Разделы: Математика, Спорт
Размещена 28.05.2025. Последняя правка: 03.08.2025.
Просмотров - 795

Математическая игра «Интересные числа»

Частухин Александр Евгеньевич

-

Индивидуальный предприниматель

-

УДК 51-8; 794.2; 794.5; 794.02; 511

Введение

В работе [1] вводилось понятие интересных чисел. К ним относятся простые числа и совершенные степени.

Также в работе [1] вводилось понятие расширенных степеней. Это натуральные числа вида , где a₁, a₂, a₃, …, a_i – простые числа; n₁, n₂. n₃, …, n_i – натуральные числа больше 1; i – неотрицательное целое число.

Из этого определения понятно, что совершенные степени являются частным случаем расширенных степеней. Расширенные степени также относятся к интересным числам. В данной работе (как и в работе [1]) мы будем для краткости называть и совершенные степени, и расширенные степени просто степенями.

Актуальность

Итак, в работе [1] было введено понятие интересных чисел и было предложено несколько красивых гипотез, в которых эти числа, так или иначе, участвуют. В данной же работе было бы актуально найти не менее красивое применение интересным числам, но в какой-то другой сфере, в чем-то другом.

Цели

Предложить интересную, красивую, логическую математическую игру, которая основывалась бы на интересных числах.

Научная новизна

Приведенная ниже математическая игра, а также связанная с ней математическая гипотеза, предложены в данной работе впервые.

Числа 0 и 1

Данные два числа, несомненно, относятся тоже к интересным числам. Как минимум эти два числа являются степенями, поскольку их можно представить в виде: 0 = 0ⁿ и 1 = 1ⁿ, где n > 1.

Но также эти два числа могут быть приравнены и к простым числам. В работе [1] про это уже было написано относительно числа 1, но такая же логика применима и к числу 0.

Если дать такое определение простого числа, как числа имеющего только два делителя, не превышающих само это число, то окажется, что число 1 даже проще, чем простые числа, а число 0 даже проще, чем число 1.

Действительно, простое число 2 делится только на 2 делителя, не превышающих само число 2, только на 1 и 2. Число 1 делится только на 1 делитель, не превышающий само число 1, только на 1. А число 0 делится только на 0 делителей, не превышающих само число 0. Число 0 не делится даже на само себя, поскольку на 0 делить нельзя.

Согласно такой логике числа 0 и 1 могут быть приравнены к простым числам. И тем самым эти два числа являются и степенями, и простыми числами, т.е. эти два числа являются универсальными числами.

Как еще одно подтверждение корректности приравнивания чисел 0 и 1 к простым числам служит работа [2], в которой вводилось понятие уровня коммутативного математического действия над числами. И в данной работе приводилось, что простые числа (2, 3, 5, 7, … и т.д.) являются простыми числами 1-го уровня – уровня умножения, число 1 является единственным простым числом 0-го уровня – уровня сложения, а число 0 является единственным простым числом -1-го уровня (см. работу [2]).

Интересные разбиения

Определение. Бинарные разбиения вида:

 

где И₁, И₂ и И₃ – взаимно простые интересные числа, называются интересными разбиениями.

В данном определении написано, что интересные числа в уравнении (1) должны быть взаимно простыми. Другими словами то или иное уравнение (1) будет считаться интересным, если его нельзя уменьшить при помощи деления.

Например, уравнение:

 

не будет интересным, поскольку его можно уменьшить, разделив обе его части на 2.

А уравнение:

 

интересным будет, поскольку его никак нельзя уменьшить при делении (его можно разделить только на 1).

Уравнение:

 

также будет интересным, поскольку оно никак не уменьшится даже при делении на сколь угодно большие натуральные числа (его уже некуда уменьшать).

Правила игры

1. Игра полностью построена на интересных числах и интересных разбиениях.

2. В игру можно играть как одному, так и нескольким игрокам.

3. Игровое поле представляет собой квадратную сетку (теоретически она может быть сколь угодно большой, см. правила ниже), и вначале игры на ней уже поставлены только два универсальных числа – 0 и 1:

 

Рис. 1. Игровое поле вначале игры.

4. Ход игрока – это помещение на игровое поле в одну пустую клетку еще одного интересного числа, являющегося суммой двух уже имеющихся на игровом поле интересных чисел согласно уравнению интересных разбиений (1). (Важно напомнить, что в интересных разбиениях участвуют только взаимно простые числа. Т.е. например, разбиение 36 + 64 = 100 не является интересным, хотя все три числа здесь интересные.)

При этом два уже имеющихся на игровом поле интересных числа должны располагаться обязательно рядом друг с другом, прямо или по диагонали:

 

Рис. 2. Четыре варианта расположения двух интересных чисел, чтобы поместить на игровое поле новое интересное число, являющееся их суммой.

А новое интересное число, являющееся суммой этих двух интересных чисел, может быть помещено на игровое поле только рядом с ними согласно следующим вариантам (отмечены крестиком):

 

Рис. 3. Варианты помещения нового интересного числа рядом с уже имеющимися на игровом поле двумя рядом расположенными интересными числами.

Например, вначале игры (см. рис. 1) игрок имеет право по интересному разбиению 0 + 1 = 1 поместить новое интересное число 1 на игровое поле только согласно следующим четырем вариантам (отмечены крестиком):

 

Рис. 4. Варианты помещения нового интересного числа 1 на игровое поле вначале игры.

Естественно, если число, являющееся суммой двух уже имеющихся на игровом поле интересных чисел, не будет являться интересным (например, 3 + 7 = 10, число 10 не является интересным числом), то такое число нельзя помещать на игровое поле.

5. В случае, когда в игре участвует больше одного игрока, необходимо отмечать (например, цветом), кто из игроков поместил на игровое поле то или иное интересное число. Во-первых, это нужно, чтобы по итогу игры определить победителя (см. ниже). Во-вторых, в случае, когда в игре участвует несколько игроков, то тот или иной игрок в свой ход имеет право поместить на игровое поле новое интересное число, являющееся суммой не любых двух уже имеющихся на игровом поле интересных чисел. А только тех двух интересных чисел, которые были помещены ранее на игровое поле обязательно этим же игроком, или если это первоначальные 0 и 1 (см. рис. 1), которые являются как бы общими числами, принадлежащими всем игрокам. (Это первый вариант игры.)

Например, в игре участвуют два игрока. Первый игрок сделал свой первый ход согласно интересному разбиению 0 + 1 = 1, поместив на игровое поле число 1 (помечено зеленым цветом):

 

Рис. 5. Первый ход первого игрока.

 

В этом случае второй игрок не имеет права согласно интересному разбиению 1 + 1 = 2 помещать на игровое поле число 2, поскольку в данном случае одно из двух чисел 1 принадлежит другому игроку.

Допустим также второй вариант игры, в котором при помещении на игровое поле нового интересного числа только одно из двух уже имеющихся на игровом поле интересных чисел должно принадлежать текущему игроку, совершающему свой ход, или быть первоначальным числом 0 или 1. Данный вариант игры актуален при большом количестве игроков.

Нетрудно посчитать, что при первом варианте в игре может участвовать максимум 4 игрока, а при втором варианте – максимум 10 игроков.

6. Если у того или иного игрока нет никаких вариантов поместить новое интересное число на игровое поле, то он пропускает свой ход. В противном случае то или иное новое интересное число текущий игрок поместить на игровое поле обязан. Просто так ход пропускать нельзя.

7. Если у всех игроков нет никаких вариантов поместить новое интересное число на игровое поле, то игра заканчивается. Также игра может быть закончена в любой момент по договоренности между игроками. Например, когда победа одного из них очевидна, и остальные игроки сдаются.

8. Побеждает в игре тот из игроков, кто поместил на игровое поле наибольшее интересное число. Поскольку то или иное определенное интересное число может быть помещено на игровое поле не единожды, поэтому в данной игре может быть и несколько победителей или ничья.

9. В случае, когда в игре участвует только один игрок, игра имеет смысл в максимальном интересном числе, которое он сможет поместить на игровое поле, т.е. в его личном рекорде. Например, как в классических играх «Тетрис» или «Pentix», каждый игрок играет отдельно свою игру, но кто из игроков наберет больше очков или побьет рекорд? Также и здесь, играя отдельно, кто из игроков сможет поместить на игровое поле максимальное интересное число?

В данную игру можно играть как на бумаге (например, в тетради в клеточку), так и создав ее электронный аналог.

Приведем несколько примеров сыгранных партий.

Пример 1. В игре участвуют два игрока. Первым ходит «зеленый» игрок. Ставить новое интересное число можно, только если оно является суммой двух своих ранее поставленных интересных чисел (пункт 5, вариант 1 в правилах игры). См. рис. 6:

 

Рис. 6. Пример 1 сыгранных партий.

В данной игре больше поставить интересных чисел нет возможности у обоих игроков. И побеждает в игре «голубой» игрок, поскольку он смог поместить на игровое поле максимальное число 216, а «зеленый» игрок – максимальное число 100.

Пример 2. В игре участвуют три игрока. Первым ходит «зеленый» игрок, вторым – «голубой», третьим – «желтый». Ставить новое интересное число можно, если оно является суммой двух ранее поставленных интересных чисел, среди которых достаточно одного принадлежащего текущему игроку (пункт 5, вариант 2 в правилах игры). См. рис. 7:

 

Рис. 7. Пример 2 сыгранных партий.

В данной игре больше поставить интересных чисел нет возможности ни у кого. И побеждает в игре «желтый» игрок, поскольку он смог поместить на игровое поле максимальное число 491. Второе место занимает «голубой» игрок, поместивший на игровое поле максимальное число 457. И последнее место занимает «зеленый» игрок, поместивший на игровое поле максимальное число 167.

Пример 3. Одиночная игра до максимального интересного числа 2 025 (текущий год является интересным числом и равен 45²):

 

Рис. 8. Пример 3 сыгранных партий.

На этом рисунке желтым цветом отмечены универсальные числа (кроме первоначальных универсальных чисел 0 и 1), зеленым цветом – степени (включая расширенные степени), голубым цветом – простые числа.

Пример 4. Одиночная игра до максимального интересного числа 14 437:

 

Рис. 9. Пример 4 сыгранных партий.

Пример 5. Одиночная игра до максимального интересного числа 121 697:

 

Рис. 10. Пример 5 сыгранных партий.

Пример 6. Одиночная игра до максимального интересного числа 11 975 603:

 

Рис. 11. Пример 6 сыгранных партий.

Интересное число 11 975 603 это максимальное число, которое мы набрали, играя в данную игру. Если кто-либо из читателей сможет набрать больше, то было бы интересно видеть Ваши результаты в комментариях к этой статье.

В предложенную в данной работе игру «Интересные числа» возможно удобнее будет играть, имея при себе табличку интересных чисел хотя бы до 5 000. Приведем ее здесь:

 

В данной таблице зеленым цветом выделены универсальные числа 0 и 1, розовым цветом – степени (включая расширенные степени), не выделенные цветом числа являются простыми.

Гипотеза игры «Интересные числа»

Формулировка сильная. В игре «Интересные числа» можно поместить на игровое поле любое интересное число больше 0 (число 0 изначально уже имеется на игровом поле).

Формулировка слабая. В игре «Интересные числа» можно поместить на игровое поле возможно не любое, но сколь угодно большое интересное число.

Разница этих двух формулировок состоит в том, что согласно слабой формулировке, возможно, не абсолютно любое интересное число можно поместить на игровое поле. Например, гипотетически нельзя на него поместить число 20 000. Но зато гипотетически можно поместить на него большее число, например 20 011. А согласно сильной формулировке абсолютно любое сколько угодно большое интересное число можно поместить на игровое поле (и 20 000, и 20 011, и остальные).

Выводы

1. Описаны свойства чисел 0 и 1, позволяющие их относить одновременно и к простым числам, и к совершенным степеням, и тем самым позволяющие их называть универсальными числами.

2. Сформулировано понятие интересных разбиений, в которых участвуют только интересные числа.

3. Сформулированы правила математической игры «Интересные числа».

4. Приведены несколько примеров сыгранных партий.

5. Приведена таблица интересных чисел до 5 000.

6. Сформулированы сильный и слабый варианты гипотезы игры «Интересные числа».

1. Частухин А. Е. Бинарная проблема. [Электронный ресурс] // Электронный периодический научный журнал «SCI-ARTICLE.RU». 2025. №3. С. 74-93. URL: https://sci-article.ru/number/03_2025.pdf (дата обращения: 22.05.2025).
2. Частухин А. Е. Уровни математических действий над числами. Уровни простоты и иррациональности чисел. [Электронный ресурс] // SCI-ARTICLE.RU. 2023. URL: https://sci-article.ru/stat.php?i=1681246966 (дата обращения: 22.05.2025).
3. Тропина Н. В., Коваленко Л. Н. Интеллектуальные математические игры: (Метод. указания, сценарии) / Н. В. Тропина, Л. Н. Коваленко; М-во образования Рос. Федерации, Новосиб. гос. пед. ун-т. - Новосибирск: НГПУ, 2000. - 53 с.
4. Mathematical game. [Электронный ресурс] // URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_game (дата обращения: 22.05.2025).

Рецензии:

3.06.2025, 21:48 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Статья интересная (каламбур с интересными числами), рекомендуется к публикации. И это несмотря на то, что рецензенту очень не нравится этот термин "интересные числа". Наверняка есть какие-то другие прилагательные к слову "числа", которые бы были более "интересны". Бинарные, диады, простые триады... Игра интересная. Однако на личный взгляд рецензента, 0 лучше убрать вовсе, да и единицу, т.к. в сумме с ней любая триада "интересна". Может начать игру с реальных "интересных" триад: 2+3, 2+5, 2+7, 3+4 и т.д.? Вообще, надо стараться отказываться от игр с нулём, это опасное занятие. Если мы возводим число в степень чётную или чётную, всё равно подразумевается деление как минимум на само основание. А посему возведение в степень числа 0 - это бессмыслица: и умножение 0 на 0, и деление на 0, да ещё самого числа 0 ещё большая бессмыслица. Но это дело автора: учесть это мнение и концепцию или нет. Статьи здесь публикуются именно для последующих дискуссий, чего как раз здесь не хватает.

15.06.2025, 9:18 Усов Геннадий Григорьевич
Рецензия: Александр Евгеньевич! Вы применяете термин "интересные числа", причём не один раз. Но Вы не определили этот термин. От чего зависит понятие "интересное число"? Как проверить, что число - интересное? И кому оно интересно? Ведь любое число может быть интересно: кому нравится поп, кому попадья, а кому... Или как в лото - каждому (!) числу давать название.

16.06.2025, 13:12 Усов Геннадий Григорьевич
Рецензия: Я извиняюсь перед научным сообществом журнала за то, что предыдущее сообщение поместил вместо отзывов в рецензию. Теперь рецензия. Автор предлагает математическую игру как для одного игрока, так и для нескольких игроков. Причём, даже можно использовать тетрадь в клеточку. При этом определяются интересные числа, которые заносятся в соответствующие клеточки. Автор сослался на определение интересных чисел в предыдущих работах, а в настоящей работе определение таких чисел не дал. Когда числа маленькие, то интересные числа можно узнать. Если числа большие, то необходимо подключать как программы сложения больших чисел, так и программы определения интересных чисел (в соответствии с их определением). То есть, имеет место обычная компьютерная игра, где программа будет определять различные интересные числа на данном шаге игры, возможные ходы противника на следующем шаге и т.д. То есть, в данной игре играют не игроки, и их программы, причём не на листе тетрадки в клеточку. Например, на рис. 7 необходимо оценить около 50 сумм двух чисел и около 50 возможных интересных чисел (либо таблица, либо компьютер). Кому это будет интересно? При этом программа, если она хорошо сделана и будет у всех игроков, может вообще сразу определить всю картину интересных чисел до самого последнего числа. По сути дела в данной игре с помощью интересных составных чисел ищутся интересные простые числа. Тогда, с тем же успехом, можно программу поиска простых чисел тоже назвать некоторой компьютерной игрой. Рецензент пока не видит интереса к данной (компьютерной) игре, тем более на листе тетрадки в клеточку. Интересно будет ознакомиться с другими мнениями по данной игре.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий