Доказательство гипотезы Коллатца

УДК 511.12     УДК 511.13  

Актуальность: Гипотеза находится в списке нерешённых проблем математики.

Цель: Доказать гипотезу простыми средствами.

Научная новизна: 
Использование свойств умножения и деления десятичных дробей в доказательстве алгоритма с натуральными числами;
Введены новые понятия: множество нечётных Коллатца, производительность, работа числа в гипотезе Коллатца, ряды групп множества M1 нечётных Коллатца, и др.;
Претендует на новизну утверждение: в алгоритме Коллатца не существует последовательностей закольцованных;
Раскрыт механизм действия алгоритма, в результате которого число изменяет направление своего движения;
Найдено решение алгоритма Коллатца в виде общей формулы, которое сворачивает все последовательности в единицу.

ВВЕДЕНИЕ: Гипотеза Коллатца, известная также как «3X+1»-гипотеза или как сиракузская последовательность, относится к алгоритмам управления натуральными числами, утверждает, что с какого бы числа, целого и положительного, мы не начали, двигаясь, в случае нечётного по формуле 3X+1, а в случае чётного следуя формуле X/2, мы в итоге придём к единице.
Какой интерес был у Коллатца заниматься вообще алгоритмами, подобными  «3X+1». Вероятно были и другие, но именно алгоритм «3X+1» стал проблемой. При этом, с начальными числами из натурального ряда такими, как 1, 2, 3 … 1 000 ... 1 000 000 …  и т.д., очевидно проблем не было. Они были проверены простым перебором. Нет сомнений в том, что Коллатц исследуя простые алгоритмы, искал ответы на волнующие его вопросы далеко за пределами чистой математики. Возможно, даже не так, Коллатц исследуя простые алгоритмы, за пределами обычной, искал чистую математику, в которой символические действия с числами могут быть тождественны взаимоотношениям Сознания и Материии, если алгоритм уподобить сознательному действию, а натуральное число предмету, явлению физического мира. 
Удивительная по своей простоте формулировки гипотеза привлекает к себе внимание. Существует множество попыток её доказательства от простых до невероятно сложных, но пока не признанных математическим сообществом. Исследователи всегда отмечают одну особенность в доказательстве гипотезы; добившись определённых результатов, сделав очередной шаг в доказательстве они сталкиваются с новой проблемой. Доказательство постоянно ускользает. Создаётся иллюзия недосягаемости доказательства. В 2019 появилось сообщение, отмеченное в [1], что Теренс Тао с помощью теории вероятностей доказал, что почти все орбиты Коллатца ограничены любой функцией, уходящей в бесконечность. В рецензии на эту работу, журнал Quanta Magazine написал, что «это один из самых значительных результатов по гипотезе Коллатца, достигнутых за последние десятилетия». Но, автору представленной здесь статьи хотелось бы отметить ещё одну работу, а именно видеоролик: [2], по теме, как важный вклад в поиске пути решения гипотезы. Видеоролик, длительностью около 20 минут, на первый взгляд является развлекательным научно-популярным контентом канала Vert Dider, размещённый на площадке Yutube, но представленная в нём информация, да ещё в великолепном изложении ведущего Дерека Мюллера, подтолкнула к ответу, на один из важных вопросов в доказательстве гипотезы, о чём, в том числе, будет далее. С большим Уважением и огромной благодарностью к несравненному Дереку Мюллеру. 

Во всех известных, но непризнанных доказательствах гипотезы Коллатца, остаются нерешёнными два принципиальных вопроса:

1) Не доказано и не опровергнуто существование последовательностей, замкнутых в кольцо.

2) Не доказано и не опровергнуто существование последовательностей, уходящих в бесконечность;

Из этих нерешённых вопросов выделим два утверждения, те, которые подтверждают гипотезу. Если они будут доказаны: доказывать какое-либо другое уже не имеет смысла. Выводы построенные на других утверждениях всегда будут вызывать сомнения, если не будут доказаны эти.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1: в алгоритме Коллатца не существует последовательностей закольцованных.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2: не существует последовательностей, уходящих в бесконечность.

ЧАСТЬ1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ 1:

 в алгоритме Коллатца не существует последовательностей закольцованных.

1.1 УСПЕШНЫЕ РЕШЕНИЯ АЛГОРИТМА КОЛЛАТЦА

В алгоритме Коллатца конечной целью является единица, но перед тем как к ней прийти мы обязательно выйдем на одно из значений из ряда 2ⁿ. Для ряда 2ⁿ выполним действия обратные алгоритму «3X+1», тем самым выясним, при достижении каких значени 2ⁿ алгоритм сворачивается в 1. Оказывается не при всех, а только с чётным показателем степени. Результаты сведены в таблицу обратных преобразований ряда 2²ⁿ по алгоритму Коллатца (Таблица 1)

      И так далее, до бесконечности. Куда бы мы не двигались, вперёд-назад, мы всегда будем находиться между двух, тех или иных, успешных решений алгоритма. И хотя нам, для доказательства гипотезы, уже достаточно утверждения, что количество успешных решений бесконечное множество, мы всегда можем его усилить. Например, каждое значение натурального ряда, определяемое (1) можно дополнительно умножить на 2ⁿ. Например, число 5 умножить на 2ⁿ число 7 умножить на 2ⁿ. Каждое число, из уже известных, ранее пройденных и завершённых единицей маршрутов, умножить на 2ⁿ. Тогда мы должны удивляться уже не тому, что каждое число по алгоритму Коллатца завершается единицей, а почему вообще существуют числа с большими маршрутами. Оказавшись в значении успешного решения, число должно немедленно свернуться в единицу. Ответ находим простой. Во первых: множество чисел сворачивается действительно быстро, во вторых: каждый длинный маршрут составлен из уже известных, ранее пройденных и завершённых единицей маршрутов.
     Предположим, между успешными решениями всё же существуют значения, не относящиеся к успешным. Сколько их. Определённо, должно быть ограниченное количество, значит мы простым перебором неизбежно их преодолеем. Каждое новое число на пути алгоритма есть очередной шаг к цели. Успешное решение алгоритма - это просто один из очередных шагов. Как только мы окажемся на одном из ранее пройденных и завершённых единицей маршрутов, можно считать завершённым и текущий. Формула (3X+1)/2 производит движение вперёд, в сторону увеличения текущего числа, а формула (3X+1)/2n, где n˃1, назад, в сторону его уменьшения. Действие +1 в алгоритме «3X+1» гарантирует его непрерывность, способствует непрерывности процесса движения числа к успешному решению. Для того, чтобы этот процесс не прерывался необходимо чтобы каждое очередное число последовательности отличалось от любого из предыдущих. Иначе будет образовано так называемое кольцо – бесконечное чередование одного и того же фрагмента последовательности.

     Мы должны доказать, что алгоритм «3X+1» исключает повторения, каждое очередное число последовательности отличается от любого из предыдущих.

1.2 ПРИМЕЧАНИЕ К УТВЕРЖДЕНИЮ 1:

К слову сказать, так называемый цикл 4-2-1, часто упоминаемый  в связи с гипотезой Коллатца, по определению не является кольцом. Алгоритм «3X+1», или «3n+1» – гипотеза: есть сокращённое название гипотезы Коллатца, сокращённая запись алгоритма, а полный алгоритм перехода из одного состояния в другое, от одного нечётного к другому нечётному, включает ещё и деление на два,  в общем виде выражается формулой (4):

Здесь: X_n- исходное (или предыдущее) нечётное, X_n+1 - очередное нечётное, m – количество делений на два до очередного нечётного. Запись алгоритма в виде формулы (4) предполагает начинать именно с нечётного.

C какого бы числа, целого и положительного, мы не начали, двигаясь, в случае нечётного по формуле 3X+1, а в случае чётного следуя формуле X/2, мы в итоге придём к единице.

Известны и другие формулировки гипотезы, не меняющие её сути. Например такая:

Берём любое натуральное число; Если оно чётное, разделим его на два, а если нечётное, то умножаем на три и прибавляем единицу; Над полученным числом выполняем те же действия, и так далее. Какое бы начальное число мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу. Утверждается, что эта простая формулировка понятна практически всем здравомыслящим людям. После того, как мы пришли к единице алгоритм завершается, точка.

Кольцом может называться последовательность, состоящая из нескольких нечётных. Фраза “С какого бы числа, целого и положительного, мы не начали…” - между строк содержит смысл, в котором имеется в виду, что несомненно, это число должно быть натуральное и оно должно быть больше единицы и больше известного проверенного. С этого - только начинается ГИПОТЕЗА.

Но, мы работаем с разными натуральными числами, маленькими, большими. Если гипотеза верна, она верна для любого натурального.

1.3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ 1

Пусть X₀ = 107  число произвольной последовательности.  Предположим оно является исходным числом закольцованного фрагмента. Отследим маршрут исходного числа этого предположительно закольцованного фрагмента.

Шаг 1 (вперёд): 



С другой стороны переход от X₀=107 к числу X₁=161 можно выразить через коэффициент K₁
 


Шаг 2 (назад):



Шаг 3 (назад):                                   

Шаг 4 (вперёд): 



Шаг 5 (назад):                                   

В приведённых примерах, а также в любом шаге любой последовательности мы всегда имеем дробный переходный коэффициент от одного нечётного к другому нечётному. При этом, в шаге (вперёд), когда делитель равен 2 переходный коэффициент больше единицы. Представленный в десятичном виде он имеет более одного количество знаков после запятой. В шаге (назад), когда делитель равен 2ⁿ, где n>1 переходный коэффициент всегда меньше единицы. Представленный в десятичном виде он также имеет более одного количество знаков после запятой.

Если представленный на рис.1 фрагмент последовательности является закольцованным, значит одно из его очередных чисел равно исходному. Переход от исходного к этому очередному можно выразить через произведение промежуточных коэффициентов (11).

Для того, чтобы  соблюдалось условие закольцованности X_n = Х₀, необходимо, чтобы коэффициент K был равен единице, 

Произведение всех промежуточных коэффициентов в любом их сочетании между очередным и любым из предыдущих может принимать только два значения: или больше единицы, или меньше единицы, и никогда равным ей. Потому что в этом произведении абсолютно все промежуточные коэффициенты являются нечётными десятичными дробями. При умножении двух нечётных дробных чисел, представленных в десятичном виде, количество знаков после запятой в произведении равно сумме знаков после запятой, которые имели множители. Это есть одно из известных свойств умножения десятичных дробей. Результатом произведения всех промежуточных коэффициентов в любом их сочетании всегда является десятичная дробь с количеством знаков после запятой больше одного, т.е. число, отличающееся от единицы. Значит очередное никогда не станет равным ни одному из предыдущих. Что и требовалось доказать.

Вывод: C какого бы числа мы не начали, двигаясь, в случае нечётного по формуле 3X+1, а в случае чётного следуя формуле X/2, вперёд-назад, увеличиваясь или уменьшаясь, в процессе своего движения алгоритм исключает повторения. Применяя алгоритм к единице можно убедиться, что единица остаётся на своём месте. Единица не передвигается ни вперёд, ни назад, не увеличивается и не уменьшается. Работа, совершённая алгоритмом по отношению к единице равна нулю.

В алгоритме Коллатца не существует последовательностей закольцованных. УТВЕРЖДЕНИЕ 1 ДОКАЗАНО.

ЧАСТЬ 2 


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ 2:

Представим путь нечётного числа к следующему нечётному. Умножаем на 3, прибавляем 1: получаем чётное (Рис.3):



В половине случаев деление на 2 нас тут же вернёт к нечётному (Рис.4):



Но каждое 4-е число, делить придётся дважды т.е. на 4. 

Каждое 8-е число, делить придётся  на 8, чтобы получить следующее:  



Каждое 16-е  на 16, и т.д



Взяв среднее геометрическое:

мы увидим, что в среднем, чтобы добраться от одного нечётного числа к другому, нужно умножить его примерно на 3/4, что меньше единицы. При больших значениях нечётного единицей в алгоритме можно пренебречь. Выходит, чисто статистически, последовательности «3X+1» уменьшаются чаще, чем растут. Ведущий видеоролика [2] в своих рассуждениях использовал идею такого наглядного представления структуры натурального ряда для вывода статистической формулы (14), а получив её, переключился развивать мысль в другом направлении.

Нам потребуется выполнить ещё один маленький шаг, и мы сможем увидеть механизм действия алгоритма, в результате которого число изменяет направление своего движения, будет понятно, почему следуя одному и тому же алгоритму, с одним и тем же делителем в знаменателе формулы алгоритма, число может “неожиданно” изменить направление своего движения.

Введем новые понятия:
 
* Множество нечётных Коллатца;
* Производительность числа в алгоритме Коллатца;
* Работа числа выполненная по алгоритму Коллатца.

* МНОЖЕСТВО НЕЧЁТНЫХ КОЛЛАТЦА

Обозначение: M_m

Определение: Назовём ряд нечётных {3, 7, 11, 15 …} - первым множеством Коллатца, далее по тексту просто первым множеством или M1 или М₁. Первым оно называется по признаку, того, что в результате действия алгоритма «3X+1», числа этого ряда становятся сначала четными, а затем после деления на два сразу нечётными. В результате выполнен только один полный шаг алгоритма. Позиции нечётного числа в М1 продвигают очередное всегда вперёд, в сторону его увеличения, в бесконечность. Каждое очередное число 1-го множества отличается от предыдущего на 4 и описывается формулой(15): 



Где: n =1,2,3… и т.д. – порядковый номер числа принадлежащего М1;

Назовём ряд нечётных {1, 9, 17, 25 …} - вторым множеством Коллатца, обозначим его М2 . Вторым оно называется по признаку, того, что чётные полученные в результате действия алгоритма «3X+1» приходится делить 2 раза на 2, чтобы получить очередное нечётное. Позиции нечётного числа в М2 продвигают число в сторону его уменьшения. Каждое очередное число 2-го множества отличается от предыдущего уже на 8 и описывается формулой (16):

 Где n =1,2,3… и т.д. – порядковый номер числа принадлежащего М2.

Назовём ряд нечётных {13, 29, 45, 61 …} - третьим множеством Коллатца. По аналогии с первым и вторым множеством, обозначим его M3. Каждое очередное число 3-го множества отличается от предыдущего на 16. Позиции нечётного числа в М3 продвигают число также в сторону его уменьшения.  Каждое очередное число 3-го множества отличается от предыдущего на 16 и описывается формулой (17):



где n =1,2,3… и т.д. – порядковый номер числа принадлежащего М3.

И так далее. У каждого множества своя формула числа, которая в общем виде выглядит, как (18):



Где: m =1,2,3… и т.д. – порядковый номер множества;

       n =1,2,3… и т.д. – порядковый номер числа принадлежащего множеству;
*     2^m+1 - первая константа множества Коллатца;
*     С_m - вторая константа множества Коллатца.

Где: Y₀∈M_m - начальное число множества M_m.

Формула (18) имеет ограниченное применение, т.к. ей можно воспользоваться только когда известно начальное число Y₀∈M_m. В таблице 2 приведен вариант определения числа  Y_n∈M_m с использованием предыдущего, уже известного, значения C_m-2.Так мы последовательно можем легко составить таблицу формул для всех множеств от M₁ до M_m.

Подводя итог описаниям основных характеристик множеств, отметим следующий факт: первое множество, единственное из всех, следующим ходом увеличивает значение числа, все остальные M_m-множества  его уменьшают.

* ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ЧИСЛА В АЛГОРИТМЕ КОЛЛАТЦА

   Обозначение: W

   Определение: Производительностью числа в алгоритме Коллатца называется количество единиц пройденных нечётным при исполнении алгоритма «3X+1» за один полный шаг. В последовательности Коллатца не существует времени. Единицей отсчёта событий является шаг алгоритма. Значение производительности определяется модулем разности между очередным нечётным и предыдущим.

* РАБОТА ЧИСЛА В АЛГОРИТМЕ КОЛЛАТЦА

   Обозначение: A

   Определение: Работа числа выполненная по алгоритму Коллатца есть количество единиц пройденных нечётным при исполнении алгоритма «3X+1» за несколько последовательных шагов в пределах одного множества, в пределах интервала последовательности, или всей последовательности.

2.2  ОПИСАНИЕ МЕХАНИЗМА ПЕРЕХОДА ЧИСЛА ИЗ ОДНОГО МНОЖЕСТВА В ДРУГОЕ 

Возьмём число 7. В результате исполнения алгоритма (3X+1)/2, число 7 увеличилось примерно в 3/2 раза, переместилось в позицию числа 11. На маленьких числах, таких как 7 и 11, неочевидно, но на больших: значением +1 в формуле алгоритма можно пренебречь, и тогда действительно, в результате действия (3X+1)/2, число увеличивается примерно в 3/2 раза. С другой стороны очередное число 11 стало больше исходного на значение 11-7=4. Числа 7 и 11, отличающиеся на 4, принадлежат одному и тому же множеству M₁. Числа множества M₁ занимают позиции в натуральном ряду, которые продвигают очередное число всегда вперёд, в сторону его увеличения, в бесконечность.
Каковы шансы теперь уже у исходного числа 11 следующим шагом остаться в этом же множестве. Шансы ещё есть. Та же самая формула увеличивает исходное число примерно в те же 3/2 раза (3 · 11+1) / 2 =17, но теперь уже разница между очередным и исходным не 4, а 17-11=6. Потому что, действие умножения мы провели для большего числа, а 11 больше 7. С ещё большими числами будет ещё больше разница. Так число 11 переходит из первого множества в другое, потому, что очередное число 17 принадлежит уже другому множеству, если конкретно, то второму. Но большее число окажется в любом другом, потому что разница будет ещё больше. Очевидных предпосылок остаться в исходном множестве следующим шагом, тем более последовательно несколько раз, у числа 11 нет. Нет таких же предпосылок по тем же причинам и у любого другого числа принадлежащего первому множеству. Нет таких же предпосылок остаться в исходном множестве по тем же причинам и у любого другого числа принадлежащего вообще любому множеству. Механизм перехода из одного множества в  другое является математическим описанием известного закона перехода количественных изменений в качественный.  Число в новом множестве обретает возможность изменяться алгоритмом уже с другим делителем, поэтому переход числа в другое множество всегда является качественным переходом.

Алгоритм «3X+1»  имеет закономерный  механизм перехода из одного множества нечетных в другое. Алгоритму не важно в какую сторону будет изменяться очередное число. Он просто совершает свою работу. Каждая вторая позиция числа в натуральном ряду принадлежит первому множеству. Вероятность попадания очередного числа в первое множество равна 50 на 50. Такая же вероятность попадания очередного числа в любое из множеств M2, M3, M4 … Mₘ, ведь они также занимают каждую вторую позицию. Один очередной шаг, следующий и т.д. В какую бы сторону мы не направились, мы можем оказаться вообще в любом множестве, в любой момент сменить направление. 

Теперь, когда мы знаем, механизм перехода числа из одного множества в другое, каждый шаг алгоритма можно легко просчитать. Значит, абсолютно все последовательности Коллатца закономерны.

Рассмотрим первые 32 числа из множества нечётных Коллатца M1 (Рисунок 8):

Для наглядности, числа первого множества будем различать по цветовым признакам, в зависимости от чётности их порядкового номера, как на Рис 9:



Числа, принадлежащие множествам M₂, M₃, M₄ … M_n обозначим одинаково, в виде (Рис.10): 
 


Вычислим очередное значение каждого числа из M1 (Рис.11). 

После первого хода все числа множества M1, с нечётным номером Y₁, Y₃, Y₅ ... перешли в одно из множеств M₂, M₃, M₄ … M_m, а числа с чётным номером Y₂, Y₄ , Y₆ … остались в M1. Но, каждое второе чётное, т.е. ровно половина от их общего числа, осталось в M1 чётным. Вторая половина чётных в M1 перешла в разряд нечётных. Как видим из Рис.11 - такое поведение чисел M1, в результате действия на них алгоритма Коллатца является закономерным.

Выполним очередной шаг алгоритма.

Очередное число в каждой пятой последовательности из M1 стало меньше исходного. Эти последовательности мы больше рассматривать не будем. Они абсолютно точно устремляются к единице.Число меньше исходного, является числом уже проверенным, и относится к уже известным, ранее пройденным и завершённых единицей маршрутам. Для наглядности изображение такого числа сделаем чуть увеличенным, и будем считать, что последовательности с увеличенным изображением завершены.
Количество чётных последовательностей только с чётными номерами входящих в них чисел, сократилось вдвое: было восемь: Y₄, Y₈, Y₁₂, Y₁₆, Y₂₀, Y₂₄, Y₂₈, Y₃₂, стало четыре: Y₈,  Y₁₆,  Y₂₄,  Y₃₂, 

Выполним очередной шаг алгоритма.

Из оставшихся - третья часть стала меньше исходного. Эти последовательности мы также больше рассматривать не будем. Количество чётных последовательностей только с чётными номерами входящих в них чисел опять сократилось вдвое, было четыре: Y₈,  Y₁₆,  Y₂₄, Y₃₂, стало две:Y₁₆, Y₃₂. 

Мы всегда можем легко определить, является ли очередное число принадлежащим M1 и какую чётность имеет его порядковый номер. Для этого достаточно воспользоваться формулой (15). Прибавим к числу единицу и разделим результат на четыре, если делится без остатка, значит принадлежит. Если после деления на четыре  делится без остатка на два, значит чётное.

Выполним очередной шаг алгоритма.

Количество последовательностей только с чётными номерами входящих в неё чисел опять сократилось вдвое, было две: Y₁₆, Y₃₂, осталась одна : Y₃₂. Следующим шагом исчезнет и эта. Но, далее в натуральном ряду, ещё остаются Y₆₄, Y₁₂₈, … и т.д.
В бесконечном натуральном ряду существует бесконечное количество последовательностей, принадлежащих M₁, состоящих только из чисел с чётными порядковыми номерами отстоящих друг от друга на дистанции 2ⁿ, до тех пор пока очередным n+1- ходом не исчезнут и они. Но, здесь мы сталкиваемся с дилеммой. Дело в том, что существует следующее число с чётным порядковым номером, отстоящим на дистанции 2ⁿ, а затем следующее и т.д. до бесконечности. Подобные дилеммы не имеют одного решения. Разрешением дилеммы может стать формулировка гипотезы: “С какого бы числа мы не начали, двигаясь … и т.д.”. В формулировке гипотезы указывается на какое угодное, но всё же конкретное число, а не абстрактное бесконечное. Последовательность начинается с конкретного числа. А пребывание конкретного, какого угодно большого числа с чётным порядковым номером во множестве M1 ограничено. Можно предположить, что все длинные последовательности начинаются с нечётного числа с чётным порядковым номером в М1. Самая длинная последовательность имеет исходное из М1 с порядковым номером 2ⁿ, при n→∞. 

Проведём дополнительную работу по изучении структуры множества M1.
Символом {Y_n}∈M_m будем обозначать порядковые номера чисел, принадлежащих M1, M2, M3 … M_m, где m=1, 2, 3, … - порядковый номер множества.
Рассмотрим фрагмент произвольной последовательности:

Обратим внимание на одну закономерность, касающуюся первой последовательности. В результате действия алгоритма число принадлежащее M1 увеличивается приблизительно в 1,5 раза, в соответствии с полной формулой алгоритма (20),: 



а порядковый номер очередного числа увеличивается ровно в 1,5 раза (21):



Почему так происходит, становится ясно, после того как применим алгоритм к формуле (15) числа, принадлежащего M1:

Алгоритм, воздействуя на формулу числа M1 изменил значение коэффициента при номере n числа в (22). Было 4n-1 стало 6n-1, а 6/4=1,5.
Увеличение чётного в 1,5 раза, последовательно несколько раз, в конечном итоге приводит к нечётному. Движение чётного к нечётному через умножение на 1,5 равносильно делению чётного пополам, значит движение чётного к нечётному в M1 для любого чётного закономерно. Другой закономерностью множества M1 является неизбежность перехода числа с нечётным порядковым номером следующим ходом в одно из множеств M2, M3, M4 … и т.д. Это видно из Рис. 15. Например, при умножении нечётного номера {405}∈M1 числа 1619 на 1,5 очередное число 2429 должно было получить порядковый номер {607,5}∈M1, но число 607,5 не является натуральным, значит номером чего либо оно не может быть. Оно занимает промежуточное положение между двумя рядом стоящими номерами {607}∈ M1 и {608}∈M1. Так число 2429 оказалось в M3, но уже с натуральным порядковым номером {152}∈M3. Следующим ходом число 2429 вернулось в M1, но уже в другой линии последовательности чётных. Между отдельными последовательностями чётных в M1 не существует возможности перехода из одной в другую не покидая M1. Сценарий движения числа с чётным порядковым номером в M1, всегда один: сначала закономерное движение к нечётному, а затем переход в другое множество. Коэффициент 1,5 является простым и удобным инструментом распознавания группы нечётных в M1, следующих один за другим по алгоритму Коллатца.

Введём новые понятия:

* группа нечётных первого множества с чётным  порядковым номером;

* Лидер группы первого множества нечётных Коллатца;

* Члены группы первого множества нечётных Коллатца;

* Замыкающее группу первого множества нечётных Коллатца;

Группа нечётных M1 - последовательность нечётных M1, в которой порядковый номер очередного больше предыдущего ровно в 1,5. Количество членов в группе нечётных может быть любым, в том числе состоящей из одного, с нечётным порядковым номером. Если группа состоит из нескольких нечётных, то её возглавляет нечётное-лидер с чётным порядковым номером, а замыкает группу  замыкающее с нечётным порядковым номером.

 

2.3 РЯДЫ ГРУПП МНОЖЕСТВА M1 НЕЧЁТНЫХ КОЛЛАТЦА

* Множество одиночных (1)∈M1
* Множество двух (2)∈M1
* Множество трёх (3)∈M1
* и т.д.

 Для того чтобы выявить структуру множества M1, воспользуемся Рисунком 14, предварительно избавившись от информации непосредственно не относящейся к M1 (Рис.16). 

В математике при решении уравнений часто применяют метод приведения подобных. Одним из этапов которого является перестановка слагаемых, таким образом, чтобы подобные слагаемые оказались рядом. Нечто подобное выполним и мы для множества групп принадлежащих M1. Разделим множество групп Рис.16 по признаку количества находящихся в них членов:



Очередное число ряда нечётных одиночных отличается от предыдущего на одно то же значение 8, и оно описывается формулой (23):

где n = 1, 2 , 3 … - порядковый номер, который имеет число из натурального ряда X_n , но теперь уже в ряду нечётных одиночных (1)_n , принадлежащих M1.
Например числом с порядковым номером n=14 из ряда (1) ∈ M1 является: (1)₁₄∈M1 = 8 ·14–5    ⇒    (1)₁₄∈M1 = 107.
Если требуется определить какое положение будет занимать число из натурального ряда X₁₀₇=107 в ряде (1)∈M1: X₁₀₇∈(1) = (107+5)/8 ⇒ X₁₀₇∈(1) = 14

Очередное число-лидер ряда нечётных двух отличается от предыдущего на одно то же значение 16, и оно описывается формулой (24):






Очередное число-лидер ряда нечётных трёх отличается от предыдущего на одно то же значение 32, и оно описывается формулой (25):



И так далее. Каждый следующий ряд, содержащий большее количество членов в группе описывается формулой общего вида (26):



Где N-номер ряда, с количеством членов в группе равным N.

n - порядковый номер числа в ряде N

Таким образом, каждое нечётное, принадлежащее M1  анатомически проявляет себя, как минимум, в трёх измерениях. Каждый закономерный ряд групп нечётных множества М1, при необходимости можно поделить ещё на два закономерных ряда по признаку чётности-нечётности их порядковых номеров. И это будет ещё одно измерение. В каждом из этих измерений оно имеет свой порядковый номер. Совокупность всех признаков числа определяет его положение в структуре множества нечётных  M1.  На Рис.20 в сокращённом виде (без указания порядкового номера “n” числа в ряде групп (N)_n∈M1) представлена анатомия нечётного числа, принадлежащего множеству M1:




2.4  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ 2: не существует последовательностей, уходящих в бесконечность.

Рассмотрим для натурального нечётного, следующему по алгоритму Коллатца, теоретическую возможность существования какого либо закономерного сценария неуклонного продвижения вперёд. Самым очевидным таким сценарием является чередование нечётных принадлежащих множествам M1 и M2. Любые другие чередования с привлечением множеств M3, M4, M5 … M_m возвращают число к исходному и ниже исходного. Из Рис.15 мы знаем, переход из множества M1 в M2 и в любое другое множество всегда осуществляется из позиции чисел с нечётным порядковым номером, т.е. из ряда одиночных групп нечётных (Рис.17).
Из ряда одиночных групп нечётных M1 сделаем первый шаг по алгоритму Коллатца к очередному нечётному (Рис.21):

Каждое число ряда одиночных является исходным для своей отдельной последовательности. После первого шага все числа ряда одиночных с чётным порядковым номером (1)₂, (1)₄, (1)₆ … (1)_n, перешли в M2, а числа с нечётным порядковым номером (1)₃, (1)₅, (1)₇ … (1)_n, перешли в одно из множеств M3, M4, M5 … M_m. Любое из множеств M3, M4, M5 … M_m следующим шагом возвращает число ниже исходного, поэтому сценарии представленные этими линиями последовательности далее не рассматриваем. Но, зафиксируем факт: каждая вторая последовательность, т.е. ровно половина из всего бесконечного ряда одиночных пошла по сценарию уменьшения числа. Сделаем выборку чисел ряда одиночных с чётным порядковым номером (1)₂, (1)₄, (1)₆ … (1)_n. Эта выборка - оставшаяся половина ряда одиночных, а из общего количества всех нечётных множества M1 это 1/4 часть.

Выполним очередной шаг алгоритма для каждой отдельной последовательности, с исходным из ряда одиночных групп нечётных М1 с чётным порядковым номером. 



В итоге получили несколько различающихся сценариев дальнейшего изменения числа по алгоритму Коллатца. Очередным шагом каждое четвёртое число осталось в М2, каждое четвёртое перешло в М1 в один из рядов групп нечётных: одиночных, двух, трёх, четырёх и т.д., каждое четвёртое перешло в одно из множеств M3, M4, M5 … M_m, но, каждая вторая последовательность (1)₂, (1)₆, (1)₁₀, (1)₁₄ … (1)_n, в действительности, опять пошла по сценарию уменьшения числа.

Из Рис.23 выделим последовательности (1)₈, (1)₁₆, (1)₂₄, (1)₃₂ … (1)_n, следующие по сценарию (1)_n∈M1⇒M2⇒((1)_n∈M1⇒M2). Выражение, содержащееся в скобках ((1)_n∈M1⇒M2) есть повторяющийся фрагмент. Для краткости обозначим такой сценарий последовательностей как F_k{(1)_n, M₂)}, где индекс k при F_k показывает порядковый номер очередной выборки такого сценария из ряда одиночных.

Каждое исходное число очередной последовательности в этом сценарии 59, 123, 187, … и т.д., отличается от исходного предыдущей на 64. Таким образом исходные образуют закономерный ряд, описываемый формулой (27):



Выполним два следующих шага



Из 32 представленных последовательностей осталось четыре (1)₆₄, (1)₁₂₈, (1)₁₉₂, (1)₂₅₆ в которых соблюдается чередование (1)_n∈M1 ⇒ M2 ⇒ (1)_n∈M1

Сформируем из них новый бесконечный ряд последовательностей, с исходными из ряда одиночных.

Каждое исходное число очередной последовательности в этом сценарии отличается от исходного предыдущей на 512. Таким образом исходные образуют закономерный ряд, описываемый формулой (28):



Выполним два следующих шага



Из 32 представленных последовательностей опять осталось четыре (1)₅₁₂ , (1)₁₀₂₄, (1)₁₅₃₆, (1)₂₀₄₈ в которых соблюдается чередование чисел ряда одиночных с чётным порядковым номером и чисел из множества М2.

После того, как мы сформируем из них новый бесконечный ряд последовательностей - каждое исходное число очередной последовательности в этом сценарии будет отличаться от исходного предыдущей уже на 4096, поэтому очередной новый ряд будет описываться формулой (29):

Так можно продолжать бесконечно. Для сценария (1)_n∈M1 ⇒ M2 ⇒ (1)_n∈M1 существует бесконечное количество последовательностей, описываемых формулой (30) 



Где k-количество повторений сценария (1)_n∈M1 ⇒ M2 ⇒ (1)_n∈M1, по завершению которого нечётное переходит в другой сценарий. 

Рассмотрим другой сценарий неуклонного продвижения нечётного вперёд, в котором число из  M2 следующим шагом по алгоритму Коллатца оказывается в одном из рядов групп, состоящих из нечётных с чётным порядковым номером, например (2)_n∈M1. Представленный далее Рис.28, в качестве исходного, является копией Рис 23: 



Из Рис.28 выделим последовательности (1)₁₂, (1)₂₈, (1)₄₄ , (1)₆₆  ...   (1)_n, следующие  по одному и тому же сценарию (1)_n∈M1 ⇒ M2 ⇒ ((2)_n∈M1 ⇒ M2).  Содержащееся в скобках ((2)_n∈M1 ⇒ M2) есть повторяющийся фрагмент. Для краткости обозначим такой сценарий последовательностей как F_k{(1)_n, M₂,((2)_n, M₂)}, где индекс k при F_k показывает порядковый номер очередной выборки из ряда двух. 



Каждое исходное число очередной последовательности в этом сценарии 91, 219, 347, 475 … и т.д., отличается от исходного предыдущей на 128. Таким образом исходные образуют закономерный ряд, описываемый формулой (31):



Для того, чтобы увидеть повторения сценария необходимо выполнить уже три очередных шага



Из 32 представленных последовательностей осталось две (1)₁₄₀ , (1)₃₉₆, в которых соблюдается чередование (2)_n∈M1 ⇒ M2. Сформируем из них новый бесконечный ряд последовательностей, с исходными из ряда одиночных (Рис.31).

Каждое исходное число очередной последовательности в этом сценарии 1115, 3163, 5211,7259 … и т.д., отличается от исходного предыдущей на 2048. Таким образом исходные образуют закономерный ряд, описываемый формулой (32):



Выполним три очередных шага (Рис.32)

Из 32 представленных последовательностей осталось опять две (1)₁₄₀, (1)₇₈₂₀, в которых соблюдается чередование (2)_n∈M1 ⇒ M2. Можно из них сформировать новый бесконечный ряд последовательностей, и так продолжать бесконечно. Но, самое главное, что мы должны вынести из этих преобразований: каждая отдельно взятая последовательность, с исходным из ряда одиночных, принадлежащих множеству M1 – конечна, и имеет свой максимум. При этом, максимум в очередной последовательности увеличивается вместе с ростом исходного.

Существует бесконечное количество других сценариев (1)_n∈M1⇒M2⇒((N)_n∈M1⇒M2), или (1)_n∈M1⇒M2⇒((N)_n∈M1⇒M_m ⇒ ...), т.е., любых других сценариев, чередование которых обеспечивает продвижение вперёд. Проделав подобные преобразования с ними, мы убедимся, что каждая отдельно взятая последовательность, состоящая из чередования этих сценариев также конечна. Причина одна и та же – переход количественных изменений в качественные, которые происходят с очередным числом в результате действия алгоритма.

Количественные изменения характеризуются тем, что число изменяется одинаково пропорционально в пределах одного и того же множества, а качественные переходом в другое множество, в котором коэффициент пропорциональности становится уже качественно другим.

В результате действия закона перехода количественных изменений в качественные, каждый очередной шаг алгоритма делит общее количество сценариев ВПЕРЁД пополам, при этом одна половина последовательностей продолжает следовать сценарию ВПЕРЁД, и в итоге приходит к своему максимуму, а другая половина следует сценарию НАЗАД.

Аналогично, можно утверждать, что каждый очередной шаг алгоритма делит общее количество сценариев НАЗАД также пополам, при этом ровно половина из них встанет опять на путь сценария продвижения ВПЕРЁД, но уже с меньших стартовых позиций. Из этого следует два вывода:

Вывод 1: не существует количественного доминирования одного сценария над другим.

Вывод 2: сценарий продвижения ВПЕРЁД с меньших стартовых позиций в очередных этапах указывает на стремление алгоритма, перемещаться в область меньших значений, т.е. в сторону единицы.

Из всех натуральных мы сделали выборку таких, которые обеспечивают продвижение вперёд. И получили результат: каждая отдельно взятая последовательность, состоящая из чередования абсолютно любых сценариев, чередование которых обеспечивает продвижение вперёд – конечна и имеет свой максимум. У любой известной последовательности, фрагмента последовательности с известным исходным и известным максимумом найдётся впереди бесконечное количество таких же фрагментов, но уже с другим максимумом, и если каждая из них – конечна, значит, из всех натуральных, с какого бы числа мы не начали, двигаясь, в случае нечётного по формуле 3X+1, а в случае чётного следуя формуле X/2, не существует таких, которые бы уходили в бесконечность. Утверждение 2 ДОКАЗАНО.

Проведём структурный анализ произвольной последовательности по алгоритму Коллатца, и попробуем выяснить, как долго будет выполняться алгоритм, и что определяет его длительность.

ЧАСТЬ 3.  Структурный анализ произвольной последовательности 77031 по алгоритму Коллатца

Рассмотрим произвольную последовательность Коллатца с исходным X₀=77 031:



Определим, к какому множеству Коллатца принадлежит каждое число последовательности 




Определим положение позиций, которые исходное число проходит при выполнении алгоритма Коллатца в  рядах групп, принадлежащих M1. Используем следующие правила: Для определения Y_n используем формулу (15); При определении порядкового номера ряда групп, различающихся по количеству членов группы, находим лидера. Маршрут исходного числа иногда лидера обходит стороной, поэтому, для целостности картины, необходимо его добавить; Лидера всегда находим через коэффициент равный 1,5. Номера Y_n всех членов группы  делятся без остатка на 1,5, а число-лидер не делится; Далее, по номеру ряда можно определить порядковый номер числа в этом ряде по соответствующим формулам (23), (24) ... (26). Замыкающее делится без остатка на 1,5, но при умножении становится дробным.





Упростим выражение последовательности Коллатца с исходным натуральным 77031 следующим образом:




Исходное, в результате выполнения алгоритма даже в пределах множества M1, проходит путь через  разные ряды этого множества.  Возвращаясь очередным ходом в M1 оно может оказаться, в равной степени, как в старшем по статусу ряде, так и в младшем. Но, нас интересует возвращение числа в один и тот же ряд, и траектория движения числа в пределах этого ряда. Разделим один общий маршрут исходного X_n= 77031 на отдельные маршруты в пределах каждого закономерного ряда, и приведём подобные:

Структурный анализ последовательности показывает, что движение числа по алгоритму Коллатца не является хаотичным, как это кажется на первый взгляд, при первом знакомстве с алгоритмом, и завершение алгоритма в единице также не случайно. Число продвигается не только вперёд и назад, и переходит из одного множества в другое, но ещё переходит из одного параллельного ряда групп в другой параллельный. 





ПРИМЕЧАНИЕ:  Структурный анализ последовательности ссодержит отдельные признаки двух параллельных сценариев, ВПЕРЁД - НАЗАД, но их недостаточно для демонстрации одной общей закономерности стремления к единице. Последовательность с исходным 77031, к сожалению, оказалась для этой цели короткой. Поэтому готовится материал для анализа на основе другой последовательности.

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ ...

ЧАСТЬ 4: Выводы, заключение, результаты

ВЫВОДЫ:

Рецензии:

29.03.2025, 23:37 Кузнецов Вячеслав Алексеевич
Рецензия: Рецензия на статью "Доказательство гипотезы Коллатца" Трушникова Владимира Владимировича Статья Трушникова Владимира Владимировича представляет собой попытку доказать гипотезу Коллатца с использованием свойств умножения и деления десятичных дробей. Хотя работа имеет свои положительные стороны, есть несколько аспектов, которые требуют внимания и доработки. Актуальность и новизна: Автор правильно отмечает актуальность гипотезы Коллатца как одной из нерешённых проблем математики. Однако научная новизна представленного доказательства не совсем ясна. Простота доказательства — это, безусловно, важная цель, но требуется более детальное обоснование, почему именно предложенный подход является новым и отличным от существующих попыток. Структура и ясность изложения: Введение в тему достаточно информативно, однако само доказательство требует большей структурированности. Ясность изложения может быть улучшена, если автор будет использовать больше подзаголовков и четко выделит ключевые моменты. Например, лучше разделить доказательство на логические части, чтобы читатели могли легче следить за ходом мысли. Формулировки и математическая строгость: В тексте присутствует множество формул, однако их объяснение иногда не хватает. Важно не только представить формулы, но и пояснить, как они соотносятся друг с другом и с общей идеей доказательства. Также стоит обратить внимание на точность формулировок, чтобы избежать недопонимания. Примеры и иллюстрации: Включение примеров, таких как маршрут числа 47, является хорошей идеей, но их описание можно сделать более наглядным. Возможно, стоит добавить графические иллюстрации или таблицы, чтобы визуально отобразить процесс применения алгоритма. Заключение и выводы: Заключение статьи формулируется достаточно резко, без должного обоснования всех шагов, приведших к выводу о доказанности гипотезы. Рекомендуется более подробно изложить, почему предложенный алгоритм действительно приводит к единице для всех натуральных чисел. В целом, работа содержит интересные идеи, но требует значительных доработок, чтобы повысить ясность, точность и научную ценность. Рекомендую автору пересмотреть структуру статьи и уделить больше внимания объяснению ключевых моментов, что сделает её более доступной и понятной для читателей.