Разделы: Физика
Размещена 03.10.2023. Последняя правка: 08.10.2023.
Просмотров - 378

Алгебра Клиффорда как универсальный математический инструмент для описания и объединения гравитации и электромагнетизма

Бабаев Алимжан Холмуратович

Кандидат физико - математических наук

Пенсионер

Пенсионер

УДК 537.8; 512.7

Введение

Цель этой обзорной статьи: показать преимущества математической теории, которая описывает и объединяет электромагнитные и гравитационные процессы. В частности, две независимые системы уравнений Максвелла и уравнения Эйнштейна объединяются в концепции алгебры Клиффорда даже в рамках классической (не квантовой) физики.

Обобщенная алгебра Клиффорда (в криволинейных координатах) используется как мощный и универсальный математический инструмент для объединения, казалось бы, двух необъединяемых фундаментальных полей. В рамках других математических методов, по крайней мере, в классической физике, пока это не удавалось.

В работе [1] был рассмотрен способ объединения гравитации и электромагнетизма, но в ограниченной версии, т.е. без 4-х мерных токов и без многих важных деталей.

Теоретические основы

В статье [2] была дана дифференциальная билинейная форма в (M, g), как мера локальной неоднородности (B)векторного поля с 4-х потенциалом A:

B= ▽A = ▽•A+▽∧A                                                                        (1),

где

▽A = ▽•A+▽∧A– произведение Клиффорда (▽A), которое состоит из внутреннего (▽•A) и внешнего (▽∧A) произведений “векторов” ▽ и A[2].

▽ = eⁱD_i– набла оператор в криволинейных координатах. Иногда его называют оператором Дирака в криволинейных координатах и обозначают как D = eⁱD_i.

D_i = D/qⁱ– ковариантное дифференцирование. 

e_i= ∂_iX^kγ_k – “векторы” подвижного базиса (репера), точнее, 4х4 матрицы.

γ_k – матрицы Дирака. Часто совокупность четырех матриц Дирака {γ_k} (в 4-х мерном «плоском» пространстве) называют каноническим базисом [2].

γ_i γ_j+ γ_j γ_i= ∓ 2Eδ_ij

где γ_k – матрицы Дирака, δ_ij – символ Кронекера, E – единичная матрица.

Если i,j= 0, то берется знак «+», если i,j =1,2,3, то берется знак «-».

Проще говоря, матрицы Дирака γ_k используются подобно единичным векторам (ортам – i, j, k) ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

X^k (qⁿ) – функции преобразования или функции перехода от канонического базиса {xⁿ} к подвижному базису {qⁿ}.  

  

▽•A= eⁱ•e^j▽_iA_j= g^ij▽_iA_j E– внутреннее произведение Клиффорда [3] (не скалярное произведение).

E– единичная матрица. g^ij– метрический тензор. ▽•Aпо сути есть симметричный тензор второго ранга, и он интерпретируется как тензор деформации поля A.  

▽∧A= eⁱ∧ e^j▽_iA_j – внешнее произведение Клиффорда [3] базисных “векторов” eⁱи e^j (не векторное произведение).

▽∧A по сути есть антисимметричный (кососимметричный) тензор второго ранга (бивектор), и он интерпретируется как тензор вращения поля A.

 

Примечание. По «немым» индексам идет суммирование (правило Эйнштейна). Латинские символы в индексах принимают значения от 0 до 3, а греческие – от 1 до 3.    

 

Результаты

  Берем градиент (▽ = eⁱD_i – оператор Дирака) от (1)

∇B=∇∇A                                                                                     (2)

∇B - этотензор третьего ранга. Так как он дуален вектору в 4-х мерном пространстве [2], то мы запишем уравнение (2) в виде

∇B = ∇∇A = μT•A                                                                            (3)

где μ - коэффициент пропорциональности (константа), T – тензор второго ранга, а внутреннее произведение T•Aдаёт дуальный вектор. Физический смысл тензора T определим позже.

 

Согласно произведению Клиффорда [3]

ab = a•b+ a∧b,

т.е.

∇B = ∇•B +∇∧B    и   ∇A = ∇•A +∇∧A,

уравнение (3) запишем в виде:  

∇(∇•A) + ∇•(∇∧A) +∇∧(∇∧ A) = μ T•A                                                             (4)

Примечание.

∇(∇•A)= ∇• (∇•A), так как ∇∧ (∇•A) не имеет смысла.   

 

В формуле (4)                      

∇∧(∇∧A) = ∇∧F= 0                                                                      (5),

что было доказано в [2]. F=∇∧A – тензор электромагнитного поля. Уравнение (5) – есть однородная система уравнений Максвелла.

 

4-х мерный ток был определен как градиент от дивергенции потенциала A и плюс дополнительный член, который зависит от тензора T[4]:

J = ∇(∇•A) - μ T•A                                                                     (6)

Учитывая (5) и (6), уравнение (4) можно записать в виде:

∇•F = - J                                                                                (7)

Уравнение (7) – модифицированная неоднородная система Максвелла. Она содержит в правой части дополнительное слагаемое (μ T•A), которое связано с энергией - импульса. Естественно, если  

μ T•A≃ 0,

то уравнение (7) – есть классическая неоднородная система уравнений Максвелла.

Если

μ T•A≠ 0,

то 4-х ток зависит от тензора T (тензор энергии - импульса, что выясним позже). Тогда при высоких энергиях сохранение 4-х тока отличается от классического вида [4]. Разумеется, что и смысл неоднородной системы уравнений Максвелла тоже расширяется.

 

Уравнение (4) является единым уравнением электромагнетизма, которое объединяет обе независимые системы Максвелла: однородную (5) и неоднородную (7).

 

Теперь уравнение (3) перепишем в другой форме, эквивалентной (4):

    (∇• ∇) A + (∇∧ ∇) •A + (∇∧ ∇)∧ A= μ T•A                                                       (8)

где ∇•∇ = ◻ – оператор Даламбера в криволинейных координатах или квадрат оператора Дирака. Математически строго говоря, есть разница между квадратом оператора Дирака и оператором Даламбера («грубый» даламбертиан). К этому мы вернемся позже.  

Примечание.

Из (∇• ∇) A= (∇• ∇) • A+ (∇• ∇)∧Aполучаем (∇• ∇) A= (∇• ∇) • A, так как (∇• ∇)∧A не имеет смысла.

 

Каждое слагаемое уравнения (8) запишем в координатной форме.

 (∇• ∇) A= ◻A = (eⁱ•e^j) e^k ▽_i▽_jA_k= e^k g^ij ▽_i▽_jA_k                                           (9)

Согласно cross - произведению Клиффорда

-z • (x ∧ y) = (x ∧ y)•z = (z•y) x– (z•x) y,

второе слагаемое в (8) имеет координатный вид:

(∇∧ ∇) •A = (eⁱ∧ e^j)•e^k ▽_i▽_jA_k = ((e^k•e^j) eⁱ- (e^k•eⁱ) e^j) ▽_i▽_jA_k= (g^kj eⁱ- g^ki e^j) ▽_i▽_jA_k =

= g^kj eⁱ▽_i▽_jA_k - g^ki e^j ▽_i▽_jA_k

Здесь в первом слагаемом, меняя индексы iи j, получим

g^ki e^j▽_j▽_iA_k - g^ki e^j ▽_i▽_jA_k = g^ki e^j(▽_j▽_iA_k - ▽_i▽_jA_k )

или

e^jg^ki(A_k;i;j – A_k;j;i) = e^j g^kiA_pR^p_kji = – e^j A_pR^p_j                                                     (10)

где R^p_i – тензор Риччи.

 

Теперь, учитывая (5), (9) и (10), уравнение (4) запишем в координатном виде:

◻A_k – A_p R^p_k = μ T^p_k A_p                                                                        (11)

Возьмем производную (градиент) от (11), чтобы получить уравнение Эйнштейна.

Тензор четвертого ранга ∇(∇B) дуален скаляру (псевдоскаляру) в 4-х мерном пространстве [2], т.е.

∇(∇B) = S                                                                                 (12)

где S = μ ∇• (T•A) – скаляр (псевдоскаляр).

 

Рассмотрим только внутреннее произведение (12), т.е. ∇• (∇B).

Эту часть уравнения (10) запишем в координатном виде

 (◻Aⁿ)_;n - (Aⁱ Rⁿ_i)_;n= (◻Aⁿ)_;n - Aⁱ_;nRⁿ_i - 0.5 Aⁿ R_;n = μ(T^m_i Aⁱ)_;n                                       (13)

В (◻Aⁿ)_;n поменяем сначала местами индексы i и n, затем (во втором шаге) j и n. При этом не меняем индексы в g^nkg^ij.

Для любого тензора [5] выполняется следующее равенство:

A_kj;i;n - A_kj;n;i = A_kpR^p_jin- A_pjR^p_kin                                                        (14)

Отсюда

(◻Aⁿ)_;n = g^nkg^ijA_k;j;i;n = g^nkg^ij(A_k;j;n;i + A_p;jR^p_kin + A_k;pR^p_jin)

Тогда из этого равенства получим

(◻Aⁿ)_;n = g^nkg^ijA_k;j;n;i                                                              (15),

потому, что  

g^nkg^ij (A_p;j R^p_kin + A_k;p R^p_jin) = 0.

Действительно,

g^nkg^ij(A_p;jR^p_kin + A_k;pR^p_jin) = g^nkg^ijA_p;jR^p_kin + g^nkg^ijA_k;pR^p_jin =

= g^ijA_p;jR^p_i - g^nkA_k;pR^p_n = A_p;jR^pj - g^nkA_j;pR^pj = 0

так как тензор Риччи симметричен R^pj = R^jp.  

 

Теперь в уравнении (15) поменяем местами индексы j и n, опять не меняя их в g^nkg^ij

Для любого вектора выполняется равенство [5]

A_k;j;n - A_k;n;j = A_p R^p_kjn                                                                      (16)

Отсюда

(g^nkg^ij A_k;j;n) _;i = g^nkg^ij (A_k;j;n + A_p R^p_kjn)_;i = g^nkg^ij A_k;j;n;i + g^nkg^ij (A_p R^p_kjn)_;i

или                                        (◻Aⁿ)_;n = Jⁱ_;i + (A_p R^pi)_;i                                                               (17)

Здесь J_i= g^nkA_k;n;i = (Aⁿ_;n)_;i – есть 4-х мерный электромагнитный ток [4].

Известно, что дивергенция 4-х тока равна нулю – закон сохранения 4-х тока (уравнение непрерывности) [4]:

Jⁿ_;n = 0                                    (18)

Учитывая (18), уравнение (17) подставляем в (13). Раскроем скобку ковариантного дифференцирования по n(;n) и, упрощая, получим:

A^p(Rⁿ_p;n – 0.5 δⁿ_pR_;n ) = μT^m_p;nA^p + μT^m_pA^p_;n                                           (19),

где  T^m_p A^p_;n = T•(∇•A).           

∇•A – тензор деформации поля. В статье [4] было доказано, что

T•(∇•A) = T^mpA_p;n = Jⁿ_;n = 0                                                        (20)

Так как Jⁿ_;n = 0 и Λ_p;n = 0, то добавление этих членов в (19) не дает вклада. Тогда, упрощая (19), получим уравнение Эйнштейна:

Rⁿ_p – 0.5 δⁿ_p R + Λ_p= μTⁿ_p+ J_p                                                             (21)

В классической физике считается, что J_p= 0.

Примечание. Каждому значению индекса p соответствует своя константа (число) Λ_p (космологическая постоянная). К этому мы ещё вернемся, чтобы пояснить причину многозначности Λ_p.    

 

Так как 4-х мерная ковариантная дивергенция тензора Эйнштейна равна нулю

g^nk(G_pn)_;k = g^nk (R_pn – 0.5 g_pnR)_;k = 0,

то потребуем, чтобы выполнялось следующее условие для тензора T:

g^nk(T_pn)_;k = 0                                                                                 (22)

т.е. чтобы дивергенция тензора T_pn тоже равнялась нулю. Также тензор T_pn симметричен. Отсюда делаем вывод, что тензор T_pn является тензором энергии - импульса. Таким образом, физический смысл тензора T в уравнении (4) – есть тензор энергии - импульса.

  

Мы получили уравнение Эйнштейна из закона сохранения 4-х тока (уравнение непрерывности). Таким образом, мы доказали, что уравнения Эйнштейна эквивалентны неоднородной системе уравнений Максвелла.

 

Уравнения Эйнштейна (21) можно получить из неоднородной системы Максвелла (7) прямым путём, т.е. без дифференцирования, как мы делали в предыдущем случае (формула (13)).

Для этого обобщаем тождество Бохнера – Вайтценбека [6]

D²ψ= ▽•▽ψ + ℛ(ψ),

где
                                     ▽•▽ψ = (-g)^-0.5 ∂_i ((-g)^0.5 g^ik ∂_k ψ)

ℛ(ψ) =0.5 Σ_i,je_i•e_jR_ij ψ,

ψ – гладкая (скалярная функция), ▽•▽ – «грубый» лапласиан, D² – лапласиан Дирака,

R – тензор Риччи. 

Или обобщаем лапласиан Лихнеровича [7]

D²Ψ= ▽•▽Ψ+ cℛic(Ψ),

где

ℛic(Ψ)= Σ(R• Ψ),

с = 0.5, Ψ – гладкое тензорное поле.

 

Теперь вышесказанное применим на случай вектор-функции A_j в 4-х мерном римановом пространстве (M,g). Для тензора Риччи (ℛic) (0,2) с метрикой g и гладкого векторного поля A_p получим:  

◻A_p = Λ_p A_p + 0.5 R δⁿ_p A_n                                                                   (23)

где D² – даламбертиан Дирака, ▽•▽ – грубый даламбертиан, Λ_p – собственные числа каждой собственной функции A_p (скалярной!!!) оператора ▽•▽.

 

Таким образом, подставка замены (23) в уравнение (11) тоже дает уравнение Эйнштейна (21).

Конечно, наше утверждение (23) (замена) не является строгим математическим доказательством, поэтому нуждается в дальнейшем детальном изучении.  

 

Можно вывести уравнения Дирака из неоднородности векторного поля в рамках обобщенной алгебры Клиффорда [8]. В классической физике предостаточно литературы, объясняющей единую природу уравнений Дирака и Максвелла. Поэтому здесь мы не будем излагать эту тему.  

Мы отметим лишь то, что алгебра Клиффорда является универсальным и мощным математическим аппаратом для описания и объединения электромагнитных и гравитационных процессов. Алгебра Клиффорда является альтернативой, дополнением к лагранжеву формализму, ни в коем случае не отрицая его. Более того, алгебра Клиффорда, особенно обобщенная, позволяет структурирование и обобщение теории полей и фундаментальных частиц.

Обсуждения и выводы

1. Методами обобщенной алгебры Клиффорда электромагнетизм и гравитация объединяются в единую теорию в модели неоднородности векторного поля. Проще говоря, уравнения Максвелла и уравнения Эйнштейна описывают одно и то же явление – гравиэлектромагнитизм. Уравнения Максвелла – есть уравнения для полевых величин (ток, тензор электромагнитного поля и потенциал), а уравнения Эйнштейна – уравнения для пространственных величин (метрический тензор, тензор кривизны, кривизны).

2. Уравнение Эйнштейна (21) инвариантно относительно добавления электромагнитного 4-х мерного тока. Видимо, присутствие электромагнитных явлений в гравитационных процессах (свечение, молнии и т.д. в землетрясениях, вулканах, наличие магнитных полей в небесных телах) обусловлено этим дополнительным членом (4-х мерным электромагнитным током).

3. В рамках алгебры Клиффорда можно описать модифицированную неоднородную систему уравнений Максвелла, где существует дополнительный член, который зависит от энергии-импульса. Из-за этого дополнительного члена 4-х ток не остается постоянным и зависит от энергии-импульса.   

4. Методы алгебры Клиффорда позволяют выводить бикватернионы, повороты, спиноры и, в конечном итоге, уравнения Дирака в неевклидовом пространстве непосредственно из неоднородности векторного поля [9].    

5. Уравнение (23) – есть векторное уравнение (для потенциала A) в неевклидовом пространстве. Это уравнение описывает распространение волны на поверхностях с кривизной. Видимо, член 0.5 R (кривизна) является гравитационным потенциалом в уравнении (23).

Благодарность

Выражаю огромную благодарность жене и соратнице Любе за корректировку русского текста статьи, и вообще, за её труд и терпение.

1. Бабаев А. Х. Эквивалентность неоднородной системы уравнений Максвелла и уравнений Эйнштейна. SCI-ARTICLE.RU, №43 (март), 2017. https://sci-article.ru/stat.php?i=1483104319. PDF: https://sci-article.ru/number/03_2017.pdf стр. 10-15.
2. Бабаев А. Х. Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда. SCI-ARTICLE. №40 (декабрь) 2016. https://sci-article.ru/stat.php?i=1480330789. PDF: https://sci-article.ru/number/12_2016.pdf стр. 34 – 42. https://doi.org/10.24108/preprints-3112477
3. Chris J. L. Doran. Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics. Sidney Sussex College. A dissertation submitted for the degree of Doctor of Philosophy in the University of Cambridge. February 1994, pages 4-6.
4. Бабаев А. Х. Сохранение 4-х мерного тока в формализме, основанном на алгебре Клиффорда. SCI-ARTICLE. №42 (февраль) 2017, стр. 27. https://sci-article.ru/number/02_2017.pdf стр. 27-33. https://doi.org/10.24108/preprints-3112478
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 2. Теория поля, стр. 109.
6. B. Wilking, C. Böhm. Manifolds with positive curvature operators are space forms. https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v167-n3-p10.pdf
7. Peter Petersen. Demystifying the curvature term in Lichnerowicz Laplacians. https://www.math.ucla.edu/~petersen/BLWformulas.pdf
8. Бабаев А. Х. Вывод уравнения Дирака из неоднородности пространства и решение для поколений нейтрино. SCI-ARTICLE. №52 (декабрь) 2017. https://sci-article.ru/stat.php?i=1513592338. PDF: https://sci-article.ru/number/12_2016.pdf стр. 237 – 244.
9. Бабаев А. Х. Бикватернионы, вращения и спиноры в обобщенной алгебры Клиффорда. SCI-ARTICLE. №452 (май) 2017. https://sci-article.ru/stat.php?i=1495946354. PDF: https://sci-article.ru/number/05_2017.pdf стр. 296 – 304. Английская версия: https://doi.org/10.24108/preprints-3112462

Комментарии пользователей:

27.10.2023, 17:38 Кошкин Юрий Александрович Отзыв:  Уважаемый Алим Муратович! Мне представляется, что попытки объединения природы гравитации и электромагнетизма являются очень важными. Поэтому Ваша статья в этом направлении безусловно заслуживает публикации. К сожалению, я недостаточно компетентен, чтобы досконально и критично оценить её на математическую строгость и правильность сделанных выводов. В свою защиту скажу, что работая начальником КБ после окончания технического вуза, все необходимые прочностные, газодинамические и др. расчёты проводил используя инженерные программы, построенные на методе конечных элементов и не было необходимости углубляться в математический аппарат, на основе которого эти программы были созданы и функционировали. И ещё. После Вашего ответа на мой отзыв к статье "ПРИРОДА УПРАВЛЯЕТСЯ НАИБОЛЕЕ ПРОСТЫМИ ЗАКОНАМИ!?" у меня осталась некоторая неясность. Вы пишите "Но смею возразить, что при выводе уравнений Эйнштейна (ОТО) не обязательно «опираться» на ЗВТ. Сам Эйнштейн вывел уравнения ОТО из принципа наименьшего действия, т.е. подбирая лагранжиан из действий гравитационного поля и материи ...". Но мне кажется, что только открытие ЗВТ позволило собственно создать теорию гравитационного поля тяготения и все вытекающие из неё следствия (уравнение ОТО и пр.). И без знания ЗВТ даже начального продвижения в этом направлении не было бы возможно. Или мои рассуждения неверны? С уважением, Юрий Александрович.

1.11.2023, 5:34 Бабаев Алимжан Холмуратович Отзыв: Здравствуйте Юрий Александрович, спасибо за интерес к моему скромному труду. Позвольте, я отвечу (как я сам понимаю) на Ваш вопрос насчет «что первично: ЗВТ или ОТО?» Если вообще обобщенно (философски) посмотреть, то без эксперимента нет теории. Любая, даже гениальная теория вторична, а эксперимент первичен. Более того, до появления ОТО (1915 год) было известно аномальное смещение перигелия Меркурия (1859 год), которое не смог объяснить ЗВТ Ньютона. Естественно, этот эффект был известен Эйнштейну. И он, как только открыл свое уравнение, сразу проверил описание этого феномена. С широкой точки зрения, естественно, Вы абсолютно правы. Иначе, зачем и как возможно было открывать ОТО?! Хотя ОТО, как выяснилось позже, объясняет и другие сложные процессы. Мое утверждение «ОТО не опирается на ЗВТ» имеет более частный, конкретный, математический смысл: вся теоретическая физика основана только на лагранжево формализме, т.е. подбирается лагранжиан (скалярная функция). И Эйнштейн тоже, подбирая лагранжиан, с помощью вариации (метод наименьшего действия) получил свое уравнение ОТО, не опираясь (в мат. методах вывода) на ЗВТ, но, естественно, держа в голове беспомощность ЗВТ для описания смещения перигелиев. Предполагаю, что именно ограниченность лагранжев формализма не позволила Эйнштейну объединить гравитацию и электромагнетизм. С уважением Алим Муратович. P.S. Более подробно писать об алгебре, использованной в моей статье, видимо, формат комментариев не позволяет, так что простите, что не могу ответить подробно.

1.11.2023, 13:28 Кошкин Юрий Александрович Отзыв: Уважаемый Алим Муратович! Спасибо за развёрнутый ответ, которым я удовлетворён, но если Вы не возражаете, то хотелось бы ещё кое-что выяснить В ответе, Вы несколько раз затронули интересующую меня тему - аномальность смещения перигелия Меркурия. В ряде фильмов и сериалов об А. Эйнштейне хорошо показана драматичная и эффектная сцена разрешения им этой проблемы при помощи разработанной ОТО. Однако в 2013 году китайский математик Хуа Ди обнаружил ошибку (или описку?) А. Эйнштейна в его расчётах прецессии перигелия орбиты Меркурия. В конечный результат интегрирования А. Эйнштейн, вместо правильного коэффициента 3/4 ошибочно (?) записал 5/4. И эта ошибка позволила ему получить результат, совпадающий с многолетними результатами наблюдений! На мой взгляд, в целом эта ошибка (если она была) пошла скорей на пользу науки. Общая теория относительности получила более широкую известность и её правота впоследствии подтвердилась на многих других примерах. Есть ли у Вас мнение по этому эпизоду? Ведь до сих пор в популярных лекциях по ОТО часто упоминают это решение А. Эйнштейна и ничего не говорят о сообщении Хуа Ди. И полностью ли в настоящее время разрешён вопрос об аномальности смещения перигелия Меркурия? С уважением, Юрий Александрович.

2.11.2023, 8:10 Бабаев Алимжан Холмуратович Отзыв: Уважаемый Юрий Александрович! Спасибо Вам за полезную для меня информацию (я не знал о расчетах Эйнштейна и о статье Хуа Ди) – Вы подтолкнули меня пересмотреть некоторые свои соображения об ОТО и вообще, о теории гравиэлектромагнитизма. Оригинал статьи Эйнштейна “Explanation of the Perihelion Motion of Mercury from the General Theory of Relativity” от 25 ноября 1915 года я не нашел (деньги просят). Очень хочется посмотреть оригинал и лично убедиться в правильности расчетов. Но кто больше жлоб, я или эти коммерсанты от науки – это большой вопрос. Надеемся, что Хуа Ди (Hua Di) в своей статье “Einstein’s Explanation of Perihelion Motion of Mercury” пишет правду. Более обширно об этой ошибке пишет Эрик Су (Eric Su) в статье “ Error In Einstein’s Calculation Of Perihelion For Mercury” в сервере vixra.org. Хотя этот сервер очень ругают, но «у нас своя голова на плечах», чтобы убедиться в корректности и значимости научного труда. Обязательно займусь вычислениями смещения перигелий планет, как только смогу. Пока буду писать свои вольные соображения. Если я верно понял: правильный коэффициент 3/2, а у Эйнштейна ¾, не так ли? Не хочется думать, что Эйнштейн «подгонял» ОТО под эксперимент, но это точно не описка. Точные значения прецессии орбит можно вычислить из эллиптического интеграла в центрально-симметричной метрике Шварцшильда (ОТО). Это было сделано другими, но не Эйнштейном. Насколько помню, решением эллиптических интегралов является гипергеометрический ряд. Возможно, Эйнштейн взял только первые члены ряда?! Всё-таки статья Эйнштейна была всего лишь конспектом лекций (личный архив). Точно не могу сказать, начал забывать спец. функции. Гипергеометрический ряд зависит от 2 или 3 параметров, в зависимости от типа: вырожденный или не вырожденный. Причем, эти параметры могут быть и комплексными. Эрик Су принимает за ошибку комплексность значений параметров в вычислениях Эйнштейна. Пока буду думать. Хорошую пищу для размышления Вы мне дали. С уважением Алим Муратович.

2.11.2023, 13:55 Кошкин Юрий Александрович Отзыв: Уважаемый Алим Муратович, спасибо за ответ! В нём фраза "Если я верно понял: правильный коэффициент 3/2, а у Эйнштейна ¾, не так ли?" приведена с искажением от Вашего текста, но суть понятна. Я писал, что математик Хуа Ди сообщил об ошибке А. Эйнштейна, который вместо правильного коэффициента 3/4 ошибочно записал 5/4. Это было в какой-то популярной русскоязычной статье. В этой статье присутствовал и фрагмент заключительной части решения, где якобы и произошла эта описка. Но несомненно у Вас, после ознакомления со статьями “Einstein’s Explanation of Perihelion Motion of Mercury” и “ Error In Einstein’s Calculation Of Perihelion For Mercury” сейчас имеется более достоверная информация об этой ситуации и о том, какой коэффициент на самом деле был изменён (или нет). Возможно мне стоит немного пояснить свой интерес к проблеме аномальности смещения перигелия Меркурия. Ещё до А. Эйнштейна её пытались решить модифицировал ЗВТ. Если мне не изменяет память, то путём изменения степенного коэффициента при R с 2,0 до 2,02. Уже после решения А. Эйнштейна, который вроде этот феномен уже объяснил, почему-то вновь к нему вернулись. На этот раз привлекая для объяснения "тёмную материю". Я крайне скептически отношусь к возможности наличия в природе этого осовремененного аналога "теплорода" и считаю, что все выявленные космические аномалии найдут своё объяснение без помощи этого фантома, после того как будут изучены свойства пространства. Как отказались от "теплорода" после изучения свойств вещества. Конечно моя гипотеза о некой физической сущности пространства сейчас выглядит очень спорно, но отдельные наблюдательные и, что ещё более важно, экспериментальные данные дают некоторые осторожные основания считать, что искажаются, деформируются, вовлекаются во вращение, образуют волны и пр. не только члены математических уравнений, но и что-то реальное. Поэтому, если феномен аномальности смещения перигелия Меркурия ещё полностью не объяснён, то тогда возможно стоит будет попытаться разрешить его двумя путями. Первый - средствами классической физики, применяя ЗВТ, в котором, не изменяя степенной коэффициент при R, "поиграть" различными значениями "G". Мне кажется имеются серьёзные основания полагать, что в зависимости от потенциала гравитационного поля значение "G" может как-то изменяться. Интуитивно не верится, что, например, на поверхности нейтронной звезды и Земли коэффициент "G" одинаков. Ведь он характеризует какие-то совокупные свойства пространства, а оно скорей всего для этих условий будет существенно отличаться. Вполне вероятно, что при положительных результатах станет возможным хотя бы ориентировочно определить численную зависимость "G" от потенциала гравитационного поля. Как выполнить эти расчёты я сейчас не знаю, но если полагали, что изменение степенного коэффициента в ЗВТ позволит феномен объяснить, то этот путь также должен подойти и для изменённого "G". И второй путь более экзотический. Очень дорогостоящим и длительным экспериментом Gravity Probe B было установлено, что Земля вовлекает окружающее её пространство во вращение. Величина этого вовлечения крайне мала и многое в нём мне неясно (на каком расстоянии от Земли это вовлечение уже не чувствуется и пр.). Но ведь и смещение перигелия Меркурия незначительно, а масса Солнца в 330000 больше земной и линейная скорость вращения на экваторе значительно выше. Может именно вовлечение пространства вокруг Солнца влияет в какой-то степени на появление этого феномена? Но пожалуй это сомнительно. С уважением, Юрий Александрович.

3.11.2023, 13:07 Бабаев Алимжан Холмуратович Отзыв: Уважаемый Юрий Александрович! Формат комментариев не позволяет отправить Вам мои пояснения с рисунками и формулами по теме, интересующей Вас. Поэтому даю Вам свою почту для личной переписки. Надеюсь, модератор пропустит. prepadamira@gmail.com С уважением Алим Муратович.

Оставить комментарий