Разделы: Математика
Размещена 17.05.2025. Последняя правка: 04.06.2025.
Просмотров - 391

Исследование не решённой проблемы гипотезы Пиллаи

Дудин Александр Тимофеевич

нет

не работаю

пенсионер

УДК 511

Введение. В 1931 году Суббайей Пиллаи была сформулирована теоретико - числовая гипотеза, обобщающая гипотезу Каталана, которая оставалась не решённой на 2024 год.

Согласно гипотезе Пиллаи при натуральных числах A,B,C уравнение:

Ax^m – By^n = C

имеет лишь конечное число решений (x,y,m,n) в натуральных числах при (m,n)≠(2,2)(m, n) не = (2,2)  и m, n>1.

Любое натуральное число C может быть представлено лишь конечным количеством разностей совершенных степеней.

В соответствии с гипотезой Пиллаи, (m, n) могут быть: (m, n) = (3, 2) или (m, n) = (2, 3), а так как ограничения, только одновременно на степени два (m, n) не = (2,2), то других ограничений на степени нет, то есть допускается: (m, n) = (3, 3); (m, n) = (4, 4); … (m, n) = (7, 7); … и т. д.

Почему ограничения на (m, n) не = (2,2), вероятно 3^2 – 2^2 = 9 – 4 = 5, получается готовое равенство из совершенных степеней и взаимно простых чисел, да и равенство Каталана начинается со степеней: 3^2 – 2^3 = 1, где (m, n) = (2, 3).

При написании статьи использованы следующие источники: [1];[2];[3].

Цель работы, подтвердить, что данная гипотеза имеет конечное число решений или опровергнуть и доказать, что данная гипотеза имеет бесконечное число решений.

Актуальность данной работы очень высока, так как гипотеза Каталана была доказана Предой  Михэйлеску в 2002 году, а эта гипотеза является обобщением гипотезы Каталана и в 2024 году она ещё оставалась не решённой проблемой.

Научная новизна заключается в том, чтобы найти решение данной проблемы.

Рассмотрим классическую гипотезу Пиллаи, в которой возьмём коэффициенты А и В равные 1.

Степени не менее (2,3); (3,2).

1. 3^2 – 2^3

9 - 8 = 1 

2. 3^3 – 5^2

27 – 25 = 2

3. 2^7 – 5^3

128 – 125 = 3

4. 5^3 – 11^2

125 – 121 = 4

2^3 – 2^2

8 – 4 = 4

 6^2 – 2^5

36 – 32 = 4

5. 2^5 – 3^3

32 –27 = 5

6. 2^4 – 3^2

16 – 9 = 7

2^5 – 5^2

32 – 25 = 7

2^7 – 11^2    

128 – 121 = 7

7. 2^4 – 2^3

16 – 8 = 8

8. 5^2 – 2^4

25 – 16 = 9

6^2 – 3^3

36 – 27 = 9

9. 3^3 – 2^4

27 – 16 = 11

10.  2^4 – 2^2              

16 – 4 = 12

11. 2^8 - 3^5

256 – 243 = 13

12. 2^6 – 7^2

 64 – 49 = 15

13. 2^5 – 2^4

32 – 16 = 16

14. 5^2 - 2^3

25 - 8 = 17   

49 – 32 = 17

81 – 64 = 17

15. 3^3 – 3^2

27 - 9  = 18

16. 3^3 – 2^3

27 – 8 = 19

17. 6^2 – 2^4

36 – 16 = 20

В приведённом примере не удалось получить С равное 6 и С равное 10. Их можно получить, если снизить показатели степени, то есть выйти за рамки гипотезы Пиллаи.

И этот факт уже свидетельствует о том, что гипотеза Пиллаи верна. Рассмотрим пример, как плотность совершенных степеней изменяется по мере удаления от начала числовой оси. Приведём ряд совершенных степеней для данного примера:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256…576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000

На этом примере видно, что по мере удаления совершенных степеней от начала числовой оси их плотность уменьшается.

В соответствии с гипотезой Пиллаи, что любое натуральное число может быть представлено конечным количеством разностей совершенных степеней,

что мы и видим, даже в приведённом примере. А если одна совершенная степень отличается от другой на миллиарды или ещё больше, то найти любое натуральное число С в этом промежутке становиться проблематичным, тем более невозможно бесконечное количество решений. Гипотеза Пиллаи верна, в этом нет сомнений. Да и какой смысл в поисках таких решений на определённом промежутке числовой оси, если он будет проходить с помощью современных компьютеров несколько десятков лет, а числовая ось бесконечна.

Но математика тем и интересна, что если есть классические гипотезы, которые невозможно доказать или опровергнуть, то всегда можно обойти это препятствие или, хотя бы, приблизиться к этой сути.

Гипотеза Пиллаи создавалась для обобщения и расширения гипотезы Каталана.

В этой работе покажем, что отступая от некоторых требований гипотезы Пиллая, можно расширить гипотезу Пиллаи и Каталана и получить интересные результаты, которые внесут вклад в диофантовы уравнения, гипотезу А, В, С,  и теорию чисел. 

Фиксированные коэффициенты А и Б не дают бесконечного количества решений:

42*2^7  – 43*5^3 = 1

42*128 – 43*125 = 1         

Подобрать к фиксированным коэффициентам А = 42 и Б = 43 совершенные степени, крайне проблематично, а может быть и невозможно, тем более найти бесчисленное количество таких решений.

На этом примере можно ещё раз убедиться, что при фиксированных коэффициентах А и Б можно найти лишь конечное количество разностей совершенных степеней. 

Этот пример подтверждает верность гипотезы Пиллаи.

Изменив коэффициент А, и показатель степени можно найти решение C = 1:

21*2^8 – 43*5^3 = 1

21*256 – 43*125 = 1   

При новых фиксированных коэффициентах А = 21 и В = 43, есть ещё одно решение, где С равно 1:

21*4^4  – 43*5^3 = 1

21*256 – 43*125 = 1 

Из приведённых примеров видно, что изменение фиксированных коэффициентов даст большее количество решений, поэтому в дальнейшем поработаем с изменением коэффициентов А и В.      

Коэффициенты А и В равны любому натуральному числу и равны между собой.

1. 3^2 – 2^3

1*9 – 1*8 = 1 

2. 2*3^3 – 2*5^2

2*27 – 2*25 = 4

3. 3*2^7 – 3*5^3

3*128 – 3*125 = 9

4. 4*5^3 – 4*11^2

4*125 – 4*121 = 16

4*2^3 – 4*2^2

4*8 – 4*4 = 16

5. 5*6^2 – 5*2^5

5*36 – 5*32 = 20

Можно получить бесконечное число натуральных чисел С.

Возьмём коэффициент А любое натуральное число, а коэффициент В равным А + 1

6. 7*2^5 – 8*3^3

7*32 – 8*27 = 8

7. 8*2^4 – 9*3^2

8*16 – 9*9 = 47

9*2^5 – 10*5^2

9*32 – 10*25 = 38

10*2^7 – 11*11^2    

10*128 – 11*121 = -51

При получении отрицательного числа С, делаем перестановку степеней:

11*11^2 - 10*2^7

11*121 - 10*128 = 51

Можно получить бесконечное число натуральных чисел С.

Применяем коэффициенты А и Б, только не чётные.

8. 7*2^4 – 5*2^3

7*16 – 5*8 = 72

Применяем коэффициенты А и Б, только чётные.

9. 6*5^2 – 4*2^4

6*25 – 4*16 = 86

4*5^2 – 6*2^4

4*25 – 6*16 = 4

10*6^2 – 12*3^3

10*36 – 12*27 = 36

Можно получить бесконечное число натуральных чисел С.

Подбираем коэффициенты методом перебора, для получения заданного числа С.

Возможны и другие методы подбора коэффициентов.

Степени не менее (2,3), (3,2)

Равенство Каталана:

3^2 – 2^3 = 1

9 - 8 = 1 

Равенства, в соответствии с уравнением, по гипотезе Пиллаи:

Аx^m – By^n = C

 

1. 5^3 --- 2^7

125, 128

42*2^7  – 43*5^3 = 1

42*128 – 43*125 = 1

84*2^7 - 86*5^3 = 2

84*128 – 86*125 = 2

126*128 – 129*125 =3

168*128 – 172*125 = 4

210*128 – 215*125 = 5

 

2. 11^2 --- 5^3

121, 125

31*11^2 - 30*5^3 = 1

31*121 - 30*125 = 1

62*11^2 - 60*5^3 = 2

62*121 - 60*125 = 2

93*121 - 90*125 = 3

124*121 - 120*125 = 4

155*121 - 150*125 = 5

 

3. 2^2 --- 5^3

4 – 125

5^3 - 31*2^2 =1

125 – 31*4 = 1

2*5^3 – 62*2^2 = 2

2*125 – 62*4 = 2

3*125 – 93*4 = 3

4*125 – 124*4 = 4

5*125 – 155*4 = 5

 

4. 31^2 --- 10^3

961, 1000

345*10^3 - 359*31^2 = 1  

345*1000 - 359*961 = 1  

690*10^3 - 718*31^2 = 2

690*1000 - 718*961 = 2  

1035*1000 – 1077*961 = 3

1380*1000 - 1436*961 = 4

1725*1000 - 1795*961 = 5

---------------------------------

641*31^2  - 616*10^3 = 1

641*961 - 616*1000 = 1

 

5. 9^3 --- 10^3

729, 1000

2369*9^3 – 1727*10^3 = 1

2369*729 – 1727*1000 = 1

4738*9^3  – 3454*10^3 = 2

4738*729 – 3454*1000 = 2

---------------------------------

1918*10^3 - 2631*9^3 = 1

1918*1000 - 2631*729 = 1

3836*10^3 - 5262*9^3 = 2

3836*1000 - 5262*729 = 2

5754*1000 - 7893*729 = 3

7672*1000 - 10524*729 = 4

9590*1000 - 13155*729 = 5

 

6. 31^2 --- 9^3

961, 729

22*31^2 - 29*9^3 = 1

22*961 - 29*729 = 1

44*31^2 - 58*9^3 = 2

44*961 - 58*729 = 2

66*961 - 87*729 = 3

88*961 - 116*729 = 4

110*961 - 145*729 = 5

 

7. 2^3 --- 3^2

8, 9

8*2^3 – 7*3^2 = 1

8*8 – 7*9 = 1

16*2^3 – 14*3^2 = 2

16*8 – 14*9 = 2

24*8 – 21*9 = 3

32*8 – 28*9 = 4

40*8 – 35*9 = 5

Равенства могут быть составлены, не зависимо от места положения числа в степени, будет оно степенью, из которой вычитают или  степенью вычитающей, их можно менять местами и получать одинаковые результаты, найдя разные алгоритмы.

Под номерами: 4; 5 и 7 приведены примеры, под номером 7, в известном равенстве Каталана, поменяли местами степени и получили равенства Пиллаи.

 

8. 26^2 --- 9^3

676, 729

55*26^2 – 51*9^3 = 1

55*676 – 51*729 = 1

110*26^2 – 102*9^3 = 2

110*676 – 102*729 = 2

165*676 – 153*729 = 3

220*676 – 204*729 = 4

275*676 – 255*729 = 5

 

9. 9^3 --- 2^2

729,  4

9^3 – 182*2^2 = 1

729 – 182*4 = 1

2*9^3 – 364*2^2 = 2

2*729 – 364*4 = 2

3*729 - 546*4 = 3

4*729 - 728*4 = 4

5*729 - 910*4 = 5

 

10. 9^3 --- 2^3

729, 8

9^3 – 91*2^3 = 1

729 – 91* 8 = 1

2*9^3 – 182*2^3 = 2

2*729 – 182* 8 = 2

3*9^3 – 273*2^3 = 3

3*729 – 273 * 8 = 3

4*729 – 364* 8 = 4

5*729 – 455*8 = 5

 

11. 3^5 --- 4^4

3^5 --- 2^8

243, 256

59*3^5 – 56*4^4 = 1

59*243 – 56*256 = 1

118*3^5 – 112*4^4 = 2

118*243 – 112*256 = 2

177*243 – 168*256 = 3

236*243 – 224*256 = 4

295*243 – 280*256 = 5

 

12. 2^8 = 256

13^2 = 169

68*2^8 – 103*13^2 = 1

68*256 – 103*169 = 1

136*2^8 – 206*13^2 = 2

136*256 – 206*169 = 2

204*256 – 309*169 = 3

272*256 – 412*169 = 4

340*256 – 515*169 = 5

 

13. 5^3 --- 4^4

5^3 --- 2^8

125 --- 256

21*4^4 - 43*5^3  = 1

21*256 - 43*125 = 1

42*4^4 - 86*5^3  = 2

42*256 - 86*125 = 2

63*256 - 129*125 = 3

84*256 - 172*125 = 4

105*256 - 215*125 = 5

21*256 - 43*125 = 1

 

14. 2^6 --- 7^3

4^3 --- 7^3

8^2 --- 7^3

64, 343

134*8^2  - 25*7^3 = 1

134*64 - 25*343 = 1

268*8^2 - 50*7^3 = 2

268*64 - 50*343 = 2

402*64 - 75*343 = 3                                    

536*64 - 100*343 = 4

670*64 - 125*343 = 5
 

15. 6^4 --- 7^5

1296, 16807

7379*6^4 – 569*7^5 = 1

7379*1296 – 569*16807 = 1

14758*6^4  – 1138*7^5 = 2

14758*1296 – 1138*16807 = 2

22137*1296 – 1707*16807 = 3

29516*1296 – 2276*16807 = 4

36895*1296 – 2845*16807 = 5

 

16. 5^6 = 15625

7^7 = 823543

51407*7^7  - 2709496*5^6  = 1

51407*823543 - 2709496*15625 = 1

102814*7^7  - 5418992*5^6  = 2

102814*823543 - 5418992*15625 = 2

154221*823543 - 8128488*15625 = 3

205628*823543 - 10837984*15625 = 4

257035*823543 - 13547480*15625 = 5

 

17. 5^7 = 78125

7^8 = 5764801

25201*7^8  - 1859568*5^7  = 1

25201*5764801 - 1859568*78125 = 1

50402*7^8  - 3719136*5^7  = 2

50402*5764801 - 3719136*78125 = 2

75603*5764801 - 5578704*78125 = 3

100804*5764801 - 7438272*78125 = 4

126005*5764801 - 9297840*78125 = 5

Выше приведёнными равенствами, можно получить любое натуральное число.

А, В - индивидуальны для каждого натурального числа С, в выше приведённых примерах, одинаковых коэффициентов А, В нет.

Рассмотрим варианты, когда x = y = 1, а показатели степени могут быть любыми натуральными числами, где m, n > 1, что не противоречит гипотезе Пиллаи:

Аx^m = By^n = C

Имеет лишь конечное число решений (x, y, m, n) в натуральных числах при

(m, n) не = (2, 2) и m, n > 1.

С помощью переменных коэффициентов А и В можно получить любое натуральное число.

2*1^3 – 1*1^3 = 1

3*1^3 – 2*1^3 = 1

4*1^3 – 3*1^3 = 1

5*1^3 – 4*1^3 = 1

 

10*1^3 – 9*1^3 = 1

9*1^3 – 8*1^3 = 1

11*1^4 – 10*1^5 = 1

101*1^3 – 10^2 = 1

1001*1^3 – 10^3 = 1

10^2 – 99*1^3 = 1

10^3 – 999*1^3 = 1

10^4 – 9999*1^5 = 1

Так как гипотеза Пиллаи является обобщённой гипотезой Каталана, то приведём примеры, расширяющие эти гипотезы.

Равенство Каталана:

3^2 – 2^3 = 1                         

9 – 8 = 1

Уравнение к гипотезе Пиллаи:

Ax^m – By^n = C

Равенства к гипотезе Пиллаи:

8*2^3 – 7*3^2 = 1

8*8 – 7*9 = 1

17*8 - 15*9 = 1

26*8 - 23*9 = 1

35*8 - 31*9 = 1

44*8 - 39*9 = 1

53*8 - 47*9 = 1

44*8 - 39*9 = 1

53*8 - 47*9 = 1

----------------------

953*8 - 847*9 =1

962*8 - 855*9 =1

---------------------

9071*8 - 8063*9 =1

 

17*9 - 19*8 = 1

33*9 - 37*8 = 1

49*9 - 55*8 = 1

65*9 - 73*8 = 1

81*9 - 91*8 = 1

97*9 - 109*8 = 1

113*9 - 127*8 = 1

129*9 - 145*8 = 1

----------------------

289*9 - 325*8 = 1

----------------------

1889*9 - 2125*8 = 1 

Из источника [2] берём пары чисел совершенных степеней и находим их разности в соответствии с уравнением к гипотезе Пиллаи, при изменении коэффициентов А и В:

Ax^m – By^n = C

2^2 – 3^3

4 - 27

3*27 – 20*4 = 1

7*27 – 47*4 = 1 

11*27 – 74*4 = 1

15*27 – 101*4 = 1

34*4 - 5*27 = 1

 

2^4 – 3^2

16 – 9

4*16 - 7*9 = 1

40*16 - 71*9 = 1

 

2^4 – 3^3

4^2 – 3^3

16 - 27

49*16 - 29*27 = 1

832*16 - 493*27 = 1

 

7^2 – 2^4

49 – 16  

17*49 – 52*16 = 1

289*49 – 885*16 = 1

 

5^2 – 2^5

25 – 32

9*25 - 7*32 = 1

105*25 – 82*32 = 1

201*25 – 157*32 = 1

18*32 - 23*25 = 1

43*32 – 55*25 = 1

 

3^3 – 2^5

27- 32

11*32 - 13*27 = 1

19*27 - 16*32 = 1

 

3^3 – 2^6

3^3 – 8^2

27 - 64

19*64 – 45*27 = 1

532*64  - 1261*27 = 1

 

2^5 – 7^2

32 -49

17 *49 - 26*32 = 1

561*49 - 859*32 =1

7^2 - 2^5

 

49 - 64

17*49 - 13*64 = 1

849*49 - 650*64 = 1

 

2^6 – 9^2

8^2 – 3^4

2^6 – 3^4

64 – 81

19*64 – 15*81 = 1

1234*64 – 975*81 = 1

 

10^2 – 3^4

100 – 81

21*81 - 17*100 = 1

1721*81 - 1394*100 = 1

 

11^2 – 3^4

121 - 81

3*81 - 2*121 = 1

366*81 - 245*121 = 1

 

9^2 – 2^9

9^2 – 8^3

3^4 - 2^9

3^4 - 8^3

81 - 512

689*81 - 109*512 = 1

1201*81 - 190*512 = 1

53*512 - 335*81 = 1 

Равенство Каталана и равенства к гипотезе Пиллаи в степенях (m, n) = (2,3) или (m, n) = (3,2), степени могут быть и другими, что расширяет количество равенств к гипотезе Пиллаи. 

3^2 – 2^3 = 1

9 – 8 = 1

Возведём 9 и 8 соответственно: (m, n) = (2,3):                         

9^2 – 8^3

177*9^2 – 28*8^3 = 1

177*81 - 28*512 =1

689*81 - 109*512 = 1

53*8^3 – 335*9^2 = 1

53*512 - 335*81 = 1

 

При x = y =1; m = n = (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7)…  и т.д. будет бесчисленное множество равенств:

20*1^3 – 19*1^3 = 1

200*1^4  – 199*1^4 = 1

2000*1^7 - 1999*1^7 = 1

100*1^9 - 99*1^9 = 1

3000*1^5 - 2999*1^5 = 1

При x = y =1, и m не равно n, - будет бесчисленное множество равенств:

59*1^7 - 58*1^3 = 1

77*1^6 -76*1^4 = 1

Заключение. Проведя исследование гипотезы Пиллаи, убеждаемся, что равенств к гипотезе Пиллаи бесчисленное множество, при изменении коэффициентов А и В.

В данном случае ограничивались С = 1, так как этот результат расширяет гипотезу Каталана.

Гипотеза Пиллаи предполагает С равному любому положительному числу, это ещё раз подтверждает, что равенств к гипотезе Пиллаи бесчисленное множество, при изменении коэффициентов А и В.

Выводы. Любое натуральное число C может быть представлено бесконечным количеством разностей совершенных степеней, при изменении коэффициентов А и В.

Гипотеза Пиллаи обобщает гипотезу Каталана, обогащает теорию чисел, гипотезу АBC и вносит вклад в диофантовы уравнения.

1. Гипотеза Пиллаи — Википедия [электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Пиллаи (Дата обращения: 14.05.2025 г.)
2. Совершенная степень — Википедия [электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Совершенная_степень (Дата обращения: 14.05.2025 г.)
3. Дудин А.Т. Получение единицы с помощью диофантовых уравнений и гипотеза Каталана [электронный ресурс] URL: https://sci-article.ru/stat.php?i=1744880626 (Дата обращения: 14.05.2025 г.)

Рецензии:

19.05.2025, 19:53 Кузнецов Вячеслав Алексеевич
Рецензия: Рецензия на интерпретацию гипотезы Пиллаи в трактовке Зорина В своей интерпретации гипотезы Пиллаи Зорин утверждает, что общее диофантово уравнение с целыми коэффициентами при степенях переменных имеет лишь конечное число решений при любом фиксированном значении свободного члена, независимо от выбора этих коэффициентов. Однако такое утверждение является чрезмерным обобщением и не соответствует строгой математической формулировке исходной гипотезы Пиллаи. Классическая гипотеза Пиллаи, сформулированная в 1931 году, касается уравнений, в которых коэффициенты при переменных равны единице. В этом случае предполагается, что при фиксированном значении свободного члена уравнение имеет лишь конечное число решений в натуральных числах, если степени переменных также фиксированы. То есть гипотеза относится к ситуации с постоянными, не зависящими от параметров коэффициентами. Между тем, форма уравнения, рассматриваемая Зориным, допускает изменение коэффициентов. Это обстоятельство открывает возможность построения бесконечных семейств решений при одном и том же значении свободного члена. В качестве примера можно привести параметрическую зависимость коэффициентов и переменных, при которой значение правой части уравнения остаётся постоянным, тогда как коэффициенты изменяются от случая к случаю. В результате каждое новое значение параметра даёт новое решение уравнения, и таким образом образуется бесконечная совокупность решений при фиксированном значении свободного члена. Данный пример ясно показывает, что без фиксации коэффициентов утверждение о конечности числа решений не имеет универсальной силы. Следовательно, подход Зорина, в котором не проводится различия между случаями с фиксированными и переменными коэффициентами, приводит к некорректному обобщению гипотезы Пиллаи. Таким образом, автору следовало бы чётко разграничить два принципиально разных случая: Уравнение с фиксированными коэффициентами, что соответствует области действия классической гипотезы Пиллаи; Уравнение с варьирующимися коэффициентами, для которого утверждение о конечности решений может быть нарушено. В заключение важно подчеркнуть необходимость строгости в формулировках, особенно при обращении к нерешённым гипотезам. Корректное понимание гипотезы Пиллаи предполагает, что все коэффициенты уравнения являются фиксированными. В противном случае универсальность утверждения о конечности решений теряется. Рекомендация: Статья может быть рекомендована к публикации при условии внесения уточнений, направленных на чёткое разграничение между классической формулировкой гипотезы Пиллаи и её обобщёнными интерпретациями с переменными коэффициентами. Это позволит избежать недоразумений и обеспечит необходимую научную точность.

3.06.2025, 0:26 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Рецензия В.А. Кузнецова написана некоему Зорину, а не автору. Работа полна синтаксических и грамматических ошибок типа: "Согласно гипотезы Пиллаи, при натуральных числах" вместо "Согласно гипотезе Пиллаи при натуральных числах...". И таких не выделений причастных и деепричастных оборотов и пр. много.



Комментарии пользователей:

19.05.2025, 8:14 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Как и две прошлые "статьи" г-на Дудина, которые он считает математическими, данная статья сводится к "берем известную гипотезу, не понимаем ее, искажаем ее, получаем иное утверждение, находим к этому утверждению контрпример, объявляем его контрпримером к исходной гипотезе". Ну что ж, с физикой получалось не лучше, так что перенос внимания г-на Дудина с физики на математику вроде бы никому не вредит, кроме самого г-на Дудина.

Оставить комментарий