-
Индивидуальный предприниматель
-
УДК 511
Введение
В работе [1] было введено понятие массы числа, которая равна сумме простых множителей при его разложении на них (при его факторизации). При этом было показано, что то или иное число стремится иметь как можно меньшую массу, и действие умножения как раз и позволяет числу уменьшить свою массу. Без действия умножения масса числа была бы равна самому числу.
Однако в работе [2] было показано, что уровней коммутативных действий над числами может быть бесконечно много. И, очевидно, чем выше уровень действия, используемый при разложении того или иного числа, тем потенциально меньше может быть его масса.
Актуальность
В связи с этим актуально попробовать учесть все уровни коммутативных действий при определении понятия массы числа.
Цели
Дать более общее понятие массы числа, учитывающее разложение числа на простые множители не только 1-го уровня (уровня умножения), но и следующих за ним уровней (2-ой, 3-ий и т.д.). Учитывая все уровни коммутативных действий над числами, уточнить определения прочих понятий, так или иначе связанных с понятием массы числа. Сформулировать наиболее интересные открытые проблемы и гипотезы, связанные с понятиями массы и устойчивости числа.
Научная новизна
Само понятие массы числа является новым в математике. Таким же новым понятием в математике является и понятие уровней коммутативных математических действий над числами. Учет же уровней действий в определении массы числа производится в данной работе впервые.
В работе [1] было введено понятие массы числа (m).Это сумма простых множителей того или иного натурального числа (масса числа 1 равна 1). Например, для числа 100 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 масса числа равна 2 + 2 + 5 + 5 = 14.
Также в работе [1] было введено понятие энергии связи простых множителей того или иного натурального числа. Это разница между самим числом и его массой. Например, для числа 100 энергия связи его простых множителей 2, 2, 5 и 5 равна 100 – 14 = 86.
Аналогия с физикой
Вообще можно провести некоторую аналогию между фундаментальными взаимодействиями в физике и коммутативными действиями над числами в математике.
В электромагнитном взаимодействии участвующие в нем частицы обмениваются квантами электромагнитного поля – фотонами (частица – переносчик). В сильном взаимодействии (которое намного сильнее электромагнитного) участвующие в нем частицы обмениваются глюонами – квантами данного взаимодействия.
В работе [2] для каждого коммутативного действия над числами вводилось понятие начала. Это нейтральный или нулевой элемент для того или иного действия. Для сложения – это число 0, для умножения (которое является более сильным действием, чем сложение, поскольку для натуральных чисел дает, как правило, намного больший результат) – это число 1.
По сути, по аналогии с фундаментальными физическими взаимодействиями число 0 является «квантом» операции сложения, а число 1 является «квантом» операции умножения. И можно эти коммутативные математические действия над числами изобразить следующим образом:
Рис. 1. Взаимодействие двух чисел в операции сложения.
Рис. 2. Взаимодействие двух чисел в операции умножения.
Но в работе [2] после действия умножения (коммутативное действие уровня 1) приводится также коммутативное действие уровня 2 (см. например таблицу 1 в работе [2]). Данное действие мы обозначили символом ⊗, и оно определяется по формуле:
где Осн равно 2, 3, 5, 6… (см. таблицу 1 в работе [2]).
В данной работе мы будем практически всегда использовать в качестве основания Осн число 2. Потому что, как будет показано ниже, именно при таком основании то или иное число будет иметь минимальную массу.
Таким образом при Осн = 2 число 2 будет являться «квантом» операции ⊗, которая идет следом по уровню после операции умножения. И данное математическое действие можно изобразить так:
Рис. 3. Взаимодействие двух чисел в коммутативном действии 2-го уровня.
В данной работе нас будут интересовать только натуральные числа a и b в формуле (1), также как и натуральный результат их взаимодействия по данной формуле. Как видно из данной формулы, результат данного действия станет натуральным числом только тогда, когда одно из чисел a или b будет являться степенью основания Осн.
Например:
Тогда формула (1) примет следующий вид:
Т.е. коммутативное действие уровня 2 может, по сути, описать некоммутативное действие возведения в степень.
Как уже понятно, действие ⊗ является еще более сильным, чем действие умножения, т.е. при таком действии масса числа будет уменьшаться еще больше, а энергия связи между числами еще больше увеличиваться.
Например, выше мы писали, что масса числа 100 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 равна 14. Т.е. масса числа 100 благодаря операции умножения уменьшилась со 100 до 14. А если бы мы учитывали еще операцию ⊗, то число 100 можно было бы выразить так:
И тогда масса данного числа была бы равна 2 + 2 + 4 + 5 = 13. У данного числа уменьшение массы (с 14 до 13) небольшое, потому что у него основание (10) и степень (2) являются относительно небольшими. А для больших оснований и степеней эффект уменьшения массы очень большой.
Из работы [2] понятно, что уровней коммутативных действий над числами может быть бесконечно много. И чем больше уровень действия, тем больше потенциально может уменьшаться масса числа, а энергия связи составляющих его чисел увеличиваться. Но с другой стороны, чем больше уровень действия, тем с большего числа это действие начинает проявляться.
Например, уменьшение массы числа при помощи действия умножения (1-ый уровень) начинается с числа 6. Если бы умножение не использовалось бы, то масса числа 6 была бы равна 6, а при использовании умножения число 6 раскладывается на множители таким образом: 6 = 2 ∙ 3, и масса числа уменьшается с 6 до 5.
Уменьшение массы при помощи коммутативного действия 2-го уровня начинается с числа 25. Без его использования масса числа 25 была бы равна 10, поскольку 25 = 5 ∙ 5. А при использовании этого действия данное число можно разложить так: 25 = 4⊗5. И масса числа будет уже равна 9.
Теперь нужно разобраться, с какого числа необходимо учитывать коммутативное действие 3-го уровня при расчете массы числа.
Попробуем разобраться в данном вопросе. Для этого, как это показано в работе [2], по аналогии с переходом от уровня 1 к уровню 2 напишем переход от действия уровня 2 к действию уровня 3 (обозначим его □):
Т.е. коммутативное действие 3-го уровня над натуральными числами может описать собой все числа вида .
В данной работе было найдено, что данное действие начинает проявляться, только начиная с числа 2625. Без учета данного действия 3-го уровня это число можно было бы разложить так:
И соответственно его масса была бы равна 66.
А при использовании действия 3-го уровня данное число можно записать так:
(Осн = 2, начало равно 22 = 4) И масса данного числа будет равна 64.
Как видно, действие 3-го уровня начинает проявляться, начиная с очень больших чисел, а на протяжении огромного интервала чисел – от 25 до 2625 – господствует только действие 2-го уровня. Число 2625 ≈ 1.39 ∙ 10188, что на много порядков превышает число гугол.
Сразу следует разобраться с одним важным вопросом. Рассмотрим, например, уравнение (8). В нем в разложении числа 2625 участвуют числа 16 и 32. Но может возникнуть вопрос, а разве эти числа нельзя разложить на множители с целью уменьшения их массы? Другими словами, можно ли записать разложение числа 2625 так:
И тогда масса этого числа будет еще меньше: 26.
Но тогда аналогичная картина наблюдается и у действия умножения. Например, число 49 = 7 ∙ 7. И его масса равна 14. Но можно разложение этого числа записать так:
И тогда масса этого числа будет уже равна 12.
На самом деле в разложении на составляющие с помощью того или иного действия должны участвовать только не разлагаемые с помощью действий более низкого уровня числа. В разложении должны участвовать только простые числа того или иного уровня и основания, которые не равны текущему основанию (выше мы писали, что в данной работе основание Осн будет всегда равно 2). Проще говоря, в разложении того или иного числа не должно быть скобок.
В разложении числа 49 с помощью действия умножения будет неверным раскладывать простое число данного уровня 7 с помощью действия сложения.
А в разложении числа 2625 с помощью действия 3-го уровня будет неверным раскладывать простое число данного уровня 16 и основание равное 32 с помощью действия умножения. А почему число 32 является в данном случае другим основанием? Это число не может быть началом данного уровня, потому что все начала данного уровня имеют такой вид: xx. И это число не может быть ни простым, ни составным числом данного уровня, поскольку все они имеют такой вид: . Значит, это число является другим основанием уровня 3.
Аналогия с физикой
Вышенаписанное можно опять же сравнить с физикой. В свободном состоянии элементарная частица нейтрон нестабилен. Он распадается на протон, электрон и антинейтрино (бета-распад нейтрона). Но нейтрон, находящийся внутри атомного ядра, стабилен, поскольку участвует с другими нуклонами (протонами и нейтронами) в сильном взаимодействии, обмениваясь с ними глюонами, как было написано выше.
У чисел в математике можно наблюдать похожую картину. Число 7, не участвующее в сильном действии умножении, «нестабильно» и «распадается» согласно уравнению 7 = 2 ∙ 3 + 1. Но число 7 внутри «устойчивого» благодаря умножению числа (например, числа 35 = 5 ∙ 7) «распадаться» не будет, поскольку в данном случае оно будет «обмениваться квантами» умножения, числом 1, с другими числами.
Точно также и число 16 не будет «распадаться» на множители по уравнению 16 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2, если оно участвует в более сильном действии 3-го уровня (действии □), «обмениваясь» с другими числами «квантами» этого действия, числом 4.
Итак, приведем новое определение массы числа, учитывающее коммутативные действия других уровней.
Определение. Масса числа (m) – это сумма простых чисел 1-го, 2-го и т.д. уровней (см. работу [2]) и оснований данных уровней, если они отличны от текущего основания (равного 2), на которые можно разложить данное число при помощи коммутативных действий 1-го, 2-го и т.д. уровней.
Простые числа уровня 0 (уровня сложения) – только число 1, так как все натуральные числа можно выразить через сумму того или иного количество единиц. Простые числа уровня 1 (уровня умножения) – собственно известные в математике простые числа 2, 3, 5, 7 … и т.д., так как все натуральные числа можно выразить через их произведение в том или ином количестве. Простые числа уровня 2 – основания в степени простых чисел. Для основания 2: 22, 23, 25, 27 … и т.д. Для основания 3: 32, 33, 35, 37 … и т.д. Для основания 5: 52, 53, 55, 57 … и т.д. Для основания 6: 62, 63, 65, 67 … и т.д. Подробно это описано в работе [2] (например, в таблице 1 этой работы).
Основания на уровне 0 (уровне сложения) не учитываются, поскольку все они будут взяты в степень -∞ с итоговым нулевым результатом, который не влияет на сумму чисел: 2-∞ = 0, 3-∞ = 0 … и т.д. Основания на уровне 1 (уровне умножения) также не учитываются, поскольку все они будут взяты в степень 0 с итоговым результатом равным 1, который не влияет на произведение чисел: 20 = 1, 30 = 1 … и т.д. Основания на уровне 2 – натуральные числа больше 1 и не являющиеся степенями чисел выше первой: 2, 3, 5, 6 … т.д. (См. таблицу 1 работы [2].) На уровне 2 основания при определении массы чисел учитываются, поскольку все они будут взяты в первую степень и дадут разные результаты.
Как было написано в определении, при расчете массы число раскладывается на простые числа и основания, начиная только с уровня 1 – уровня умножения.
Пример определения массы числа. Число 100 можно разложить при помощи коммутативных действий 1-го и 2-го уровня следующим образом (формула (4)): 100 = 2 ∙ 2 ∙ 4⊗5. Здесь число 2 – это простое число 1-го уровня (действия умножения), число 4 – это простое число 2-го уровня (см. таблицу 1 в работе [2]), число 5 – основание 2-го уровня, отличное от основания равного 2. Таким образом, масса числа 100 будет равна сумме его разложения, т.е. 2 + 2 + 4 + 5 = 13. Энергия связи элементов его разложения будет равна 100 – 13 = 87.
Как можно догадаться, в данном случае основание равное 2 при Осн = 2 не будет учитываться на 2-м уровне, поскольку будет справедливо следующее равенство:
Это равенство уровня 2 будет аналогично равенству уровня 1:
Вернемся теперь к вопросу, почему основания больше 2 не будут использоваться для определения массы числа. Очевидно из-за того, что это энергетически не выгодно. Поскольку массой числа станет именно минимальная масса, которую может иметь то или иное число. А при основании, например, 3 масса числа будет всегда больше, чем при основании равном 2.
Например, для числа 25 = 52 варианты масс будут такие:
Естественно вариант при Осн = 2 будет более предпочтителен.
Определение. Многократное действие 2-го уровня над тем или иным числом называется возведением этого числа в степень 2-го уровня:
Определение. Функция:
называется параболой 2-го уровня.
График этой функции выглядит так:
Рис. 4. График функции параболы 2-го уровня.
Определение. Функция:
называется параболой 2-го уровня 3-ей степени.
Рис. 5. График функции параболы 2-го уровня 3-ей степени.
В работе [1] даны определения понятиям степени сжатия массы числа (ССМЧ) и основания сжатия массы числа (ОСМЧ). Они верны только в случае, когда масса числа рассчитывается только исходя из действия 1-го уровня (умножения), как это было в работе [1]. В данной же работе мы будем рассчитывать массу числа исходя из действия максимум 2-го уровня, поскольку проявление действия 3-го уровня начинается с очень больших чисел, как это показано выше. Поэтому введем понятия ССМЧ и ОСМЧ для уровня 2.
Определение. В уравнениях:
где Ч – то или иное натуральное число, а m – масса этого числа, величина «x» называется степенью сжатия массы числа 2-го уровня (ССМЧ-2), а величина «Осн» – основанием сжатия массы числа 2-го уровня (ОСМЧ-2).
Как написано в работе [1], найти значения Осн и x для того или иного числа можно в численном виде. Если число Ч больше числа 4.09297 (но не равно 16, 256, 65536 поскольку для них Осн = 4), то Осн можно вычислить по данной рекуррентной формуле:
При этом можно принять, что Осн1 = 4.093. Подставив это значение в формулу (20) мы получим более точное значение Осн – Осн2. Далее подставляем значение Осн2 в правую часть формулы (20) и получаем еще более точное значение Осн – Осн3. И так далее пока значение Оснi+1 не станет равным с той или иной точностью значению Оснi.
Если число Ч меньше числа 4.09297 (и для чисел 16, 256, 65536), то Осн можно вычислить по такой рекуррентной формуле:
Зная значение Осн, определить значение x можно легко исходя из уравнения (19).
Однако не для всех чисел можно определить значения ОСМЧ-2 (Осн) по уравнениям (20) и (21). В данной работе не удалось определить эту величину для чисел 6, 8, 9, 12 и 18 (см. ниже таблицу 1).
Переходя от отдельных чисел к несоставным уравнениям (определение дано в более ранних работах автора, например, в работе [1]) вида:
по аналогии с работой [1] дадим определения понятиям ССМУ-2 и ПССМУ-2.
Определение. Для несоставного уравнения (22) минимальная ССМЧ-2 слагаемых называется степенью сжатия массы уравнения 2-го уровня (ССМУ-2).
Определение. Для несоставного уравнения (22) полной степенью сжатия массы уравнения 2-го уровня (ПССМУ-2) называется величина, определяемая по формуле:
Учитывая формулу (19), по аналогии с работой [1] показатель ПССМУ-2 представляет собой среднее арифметическое взвешенное значение ССМЧ-2 всех чисел, входящих в уравнение (22), где в качестве весов используются основания сжатия массы чисел 2-го уровня Оснi.
Также как и для уровня 1, очевидно, что для любого несоставного уравнения (22) выполняется неравенство и для уровня 2: ССМУ-2 ≤ ПССМУ-2.
В данной работе рассматривались только несоставные уравнения с тремя слагаемыми (k = 3):
Устойчивые и неустойчивые числа
Все определения в этом разделе аналогичны определениям, данным в работе [1]. Это определения устойчивых, неустойчивых и промежуточных по устойчивости чисел. А также определения показателя устойчивости и процента устойчивости чисел. Разница только в том, что значения этих показателей для чисел несколько изменятся, поскольку в данной работе для расчета массы числа учитываются также и действия выше 1-го уровня.
Так же как и в работе [1], показатели устойчивости чисел рассчитывались в данной работе для чисел, не превышающих 20 млн. Среди них устойчивыми числами будут только 22 239, что составляет 0.111195% от их общего числа. При этом еще меньше будет промежуточных чисел. Из 20 млн. промежуточными числами будут только 1 722, что составляет 0.008610% от их общего числа. Неустойчивых же чисел будет 19 976 039, что составляет 99.880195% от их общего числа.
Для сравнения, в работе [1] не учитывались коммутативные действия 2-го и выше уровней. И количество устойчивых чисел из 20 млн. было 31 577, а количество промежуточных чисел было 2 025, что несколько больше аналогичных чисел, найденных в данной работе.
Очевидно, это связано с тем, что учитывая коммутативные действия выше 1-го уровня, многие числа стали намного устойчивее, чем были раньше. Например, число 1 679 616 имело раньше процент устойчивости равный 72.5%. Учет же действия 2-го уровня сделал этот показатель равным 166.67%, что почти в два раза больше прежнего значения. Но из этого будет следовать, что очень многие числа, которые идут после данного числа, станут уже неустойчивыми и будут распадаться на данное очень устойчивое число.
Приведем в таблице характеристики чисел (до 86), связанные с понятиями массы и устойчивости числа, рассчитанные учитывая коммутативное действие 2-го уровня:
Как и в работе [1], в данной таблице зеленым цветом выделены устойчивые числа, красным – неустойчивые, желтым – промежуточные числа. Серым цветом выделены значения ОСМЧ-2 и ССМЧ-2, которые не удалось определить описанным выше рекуррентным способом.
Наиболее интересные открытые проблемы и гипотезы, связанные с понятиями массы и устойчивости числа.
1. Бесконечно ли число двух устойчивых чисел, идущих подряд?
Наибольшие такие два числа, не превышающие 20 млн.: 1 243 839 (3 ∙ 17 ∙ 8⊗29), 1 243 840 (26 ∙ 5 ∙ 23 ∙ 4⊗13).
2. Бесконечен ли процент устойчивости числа p%? При этом рассматриваются числа строго большие 1.
В работе [1] было написано, что процент устойчивости числа большего 1 должен быть меньше 100%. Но в работе [1] при расчете показателей, связанных с понятиями массы и устойчивости числа, не учитывались коммутативные действия 2-го и более высоких уровней.
В данной же работе при учете таких действий был найден максимальный процент устойчивости числа равный 166.67%. Число 1 679 616 равное 4⊗4⊗4⊗6.
3. Действительно ли для несоставного уравнения (22) при k ≥ 3 показатель уравнения ПрУУ (минимальный процент устойчивости p% слагаемых, см. работу [1]) может принимать только значения, не превышающие определенной величины?
В данной работе была найдена для k = 3 максимальная величина ПрУУ равная 48.71794872%, уравнение: 4⊗4⊗19 (p% = 70.37037037%) + 2 ∙ 7 ∙ 4⊗11 ∙ 4⊗4⊗7 (p% = 48.71794872%) = 3 ∙ 5 ∙ 4⊗4⊗23 (p% = 61.53846154%).
4. Действительно ли для несоставного уравнения (22) при k ≥ 3 показатели уравнения ССМУ-2 и ПССМУ-2 (в отличие от показателей ССМУ и ПССМУ, см. работу [1]) могут принимать только значения, не превышающие определенной величины?
В данной работе была найдена только для k = 3 максимальная величина ССМУ-2 равная 2.16393611, уравнение: 7 ∙ 4⊗4⊗19 (ССМУ-2 = 2.16393611) + 3 ∙ 4⊗4⊗5 ∙ 8⊗11 (ССМУ-2 = 2.21084649) = 13 ∙ 4⊗8⊗8 (ССМУ-2 = 2.28056762).
5. Стремится ли к бесконечности показатель ССМЧ-2 для числа 2∙3∙5∙7∙11∙13∙17∙19∙23∙29… при стремлении его к бесконечности?
В данной работе был найден показатель ССМЧ-2 для числа, последним простым множителем которого является число 99 999 989. Он равен 4.91563572.
Выводы
1. Уточнено понятие массы числа, при расчете которой учитывается разложение числа при помощи коммутативных действий 2-го, 3-го и т.д. уровней.
2. Приведена аналогия взаимодействия между числами в коммутативных действиях того или иного уровня и фундаментальных физических взаимодействий.
3. Определена операция возведения числа в степень 2-го уровня и приведены графики параболы 2-го уровня и параболы 2-го уровня 3-ей степени.
4. Введены понятия степени и основания сжатия массы числа 2-го уровня (ССМЧ-2 и ОСМЧ-2) и приведен метод их расчета для того или иного числа.
5. Для несоставных уравнений введены понятия степени сжатия массы уравнения 2-го уровня (ССМУ-2) и полной степени сжатия массы уравнения 2-го уровня (ПССМУ-2).
6. Приведены в таблице показатели (с учетом действий 2-го, 3-го и т.д. уровней), связанные с понятиями массы и устойчивости числа, для чисел не превышающих 86.
7. Сформулированы наиболее интересные открытые проблемы и гипотезы, связанные с понятиями массы и устойчивости числа.
Рецензии:
17.01.2025, 14:57 Бабаев Алимжан Холмуратович
Рецензия: Статья автора заслуживает внимания и, несомненно, рекомендации к публикации. В статье рассматривается нетривиальный подход к обобщению abc – гипотезы и попытка применения результатов исследования к проблемам физики, в частности, к закономерности разницы масс фундаментальных частиц.
Конечно, глубина понимания этой проблемы ближе самому автору, но в пределах моей компетенции (как больше физика – теоретика), значение данной работы выходит за рамки чистой математики и будет полезно для решения нерешенных проблем физики, например, причины и закономерности разности масс кварков, лептонов.
Как пожелание, остается порекомендовать автору выйти на англоязычные ресурсы с обязательным указанием русскоязычного первоисточника “SCI-ARTICLE.RU”, что увеличит аудиторию и заинтересованных в данной области специалистов, также автоматически добавится DOI.