Доказательство гипотезы Коллатца

УДК 511.12     УДК 511.13  

Актуальность: Гипотеза находится в списке нерешённых проблем математики.

Цель: Доказать гипотезу простыми средствами.

Научная новизна: 
Использование свойств умножения и деления десятичных дробей в доказательстве алгоритма с натуральными числами;
Введены новые понятия: множество нечётных Коллатца, производительность, работа числа в гипотезе Коллатца, ряды групп множества M1 нечётных Коллатца, и др.;
Претендует на новизну утверждение: в алгоритме Коллатца не существует последовательностей закольцованных;
Раскрыт механизм действия алгоритма, в результате которого число изменяет направление своего движения;
Найдено решение алгоритма Коллатца в виде общей формулы, которое сворачивает все последовательности в единицу.

ВВЕДЕНИЕ: Гипотеза Коллатца, известная также как «3X+1»-гипотеза или как сиракузская последовательность, относится к алгоритмам управления натуральными числами, утверждает, что с какого бы числа мы не начали, двигаясь, в случае нечётного по формуле 3X+1, а в случае чётного следуя формуле X/2, мы в итоге придём к единице.
Какой интерес был у Коллатца заниматься вообще алгоритмами, подобными  «3X+1». Вероятно были и другие, но именно алгоритм «3X+1» стал проблемой. При этом, с начальными числами из натурального ряда такими, как 1, 2, 3 … 1 000 ... 1 000 000 …  и т.д., очевидно проблем не было. Они были проверены простым перебором. Нет сомнений в том, что Коллатц исследуя простые алгоритмы, искал ответы на волнующие его вопросы далеко за пределами чистой математики. Возможно, даже не так, Коллатц исследуя простые алгоритмы, за пределами обычной, искал чистую математику, в которой символические действия с числами могут быть тождественны взаимоотношениям Сознания и Материии, если алгоритм уподобить сознательному действию, а натуральное число предмету, явлению физического мира. 
Удивительная по своей простоте формулировки гипотеза привлекает к себе внимание. Существует множество попыток её доказательства от простых до невероятно сложных, но пока не признанных математическим сообществом. В 2019 появилось сообщение, отмеченное в [1], что Теренс Тао с помощью теории вероятностей доказал, что почти все орбиты Коллатца ограничены любой функцией, уходящей в бесконечность. В рецензии на эту работу, журнал Quanta Magazine написал, что «это один из самых значительных результатов по гипотезе Коллатца, достигнутых за последние десятилетия». Но, автору представленной здесь статьи хотелось бы отметить ещё одну работу, а именно: [2], по теме, как важный вклад в поиске пути решения гипотезы. Видеоролик, длительностью около 20 минут, на первый взгляд является развлекательным научно-популярным контентом канала Vert Dider, размещённый на площадке Yutube, но представленная в нём информация, да ещё в великолепном изложении ведущего Дерека Мюллера, подтолкнула к ответу, на один из важных вопросов в доказательстве гипотезы, о чём, в том числе, будет далее. С большим Уважением и огромной благодарностью к несравненному Дереку Мюллеру. 

Во всех известных, но непризнанных доказательствах гипотезы Коллатца, остаются нерешёнными два принципиальных вопроса:

* Не доказано и не опровергнуто существование последовательностей, замкнутых в кольцо.
* Не доказано и не опровергнуто существование последовательностей, уходящих в бесконечность;

Из этих нерешённых вопросов выделим два утверждения, те, которые подтверждают гипотезу. Если они будут доказаны: доказывать какое-либо другое уже не имеет смысла. Выводы построенные на других утверждениях всегда будут вызывать сомнения, если не будут доказаны эти.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1: в алгоритме Коллатца не существует последовательностей закольцованных.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2: не существует последовательностей, уходящих в бесконечность.

ЧАСТЬ1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ 1:

 в алгоритме Коллатца не существует последовательностей закольцованных.

1.1 УСПЕШНЫЕ РЕШЕНИЯ АЛГОРИТМА КОЛЛАТЦА

В алгоритме Коллатца конечной целью является единица, но перед тем как к ней прийти мы обязательно выйдем на одно из значений из ряда 2^n. Для ряда 2^n выполним действия обратные алгоритму «3X+1», тем самым выясним, при достижении каких значений 2^n алгоритм сворачивается в 1. Оказывается не при всех, а только с чётным показателем степени. Результаты сведены в таблицу обратных преобразований ряда 2^(2n) по алгоритму Коллатца (Таблица 1)

      И так далее, до бесконечности. Куда бы мы не двигались, вперёд-назад, мы всегда будем находиться между двух, тех или иных, успешных решений алгоритма. И хотя нам, для доказательства гипотезы, уже достаточно утверждения, что количество успешных решений бесконечное множество, мы всегда можем его усилить. Например, каждое значение натурального ряда, определяемое (1) можно дополнительно умножить на 2^n. Например, число 5 умножить на 2^n, число 7 умножить на 2^n. Каждое число, из уже известных, ранее пройденных и завершённых единицей маршрутов, умножить на 2^n. Тогда мы должны удивляться уже не тому, что каждое число по алгоритму Коллатца завершается единицей, а почему вообще существуют числа с большими маршрутами. Оказавшись в значении успешного решения, число должно немедленно свернуться в единицу. Ответ находим простой. Во первых: множество чисел сворачивается действительно быстро, во вторых: каждый длинный маршрут составлен из уже известных, ранее пройденных и завершённых единицей маршрутов.
     Предположим, между успешными решениями всё же существуют значения, не относящиеся к успешным. Сколько их. Определённо, должно быть ограниченное количество, значит мы простым перебором неизбежно их преодолеем. Каждое новое число на пути алгоритма есть очередной шаг к цели. Успешное решение алгоритма - это просто один из очередных шагов. Как только мы окажемся на одном из ранее пройденных и завершённых единицей маршрутов, можно считать завершённым и текущий. Формула (3X+1)/2 производит движение вперёд, в сторону увеличения текущего числа, а формула (3X+1)/2n, где n˃1, назад, в сторону его уменьшения. Действие +1 в алгоритме «3X+1» гарантирует его непрерывность, способствует непрерывности процесса движения числа к успешному решению. Для того, чтобы этот процесс не прерывался необходимо чтобы каждое очередное число последовательности отличалось от любого из предыдущих. Иначе будет образовано так называемое кольцо – бесконечное чередование одного и того же фрагмента последовательности.

      Мы должны доказать, что алгоритм «3X+1» исключает повторения, каждое очередное число последовательности отличается от любого из предыдущих.

1.2 ПРИМЕЧАНИЕ К УТВЕРЖДЕНИЮ 1:

К слову сказать, так называемый цикл 4-2-1, часто упоминаемый в связи с гипотезой Коллатца, по определению не является кольцом. Алгоритм «3X+1», или «3n+1» – гипотеза: есть сокращённое название гипотезы Коллатца, сокращённая запись алгоритма, а полный алгоритм перехода из одного состояния в другое, от одного нечётного к другому нечётному, включает ещё и деление на два, сформулирован в самом определении: с какого бы числа мы не начали, двигаясь, в случае нечётного по формуле 3X+1, а в случае чётного следуя формуле X/2, мы в итоге придём к единице. Является ли такая формулировка гипотезы точной, максимально приближенной к формулировке, какую изложил в 1932 году сам Лотар Коллатц, уточнял ли он её позднее – это нам достоверно не известно. Утверждается, что эта простая формулировка понятна практически всем здравомыслящим людям. После того, как мы пришли к единице алгоритм завершается, точка. Кольцом может называться последовательность, состоящая из нескольких нечётных. Фраза “С какого бы числа мы не начали…” - между строк содержит смысл, в котором имеется в виду, что несомненно, это число должно быть натуральное и оно должно быть больше единицы и больше известного проверенного. С этого - только начинается ГИПОТЕЗА.
Но, мы работаем с разными натуральными числами, маленькими, большими. Если гипотеза верна, она верна для любого натурального.

1.3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ 1

Пусть X₀ = 71 число произвольной последовательности. Предположим оно является исходным числом закольцованного фрагмента. Отследим маршрут исходного числа этого предположительно закольцованного фрагмента.

Шаг 1 (вперёд): 



С другой стороны переход от X₀=71 к числу X₁=107 можно выразить через коэффициент K₁
 


Шаг 2 (вперёд):



Аналогично с шагом 1, переход от X₁=107 к X₂=161 можно выразить через коэффициент K₂

Шаг 3 (назад):                                   



Переход от X₂ =161 к X₃=121 можно выразить через коэффициент K₃ 

Переход от X₃ =121 к X₄=91 можно выразить через коэффициент K₄



В приведённых примерах, а также в любом шаге любой последовательности мы всегда имеем дробный переходный коэффициент от одного нечётного к другому нечётному. При этом, в шаге (вперёд), когда делитель равен 2 переходный коэффициент всегда больше единицы. Представленный в десятичном виде он имеет более одного количество знаков после запятой.  В шаге (назад), когда делитель равен 2ⁿ, где n>1 переходный коэффициент всегда меньше единицы. Представленный в десятичном виде он также имеет более одного количество знаков после запятой. 

Если представленный на рис. 1 фрагмент последовательности является закольцованным, значит одно из его очередных чисел равно исходному. Переход от исходного к этому очередному можно выразить через произведение промежуточных коэффициентов.

Для того, чтобы  соблюдалось условие закольцованности X_n = Х₀, необходимо, чтобы коэффициент K был равен единице, 

Произведение всех промежуточных коэффициентов в любом их сочетании может принимать только два значения: или больше единицы, или меньше единицы, и никогда равным ей. Потому что в этом произведении абсолютно все промежуточные коэффициенты являются нечётными десятичными дробями. При умножении двух нечётных дробных чисел, представленных в десятичном виде, количество знаков после запятой в произведении равно сумме знаков после запятой, которые имели множители. Это есть одно из известных свойств умножения десятичных дробей. Результатом произведения всех промежуточных коэффициентов в любом их сочетании всегда является десятичная дробь с количеством знаков после запятой больше одного, т.е. число, отличающееся от единицы. Значит очередное никогда не станет равным ни одному из предыдущих. Что и требовалось доказать.

Вывод: C какого бы числа мы не начали, двигаясь, в случае нечётного по формуле 3X+1, а в случае чётного следуя формуле X/2, вперёд-назад, увеличиваясь или уменьшаясь, в процессе своего движения алгоритм исключает повторения. Применяя алгоритм к единице можно убедиться, что единица остаётся на своём месте. Единица не передвигается ни вперёд, ни назад, не увеличивается и не уменьшается. Работа, совершённая алгоритмом по отношению к единице равна нулю.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1, что в алгоритме Коллатца не существует последовательностей закольцованных - ДОКАЗАНО.

ЧАСТЬ 2 


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ 2:

Представим путь нечётного числа к следующему нечётному. Умножаем на 3, прибавляем 1: получаем чётное (Рис.3):



В половине случаев деление на 2 нас тут же вернёт к нечётному (Рис.4):



Но каждое 4-е число, делить придётся дважды т.е. на 4. 

Каждое 8-е число, делить придётся  на 8, чтобы получить следующее:  



Каждое 16-е  на 16, и т.д



Взяв среднее геометрическое:

мы увидим, что в среднем, чтобы добраться от одного нечётного числа к другому, нужно умножить его примерно на 3/4, что меньше единицы. При больших значениях нечётного единицей в алгоритме можно пренебречь. Выходит, чисто статистически, последовательности «3X+1» уменьшаются чаще, чем растут. Ведущий видеоролика [2] в своих рассуждениях использовал идею такого наглядного представления структуры натурального ряда для вывода статистической формулы (15), а получив её, переключился развивать мысль в другом направлении.

Нам потребуется выполнить ещё один маленький шаг, и мы сможем увидеть механизм действия алгоритма, в результате которого число изменяет направление своего движения, будет понятно, почему следуя одному и тому же алгоритму, с одним и тем же делителем в знаменателе формулы алгоритма, число может “неожиданно” изменить направление своего движения.

Введем новые понятия:
 
* Множество нечётных Коллатца;
* Производительность числа в алгоритме Коллатца;
* Работа числа выполненная по алгоритму Коллатца.

* МНОЖЕСТВО НЕЧЁТНЫХ КОЛЛАТЦА

Обозначение: M_m

Определение: Назовём ряд нечётных {3, 7, 11, 15 …} - первым множеством Коллатца, далее по тексту просто первым множеством или М₁. Первым оно называется по признаку, того, что в результате действия алгоритма «3X+1», числа этого ряда становятся сначала четными, а затем после деления на два сразу нечётными. В результате выполнен только один полный шаг алгоритма. Позиции нечётного числа в М₁ продвигают очередное всегда вперёд, в сторону его увеличения, в бесконечность. Каждое очередное число 1-го множества отличается от предыдущего на 4 и описывается формулой: 



Где: n =1,2,3… и т.д. – порядковый номер числа принадлежащего М₁;

Назовём ряд нечётных {1, 9, 17, 25 …} - вторым множеством Коллатца, обозначим его М₂ . Вторым оно называется по признаку, того, что чётные полученные в результате действия алгоритма «3X+1» приходится делить 2 раза на 2, чтобы получить очередное нечётное. Позиции нечётного числа в М₂ продвигают число в сторону его уменьшения. Каждое очередное число 2-го множества отличается от предыдущего уже на 8 и описывается формулой:

 Где n =1,2,3… и т.д. – порядковый номер числа принадлежащего М₂.

Назовём ряд нечётных {13, 29, 45, 61 …} - третьим множеством Коллатца. По аналогии с первым и вторым множеством, обозначим его M₃. Каждое очередное число 3-го множества отличается от предыдущего на 16. Позиции нечётного числа в М₃ продвигают число также в сторону его уменьшения.  Каждое очередное число 3-го множества отличается от предыдущего на 16 и описывается формулой:



где n =1,2,3… и т.д. – порядковый номер числа принадлежащего М₃.

И так далее. У каждого множества своя формула числа, которая в общем виде:



Где: m =1,2,3… и т.д. – порядковый номер множества;

       n =1,2,3… и т.д. – порядковый номер числа принадлежащего множеству;
*     2^m+1 - первая константа множества Коллатца;
*     С_m - вторая константа множества Коллатца.

Где: Y₀∈M_m - начальное число множества M_m.

Формула (19) имеет ограниченное применение, т.к. ей можно воспользоваться только когда известно начальное число Y_n∈M_m. В таблице 2 приведен вариант определения числа  Y_n∈M_m с использованием предыдущего, уже известного, значения C_m-2.Так мы последовательно можем легко составить таблицу формул для всех множеств от M₁ до M_m.

Подводя итог описаниям основных характеристик множеств, отметим следующий факт: первое множество, единственное из всех, увеличивает значение числа, все остальные N-множества  его уменьшают.

* ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ЧИСЛА В АЛГОРИТМЕ КОЛЛАТЦА

   Обозначение: W

   Определение: Производительностью числа в алгоритме Коллатца называется количество единиц пройденных нечётным при исполнении алгоритма «3X+1» за один полный шаг. В последовательности Коллатца не существует времени. Единицей отсчёта событий является шаг алгоритма. Значение производительности определяется модулем разности между очередным нечётным и предыдущим.

* РАБОТА ЧИСЛА В АЛГОРИТМЕ КОЛЛАТЦА

   Обозначение: A

   Определение: Работа числа выполненная по алгоритму Коллатца есть количество единиц пройденных нечётным при исполнении алгоритма «3X+1» за несколько последовательных шагов в пределах одного множества, в пределах интервала последовательности, или всей последовательности.

2.2  ОПИСАНИЕ МЕХАНИЗМА ПЕРЕХОДА ЧИСЛА ИЗ ОДНОГО МНОЖЕСТВА В ДРУГОЕ 

Возьмём число 7. В результате исполнения алгоритма (3X+1)/2, число 7 увеличилось примерно в 3/2 раза, переместилось в позицию числа 11. На маленьких числах, таких как 7 и 11, неочевидно, но на больших: значением +1 в формуле алгоритма можно пренебречь, и тогда действительно, в результате действия (3X+1)/2, число увеличивается примерно в 3/2 раза. С другой стороны очередное число 11 стало больше исходного на значение 11-7=4. Числа 7 и 11, отличающиеся на 4, принадлежат одному и тому же множеству M₁. Числа множества M₁ занимают позиции в натуральном ряду, которые продвигают очередное число всегда вперёд, в сторону его увеличения, в бесконечность.
Каковы шансы теперь уже у исходного числа 11 следующим шагом остаться в этом же множестве. Шансы ещё есть. Та же самая формула увеличивает исходное число примерно в те же 3/2 раза (3 · 11+1) / 2 =17, но теперь уже разница между очередным и исходным не 4, а 17-11=6. Потому что, действие умножения мы провели для большего числа, а 11 больше 7. С ещё большими числами будет ещё больше разница. Так число 11 переходит из первого множества в другое, потому, что очередное число 17 принадлежит уже другому множеству, если конкретно, то второму. Но большее число окажется в любом другом, потому что разница будет ещё больше. Очевидных предпосылок остаться в исходном множестве следующим шагом, тем более последовательно несколько раз, у числа 11 нет. Нет таких же предпосылок по тем же причинам и у любого другого числа принадлежащего первому множеству. Нет таких же предпосылок остаться в исходном множестве по тем же причинам и у любого другого числа принадлежащего вообще любому множеству. Механизм перехода из одного множества в  другое является математическим описанием известного закона перехода количественных изменений в качественный.  Число в новом множестве обретает возможность изменяться алгоритмом уже с другим делителем, поэтому переход числа в другое множество всегда является качественным переходом.

Алгоритм «3X+1»  имеет закономерный  механизм перехода из одного множества нечетных в другое. Алгоритму не важно в какую сторону будет изменяться очередное число. Он просто совершает свою работу. Каждая вторая позиция числа в натуральном ряду принадлежит первому множеству. Вероятность попадания очередного числа в первое множество равна 50 на 50. Такая же вероятность попадания очередного числа в любое из множеств M2, M3, M4 … Mₘ, ведь они также занимают каждую вторую позицию. Один очередной шаг, следующий и т.д. В какую бы сторону мы не направились, мы можем оказаться вообще в любом множестве, в любой момент сменить направление. 

Теперь, когда мы знаем, механизм перехода числа из одного множества в другое, каждый шаг алгоритма можно легко просчитать. Значит, абсолютно все последовательности Коллатца закономерны.

Рассмотрим первые 32 числа из множества нечётных Коллатца M1 (Рисунок 8):

Для наглядности, числа первого множества будем различать по цветовым признакам, в зависимости от чётности их порядкового номера, как на Рис 9:



Числа, принадлежащие множествам M₂, M₃, M₄ … M_n обозначим одинаково, в виде (Рис.10): 
 


Вычислим очередное значение каждого числа из M₁ (Рис.11). 

После первого хода все числа множества M₁, с нечётным номером Y₁, Y₃, Y₅ ... перешли в одно из множеств M₂, M₃, M₄ … M_n, а числа с чётным номером Y₂, Y₄ , Y₆ … остались в M₁. Но, каждое второе чётное, т.е. ровно половина от их общего числа, осталось в M₁ чётным. Вторая половина чётных в M₁ перешла в разряд нечётных. Как видим из Рис.11 - такое поведение чисел M₁, в результате действия на них алгоритма Коллатца является закономерным.

Выполним очередной шаг алгоритма.

Очередное число в каждой пятой последовательности из M₁ стало меньше исходного. Эти последовательности мы больше рассматривать не будем. Они абсолютно точно устремляются к единице.Число меньше исходного, является числом уже проверенным, и относится к уже известным, ранее пройденным и завершённых единицей маршрутам. Количество чётных последовательностей только с чётными номерами входящих в них чисел, сократилось вдвое: было восемь: Y₄, Y₈, Y₁₂, Y₁₆, Y₂₀, Y₂₄, Y₂₈, Y₃₂, стало четыре: Y₈,  Y₁₆,  Y₂₄,  Y₃₂, 

Выполним очередной шаг алгоритма.

Из оставшихся - третья часть стала меньше исходного. Эти последовательности мы также больше рассматривать не будем. Количество чётных последовательностей только с чётными номерами входящих в них чисел опять сократилось вдвое, было четыре: Y₈,  Y₁₆,  Y₂₄, Y₃₂, стало две:Y₁₆, Y₃₂. 

Мы всегда можем легко определить, является ли очередное число принадлежащим M₁ и какую чётность имеет его порядковый номер. Для этого достаточно воспользоваться формулой (16). Прибавим к числу единицу и разделим результат на четыре, если делится без остатка, значит принадлежит. Если после деления на четыре  делится без остатка на два, значит чётное.

Выполним очередной шаг алгоритма.

Количество последовательностей только с чётными номерами входящих в неё чисел опять сократилось вдвое, было две: Y₁₆, Y₃₂, осталась одна : Y₃₂. Следующим шагом исчезнет и эта. Но, далее в натуральном ряду, ещё остаются Y₆₄, Y₁₂₈, … и т.д.
В бесконечном натуральном ряду существует бесконечное количество последовательностей, принадлежащих M1, состоящих только из чисел с чётными порядковыми номерами отстоящих друг от друга на дистанции 2ⁿ, до тех пор пока очередным n+1- ходом не исчезнут и они. Но здесь мы сталкиваемся с дилеммой. Дело в том, что существует следующее число с чётным порядковым номером, отстоящим на дистанции 2ⁿ, а затем следующее и т.д. до бесконечности. Какую точку зрения принять в этой дилемме в качестве истинной становится проблемой. Разрешением дилеммы может стать формулировка гипотезы: “С какого бы числа мы не начали, двигаясь … и т.д.”. В формулировке гипотезы указывается на какое угодное, но всё же конкретное число, а не абстрактное бесконечное. Последовательность начинается с конкретного числа.  А пребывание конкретного, какого угодно большого числа с чётным порядковым номером во множестве M1 - ограничено. При этом, отдаем себе отчёт: существует и другая точка зрения, основанная на существовании бесконечного количества чисел с чётными порядковыми номерами, отстоящими на дистанции 2ⁿ. Подобные дилеммы не имеют одного решения. Поэтому мы вынуждены принять ту аргументированную точку зрения, которая ближе соответствует формулировке гипотезы, тем более, что гипотеза предполагает существование бесконечного количества любых натуральных.

Подведём итог: среди множества чисел, принадлежащих M1 мы обнаружили числа с чётными порядковыми номерами, с уникальной возможностью увеличиваясь по алгоритму продолжать оставаться в M1, но, тем не менее, в пределах формулировки гипотезы, получили очередное доказательство ограниченности пребывания их там.

Мы убедились в том, что у числа нет возможности, попав однажды в первое множество пребывать там неограниченно долго. Тем не менее остаётся теоретическая возможность чередования множеств M1 и M2 , периодически покидая одно, снова возвращаться и двигаться далее вперёд. Закономерный переход из одного множества в другое этому не противоречит. Чередование множеств M1 и M2 обеспечивает числу  неуклонное продвижение вперёд. Какова вероятность бесконечного чередование множеств M1 и M2. Проблема такого сценария для числа устремлённого в бесконечность заключается в существовании  закономерной возможности проявиться  всё тому же закону перехода количественных изменений в качественные, в любой момент  перейти в другое множество, и таким образом прервать бесконечный процесс такого чередования, как впрочем любого другого. 

Рассмотрим сценарий возвращений числа в M1 из одного из множеств M2, M3, M4 … M_m. Какова его дальнейшая судьба - продолжает оно движение вперёд или возвращается ниже исходного. Сможем ответить на этот вопрос после того, когда проведём дополнительную работу по изучении структуры множества M1.
Символом {Y_n}∈M_m будем обозначать порядковые номера чисел, принадлежащих M1, M2, M3 … M_m, где m=1, 2, 3, … - порядковый номер множества.
Рассмотрим фрагмент произвольной последовательности:

Обратим внимание на одну закономерность, касающуюся первой последовательности. В результате действия алгоритма число принадлежащее M1 увеличивается приблизительно в 1,5 раза, в соответствии с полной формулой алгоритма, 



а порядковый номер очередного числа увеличивается ровно в 1,5 раза.



Почему так происходит, становится ясно, после того как применим алгоритм к формуле числа, принадлежащего M1, т.е к формуле (16):

Алгоритм, воздействуя на формулу числа M1 изменил значение коэффициента при номере n числа. Было 4n-1 стало 6n-1, а 6/4=1,5.
Увеличение чётного в 1,5 раза, последовательно несколько раз, в конечном итоге приводит к нечётному. Движение чётного к нечётному через умножение на 1,5 равносильно делению чётного пополам, значит движение чётного к нечётному в M1 для любого чётного закономерно. Другой закономерностью множества M1 является неизбежность перехода числа с нечётным порядковым номером следующим ходом в одно из множеств M2, M3, M4 … и т.д. Это видно из Рис. 15. Например, при умножении нечётного номера {405}∈M₁ числа 1619 на 1,5 очередное число 2429 должно было получить порядковый номер {607,5}∈M₁, но число 607,5 не является натуральным, значит номером чего либо оно не может быть. Оно занимает промежуточное положение между двумя рядом стоящими номерами {607}∈ M₁ и {608}∈M₁. Так число 2429 оказалось в M3, но уже с натуральным порядковым номером {152}∈M₃. Следующим ходом число 2429 вернулось в M1, но уже в другой линии последовательности чётных. Между отдельными последовательностями чётных в M1 не существует возможности перехода из одной в другую не покидая M1. Сценарий движения числа с чётным порядковым номером в M1, всегда один: сначала закономерное движение к нечётному, а затем переход в другое множество.

Введём новые понятия:

* группа нечётных первого множества с чётным  порядковым номером;

* Лидер группы первого множества нечётных Коллатца;

* Члены группы первого множества нечётных Коллатца;

* Замыкающее группу первого множества нечётных Коллатца;

Группа нечётных M1 - последовательность нечётных M1, в которой порядковый номер очередного больше предыдущего ровно в 1,5. Количество членов в группе нечётных может быть любым, в том числе состоящей из одного, с нечётным порядковым номером. Если группа состоит из нескольких нечётных, то её возглавляет нечётное-лидер с чётным порядковым номером, а замыкает группу  замыкающее с нечётным порядковым номером.

 

2.3 РЯДЫ ГРУПП МНОЖЕСТВА M1 НЕЧЁТНЫХ КОЛЛАТЦА

* Множество одиночных (1)∈M₁
* Множество двух (2)∈M₁
* Множество трёх (3)∈M₁
* и т.д.

 Для того чтобы выявить структуру множества M1, воспользуемся Рисунком 14, предварительно избавившись от информации непосредственно не относящейся к M1 (Рис.16). 

В математике при решении уравнений часто применяют метод приведения подобных. Одним из этапов которого является перестановка слагаемых, таким образом, чтобы подобные слагаемые оказались рядом. Нечто подобное выполним и мы для множества групп принадлежащих M1. Разделим множество групп Рис.16 по признаку количества находящихся в них членов:



Очередное число ряда нечётных одиночных отличается от предыдущего на одно то же значение 8, и оно описывается формулой:

где n = 1, 2 , 3 … - порядковый номер, который имеет число из натурального ряда X_n , но теперь уже в ряду нечётных одиночных (1)_n , принадлежащих M1.
Например числом с порядковым номером n=14 из ряда (1) ∈ M1 является: (1)₁₄∈M1 = 8 ·14–5    ⇒    (1)₁₄∈M1 = 107.
Если требуется определить какое положение будет занимать число из натурального ряда X₁₀₇=107 в ряде (1)∈M₁: X₁₀₇∈(1) = (107+5)/8 ⇒ X₁₀₇∈(1) = 14

Очередное число-лидер ряда нечётных двух отличается от предыдущего на одно то же значение 16, и оно описывается формулой:






Очередное число-лидер ряда нечётных трёх отличается от предыдущего на одно то же значение 32, и оно описывается формулой:



И так далее. Каждый следующий ряд, содержащий большее количество членов в группе описывается формулой общего вида:



Где N-номер ряда, с количеством членов в группе равным N.

n - порядковый номер числа в ряде N

Таким образом, каждое нечётное, принадлежащее M1  анатомически проявляет себя, как минимум, в трёх измерениях. В каждом из этих измерений оно имеет свой порядковый номер. Совокупность всех признаков числа определяет его положение в структуре множества нечётных  M1.  На Рис.20 представлена анатомия нечётного числа, принадлежащего множеству M1:




2.4  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ 2, что не существует последовательностей, уходящих в бесконечность.

Рассмотрим произвольную последовательность Коллатца с исходным X₀=77 031:




Определим положение промежуточных позиций, которые исходное число проходит при выполнении алгоритма Коллатца в  рядах групп, принадлежащих M1.  Для определения Y_n Используем формулу (16). При определении порядкового номера ряда групп по количеству членов группы, учитываем лидера: дело в том, что маршрут исходного числа иногда его обходит стороной. Лидера всегда находим через коэффициент равный 1,5. Номера Y_n всех членов группы  делятся без остатка на 1,5, а число-лидер не делится. Далее, по номеру ряда можно определить порядковый номер числа в этом ряде по соответствующим формулам (24), (25) ... (27), замыкающее делится без остатка на 1,5, но, при умножении становится дробным:





Упростим выражение последовательности Коллатца с исходным натуральным 77031 следующим образом:




Исходное, в результате выполнения алгоритма даже в пределах множества M1, проходит путь через  разные ряды этого множества.  Возвращаясь очередным ходом в M1 оно может оказаться, в равной степени, как в старшем по статусу ряде, так и в младшем. Но, нас интересует возвращение числа в один и тот же ряд, и траектория движения числа в пределах этого ряда. Разделим один общий маршрут исходного X_n= 77031 на отдельные маршруты в пределах каждого закономерного ряда, и приведём подобные:

Число продвигается не только вперёд и назад, и переходит из одного множества в другое, но ещё и переходит  из одного параллельного ряда групп в другой параллельный. И здесь в параллельных рядах становится ещё более очевидным стремление числа сворачиваться в единицу. Траектории движения исходного 77031 в пределах разных рядов групп являются наглядной демонстрацией действия алгоритма по отношению к любому натуральному в пределах ряда  натуральных чисел. У каждой последовательности свой максимум, при достижении которого происходит смена направления и затем неуклонное движение к числу ниже исходного. Максимум в любой последовательности принадлежит одному из множеств  M3, M4, M5 … M_m. Конкретно, в рассматриваемой последовательности с исходным 77031 максимальным оказалось число 7 311 005, принадлежащее M3. Следующим шагом оно уменьшилось до 2 741 627. Если бы число 7 311 005 принадлежало любому другому из множеств  M4, M5 … M_m, оно бы уменьшилось ещё более существенно, так как делить на два пришлось бы большее количество раз. Подобные возвращения числа на несколько шагов назад запускают механизм простого перебора на пути к успешному решению. Каждое из множеств  M3, M4, M5 … M_m,  не одно, так другое, становится непреодолимой преградой числу продвигаться дальше, в сторону увеличения.

Если очередное число в алгоритме Коллатца отличается от предыдущего  в k_n раз, где коэффициент k_n = (3X_n-1+1)/2^m, а m - степень двух в знаменателе алгоритма, соответствующая текущему шагу, то очередное число одного из закономерных параллельных рядов отличается от предыдущего этом ряду в число раз, определяемым произведением всех промежуточных коэффициентов (Рис24,  Рис25… Рис.30). На этих приведённых рисунках значение коэффициента k_n представлено в упрощенном виде 3/2^m. Этого достаточно, чтобы сопоставить произведение всех промежуточных коэффициентов с единицей.  Если произведение всех промежуточных коэффициентов между очередным и предыдущим больше единицы – число растет, если меньше – уменьшается. Мы имеем только  два сценария для числа: или увеличиваться, или уменьшаться. Не существует причин доминирования одного сценария над другим. Сколько будет и тех и других для произвольного исходного натурального не так важно. Рисунки Рис.24 – Рис.30 показывают, что будут иметь место оба сценария.  Но, с увеличением их общего количества, становится актуальным – закон перехода количественных изменений в качественные.  Увеличение общего количества шагов неизбежно ведёт к увеличению разнообразия коэффициентов. Факт, который становится в итоге определяющим в закономерной общей тенденции движения числа.

Логический вывод о том, что стремление любого натурального к единице является закономерным, представим в простых формулах. Мы уже знаем, что половина нечётных из натурального ряда принадлежит первому множеству, а вторая половина нечётных является суммой всех нечётных остальных множеств:

 у каждого числа последовательности, даже в пределах одного множества  своя, отличающаяся от других чисел последовательности, производительность. 



Производительность числа напрямую зависит от делителя, входящего в формулу алгоритма. Сравнивая делители разных множеств, мы косвенно, сравниваем их производительности. Производительность W2 оказалась меньше  W1, несмотря на то, что делитель 4∈M2 больше делителя 2∈M1. Продвижение назад никогда не бывает тождественно по совершаемой работе продвижению вперёд. Формула неравенства (29) наглядный пример проявления асимметричности алгоритма. Такая асимметричность алгоритма только способствует  обретению статистического разнообразия  делителей. Единственная возможность для числа увеличиваться существует в условиях, описываемых формулой:



Здесь: a, b, c, d … z – такое количественное соотношение множителей в последовательности или в отдельном фрагменте последовательности, которое приводит к результату, большему единицы.
Но, стремление последовательности в бесконечность  сопровождается обретением коэффициентов с большим значением делителей, которые возвращают нас на несколько шагов назад. Помимо увеличения общего количества множителей в интервале, ограниченном максимальным числом последовательности, их состав обогащается разнообразием делителей.  И тогда закономерным результатом произведения всех промежуточных коэффициентов между очередным и предыдущим становится уже значение, меньшее единицы, потому что в пределе формула (30) трансформируется в (31).




Произведение всех промежуточных коэффициентов меньшее единицы переводит число ниже исходного. В формуле (31) число “n” является максимальным числом последовательности, в пределах  которого осуществляется алгоритм.  Для каждого, ограниченного числом “n”, натурального ряда существует ограниченное количество всех входящих коэффициентов. Последовательность по алгоритму Коллатца может как угодно долго продолжать увеличивать своё максимальное значение “n”, но значение, меньшее единицы,  в формуле (31) остаётся неизменным. Если мы удвоим ряд чисел до “2n”, то в отдельно взятой второй части произведение всех  промежуточных коэффициентов окажется меньше, чем в первой, потому что при их одинаковом количестве, во второй части ряда появятся коэффициенты с ещё большим значением делителей.  
Каждое натуральное продвигаясь по алгоритму Коллатца накапливает необходимое количество множителей с максимальным разнообразием делителей для того, чтобы осуществилась формула (31). Так мы приходим к неожиданному выводу: становится очевидным, что именно формула (31) является решением алгоритма Коллатца, его конечной целью.  А завершение последовательности в единице для любого натурального есть уже её неизбежное следствие. Формулу (31) упростим:

ЧАСТЬ 3: Выводы, заключение, результаты

ВЫВОДЫ: Все натуральные, с какого бы числа мы не начали, двигаясь, в случае нечётного по формуле 3X+1, а в случае чётного следуя формуле X/2, устремляются к единице.

Не существует таких, которые бы уходили в бесконечность, потому что существует закономерный переход из одного множества в другое, из одного параллельного ряда групп в другой параллельный. Закономерный переход из одного множества в другое является математическим описанием известного закона перехода количественных изменений в качественные. Из чего следует другой, не менее важный, вывод - переход из одного множества в другое, свидетельствует о его качественных изменениях, которые достигаются делением числа пополам. Следствием перехода из одного множества в другое является обретение новых промежуточных коэффициентов в формуле (31) или (32);

Не существует предпосылок, указывающих на какую либо иную возможность числу, принадлежащему М1 преодолеть преграду нечётных из M2, M3, M4 … Mm
А непрерывное продвижение числа вперёд в чётных последовательностях множества М1, c чётными порядковыми номерами входящих в них чисел, ограничено количеством шагов алгоритма, до тех пор, пока порядковый номер последовательности делится пополам. Деление пополам в алгоритме Коллатца и здесь оказалось главным действием, определяющим дальнейшую судьбу натурального;

Не существует таких, которые бы уходили в бесконечность, потому что на своих маршрутах, какими бы сложными и длинными они не были, последовательности неизбежно накапливают, обогащают себя необходимым количеством разнообразных коэффициентов до тех пор, пока их произведение не станет меньше единицы для того, чтобы в конечном итоге, осуществилась формула (31). Формула (31) открывает прямой путь к единице. На этом алгоритм завершается. Значит абсолютно все последовательности, с любым натуральным в качестве исходного стремятся к единице.

Таким образом, в совокупности приведенных выше аргументов, утверждение 2 доказано: не существует последовательностей уходящих в бесконечность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ: Существование бесконечного количества успешных решений, верность утверждения 1 и утверждения 2 позволяют нам сделать заключительное: с какого бы числа мы не начали, двигаясь, в случае нечётного по формуле 3X+1, а в случае чётного следуя формуле X/2, мы в итоге обязательно выйдем на маршрут успешного решения алгоритма, приводящего к единице.

ГИПОТЕЗА КОЛЛАТЦА ДОКАЗАНА.

РЕЗУЛЬТАТЫ: В процессе доказательства гипотезы Коллатца были обнаружены прежде неизвестные закономерности натурального ряда. Множества нечётных Коллатца очевидно являются не единственными. Другие алгоритмы также могут уточнить его структуру.

В процессе работы над доказательством гипотезы введены новые понятия:

* Множество нечётных Коллатца;
* Ряды групп, принадлежащие множеству M1 нечётных Коллатца;
* Производительность числа в алгоритме Коллатца;
* Работа числа в алгоритме Коллатца;
* Первая константа множества Коллатца;
* Вторая константа множества Коллатца.
* И др.

В дальнейшем, уже при работе с множествами Коллатца, могут быть введены ещё дополнительные понятия, а уже введённые уточнены и расширены. Возможно, они будут интересны в практическом применении при разработке различных математических задач.

На этом, работа непосредственно по доказательству гипотезы Коллатца завершается, но работа по её осмыслению в каком либо ином аспекте, чем математический, безусловно продолжается, и здесь, каждый, опираясь на изложенный материал, может внести свой посильный вклад. Очевидно, результаты ещё будут. Спасибо за внимание, автор надеется - статья была полезной.

Рецензии:

29.03.2025, 23:37 Кузнецов Вячеслав Алексеевич
Рецензия: Рецензия на статью "Доказательство гипотезы Коллатца" Трушникова Владимира Владимировича Статья Трушникова Владимира Владимировича представляет собой попытку доказать гипотезу Коллатца с использованием свойств умножения и деления десятичных дробей. Хотя работа имеет свои положительные стороны, есть несколько аспектов, которые требуют внимания и доработки. Актуальность и новизна: Автор правильно отмечает актуальность гипотезы Коллатца как одной из нерешённых проблем математики. Однако научная новизна представленного доказательства не совсем ясна. Простота доказательства — это, безусловно, важная цель, но требуется более детальное обоснование, почему именно предложенный подход является новым и отличным от существующих попыток. Структура и ясность изложения: Введение в тему достаточно информативно, однако само доказательство требует большей структурированности. Ясность изложения может быть улучшена, если автор будет использовать больше подзаголовков и четко выделит ключевые моменты. Например, лучше разделить доказательство на логические части, чтобы читатели могли легче следить за ходом мысли. Формулировки и математическая строгость: В тексте присутствует множество формул, однако их объяснение иногда не хватает. Важно не только представить формулы, но и пояснить, как они соотносятся друг с другом и с общей идеей доказательства. Также стоит обратить внимание на точность формулировок, чтобы избежать недопонимания. Примеры и иллюстрации: Включение примеров, таких как маршрут числа 47, является хорошей идеей, но их описание можно сделать более наглядным. Возможно, стоит добавить графические иллюстрации или таблицы, чтобы визуально отобразить процесс применения алгоритма. Заключение и выводы: Заключение статьи формулируется достаточно резко, без должного обоснования всех шагов, приведших к выводу о доказанности гипотезы. Рекомендуется более подробно изложить, почему предложенный алгоритм действительно приводит к единице для всех натуральных чисел. В целом, работа содержит интересные идеи, но требует значительных доработок, чтобы повысить ясность, точность и научную ценность. Рекомендую автору пересмотреть структуру статьи и уделить больше внимания объяснению ключевых моментов, что сделает её более доступной и понятной для читателей.