Статья опубликована в №139 (март) 2025
Разделы: Математика
Размещена 25.03.2025. Последняя правка: 01.04.2025.
Просмотров - 220

Бинарная проблема

Частухин Александр Евгеньевич

-

Индивидуальный предприниматель

-

УДК 511

Введение

Одной из известных нерешенных проблем в математике является бинарная проблема Гольдбаха. Данная гипотеза утверждает, что любое четное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. (Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 и 10 = 5 + 5, … и т.д.)

При этом можно попробовать оценить количество таких разбиений в зависимости от самого числа. Грубой оценкой количества разбиений четного числа на два простых слагаемых будет следующая формула:

 

Например, для числа 100 формула предсказывает количество таких разбиений равное 10. В действительности их 6. Для числа 1 000 формула предсказывает количество разбиений равное 31.62. В действительности их 28. Для числа 10 000 формула предсказывает количество разбиений равное 100. В действительности их 127.

Проведя анализ на достаточно большом количестве чисел, можно привести следующую таблицу четных чисел (последние 75), для которых рассчитанное по формуле (1) количество разбиений больше, чем их есть на самом деле:

Т.е. последним таким числом является число 15 788. Таким образом, для чисел больше 15 788 можно равенство (1) записать в виде следующего неравенства:

 

Т.е. начиная с числа 15 790, количество разбиений любого четного числа на два простых числа никак не может быть меньше квадратного корня из самого числа.

(Отметим, что и до числа 15 790 там, где фактическое количество разбиений меньше, чем рассчитанное, оно не сильно меньше рассчитанного. Формула (1) дает почти верную оценку количества таких разбиений (см. таблицу 1).)

Еще раз подчеркнем, что число 15 790 найдено методом перебора бинарных разбиений четных чисел на два простых числа на достаточно большой выборке чисел. Отбирались все четные числа, для которых их фактическое количество разбиений на два простых числа меньше, чем рассчитанное по формуле (1) количество таких разбиений (последние 75 таких четных чисел приведены в таблице 1). И было найдено, что, начиная с числа 15 790, таких четных чисел нет, т.е. начиная с этого числа, выполняется неравенство (2).

Неравенство (2) не является доказанным утверждением. Но теоретически его можно рассматривать как некоторое усиление бинарной проблемы Гольдбаха. Нам оно нужно только как некоторая оценочная формула количества таких разбиений.

Сформулируем теперь некоторые моменты, касающиеся бинарной проблемы Гольдбаха, которые делают ее не столь интересной.

«Проблемы» бинарной проблемы Гольдбаха

1) Данная гипотеза применима только для четных чисел. Т.е. нет аналогичной бинарной проблемы для нечетных чисел (тернарная проблема Гольдбаха не считается, поскольку это не бинарная проблема).

2) Несмотря на трудность ее доказательства (данная гипотеза до сих пор не доказана), едва ли приходится сомневаться в ее верности в силу вышенаписанного неравенства (2). Для каждого четного числа имеется очень много разбиений на два простых числа. И чем больше четное число, тем их больше. (Последним четным числом, которое имеет только один вариант разбиения на два простых числа, является число 12 = 5 + 7.)

Актуальность

Таким образом, бинарная проблема Гольдбаха имеет свои недостатки, которые делают ее не столь интересной. Но было бы актуально и интересно попробовать предложить другую бинарную проблему, которая была бы применима и для четных, и для нечетных чисел, и в которой не было бы столь много разбиений для каждого числа, что создавало бы некоторую интригу: «а вдруг эта гипотеза не выполняется?». В бинарной проблеме Гольдбаха такой интриги, конечно же, нет.

Цели

Предложить гипотезу по аналогии с бинарной проблемой Гольдбаха, т.е. новую бинарную проблему, применимую и для четных, и для нечетных чисел, в которой для каждого числа было бы гораздо меньше бинарных разбиений.

Научная новизна

Новая бинарная проблема, также как и некоторые другие приведенные здесь гипотезы (например, гипотеза о двух расширенных степенях-сестрах), предложены в данной работе впервые.

Число 1

Пожалуй, к «проблемам» бинарной проблемы Гольдбаха можно добавить еще одну:

3) Данная гипотеза применяется к четным числам, только начиная с 4. А сами четные числа начинаются в натуральном ряду с 2.

Понятно, что разбиение числа 2 на два натуральных числа может быть только таким: 2 = 1 + 1. Число же 1 не является простым. Сейчас не является.

Ранее же многие математики начинали ряд простых чисел именно с числа 1. На интернет-ресурсе [1] можно ознакомиться с историей отнесения числа 1 к простым числам.

И действительно, если дать определение простого числа, как числа, имеющего только два делителя – 1 и самого себя – то число 1, имеющее только один делитель, простым не будет. Если же дать определение простого числа, как числа, делящегося только на 1 и самого себя, то в этом случае число 1 уже будет являться простым числом, поскольку число 1 делится только на 1 и самого себя.

Если число 1 приравнять к простым числам, то в данном случае, конечно же, число 2 также можно будет разбить на два простых числа.

В работе [2] вводилось понятие уровня коммутативного математического действия над числами. И в таблице 1 данной работы было написано, что простые числа (2, 3, 5, 7, … и т.д.) являются простыми числами 1-го уровня – уровня умножения. А число 1 является единственным простым числом 0-го уровня – уровня сложения.

В данной работе, касающейся новой бинарной проблемы, число 1 будет приравнено к простым числам. При этом оно будет и совершенной степенью (см. ниже).

Интересные числа

Несомненно, каждое число в натуральном ряду уникально и интересно. Но какие конкретно категории чисел могли бы быть в нем наиболее интересными, чтобы участвовать в той или иной теореме или гипотезе? Например, в Великой теореме Ферма и гипотезе Била участвуют совершенные степени (числа вида aⁿ, где a и n – натуральные числа, и n > 1). А в упоминаемой в данной работе бинарной проблеме Гольдбаха участвуют простые числа.

В данной работе совершенные степени мы будем называть просто степенями.

Пожалуй, среди всех натуральных чисел эти две категории чисел являются наиболее интересными.

Определение. Простые числа (включая приравненное к ним число 1, см. выше) и совершенные степени называются интересными числами.

При этом особенное число 1 будет являться и простым числом, и степенью, т.е. данное число является универсальным. В зависимости от конкретного его использования мы будем обозначать его 1_пр, если оно используется как простое число, или 1_ст, если оно используется как степень.

Определение. Числа натурального ряда, не являющиеся ни простыми числами, ни степенями, будут называться обычными числами.

Как можно догадаться, в натуральном ряду обычных чисел больше всего. На втором месте по количеству идут простые числа. И меньше всего в натуральном ряду степеней. Например, из чисел, не превышающих 100 млн., простыми будут 5 761 455 чисел (без числа 1), степенями будут всего 10 491 число. Остальные же числа – 94 228 054 – будут обычными числами.

В чем же сходство или наоборот различие совершенно разных по своей природе чисел: простых чисел и степеней? Для наглядности приведем следующую таблицу, в которой отражена логика включения того или иного числа в список простых чисел или степеней:

Как видно из таблицы, для определения простых чисел мы используем операцию сложения, и начинаем с 0, а для определения степеней – операцию умножения, и начинаем с 1. В обоих случаях в математическом действии используются натуральные числа, начиная с 2 (универсальное число 1 здесь мы не рассматриваем).

При этом у простых чисел потенциально могут быть включены в их список только результаты первого прибавления, а последующие прибавления исключаются, а у степеней наоборот – результаты первого умножения исключаются из их списка, а результаты последующих умножений потенциально могут быть включены.

В обоих случаях мы смотрим на прибавляемое / умножаемое число. Если оно уже было у простых чисел в списке исключаемых ранее (например, число 4), то оно не включается в список простых чисел. А если оно уже было в списке включенных ранее степеней (например, то же число 4), то все последующие результаты умножения на это число не включаются в список степеней, чтобы не было их повторения. (См. таблицу 2. В ней зеленым цветом выделены числа, включенные в список простых чисел или степеней; серым цветом – исключенные; красным цветом – числа, исключенные / включенные ранее в список простых чисел / степеней.)

Т.е. при всей своей непохожести логика определения простых чисел и степеней в целом похожа в рамках своей противоположности. И как простые числа, так и степени в натуральном ряду располагаются, если угодно, случайным образом. Нет какой-то формулы, которая бы описывала их порядок.

Теперь можно переходить к формулировке новой бинарной проблемы.

Бинарная проблема

Формулировка бинарной проблемы. Любое натуральное число N больше 1 можно разбить на два взаимно простых интересных числа I₁ и I₂ по уравнению:

 

При этом хотя бы одно из трех чисел (N, I₁, I₂) должно быть простым и хотя бы одно из этих трех чисел должно быть степенью.

Из данной формулировки бинарной проблемы следует, что если число N является обычным числом, т.е. ни простым числом, ни степенью, то для него уравнение (3) превращается в одно единственное уравнение:

 

Т.е. любое обычное число можно разложить на простое число и степень.

Если же число N является простым числом, то для него уравнение (3) превращается в два уравнения:

 

Т.е. любое простое число можно разложить на простое число и степень ИЛИ на две степени.

Если же число N является степенью, то для него уравнение (3) превращается тоже в два уравнения:

Т.е. любую степень можно разложить на простое число и степень ИЛИ на два простых числа.

Как видно из приведенных выше уравнений, разбиение на простое число и степень подходит для любого числа, и для обычного, и для простого, и для степени. Поэтому можно записать общее уравнение такого разбиения:

Данное разбиение называется универсальным. А разбиения по уравнению (6) для простых чисел и разбиения по уравнению (8) для степеней называются дополнительными.

Примеры разбиений чисел

Число 2 (простое) может быть разбито только единственным образом: 2 = 1 + 1. Однако данное разбиение может быть квалифицировано и как универсальное, и как дополнительное:

 

Число 3 (простое) может быть разбито только единственным универсальным образом:

 

Число 4 (степень) может быть разбито только единственным образом: 4 = 3 + 1. Однако данное разбиение может быть квалифицировано и как универсальное, и как дополнительное:

 

Такое разрешенное в бинарной проблеме Гольдбаха разбиение числа 4, как 4 = 2 + 2, в новой бинарной проблеме не разрешено, поскольку участвующие в нем числа не являются взаимно простыми.

Число 5 (простое) может быть разбито только единственным образом: 5 = 1 + 4. Однако данное разбиение может быть квалифицировано и как универсальное, и как дополнительное:

 

Число 6 (обычное) может быть разбито только единственным универсальным образом:

 

Разбиение 6 = 2 + 4 не разрешено, поскольку участвующие в нем числа не являются взаимно простыми.

И т.д.

В случае, когда одно и то же разбиение можно квалифицировать и как универсальное, и как дополнительное, оно квалифицируется как универсальное, поскольку универсальные разбиения подходят для всех чисел, а дополнительные разбиения подходят только для интересных чисел.

Определение. Числа, имеющие только лишь одно универсальное разбиение, называются благородными. При этом они могут еще иметь дополнительные разбиения (актуально для простых чисел и степеней).

Определение. Числа, имеющие только лишь одно универсальное разбиение и не имеющие ни одного дополнительного разбиения, называются полностью благородными.

Поскольку обычные числа не могут иметь дополнительных разбиений, поэтому если то или иное обычное число является благородным числом, то оно является также и полностью благородным числом.

Приведем в таблице список обычных чисел, являющихся благородными числами:

В данной работе было проанализировано обычных чисел максимум до 1 млн., и, как видно из таблицы 3, последним благородным обычным числом является число 2 986, всего же их 27, 4 нечетных (голубые) и 23 четных (розовые).

Приведем теперь в таблице список простых чисел, являющихся благородными или полностью благородными числами:

В данной таблице желтым цветом выделены полностью благородные числа. Как видно из таблицы, всего благородных простых чисел 5 (последнее 2 293), всего полностью благородных простых чисел 7 (последнее 3 319). Было проанализировано простых чисел максимум до 1 млн.

Приведем теперь в таблице список степеней, являющихся благородными или полностью благородными числами:

В данной таблице также желтым цветом выделены полностью благородные числа. Как видно из таблицы, всего благородных степеней 16 (последнее 122 500), всего полностью благородных степеней 2 (последнее 1 681). Было проанализировано степеней максимум до 10 млн.

Естественно полностью благородными степенями потенциально могут быть только нечетные числа (небольшое четное число 4 является исключением), поскольку четные числа (в том числе и четные степени) легко разбиваются на два простых числа (бинарная проблема Гольдбаха). А вот разбить нечетные числа (в том числе и нечетные степени) на два простых числа можно, только если одно из простых чисел будет равно 2, например: 25 = 2 + 23; 841 = 2 + 839; 1 849 = 2 + 1 847.

Определение. Простые числа, которые могут быть разбиты только по уравнению (6) (дополнительное разбиение) и не могут быть разбиты по уравнению (5) (универсальное разбиение), называются аномальными.

Определение. Степени, которые могут быть разбиты только по уравнению (8) (дополнительное разбиение) и не могут быть разбиты по уравнению (7) (универсальное разбиение), называются аномальными.

В данной работе было найдено только два аномальных числа – одно простое число 1 549 и одна степень 1 771 561 = 11⁶. (Простые числа проверялись на предмет аномальности максимум до 6.5 млн., степени выше 2-ой проверялись на предмет аномальности максимум до 100 млн., 2-ая степень проверялась до 40 млн.)

Аномальное простое число 1 549 имеет лишь одно дополнительное разбиение на две степени:

 

Аномальная степень 1 771 561 имеет лишь одно дополнительное разбиение на два простых числа:

 

Существование только одного аномального простого числа и только одной аномальной совершенной степени, имеющих только одно дополнительное разбиение, подчеркивает уникальность этих двух чисел.

Как видно, эти два аномальных числа «висят на волоске». У них нет ни одного разбиения на простое число и степень. И для простого числа 1 549 еще доступно разбиение на две степени, но далеко не каждое число можно разбить на две степени. И вот именно это число можно разбить на две степени одним единственным способом.

А для степени 1 771 561 еще доступно разбиение на два простых числа. Проблем нет с четными числами, но это число нечетное, и оно может быть разбито на два простых числа, только если число 1 771 559 является простым. И оно как раз является простым.

Как видно, в новой бинарной проблеме интрига, о которой мы писали в самом начале статьи, сохраняется как минимум до миллионных чисел, и даже далее, чего нельзя сказать о бинарной проблеме Гольдбаха, где интрига заканчивается на числе 12, имеющем только одно разбиение на два простых числа, а дальше количество разбиений только растет согласно уравнению (1).

Определение. Натуральные числа, которые можно разбить и на простое число и степень, и на два простых числа, и на две степени называются замечательными.

Приведем в таблице список замечательных чисел до 1 000:

Желтым цветом здесь выделены замечательные числа, идущие подряд.

Как видно, количество замечательных чисел не так мало среди всех чисел натурального ряда. Их количество сопоставимо с количеством простых чисел. Общее количество простых чисел, не превышающих 2 млн., 148 933, а общее количество замечательных чисел за тот же промежуток 146 935. Отклонение составляет приблизительно 1.34%.

Другие интересные разбиения, не относящиеся к новой бинарной проблеме

Какие еще разбиения, в которых участвовали бы простые числа и степени, и которые не относятся к новой бинарной проблеме, могли бы быть еще интересны?

Например, разбиение простого числа на два других простых числа:

 

По сути, это гипотеза о двух простых числах-близнецах, поскольку уравнение (20) имеет решение, только если одно из двух простых чисел, стоящих в правой части уравнения, будет равно 2:

 

И в настоящее время до сих пор нет доказательства, бесконечно ли количество двух простых чисел, удовлетворяющих уравнению (21).

Также могло бы быть интересно разбиение степени на две других степени:

 

Напоминаем, что и в новой бинарной проблеме, и далее в других интересных разбиениях рассматриваются только взаимно простые числа.

Уравнение (22), по сути, является не чем иным, как гипотезой Била, согласно которой это уравнение будет иметь решение, только если хотя бы одна из степеней будет не выше 2-ой. Данная гипотеза также в настоящее время еще не доказана.

Таким образом, интересные числа (простые числа и степени), участвующие в тех или иных разбиениях, могут дать нам очень интересные гипотезы, уже известные и новые.

Другие формулировки новой бинарной проблемы

Как было написано выше, не все числа можно разбить по уравнению универсального разбиения (уравнение (9)). Есть два аномальных числа, одно простое число и одна степень, которые нельзя разбить подобным образом. Но все остальные числа вполне можно разбить на простое число и степень.

Поэтому можно привести и такую формулировку новой бинарной проблемы:

Другая формулировка бинарной проблемы. Любое натуральное число больше 1, кроме двух аномальных чисел 1 549 и 1 771 561, можно разбить на взаимно простые простое число и степень по уравнению:

 

Данная формулировка бинарной проблемы является более простой, чем вышеприведенная. Однако хотелось бы видеть не менее простую формулировку бинарной проблемы, но которая действовала бы на все натуральные числа без исключения.

Как мы писали выше, степеней очень мало в натуральном ряду даже по сравнению с простыми числами. И вот чуть-чуть их не хватает. Два аномальных числа нельзя разбить на простое число и степень, увы. Но посмотрим в таблице 3 единственное разбиение благородного обычного числа 505. Оно разбивается на простое число и степень единственным образом: 505 = 181 + 324. При этом степень 324 разлагается на простые множители так: 324 = 2² ∙ 3⁴.

Да, такое разложение числа 324 можно привести к квадрату числа, но все же в таком разложении показатели степени у простых оснований 2 и 3 разные. И можно задать вопрос, а чем, например, число 108 = 2² ∙ 3³ сильно хуже числа 324 = 2² ∙ 3⁴? Оба числа, по сути, являются произведением степеней с простыми основаниями.

Определение. Натуральные числа вида , где a₁, a₂, a₃, …, a_i – простые числа; n₁, n₂. n₃, …, n_i – натуральные числа больше 1; i – неотрицательное целое число, называются расширенными степенями.

Числа, которые мы называли в данной работе степенями (т.е. совершенные степени), таким образом, являются частным случаем расширенных степеней.

Расширенные степени также могут быть отнесены к интересным числам. Будут ли они отнесены к интересным числам или нет, зависит от конкретного использования последних (по аналогии с натуральными числами, в список которых число 0 может включаться или не включаться в зависимости от конкретного их использования).

Выше мы писали, что из чисел, не превышающих 100 млн., степенями будут всего 10 491 число. Если же рассматривать расширенные степени, то их будет уже 21 044, т.е. более чем в два раза больше. И вышеприведенные два аномальных числа можно разбить на простое число и расширенную степень.

Таким образом, можно дать вторую формулировку новой бинарной проблемы:

Вторая формулировка бинарной проблемы. Любое натуральное число больше 1 можно разбить на взаимно простые простое число и расширенную степень по уравнению:

 

Также можно дать более сильный вариант этой формулировки:

Сильный вариант второй формулировки бинарной проблемы. Любое натуральное число больше 1 можно разбить на взаимно простые простое число и расширенную степень по уравнению (24), где расширенная степень будет являться произведением максимум двух простых оснований в степенях, не превышающих 5, т.е.

 

где a₁, a₂ – простые числа; n₁, n₂ – натуральные числа от 2 до 5.

Для сильного варианта второй формулировки бинарной проблемы по аналогии с первой формулировкой бинарной проблемы приведем в таблице список благородных чисел, которые имеют лишь один вариант разбиения на простое число и расширенную степень. При этом расширенная степень имеет вид согласно формуле (25).

(При использовании понятия благородных чисел необходимо уточнять, к какой формулировке новой бинарной проблемы оно относится. Например, к самой первой формулировке бинарной проблемы было дано определение благородных чисел, как чисел, имеющих только одно универсальное разбиение по уравнению (9). Но к последней формулировке бинарной проблемы будет определение благородных чисел, как чисел, имеющих только одно разбиение по уравнению (24).)

Как видно из таблицы, последним таким благородным числом является число 10 404. Голубым цветом здесь выделены простые числа, а розовым – степени.

Таким образом, в данной работе предложено две основных формулировки новой бинарной проблемы, в первой используются совершенные степени, во второй – расширенные степени.

Применение расширенных степеней в других гипотезах

Рассмотрим интервалы между совершенными степенями, в которых не содержится ни одного простого числа. Первым таким интервалом будет интервал чисел 8 – 9. Здесь две степени расположены рядом, и между ними в принципе не может быть ни одного простого числа. Вторым таким интервалом будет интервал чисел 25 – 27. Третьим таким интервалом будет интервал 32 – 36. И т.д.

И хочется задать вопрос, таких интервалов между степенями, в которых нет ни одного простого числа, существует конечное или бесконечное количество? В данной работе было найдено только 10 таких интервалов (теоретически можно еще добавить 11-ый такой интервал между степенями 0 – 1). Приведем их в таблице:

Поиск таких интервалов осуществлялся для чисел не превышающих 10³².

Из таблицы видно, что последний такой интервал находится в районе 500 млн. И, казалось бы, это дает уверенность в том, что, скорее всего, таких интервалов существует бесконечное количество. Однако даже с помощью abc-гипотезы можно доказать (точнее предположить), что таких интервалов должно быть только конечное количество. Попробуем это сделать.

Рассмотрим уравнение:

 

где d – достаточно небольшое число по сравнению со степенями a^x и b^y; x и y ≥ 2; все три слагаемых являются взаимно простыми числами.

Согласно abc-гипотезе для любого сколь угодно малого ε существует константа (обозначим ее K_ε) такая, что выполняется следующее неравенство:

 

Упрощаем:

 

Из уравнения (26) следует что:

 

Заменим a на b в неравенстве (28) согласно связи между ними (29):

 

Упрощаем:

 

Как было написано выше, ε – это очень близкое к нулю число. Условно примем его равным нулю. При этом не забудем, что K_ε – это достаточно большая константа, если значение ε очень мало. Получим:

 

K_ε – это константа, хоть и большая, но на бесконечности она роли не сыграет. А сыграет свою роль только показатель степени у основания b.

Чтобы значение d могло быть маленьким, необходимо, чтобы показатель степени у основания b был не больше 0. И это возможно только при x = 2 и y = 2. Но, как известно, два больших по значению квадрата не могут располагаться близко друг к другу.

Если же, например, x = 2, а y = 3, то неравенство (32) примет следующий вид:

 

И на достаточно больших значениях степеней (a^x и b^y) величина d обязана быть тоже достаточно большой, что гарантирует нахождение между ними простых чисел (интервалы между простыми числами растут не так быстро, см. интернет-ресурс [3]).

Поэтому интервалов между степенями, в которых нет ни одного простого числа, должно быть только конечное количество. И здесь совершенные степени немного не дотягивают. А если мы будем рассматривать вместо них расширенные степени?

Анализ, проведенный в данной работе, показал, что есть основания не только сделать вывод, что между двумя расширенными степенями может быть бесконечное количество интервалов, в которых нет ни одного простого числа, но и есть основания сделать вывод, что существует бесконечное количество расширенных степеней, отличающихся между собой на 1.

Приведем таблицу таких расширенных степеней, не превышающих 10 трлн. (как было написано выше, сюда также можно добавить соседние степени 0 и 1):

Согласно доказанной гипотезе Каталана, существует только две совершенные степени, 2³ и 3², отличающиеся между собой на 1. В силу вышеприведенного, можно сформулировать следующую близкую гипотезу, но для расширенных степеней:

Гипотеза о двух расширенных степенях-сестрах. Существует бесконечное количество расширенных степеней, отличающихся между собой на 1.

Данная гипотеза является еще одним примером, где совершенных степеней «не хватает», но вполне «хватает» расширенных степеней.

И еще несколько гипотез можно сделать, используя расширенные степени и простые числа.

Гипотеза. Верно ли, что количество чисел ССП (три числа подряд: расширенная степень – расширенная степень – простое число) бесконечное количество?

В данной работе была найдена только одна тройка таких чисел: 675 = 3³ ∙ 5², 676 = 2² ∙ 13², 677 – простое число.

Гипотеза. Верно ли, что количество чисел ПСС (три числа подряд: простое число – расширенная степень – расширенная степень) бесконечное количество?

В данной работе была найдена только одна тройка таких чисел: 7 – простое число, 8 = 2³, 9 = 3².

Гипотеза. Верно ли, что количество чисел ПСП (три числа подряд: простое число – расширенная степень – простое число) бесконечное количество?

В данной работе было найдено достаточно много таких троек чисел. Приведем в таблице первые 70 из них:

В последних трех гипотезах мы рассмотрели варианты трех подряд идущих интересных чисел. А может быть подряд четыре или более интересных чисел? Такое наблюдается только один раз, начиная с 0 и до 5: УУППСП. Числа 0 и 1 мы обозначили здесь буквой «У» – универсальное число.

А далее легко показать, что больше трех подряд интересных чисел быть не может. Два простых числа могут быть только с минимальным интервалом равным 2. А если четное число является расширенной степенью, то ±2 от него оба четных числа не могут быть расширенными степенями, поскольку будут делиться на 2, но не будут делиться на 4.

Теоретически можно еще допустить существование трех подряд идущих расширенных степеней: ССС (три числа подряд: расширенная степень – расширенная степень – расширенная степень). При этом первая расширенная степень здесь должна быть нечетным числом. Однако таких случаев в данной работе обнаружено не было, и невозможность этого вытекает из следующей гипотезы:

Гипотеза. Не существует интервалов между двумя ближайшими простыми числами, в которых было бы три или более расширенных степени.

В данной работе таких интервалов не было найдено для чисел не превышающих 10 трлн.

Метод перебора

Метод перебора в математике зачастую применяется для решения той или иной задачи, если в ней имеется только конечное количество перебираемых вариантов. Однако также этот метод очень широко используется для проверки или опровержения многих математических гипотез, где количество перебираемых вариантов бесконечно.

Доказательство многих гипотез в теории чисел является очень трудной задачей, и очень многие из них до сих пор не доказаны. Но доказательство станет не нужным, если к той или иной гипотезе будет найден контрпример. И найти контрпример, если он имеется, как раз и позволяет метод перебора.

Например, Эйлер в 18 веке выдвинул гипотезу, согласно которой уравнение a⁴ + b⁴ + c⁴ = d⁴ не имеет решений в натуральных числах (см. интернет-ресурс [8]). И только в 20 веке с появлением мощных компьютеров методом перебора были найдены контрпримеры к этой гипотезе.

Если же к той или иной гипотезе контрпримеры методом перебора на достаточно большом количестве вариантов найдены не будут, то это лишь подтвердит эту гипотезу, и вдохновит математиков к поиску ее доказательства.

Все предложенные в данной работе гипотезы были проверены на контрпримеры на достаточно большой выборке чисел.

Выводы

1. Приведена оценочная формула количества разбиений четного числа на два простых числа.

2. Описаны некоторые моменты, касающиеся бинарной проблемы Гольдбаха, делающие ее не столь интересной.

3. Описаны свойства числа 1, позволяющие его относить одновременно и к простым числам, и к совершенным степеням.

4. Сформулировано понятие интересных чисел, включающих в себя простые числа и совершенные степени (или расширенные степени).

5. Приведена логика включения натуральных чисел в список простых чисел или совершенных степеней, показывающая, что простые числа и совершенные степени в чем-то похожи в рамках своей противоположности.

6. Сформулирована новая бинарная проблема, применимая для любого натурального числа больше 1.

7. Даны понятия благородных и полностью благородных чисел, и приведен их список для простых чисел, совершенных степеней и прочих чисел.

8. Даны понятия аномальных простых чисел и аномальных совершенных степеней. Сделано предположение, что существует лишь одно аномальное простое число 1 549 и лишь одна аномальная совершенная степень 1 771 561.

9. Дано определение замечательных чисел и приведен в таблице их список до 1 000.

10. Приведены другие интересные разбиения, не относящиеся к новой бинарной проблеме.

11. Дано определение понятию расширенных степеней.

12. Приведены другие формулировки новой бинарной проблемы, в том числе формулировки (слабая и сильная), включающие понятие расширенных степеней.

13. Используя abc-гипотезу, приведено обоснование, почему две совершенные степени не могут располагаться достаточно близко, чтобы между ними не было ни одного простого числа (точнее обоснование, почему таких случаев должно быть только конечное количество).

14. Сформулирована гипотеза о двух расширенных степенях-сестрах.

15. Сформулированы прочие гипотезы, касающиеся расширенных степеней и простых чисел.

1. Простое число. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число (дата обращения: 07.03.2025).
2. Частухин А. Е. Уровни математических действий над числами. Уровни простоты и иррациональности чисел. [Электронный ресурс] // SCI-ARTICLE.RU. 2023. URL: https://sci-article.ru/stat.php?i=1681246966 (дата обращения: 07.03.2025).
3. Интервалы между простыми числами. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Интервалы_между_простыми_числами (дата обращения: 07.03.2025).
4. Проблема Гольдбаха. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Проблема_Гольдбаха (дата обращения: 07.03.2025).
5. Совершенная степень. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Совершенная_степень (дата обращения: 07.03.2025).
6. abc-гипотеза. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-гипотеза (дата обращения: 07.03.2025).
7. Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студентов высших учебных заведений. -М.: Издательский центр «Академия», 2008. - 272 с.
8. Великая теорема Ферма. Некоторые вариации и обобщения. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Великая_теорема_Ферма#Некоторые_вариации_и_обобщения (дата обращения: 31.03.2025).

Рецензии:

26.03.2025, 6:40 Komilova Kholidakhon Muxtarovna
Рецензия: В работе предложена новая бинарная проблема, применимая для любого натурального числа больше 1. Введено понятие расширенных степеней, и сформулирована гипотеза о двух расширенных степенях-сестрах, а также некоторые другие гипотезы, использующие это понятие.Считаю, что статья заслуживает публикации и может привлечь внимания других авторов к этой проблеме.

26.03.2025, 12:19 Кузнецов Вячеслав Алексеевич
Рецензия: Рецензия Кузнецова Вячеслава Алексеевича на работу "Бинарная проблема" Автор: Частухин Александр Евгеньевич Общая оценка: Работа "Бинарная проблема" представляет собой интересный и оригинальный вклад в теорию чисел, предлагая новую бинарную проблему, применимую как к четным, так и к нечетным натуральным числам. Введение понятия "расширенных степеней" и формулировка гипотез о двух расширенных степенях-сестрах делают работу актуальной и содержательной. Структура и содержание: 1. Актуальность и новизна: Положительное: Автор подчеркивает недостатки бинарной проблемы Гольдбаха, что создает контекст для новой проблемы. Это делает работу значимой для дальнейших исследований. Рекомендация: Стоит подробнее обосновать, почему предложенная бинарная проблема будет более интригующей для исследователей. 2. Определения и формулировки: Положительное: Введение новых понятий, таких как "интересные числа", "благородные числа" и "аномальные числа", обогащает теоретическую базу работы. Рекомендация: Возможно, стоит привести более формальные определения этих понятий, чтобы избежать неоднозначности. 3. Примеры и таблицы: Положительное: Примеры разбиений чисел и таблицы помогают проиллюстрировать основные идеи работы. Рекомендация: Увеличить количество примеров, особенно для сложных понятий, таких как "благородные числа" и "аномальные числа". Например, можно добавить больше чисел, чтобы показать, как они относятся к предложенной бинарной проблеме. 4. Гипотезы: Положительное: Формулировка гипотез о двух расширенных степенях-сестрах и других связанных гипотезах расширяет область теории чисел. Рекомендация: Для каждой гипотезы следует указать, как она может быть проверена или опровергнута. Это повысит научную ценность работы. 5. Методология и анализ: Положительное: Анализ разбиений на взаимно простые числа демонстрирует глубокое понимание автора. Рекомендация: Некоторые математические выводы требуют более детального обоснования. Например, стоит более подробно объяснить, почему число 15 790 является ключевым в неравенстве (2). Заключение: Работа "Бинарная проблема" представляет собой значимый вклад в теорию чисел, предлагая новые идеи и гипотезы, которые могут стать основой для дальнейших исследований. Статья написана ясным языком и структурирована логично, что делает ее доступной для широкой аудитории. Рекомендация к публикации: После исправления указанных замечаний и доработки работы, рекомендую к публикации, так как она обладает значительным научным потенциалом и может внести вклад в развитие теории чисел.

28.03.2025, 18:38 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Несмотря на то, что рецензент считает, что истинные простые числа по адекватному определению (например, просто - неделимость, убрав никчемную тривиальность деления на 1 и самого себя) должны начинаться с 5, т.е. с первого числа в составе которого есть на что делить и быть "генераторами" рациональных числе, необыкновенных и обратных им обыкновенных дробей, статья вызывает интерес. Все его числа находятся в одной группе по Галуа, одном кольце, и в рамках такой постановки бинарной проблемы может родиться ещё ряд задач и арифметических пректов. Рецензент рекомендует данную статью к печати в данном журнале.

29.03.2025, 23:06 Кузнецов Вячеслав Алексеевич
Рецензия: Уважаемый Александр Евгеньевич, Спасибо за ваш ответ и за внесенные изменения в статью. Я ценю ваше внимание к замечаниям и вашу готовность улучшить работу. Позвольте мне прокомментировать некоторые из ваших пунктов: Интрига гипотезы: Я понимаю, что интрига заключается в количестве разбиений. Ваше объяснение о том, что число 12 является последним с единственным разбиением, действительно подчеркивает важность этого аспекта. Я согласен, что это создает интересный контраст с другими числами, где количество разбиений значительно увеличивается. Определения интересных и благородных чисел: Я рад, что вы уточнили эти понятия. Это действительно важно для понимания контекста статьи и поможет читателям лучше воспринимать представленный материал. Примеры благородных и аномальных чисел: Я понимаю, что вы не нашли дополнительных примеров в больших выборках. Возможно, стоит добавить пояснение о том, что наличие только одного аномального простого числа и одной аномальной совершенной степени подчеркивает уникальность этих чисел. Методы доказательства гипотез: Я согласен с вами в том, что доказательства гипотез могут быть сложными. Упоминание о методе перебора как о способе проверки гипотез — это важный момент, который стоит подчеркнуть в статье, чтобы читатели знали, как можно подходить к исследованию этих гипотез. Значение числа 15 790: Я понимаю вашу позицию о том, что это число не является ключевым. Тем не менее, возможно, стоит более подробно объяснить, почему вы выбрали именно это число для иллюстрации неравенства (2), чтобы избежать недопонимания. В целом, я вижу, что вы внесли значительные улучшения в статью, и ваши пояснения делают материал более понятным. Однако, учитывая некоторые оставшиеся вопросы, я все же не могу рекомендовать статью к печати в ее текущем виде. Я верю, что дальнейшие доработки и уточнения помогут улучшить качество работы и сделать ее более доступной для читателей. Спасибо за вашу работу и за интересный подход к столь сложной теме. Я с нетерпением жду вашей доработанной версии. С уважением, Кузнецов Вячеслав Алексеевич



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий