Статистический анализ правила Тициуса-Боде и иных эмпирических законов, описывающих орбитальное движение тел одной системы

УДК 523.4, 52-32, 52-34, 519.25, 616.89

Введение.

В 18 веке Иоганном Тициусом и Иоганном Боде было сформулировано правило Тициуса — Боде, которое гласит, что у планет Солнечной системы радиусы орбит равны (3D_i+4)/10 а.е., где для Меркурия D₀=0, а для остальных планет D_i образуют геометрическую прогрессию 1, 2, 4, 8, .... Открытые позднее Уран, а также карликовые планеты Церера и Плутон соответствовали этому правилу, а Нептун нет. В тексте дальнейшей статьи 8 планет, Цереру и Плутон будем сокращенно именовать "10 тел".

В середине 20 века Стэнли Дермотт предложил формулировку для орбитальных периодов, связанных законом Кеплера с радиусами орбит: T_i=T₀*Cⁱ, где C - некая константа для данного центрального тела. Утверждается, что в таком виде это соотношение верно также для крупных спутников Юпитера, Сатурна и Урана.

Тимоти Боверд и Чарльз Лайнвиверпроверили это соотношение для экзопланет и сообщили, что для многих звезд с открытыми экзопланетами это соотношение соблюдается с более высокой точностью, чем для Солнечной системы. [1]

Наличие подобных закономерностей обычно объясняют орбитальным резонансом, то есть связьюT_i=T_i-1*A_i/B_i, где A и B - небольшие натуральные числа.

К.П. Бутусов предложил считать константу С равной квадрату числа Фидия, а также выдвинул набор иных гипотез разной степени правдоподобности, эмпирически описывающих характеристики орбит. [3]

А.Т. Дудин не только предложил связать числом Фидия не орбитальные периоды, а угловые скорости в перигелии орбиты, но и предложил изменить известные характеристики орбит планет так, чтобы они укладывались в его гипотезу с абсолютной точностью. [4]

Сравним эти гипотезы методами математической статистики.

Актуальность.

Известные соотношения орбит позволяют упростить астрономам поиск еще не открытых космических тел.

Научная новизна.

Проведения сравнения различных гипотез методами математической статистики не найдено.

Цели, задачи, материалы и методы.

С точки зрения математической статистики эмпирическое правило является регрессией. Точность регрессии обычно оценивают при помощи коэффициента детерминации R², который вычисляется как 1-(σ_f/σ_x)², где σ_f - среднее квадратическое отклонение реального значения величины от вычисленного по формуле аппроксимации, а σ_x - среднее квадратическое отклонение реального значения величины от его среднего значения. Будем использовать само σ_f/σ_x как приведенную среднее квадратическое отклонение, в дальнейшей статье называя его просто σ. Чем меньше эта величина (и чем ближе коэффициент детерминации к единице), тем точнее эмпирическое правило соответствует реальным данным.

Чтобы учесть, что введение дополнительных степеней свободы регрессии увеличивает точность за счет повышения количества вариантов перебора, применим ту же формулу, что применяется для сравнения регрессионных моделей с различным количеством факторов, а именно будем умножать σ на sqrt((n-1)/(n-k)), где n - количество точек, k - количество факторов (степеней свободы).

Регрессионный анализ проводился при помощи встроенных средств динамических таблиц LibreOffice Calc, DEPS Evolutionary Algoritm.

Гипотезы, не являющиеся регрессионным анализом, а связывающие реальное значение с ближайшим числом определенного вида, нельзя сравнивать с регрессионными гипотезами, так как апофения часто имеет высокую точность. Такие гипотезы надо сравнивать с наличием тех же закономерностей на случайных числах. Подобные гипотезы будем считать оправданными, а не проявлением апофении, если их σ хотя бы в k+2 раза меньше σ той же гипотезы на случайных числах, где k - количество необоснованно введенных факторов.

Данные по различным космическим телам возьмем с сайта НАСА. [1] Для унификации данных все характеристики орбит возьмем на 1 января 2000 года.

10 тел Солнечной системы:

5,790907025241733E+07

2,056302515978038E-01

7,600530456291855E+06

1,082081565316098E+08

6,755697268576816E-03

1,941393258609444E+07

1,495973698038478E+08

1,670257989152663E-02

3,155798954196881E+07

2,279390123632921E+08

9,331460751689258E-02

5,935427089295755E+07

4,138616544134015E+08

7,837505504042046E-02

1,452134473184189E+08

7,785472078724860E+08

4,877479419403492E-02

3,744934680088339E+08

1,433449772231375E+09

5,572214168539928E-02

9,359134764089750E+08

2,876687911444109E+09

4,440321712269083E-02

2,661054031566218E+09

4,503456762153956E+09

1,121519483557542E-02

5,212329494711128E+09

5,873871430625222E+09

2,446752685960344E-01

7,764450116571625E+09

4 крупнейших спутника Юпитера, имеющих форму, близкую к сферической ("галилеевы луны"):

4,221333501321306E+05

3,654741231611280E-03

1,530998720332786E+05

6,709358927628163E+05

9,470430684303763E-03

3,067663324613370E+05

1,070573194235581E+06

1,318102719568414E-03   

6,183652469975280E+05

1,882779892377612E+06 

7,432941708860398E-03

1,442135034578245E+06

7 крупнейших спутника Сатурна, имеющих форму, близкую к сферической.

1,853488629597383E+05

1,931698869563130E-02

8,139782296404206E+04

2,370333042753639E+05

3,800418715495260E-03

1,183920402682620E+05

2,949217351247343E+05

1,158898830893793E-03

1,633761793106561E+05

3,778031402242362E+05

1,735941515271232E-03

2,368794891625507E+05

5,263998608519516E+05

1,780627238218921E-03

3,895867242736690E+05

1,221635565825169E+06

2,860978561146665E-02

1,377826497603698E+06

3,561176157065655E+06

2,834802295463891E-02

6,855199720503776E+06

5 крупнейших спутника Урана, имеющих форму, близкую к сферической.

1,298613087281174E+05

1,638327166571498E-03

1,221489943387290E+05

1,909915118897334E+05

1,639979854906249E-03

2,178714133497861E+05

2,659770058508977E+05

4,243554411220574E-03

3,580515117326838E+05

4,362103180903613E+05

2,405382814626736E-03

7,520361558851168E+05

5,834934566595824E+05

5,142182845681213E-04

1,163450308387905E+06

Результаты.

Часть 1. Проверка правила Тициуса — Боде, представленного в различных формах.

1) Правило Тициуса — Боде: R_i=R₀+D*2^i-1

а) Правило Тициуса — Боде в исходном виде: геоцентрично выбранные числа R₀ = 0,4 и D = 0,3 астрономических единицы.

1 фактор, 0 дополнительных степеней свободы.

σ = 0,0197, описывается 9 из 10 тел.

б) Правило Тициуса — Боде с оптимально подобранными числами(R₀ = 43085,3 Мм - мегаметров, тысяч километров; D = 45224,7 Мм).

1 фактор, 1 дополнительная степень свободы (подбор коэффициентов линейной зависимости)

σ = 0,0178 (с коррекцией - 0,0191), описывается 9 тел из 10.

г) Правило Тициуса — Боде с геоцентрично выбранными числами 0,4 и 0,3 астрономических единицы и утверждением "Нептун занимает промежуточное положение между Ураном и Плутоном".

1 фактор, 1 дополнительная степени свободы (нарушение Нептуном геометрической прогрессии)

σ = 0,0279 (с коррекцией - 0,0295).

г) Правило Тициуса — Боде с оптимально подобранными числами (R₀=41415 Мм; D=45610,8 Мм)и утверждением "Нептун занимает промежуточное положение между Ураном и Плутоном".

1 фактор, 2 дополнительных степени свободы (подбор коэффициентов линейной зависимости и нарушение Нептуном геометрической прогрессии)

σ = 0,0225 (с коррекцией - 0,0255).

Для анализа спутников планет-гигантов не будем считать степенью свободы выбор коэффициентов линейной зависимости, так как Тициус и Боде устанавливали эти коэффициенты только для планет.

д) Правило Тициуса — Боде для 4 галилеевых лун: σ = 0,0685. Однако если предположить, что Ио соответствует R₁, а не R₀(добавить степень свободы), то для 4 галилеевых лун σ = 0,0217 (с коррекцией - 0,0265). Тогда R₀ = 238 Мм, что почти соответствует Фиве из группы Амальтеи. С Фивой σ = 0,0238, с более крупной Амальтеей вместо Фивы σ = 0,0362.

е) Правило Тициуса — Боде для 7крупнейших спутников Сатурна: σ = 0,212. Однако если считать, как сделали Тициус и Боде для Марса и Юпитера, что между Титаном и Япетом есть пустая орбита, то σ = 0,0688 (R₀ = 195,6 Мм; D = 53,1 Мм).

ж)Правило Тициуса — Боде для 5крупнейших спутников Урана:σ =0,181. Однако если считать, что Оберон, как Нептун, идет "на полшага", то σ = 0,0433 (с коррекцией - 0,0500) (R₀=121,5Мм; D=77,2Мм).

з) Если попробовать "полшага" формализировать как R_i+1-R_i=n_i(R_i-R_i-1), где n - целое число (и степень свободы), то получитсяследующее:

• для 10 тел Солнечной системы n = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, σ = 0,0225 (с коррекцией -0,0255);

• для 4 крупнейших спутников Юпитера n = 2, 2, σ =0,0217 (с коррекцией - 0,0265);

• для 7 крупнейших спутников Сатурна пропуск между Титаном и Япетом формализуется как n = 1, 2, 2, 2, 3, σ =0,0688 (с коррекцией - 0,0754). Однако n=1, 3, 1, 7, 3при R₀=202,3 Мм, R₁= 238,8 Мм даст σ =0,0190 (с коррекцией - 0,0208);

• для 5 крупнейших спутников Урана n = 1, 2, 1, σ =0,0433 (с коррекцией - 0,0500).

2) Формулировка Дермотта: T_i=T₀*Cⁱ, где Т - сидерический период.

Так как не все орбиты заняты по Дермотту, но увеличение показателя и уменьшение основания степени позволяет бесконечно уменьшать σ, введем ограничение на количество незанятых орбит в форме "количество занятых орбит превышает количество незанятых".Возможность выбора C считаем степенью свободы по сравнению с гипотезой г-на Бутусова.

а) Для 10 тел Солнечной системы: С=1,43805; T₀=3090,75 часов; i=0,2,3,5,7,10,12,15,17,18; σ = 0,0234 (с коррекцией - 0,0248).

б) Для 4 галилеевых лун: С=2,2209; T₀=36,386 часов;i=0,1,2,3 ; σ =0,0397(с коррекцией - 0,0486).

в) Для 7 крупнейших спутников Сатурна: С=1,7313; T₀=40,8736 часов;i=0,0,0,1,2,4,7; σ =0,01765 (с коррекцией - 0,0193).

г) Для 5 крупнейших спутников Урана: С=1,2754; T₀=46,7093 часов;i=0,1,3,6,8; σ =0,0656 (с коррекцией - 0,0758).

3) Правило орбитального резонанса: T_i=T_i-1*A_i/B_i, где A и B - небольшие натуральные числа (формализуем для аппроксимации как "1<=B<=3"). Две дополнительные степени свободы (выбор А и выбор В).

а) Для 10 тел, допуская резонанс 8:3, получаем σ =0,0101(с коррекцией - 0,0115). Последовательность резонансов 5:2, 5:3, 2:1, 5:2, 8:3, 5:2, 8:3, 2:1, 3:2.

б) Для 10 тел, не допуская знаменателя выше 2, получаем σ =0,0128 (с коррекцией - 0,0145). Последовательность резонансов 5:2, 3:2, 2:1, 5:2, 5:2, 5:2, 3:1, 2:1, 3:2.

в) Для 4 галилеевых лун получаем σ =0,0422 (с коррекцией - 0,0731) c последовательностью резонансов 2:1, 2:1, 5:2 и σ =0,0027 (с коррекцией - 0,0046) c последовательностью резонансов 2:1, 2:1, 7:3.

г) Для 7 спутников Сатурна получаем σ =0,0046 (с коррекцией - 0,0056). Последовательность резонансов 3:2, 3:2, 3:2, 3:2, 7:2, 5:1.

д) Для 5 спутников Урана получаем σ =0,0544 (с коррекцией - 0,0769). Последовательность резонансов 5:3, 5:3, 2:1, 5:3.

4) Гипотеза г-на Бутусова была сформулирована так: "Закон планетных периодов, состоящий в том, что периоды и частоты обращения планет образуют геометрическую прогрессию со знаменателем, равным квадрату «золотого числа»". Де-факто это утверждение о том, что в формулировке Дермотта для правила Тициуса — Боде требуется выбирать C=Ф². Однако, учитывая, что, допустим, отношение сидерических периодов Земли и Венеры почти равно Ф, проверим гипотезу Бутусова с C=Ф, сняв ограничение на количество пустых орбит, что не может ухудшить σ.Коррекцию на степень свободы в виде пустых орбит не проводим, так как при фиксации одного C для всех систем без пустых орбит обойтись невозможно.

а) Для 10 тел получаем σ = 0,0674.

б) Для 4 галилеевых лун получаем σ = 0,0771.

в) Для 7 спутников Сатурна получаем σ = 0,0391.

г) Для 5 спутников Урана получаем σ = 0,1103.

5) Г-н Дудин выразил уверенность, что как золотое число соотносятся угловые скорости в перигелии. Учитывая, что угловая скорость при круговом движении обратна периоду, будем аппроксимировать именно величины, обратные угловым скоростям в перигелии, чтобы сравнение было репрезентативным. Вычислим эти величины как T*(1-e)*sqrt((1-e)/(1+e)).

Для 10 тел Солнечной системы получаем σ = 0,110, после чего прекращаем проверку гипотезы и делаем вывод... Хотя нет, не делаем, с г-ном Дудиным все и так давно было понятно.

Сводная таблица σ с коррекцией на степени свободы:

Однако в астрономии часто предпочтительнее логарифмическая шкала. В данном случае, заменив при вычислении σ (но не в функциях, которыми проводится аппроксимация) расстояния/периоды на их логарифмы, и проведя повторный регрессионный анализ, получим:

Следует признать, что гипотеза г-на Бутусова уступает всем остальным рассмотренным формам правила Тициуса — Боде, кроме, конечно, гипотезы г-на Дудина, орбитальные резонансы не всегда способны продемонстрировать закономерность в общем виде значительно лучше формулы Дермотта, а формула Дермотта имеет достоверность ниже, чем правило Тициуса — Боде в обобщенном виде.

Часть 2. Иные гипотезы г-на Бутусова.

В том же труде г-ном Бутусовым изложены и иные гипотезы. Часть из них вполне абсурдны (например, гипотеза о наличии "второго Солнца" где-то за поясом Койпера на основании четности количества планет каждого типа, дублирование гипотезы пифагорейцев об Антиземле) или выглядят натягиванием представителя семейства Strigidae на макет любой из планет (например, анализируя периоды обращения планет, г-н Бутусов для одних планет берет афелий, для других перигелий, для третьих большую полуось, да еще и сравнивает период одних планет в земных сутках с периодом других планет в земных годах, причем вычисляя скорости в афелии и перигелии по неверным формулам, а для одной планеты вместо обещанного числа Люка берет его половину). Однако пару гипотез проверим.

1) Гипотеза о средних скоростях планет.

"Скорость электрона на первой орбите в атоме водорода V_max = 2187,5567 км/сек. Рассчитаем отношение этой скорости к средним орбитальным скоростям планет и покажем, что эти отношения пропорциональны квадратам целых и полуцелых чисел". [3]

Г-н Бутусов не указывает, откуда он взял скорости, однако ни одна из указанных им скоростей не совпадает ни со средней орбитальной скоростью, ни со средней круговой скоростью, а для Меркурия так и вовсе отличается процентов на 10. Однако если проверить гипотезу на максимально точных числах (вычислена длина орбиты по второй формуле Рамануджана и разделена на период), то для самих скоростей σ = 0,0677, а для отношения указанного Vmax к скоростям планет σ = 0,0171. Конечно, σ = 0,0171 может показаться довольно высокой точностью, но вспомним, что речь не об аппроксимации, а о существовании близких к заданным чисел, не образующих последовательность, а только имеющих особый вид.

Построив вероятностную компьютерную модель с использованием в качестве "скоростей планет" 10 случайных чисел в интервале [4;50] с равномерным распределениеми проверив для них ту же гипотезу, обнаружим, что из 100 млн. экспериментов σ_ср = 0,095 для "скоростей" и σ_ср = 0,045 для отношения указанного V_max к "скоростям", что меньше 3σ.

Учитывая, что число 2187,5567 не имеет отношения к свойствам Солнечной системы, очевидно, что среди различных физических явлений всегда можно найти какое-то число, дающее подобную "закономерность" с аналогичной точностью.

2) Гипотеза об обратных эксцентриситетах

"Как показали исследования, «золотое сечение», или «золотая пропорция», проявляют себя в следующих параметрах: 1)Обратных эксцентриситетах" [3] - далее для каждого эксцентриситета 10 тел г-н Бутусов берет обратное число и находит ближайшее к нему число Люка или число Фибоначчи.

Возрастающая "последовательность Бутусова", состоящая из этих двух видов чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 18, 21, 29, 34, 47, 55, 76, 89, 123, 144, 199, 233, 322, 377...

Действительно, если мы будем приближать 1/e десяти тел числами этой последовательности, то σ=0,0465.

Построим вероятностную компьютерную модель: возьмем 1 млн. раз 10 "эксцентриситетов" как случайные числа в диапазоне [0,005;0,25] с равномерным распределением. σ_ср=0,124, что снова меньше 3σ. Учитывая, что "последовательность Бутусова" состоит из двух видов чисел, снова следует признать, что небольшая σ является случайностью.

3) Но проверим те же гипотезы, допустим, на галилеевых лунах.

Для отношения скоростей σ=0,092 - вдвое больше среднего для случайных чисел.

Для самих скоростей σ=0,128 - больше среднего для случайных чисел.

Для "обратных эксцентриситетов" σ=0,182 - больше среднего для случайных чисел.

Итого закономерность для других систем спутников центрального тела не подтвердилась, а для 10 тел Солнечной системы является всего лишь апофенией.

Заключение.

Определено, что правило Тициуса — Боде после небольшой доработки не теряет актуальности по сравнению с формулой Дермотта, а формула Дермотта, в свою очередь, не теряет актуальности по сравнению с правилом орбитальных резонансов.

Определено, что гипотезы г-на Бутусова и гипотеза г-на Дудина не имеют научной ценности.

Рецензии:

9.04.2025, 22:45 Кузнецов Вячеслав Алексеевич
Рецензия: Рецензия на научную статью «Статистический анализ правила Тициуса-Боде и иных эмпирических законов, описывающих орбитальное движение тел одной системы» Автор: Цорин Борис Иосифович, учитель информатики, МБОУ "Школа №16", г.о. Балашиха Общая характеристика статьи Представленная работа посвящена актуальной теме статистического анализа эмпирических закономерностей, описывающих орбитальное движение небесных тел. Автор предпринимает попытку количественной верификации таких гипотез, как правило Тициуса-Боде, гипотеза Бутусова и Дудина, с использованием инструментов математической статистики и элементами компьютерного моделирования. Такой подход повышает научную значимость исследования и позволяет рассматривать его как вклад в развитие методов анализа планетарной архитектуры. Положительные стороны работы Формализованный подход. Использование количественного анализа и моделирования выводит исследование за рамки описательной астрономии. Это создаёт основу для строгой проверки гипотез, что особенно важно в контексте оценки эмпирических закономерностей. Чёткая структура и последовательность. Статья логично выстроена, включает обоснование выбора моделей, описание методов и анализ полученных результатов. Актуальность. Работа соответствует современному научному интересу к исследованию структурности планетных систем и возможности экстраполяции выявленных закономерностей на экзопланетные системы. Замечания и рекомендации 1. Набор гипотез для анализа. В работе акцент сделан на ограниченном числе гипотез. Хотя в литературе упоминаются и иные подходы — например, золотое сечение, числа Фибоначчи, логарифмические и гармонические закономерности — их включение без строгой математической формализации не представляется обоснованным. Подобные концепции чаще всего основаны на визуальных аналогиях и не всегда поддаются проверке средствами строгой статистики. Автору целесообразно сосредоточиться на моделях, допускающих параметрическую оценку и сравнение. 2. Необходимость внедрения критериев оценки моделей. В целях повышения строгости анализа и объективности результатов рекомендуется использовать проверенные статистические критерии: Критерий Байеса (Bayesian Evidence) — позволяет сравнивать апостериорные вероятности моделей и учитывать априорные знания; Критерий Акаике (AIC) — оценивает баланс между точностью аппроксимации и сложностью модели; Критерий Байесовского информационного критерия (BIC) — усиливает штраф за избыточность параметров, особенно в условиях ограниченного объёма наблюдений. Использование указанных критериев позволит дать объективную оценку конкурентным моделям и повысит научную состоятельность работы. 3. Уточнение методики численного моделирования. Следует более подробно описать, какие алгоритмы моделирования применялись, каковы характеристики входных данных и какие метрики использовались для оценки точности. Заключение Статья представляет интерес как пример применения формальных методов анализа к эмпирическим закономерностям в астрономии. Исследование может стать основой для дальнейших работ в области анализа структуры как Солнечной системы, так и экзопланетных систем. В то же время, для повышения научной строгости рекомендуется внедрить статистические критерии оценки моделей и уточнить методику численного анализа. Заключение рецензента: Работа заслуживает положительной оценки и может быть рекомендована к публикации после доработки, связанной с формализацией сравнительного анализа моделей с применением критериев AIC, BIC и Байесовского подхода. Рецензент: Кузнецов Вячеслав Алексеевич,