Разделы: Математика
Размещена 22.04.2025. Последняя правка: 05.05.2025.
Просмотров - 254

Получение единицы с помощью диофантовых уравнений и гипотеза Каталана

Дудин Александр Тимофеевич

нет

не работаю

пенсионер

УДК 511

Введение.

Гипотеза Каталана была предложена в 1844 г. Эженом Шарлем Каталаном.

Предой Михэйлеску в 2002 г. доказал, что гипотеза Каталана имеет единственное решение: 3^2 – 2^3 = 1.

Гипотеза Каталана доказана, и её применение для дальнейшего развития теории чисел и программирования становиться ограниченным.

В представленной работе проведём исследования о возможности расширения гипотезы Каталана.

Цель данной работы является исследование в возможности расширения гипотезы Каталана, которая утверждает, что: Х^a – Y^b = 1 (Х,Y,a,b > 1) , кроме 2^3 = 8 и 3^2 = 9 не существует других последовательных совершенных степеней натуральных чисел.

В этой работе рассмотрим возможность использования других чисел и разных степеней

для получения аналогичных равенств, составляя  диофантовы уравнения.

При проведении исследований опирался на источники: [1]; [2]; [3]; [4]; [5]; [6]; [7]; [8]; [9]; [10]; [11].  

Источник [1] даёт общее представление о линейных диофантовых уравнениях и раскрывает 4 способа их решения.

В источнике [2] «Простое доказательство гипотезы Каталана» автор Курмет Султан.

В источнике [3] приводиться свободная база данных решений уравнений Эйлера.

Источник [4] рассматривает диофантовы уравнения и проблемы их решения.

Источник [5] Гипотеза Каталана.

Источник [6] Гипотеза Пиллаи -  является обобщением гипотезы Каталана, недоказанная по состоянию на 2024 год.

В источнике [7] приводятся Пифагоровы тройки из трёх натуральных чисел (a,b,c), которые соответствуют однородному квадратному уравнению: a^2 + b^2 = c^2

В источнике [8] приводятся Пифагоровы четвёрки из четырёх натуральных чисел (a,b,c,d), которые соответствуют однородному квадратному уравнению: a^2 + b^2 + c^2 = d^2, при этом d > 0/

Источник [9] Гипотеза Ферма – Каталана, является обобщением Великой теоремы Ферма и гипотезы Каталана: a^m + b^n = c^k, где a,b,c целые положительные взаимно простые числа, а  m, n, k – положительные целые числа удовлетворяющие условию:

1/m  +  1/n  +  1/ k  < 1

На 2015 г. известно только 9 решений этого уравнения.

Особенность этих решений состоит в том, что к сожалению один из показателей степеней равен 2.

Источник [10] Гипотеза числа Каталана–Мерсенна

Источник [11]  Гипотеза Каталана – Диксона.

Библиографические источники  подобраны так, чтобы охватить максимально всё, что связано с Гипотезой Каталана и доступно в интернете без дополнительной оплаты к доступу. В источниках нет доказательства гипотезы Каталана, так как там требуется дополнительная оплата: P. Mihăilescu. Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's

Conjecture // J. Reine angew. Math. — 2004 — Vol. 572, no. 572 — P.

167–195.

Актуальность данной работы обусловлена тем, что с помощью диофантовых уравнений можно расширить зону программирования и способствовать развитию теории чисел.
В данной работе доказано, что положительные два рядом стоящие числа с разницей в единицу можно записать через диофантовы уравнения, где числа в степенях и получить равенство, равное единице. Диофантовы уравнения нашли  широкое применение в криптографии, вычислительной математике, смотрите в примечании и ссылках источника [4].  

Цель и задачи работы заключаются в том, чтобы найти способ получения единицы с помощью диофантовых уравнений.

Научная новизна работы заключается в том, что по подобию гипотезы Каталана, найден способ, составлять диофантовы уравнения так, что с их помощью можно получать единицу, возводя числа в одну степень или в разные степени.

Гипотеза Каталана : Х^a – Y^b = 1 (Х,Y,a,b > 1) , кроме 2^3 = 8 и 3^2 = 9 не существует других последовательных совершенных степеней натуральных чисел

Доказательство гипотезы Каталана очевидно, так как на числовой оси простые числа

1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37… отличаются одно от другого на единицу, только: 1 2 3, а далее все простые числа по порядку отличаются друг от друг не менее, чем на 2. Так как по условию: Х^a – Y^b = 1 (Х,Y,a,b > 1), то остаётся один вариант, числа 2 и 3.  

Гипотеза в этом виде практически не пригодна в программировании она требует расширения, она ограничена и применением степеней 2 и 3. В гипотезе отсутствует запрет на повторение этих чисел в разных степенях. С другой стороны, гипотеза позволяет применять единицу в степени.

3^2 – 2^3 = 1

1^n + 2^3 = 3^2

В гипотезе Каталана использованы все простые числа, отличающиеся на единицу.

А если единица в степени используется, то её можно использовать и при записи числа, что даёт возможность применять гипотезу Каталана на многие рядом стоящие числа. 

Одно из самых значительных и важных направлений расширения гипотезы Каталана, это повторение в уравнении чисел 2 и 3 с разными степенями в разных количествах.

А так же составление отдельных равенств с одной степенью.

С целью расширения гипотезы Каталана рассмотрим следующие уравнения и равенства.

2^2 – (2^2 - 1^n) = 1

3^2 – (3^2 - 1^n)  = 1

Гипотезу Каталана можно расширить на рядом стоящие числа, например: числа 100 и 99 и другие: 

100 = 3^2 + 3^3 + 4^3 

100 = 9 + 27 + 64

99 = 2^3+ 3^3 + 4^3 

99 = 8 + 27 + 64

(3^2 + 3^3 + 4^3) – (2^3+ 3^3 + 4^3) = 1   

2^4 + 2^3+2^2 – 3^3 = 1

16 + 8 + 4 – 27 = 1

5^2 – 2^3 - 4^2 =  1

25 – 8 - 16  = 1

3^2 + 2^3 - 4^2 = 1

9 + 8 - 16 = 1

Составление равенств из двухзначных чисел в степенях:

32^2 – 31^2 = 1024 –  961 = 63

2^6 = 64

4^3 = 64

2^6 – (32^2 – 31^2) = 1

64 – (1024 – 961) = 1

4^3 – (32^2 – 31^2) = 1

33^2 – 2^10 – 8^2 = 1

1089 – 1024 –  64 = 1

2^9 – 22^2 – 3^3 = 1

512 – 484 – 27 = 1 

Расширение гипотезы Каталана на большие числа.

900^2 + 400^2 + 170^2 + 30^2 +10^2 + 9^2 + 4^2 + 2^2  = 1000001 

810000 + 160000 + 28900 + 900 +100 + 81 + 16 + 4 = 1000001

100^3= 99^3 + 30^3+11^3+10^3+7^3+ 3^3 

100^3 = 1000000 = 970299+27000+1331+ 1000+ 343 + 27

(900^2 + 400^2 + 170^2 + 30^2 +10^2 + 9^2 + 4^2 + 2^2) – (99^3 + 30^3+11^3+10^3+7^3+ 3^3) = 1 

100^3= 99^3 + 30^3+11^3+10^3+7^3+ 3^3 

На это равенство следует обратить внимание, так как все числа в третьей степени, согласно источника  [3,  вторая и третья строчка снизу], подобных равенств всего два. 

В этой работе важно научиться составлять диофантовы уравнения, и желательно самым коротким путём, но без знаний теории чисел, методов исследования и анализа диофантвых уравнений, желаемый результат получить проблематично.  

Методы исследования включают: решения через (наибольший общий делитель) Н.О.Д. (a,b) = d

ax+by = c , если  c не делиться на d , то уравнение не имеет решений в целых числах.

Способы решения: метод подбора; решение относительно одного неизвестного;

Универсальный; поиск частного решения; метод остатков; выделение полных квадратов;

 геометрический.  

Приведённые примеры можно структурировать. Структурирование хорошо применять, когда набирается база разнотипных уравнений или равенств.

В этом случае можно выделить группы по отдельным признакам.

1. Составление равенств из рядом стоящих чисел.

2. Составление равенств с применением степеней 2 и 3.

3. Составление равенств с применением любых целых положительных степеней.

4. Составление равенств из однозначных чисел.

5. Составление равенств из двухзначных чисел.

6. Составление равенств из чисел до тысячи.

7. Составление равенств из больших чисел свыше тысячи.

8. Составление равенств с применением одинаковых арифметических действий.

9. Составление равенств с применением разных арифметических действий.

10. Составление равенств с применением скобок.

11. Составление равенств универсальных, с применением скобок и разных показателей степеней.

12. Составление самых простых равенств с применением 1^n.

Приведённый пример не является окончательным, так как структурирование равенств можно проводить и по многим другим признакам, например: источник [3]. 

В этой работе не так много равенств, чтобы их тщательно структурировать, но примеры привести можно.  

1. Составление равенств из рядом стоящих чисел.

5 и 4

(2^2 + 1^n) – 2^2 = 1

(4+1) – 4 = 1

2. Составление равенств с применением степеней 2 и 3.

9^2 – 8^2 – 4^2 = 1

81 – 64 – 16 = 1

6^2 = 36

2^3 + 3^3 = 35

6^2 - 2^3 - 3^3 = 1

36 – 8 – 27 = 1

5^2 – 2^3 - 4^2 =  1

25 – 8 - 16  = 1

3^2 + 2^3 - 4^2 = 1

9 + 8 - 16 = 1

3. Составление равенств с применением любых целых положительных степеней.

2^4 + 2^3+2^2 – 3^3 = 1

16 + 8 + 4 – 27 = 1

5. Составление равенств из двухзначных чисел.

32^2 – 31^2 = 1024 –  961 = 63

2^6 = 64

4^3 = 64

2^6 – (32^2 – 31^2) = 1

64 – (1024 – 961) = 1

4^3 – (32^2 – 31^2) = 1

33^2 – 2^10 – 8^2 = 1

1089 – 1024 –  64 = 1

2^9 – 22^2 – 3^3 = 1

512 – 484 – 27 = 1 

7. Составление равенств из больших чисел свыше тысячи.

900^2 + 400^2 + 170^2 + 30^2 +10^2 + 9^2 + 4^2 + 2^2  = 1000001 

810000 + 160000 + 28900 + 900 +100 + 81 + 16 + 4 = 1000001

100^3= 99^3 + 30^3+11^3+10^3+7^3+ 3^3 

100^3 = 1000000 = 970299+27000+1331+ 1000+ 343 + 27         

(900^2 + 400^2 + 170^2 + 30^2 +10^2 + 9^2 + 4^2 + 2^2) – (99^3 + 30^3+11^3+10^3+7^3+ 3^3) = 1 

10. Составление равенств с применением скобок.

100 = 3^2 + 3^3 + 4^3 

100 = 9 + 27 + 64

99 = 2^3+ 3^3 + 4^3 

99 = 8 + 27 + 64

(3^2 + 3^3 + 4^3) – (2^3+ 3^3 + 4^3) = 1   

12. Составление простых равенств с применением 1^n.

2^2 – (2^2 - 1^n) = 1

3^2 – (3^2 - 1^n)  = 1

Рассмотрим примеры равенств с единицей в степени n.

2^2 – (2^2 - 1^n) = 1

Принимаем n = 1 , получаем:

2^2 – (2^2 – 1^1) = 1

4 – (4 – 1) = 1

4 - 3 = 1

Принимаем n = 2 , получаем:

2^2 – (2^2 – 1^2) = 1

4 – (4 – 1) = 1

4 - 3 = 1

Аналогично в равенстве:

3^2 – (3^2 - 1^n)  = 1

Принимаем произвольно, допустим: n = 5 

3^2 – (3^2 - 1^5)  = 1

9 – (9 – 1) = 1

9 – 8 = 1 

Методика составления таких равенств заключается в том, что берутся два рядом стоящие числа: Х и Y , из большего числа вычитается меньшее число и пишется равенство:

Х – Y = 1. Следующая операция, числа: Х и Y записываются с помощью чисел в степенях арифметическими действиями сложения и вычитания. Х = f^m + … + g^h ;

Y = p^k + --- + r^k

Иногда для записи такого числа, числами в степенях, приходиться прибегать к скобкам.

Записанные числа заключаются в скобки, и записывается равенство в общем виде:

Х – Y = (f^ m + … + g^ h) – (p^ k + --- + r^ k) = 1

По возможности скобки убираются и возможна перестановка чисел в степенях в другом порядке.

Заключение. Составляя диофантовы уравнения, работая со степенями чисел, можно получить равенство равное единице. 

Эта работа показала потенциальные пути расширения гипотезы Каталана, приблизила к поиску равенств по гипотезе Ферма – Каталана, а так же к большему пониманию гипотезы Пиллаи, и к поиску её доказательств или опровержения.

Выводы. Эта работа увеличивает возможности программирования, расширяет теорию чисел.

Из двух рядом стоящих чисел, по подобию равенства Каталана, можно составить равенство, равное единице, разложив эти числа, на меньшие числа в степенях, и выполнив арифметические действия сложения и вычитания.

Предложенная работа расширяет гипотезу Каталана.

1. Линейное диофантово уравнение и 4 способа его решения [электронный ресурс] URL: https://urok.1sept.ru/articles/501260 (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
2. «Простое доказательство гипотезы Каталана» автор Курмет Султан 1710.0112v3.pdf [электронный ресурс] (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
3. euler.free.fr/database.txt [электронный ресурс] URL: http://euler.free.fr/database.txt (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
4. Диофантово уравнение — Википедия [электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Диофантово_уравнение (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
5. Гипотеза Каталана — Википедия [электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Каталана (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
6. Гипотеза Пиллаи — Википедия [электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Пиллаи (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
7. Пифагорова тройка — Википедия [электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагорова_тройка (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
8. Пифагорова четвёрка — Википедия [электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагорова_четвёрка (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
9. Fermat–Catalan conjecture – Wikipedia [электронный ресурс] URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat–Catalan_conjecture (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
10. Double Mersenne number – Wikipedia [электронный ресурс] URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Double_Mersenne_number#Catalan–Mersenne_number_conjecture (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
11. Aliquot sequence – Wikipedia [электронный ресурс] URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Aliquot_sequence#Catalan–Dickson_conjecture (Дата обращения: 07.04.2025 г.)

Рецензии:

26.04.2025, 23:47 Кузнецов Вячеслав Алексеевич
Рецензия: Рецензия Кузнецова Вячеслава Алексеевича на работу "Получение единицы с помощью диофантовых уравнений и гипотеза Каталана" Общая оценка: Работа Александра Тимофеевича Дудина представляет собой интересный вклад в изучение расширения гипотезы Каталана через диофантовые уравнения. Тем не менее, для повышения ясности и структурированности работы необходимо внести ряд улучшений. 1. Введение. Замечание: Введение не дает четкого представления о цели исследования и его значимости. Предложение: Уточнить формулировку проблемы. Например, можно добавить: "Цель данной работы заключается в исследовании расширения гипотезы Каталана, которая утверждает, что единственными целыми неотрицательными решениями уравнения x^a-y^b=1 являются x=3, a=2, y=2, b=3. Мы рассматриваем возможность использования других чисел и степеней для получения аналогичных равенств." 2. Методология. Замечание: Раздел методологии недостаточно структурирован. Предложение: Ввести подзаголовки и более подробно описать используемые методы. Например: "Методы исследования включают анализ диофантовых уравнений и применение теории чисел для поиска целых решений." 3. Примеры равенств. Замечание: Примеры равенств не выделены в отдельный раздел и недостаточно прокомментированы. Предложение: Создать отдельный раздел "Примеры равенств" и подробно объяснить каждое равенство. Например: Пример 1: Рассмотрим равенство 2^2-(2^2-1^n)=1. "Подставляя n=1, получаем 2^2-(2^2-1)=1, что верно. Аналогично, для n=2 равенство также выполняется." Пример 2: Рассмотрим равенство 3^2-(3^2-1^n)=1. "Для n=1 и n=2 также выполняется это равенство." 4. Обоснование значимости. Замечание: Раздел "Актуальность" не содержит конкретных примеров практического применения. Предложение: Добавить конкретные примеры и ссылки на исследования. Например: "Расширение гипотезы Каталана может быть полезно в криптографии, где диофантовые уравнения используются для создания защищенных систем. Исследования, такие как [источник], показывают, что..." 5. Заключение. Замечание: Заключение не подводит итогов и не указывает на будущие направления исследований. Предложение: Добавить обобщение и идеи для будущих исследований. Например: "В заключение, работа показала потенциальные пути расширения гипотезы Каталана, однако дальнейшие исследования могут сосредоточиться на изучении других числовых последовательностей, таких как последовательности Фибоначчи, и их связи с диофантовыми уравнениями." 6. Библиографический список. Замечание: Библиография нуждается в актуализации. Предложение: Проверить доступность всех источников и добавить комментарии о значимости каждого. Например: "Источник [1] представляет собой основополагающее исследование в области диофантовых уравнений, которое следует учитывать при дальнейших исследованиях." Заключение. Работа содержит интересные идеи и подходы, однако требует более четкой структуры и обоснования представленных результатов. Внесение предложенных изменений значительно повысит качество работы и ее научную ценность. Рекомендую к публикации при условии исправления указанных замечаний. Желаю удачи в дальнейших исследованиях!

Комментарии пользователей:

25.04.2025, 22:15 Цорин Борис Иосифович Отзыв: "Доказательство гипотезы Каталана очевидно" - ну да, то-то её полтора века доказывали. Если Вам подобные доказательства "очевидны", то Вы, как обычно, просто ничего не поняли. "Гипотеза в этом виде практически не пригодна в программировании" - а она не для программирования гипотеза. "Гипотезу Каталана можно расширить на рядом стоящие числа, например: числа 100 и 99 и другие: 100 = 3^2 + 3^3 + 4^3" - не имеет отношения к гипотезе Каталана. Составление произвольных равенств не имеет научной ценности, как и вся "статья" в целом. Статью можно удалять, как и иные статьи того же автора.

28.04.2025, 13:33 Дудин Александр Тимофеевич Отзыв: Уважаемый, Вячеслав Алексеевич! Спасибо за рецензию. Все замечания понятны и принимаются. Доработка статьи займёт некоторое время. С уважением А.Т. Дудин.

Оставить комментарий