турбулентного ядра потока  (области логарифмического профиля скорости), а возмущения от турбулизаторов будут интенсивно распространяться на всю толщину пограничного слоя.

Уравнения баланса турбулентной пульсационной энергии для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид [14, 15]:

 (1)

где  — кинетическая энергия турбулентного пульсационного движения;  — компоненты пульсационной составляющей скорости; a и b — константы диссипации и диффузии соответственно.

Рассматривается несжимаемая жидкость с постоянными физическими свойствами. Для несжимаемой жидкости с постоянными теплофизическими свойствами турбулентная кинематическая вязкость определяется как:
. (2)
На основе анализа теории размерностей имеем:

. (3)

В отрывных зонах распределение τ аппроксимируется независимо от характера его изменения поперёк турбулентного пограничного слоя следующим образом [16]:

 (4)

где m — константа.

При y=0 — τ=0, что и определяет отрыв потока.

Подставив в (1) выражения (2)—(4), получим дифференциальное уравнение для кинетической энергии турбулентного пульсационного движения  в следующем виде:
. (5)

Дифференциальное уравнение относительно кинетической энергии пульсационного движения будет выглядеть следующим образом:

. (6)

Последнее дифференциальное уравнение является нелинейным, поэтому представляется оптимальным в области присоединения потока (а также в области присоединённого пограничного слоя, лежащего от собственно области присоединения до полностью развитого течения) принять линейный характер изменения кинетической энергии пульсационного движения:
. (7)

Подставив (7) в (6), получим следующее уравнение:

, (8)

решив которое, получаем:

. (9)

Отрицательный корень не удовлетворяет физическим условиям, поэтому он должен быть отброшен, следовательно:

. (10)

В данном исследовании рассматривается двуслойная схема турбулентного потока: турбулентное ядро потока и область непосредственного влияния вязкости.

На границе вязкого подслоя y=y₀, а на границе турбулентного ядра — y=y₁; соответственно: k при y=y₀ равно k₀ и k при y=y₁ равно k₁.

Внешняя граница турбулентного ядра y₁ является таким расстоянием от стенки, где нарушается линейное распределение поперёк пристенного слоя кинетической энергии пульсационного движения k.

В районе области присоединения потока уровень турбулентной кинетической энергии k вблизи стенки является повышенным, что обусловливает и повышенный уровень турбулентной кинематической вязкости ν_Т .

Значение величины y₀ является такое значение y, при котором величина относительной турбулентной вязкости ν_Т /ν становится такой же, как и в гладкой трубе на границе турбулентного и промежуточных областей. Т.к. уровень турбулентности в трубах с турбулизаторами выше, чем в гладких трубах, то абсолютная величина y₀ в трубах с турбулизаторами будет меньше, чем в гладких трубах.

При φ=40 для гладкой трубы — ν_Т /ν=16.

В соответствии с (9) или (7) получим:
. (11)

Подставив в (11) выражения для ν_Т =y·c∙k^1/2 и ν_Т /ν=16, получим:
. (12)

Далее определим значение комплекса  в зависимости от числа Рейнольдса  (D — диаметр трубы;  — среднерасходная скорость):

. (13)

Число Стентона, отнесённое к среднему температурному напору, детерминируем на основании известного соотношения, используемого для расчёта интенсифицированного теплообмена [2; 3; 7—13; 17, 21]:

, (14)

где Pr — число Прандтля;  Pr_T  — турбулентное число Прандтля; ν — кинематическая вязкость; ν_Т  — турбулентная кинематическая вязкость; выражение в квадратных скобках — отношение максимального температурного напора к среднему, которое ранее было детерминировано в работах [11—13; 17].

Точные аналитические решения для интегралов, входящих в отношение максимального температурного напора к среднему   (r=R/R₀ — безразмерный (или относительный) радиус трубы), входящего в решение задачи об интенсифицированном теплообмене в прямых круглых трубах с турбулизаторами при турбулентном течении при использовании обозначений —  —  выглядят следующим образом:

 (15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)

Окончательное выражение для числа Стентона получим путём подстановки значения  из (13) в (14):
. (22)

В данном исследовании используем двуслойную схему потока, поэтому интеграл, входящий в (22), можно записать следующим образом:

. (23)

Величина толщины вязкого подслоя в сечении отрыва турбулентного пограничного слоя принимается стандартной η_В=5 (η=yw_*/ν — безразмерная координата; w_* — скорость трения).
В вязком подслое и в промежуточной области, т.е. при у > y₀, распределение величины ν_Т /ν происходит так же, как и в гладкой трубе, по закону "четвёртой степени" убывания турбулентной вязкости с расстоянием, а именно:

, (24)

для промежуточного подслоя:

, (25)

для турбулентного ядра потока:

. (26)

В сечении отрыва турбулентного пограничного слоя безразмерная толщина вязкого подслоя, как показано в работе [18], равна:
. (27)

Иными словами, η_В≈7,55. Данное значение, полученное в [18], является ощутимо завышенным, поскольку она была детерминирована в [18] без учёта буферной (промежуточной) области, что подтверждает правильность принятия стандартной величины вязкого подслоя в сечении отрыва турбулентного пограничного слоя.

Теперь необходимо детерминировать величины, входящие в окончательное выражение для числа Стентона (23).

Сопоставление турбулентной вязкости из выражения (3) с турбулентной вязкостью, детерминированной путём вычисления на основании обычного логарифмического профиля скорости для области постоянного напряжения позволяет получить постоянную с:

 , (28)

поэтому

, (29)

что соответствует значению, принятому в [2; 3; 7—13, 21].

Распределение величины турбулентной пульсационной кинетической энергии k, экспериментально детерминированное в [19], указывает на то, что линейность распределения величины k нарушается в районе порядка внешней границы области постоянного напряжения:

. (30)

Следовательно,

. (31)

Для расчёта интенсифицированного теплообмена в точке присоединения принимаем y₁/y₀=12.

Ввиду неопределённости в области присоединения пограничного слоя значения w_* (в точке отрыва w_*=0), то абсолютное значение y₁ бессмысленно детерминировать из полученного ранее условия y₁/ y₀.

Исходя из данных, приведённых в [19], область постоянного напряжения заканчивается на расстоянии, равном ¹/_5¸¹/₁₀ толщины пограничного слоя, поэтому для прямой круглой трубы величину y₁ можно оценить как:

. (32)

Вышеуказанное значение y₁/D полностью коррелирует с соответствующей рекомендацией, приведённой в [15] на основании анализа экспериментальных данных.

Для детерминирования значения y₀/D следует воспользоваться соотношением относительно величин, которые были определены выше:

. (33)

Далее необходимо детерминировать интегралы, входящие в (23), как для вязкого подслоя, так и для турбулентного ядра потока.

Для вязкого подслоя вышеуказанный интеграл будет равен:

. (34)

После проведения интегрирования, получим:

. (35)

Возможно и альтернативное эквивалентное решение для интеграла (34), основанное на использовании гипергеометрической функции (функции Гаусса):

, (36)

где  — гипергеометрическая функция.

Для турбулентного ядра вышеуказанный интеграл будет равен:
. (37)

Введя следующие обозначения:
, (38)

приведём, после интегрирования, следующую форму записи интеграла (37):

 (39)
Таким образом, расчёт интенсифицированного теплообмена в точке присоединения в трубах с турбулизаторами может быть проведён по формуле (23) с расчётом входящих в неё интегралов по формулам (35) (или (36)) и (39).

Сравнение теоретических расчётных данных по теплообмену в точке присоединения турбулентного пограничного слоя с экспериментальными удобнее сделать так же, как это сделано в работах [7, 8, 21]. Сходные условия теплообмена имеют место для теплообмена в задней критической точке при поперечном обтекании цилиндра [7, 8, 20, 21]:

, (40)

где  — скорость набегающего потока; D_Ц  — диаметр цилиндра.

Значения  и  на границах вязкого подслоя и турбулентного ядра соответственно детерминируется так же, как и в работах [2, 3, 7—13, 17, 21], поскольку вышеуказанные зависимости имеют широкую общность:

, (41)

где R=D/2 — радиус трубы (h/R=1–d/D, d — диаметр диафрагмы), Re — число Рейнольдса, ξ — коэффициент сопротивления трению.

В работах [7, 8, 21] приводится формула по  в области присоединения турбулентного пограничного слоя, основанная на обобщёнии экспериментальных данных для диапазона Re=10⁴¸10⁵:

. (42)

Использованная в данном исследовании закономерность является более обоснованной и сложной, чем использованная в [7, 8, 21], что обусловливает её преимущественное применение.

Сравнение сгенерированной теории с экспериментом [7, 8, 20, 21] оптимальнее всего провести для тех условий, для которых было проведено сравнение для других математических моделей [7, 8, 21] — для Re=10⁴ и h/R=0,0632 — =0,34 [7, 8, 21] число Стентона составляет St=4,579·10^–3, в то время как на основании эксперимента [7, 8, 20, 21] — St_Э=4,642·10^–3; ошибка составляет порядка 1,5%, в то время как ошибка расчётной модели, представленной в [7, 8, 21], составила порядка 19% [7, 8, 21].

Следовательно, сгенерированная в данном научном исследовании теоретическая модель для расчёта интенсифицированного теплообмена в точке присоединения турбулентного пограничного слоя практически на порядок точнее существующей [7, 8, 21], однако полученные в работе окончательные расчётные зависимости гораздо сложнее существующих [7, 8, 21], что не важно при современном уровне развития вычислительной техники.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

В исследовании сгенерирована теоретическая модель на базе уравнения баланса турбулентной пульсационной энергии, позволяющая теоретическим образом детерминировать интенсифицированный теплообмен при турбулентном течении в каналах с турбулизаторами для большого диапазона высот турбулизаторов в области присоединении турбулентного пограничного слоя. Получена их удовлетворительная корреляция с существующими независимыми экспериментальными данными. Сгенерированная теория гораздо точнее, использует меньшее число допущений и лучше соответствует имеющемуся экспериментальному материалу, чем существующие теории [7, 8, 21].

Показано, что решение уравнения баланса турбулентной энергии для расчёта теплообмена в каналах со сложной гидрогазодинамикой, в том числе, в точке присоединения турбулентного пограничного слоя, является прогрессивным направлением в теории интенсифицированного конвективного теплообмена, поскольку оно позволяет получить надёжные расчетные методики в тех случаях, когда имеет место нарушение аналоги Рейнольдса.

Разработанная теория указывает на то, что необходима дальнейшая работа в направлении её развития и перехода от двуслойной модели потока к трёхслойной, которая позволит детерминировать теплообмен в точке присоединения турбулентного пограничного слоя в более широком диапазоне определяющих параметров и с большей точностью, чем для существующих моделей.

Решение теоретической задачи о теплообмене в области присоединения турбулентного пограничного слоя обусловливает потенциальное решение задачи о теплообмене и для всей области после присоединения турбулентного пограничного слоя (присоединённый пограничный слой): от точки присоединения турбулентного пограничного слоя вплоть до полностью развитого течения (до стабилизированного течения).

1. Эффективные поверхности теплообмена / Э.К.Калинин, Г.А.Дрейцер, И.З.Копп и др. — М.: Энергоатомиздат, 1998. — 408 с.
2. Лобанов И.Е. Моделирование предельного изотермического теплообмена при турбулентном течении в каналах за счет турбулизации потока на базе уравнения баланса турбулентной пульсационной энергии // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Труды XV Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И.Леонтьева. — М., МЭИ, 2005. — T.1. — С. 99—102.
3. Лобанов И.Е. Предельный теплообмен при турбулентном течении в каналах за счет турбулизации потока на базе уравнения баланса турбулентной пульсационной энергии // Труды Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену. В 8 томах. Т. 2. . Вынужденная конвекция однофазной жидкости. — М., 2002. — С. 191—194.
4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974. — 712 с.
5. Webb R.L., Eckept E.R. and Goldstein R.J. Heat Transfer and friction in tubes with Repeated—Rib Ronghness // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1971. — Vol.14. — № 4. — P.601—617.
6. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. — М.: Атомиздат, 1979. — 416 с.
7. Мигай В.К. Повышение эффективности современных теплообменников. — Л.: Энергия. Ленинградское отделение, 1980. — 144 с.
8. Мигай В.К. Моделирование теплообменного энергетического оборудования. — Л.: Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1987. — 263 с.
9. Лобанов И.Е., Мякочин А.С., Низовитин А.А. Моделирование интенсифицированного теплообмена при турбулентном течении в трубах с турбулизаторами на базе уравнения баланса турбулентной пульсационной энергии // Вестник МАИ. — 2007. — Т. 14. — № 4. — С. 13—22.
10. Лобанов И.Е., Парамонов Н.В. Математическое моделирование теплообмена в трубах с турбулизаторами при турбулентном течении на основе уравнения баланса турбулентной пульсационной энергии // Труды Пятой Российской национальной конференции по теплообмену. В 8 томах. Том 2. Вынужденная конвекция однофазной жидкости. — М.: МЭИ, 2010. — С. 162—165.
11. Лобанов И.Е. Применение уравнения баланса турбулентной пульсационной энергии для математического моделирования интенсифицированного теплообмена при турбулентном течении в трубах с турбулизаторами // Авиакосмическое приборостроение. — 2011. — № 5. — С. 19—24.
12. Лобанов И.Е. Теория интенсифицированного теплообмена при турбулентном течении в трубах с турбулизаторами на базе уравнения баланса турбулентной пульсационной энергии // Материалы IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2012), 25—31 мая 2012 г., Алушта. — М.: Издательство МАИ, 2012. — С. 245—247.
13. Лобанов И.Е. Теория интенсифицированного теплообмена при турбулентном течении в трубах с турбулизаторами на основе уравнения баланса турбулентной пульсационной энергии // Отраслевые аспекты технических наук. — 2012. — № 5. — С. 7—14.
14. Praudte L. Über ein neues Formelsystem für die ausgebildete Turbulenz // Nachrichten der Akad. Wiss. — Göttingen: Mathphys, 1945. — P. 6.
15. Spolding D.B. Heat transfer for turblent separated flows // Journal Fluid Mechanics. — 1967. — Vol. 27. — Part 1. — P. 97—109.
16. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. — Л.: ЛГУ, 1970. — 375 с.
17. Лобанов И.Е., Штейн Л.М. Перспективные теплообменные аппараты с интенсифицированным теплообменом для металлургического производства. (Общая теория интенсифицированного теплообмена для теплообменных аппаратов, применяемых в современном металлургическом производстве.) В 4-х томах. Том IV. Специальные аспекты математического моделирования гидрогазодинамики, теплообмена, а также теплопередачи в теплообменных аппаратах с интенсифицированным теплообменом. – М.: МГАКХиС, 2011. – 343 с.
18. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 320 с.
19. Таунсенд А. А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом, Издательство иностранной литературы, 1959. — 399 с.
20. Richardson P.D. Heat and mass transfer in turbulent separated flows // Chem. Engng. Sc. — 1963. — Vol. 18. — P. 149.
21. Мигай В.К. К теории теплообмена в турбулентном потоке с отрывом // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1976. — № 2. — С. 170—171.

Рецензии:

2.01.2023, 15:29 Ашрапов Улугбек Товфикович
Рецензия: Использование уравнения баланса Турбулентной энергии в дополнение к уравнениям Рейнольдса впервые было предложено Колмогоровым в 1942 г.[https://scask.ru/n_book_s_gidro.php?id=46]. В данной работе автором разработана теоретическая модель для расчёта теплообмена при турбулентном течении в каналах в условиях интенсификации теплообмена, отличающаяся от известных моделей более высокой точностью. Полученные расчётные данные по интенсифицированному теплообмену хорошо соответствуют существующими экспериментальными данными.Работа актуальная и может быть использована при разработке методов интенсификации теплообмена в твердотопливных котлах с тягой или микроканальных теплообменниках гибридных систем термостабилизации. Работу рекомендую к публикации в журнале sci-article.ru.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий