Разделы: Математика
Размещена 31.05.2025. Последняя правка: 04.06.2025.
Просмотров - 457

Формулы сложения степеней

Дудин Александр Тимофеевич

нет

не работаю

пенсионер

УДК 511

Введение. Известны формулы сложения степеней, приведём пример:

3^3 + 3^3 = 2*3^3

27 + 27 = 2*27

3^3 + 3*3^3 = 4*3^3

27 + 3*27 = 4*27

2*3^3 + 3*3^3 = 5*3^3

2*27 +3*27 = 5*27

54 + 81 = 135

Здесь одинаковые основания и одинаковые показатели степеней.

При решении диофантовых уравнений, часто встречаются разные показатели степеней при одинаковом основании, что вызывает затруднения в решении таких уравнений.

При написании работы опирался на следующие источники: [1];[2];[3];[4];[5].

Цель этой работы, найти алгоритмы для более сложных формул сложения степеней.

Актуальность этой работы, обусловлена тем, что при новых найденных алгоритмах расчёт степенных равенств упрощается и ускоряется, как при решении задач с помощью калькулятора, так и при программировании и решении более сложных задач на компьютере.

Новизна этой работы обусловлена тем, что применяя новые алгоритмы к формулам сложения степеней, расширяем возможности математического инструмента решения степенных уравнений.

Алгоритмы к новым формулам сложения степеней не нуждаются в особых пояснениях, всё очевидно из приведённых примеров. В дальнейшем количество примеров будет сокращено до двух, так как дана общая формула сложения. Очевидно, что из формул сложения степеней следуют и формулы вычитания степеней, поэтому на них останавливаться не будем, приведём пример.

Формула сложения:

2*2^1 + 3*2^2 = 2*2^3

4 + 12 = 16

Формулы вычитания:

2*2^3 - 3*2^2 = 2*2^1

16 – 12 = 4

2*2^3 - 2*2^1 = 3*2^2

16 – 4 = 12

2*2^1 + 3*2^2 = 2*2^3

4 + 12 = 16

2*2^2 + 3*2^3 = 2*2^4

8 + 24= 32

2*2^3 + 3*2^4 = 2*2^5

16 + 48 = 64

2*2^4 + 3*2^5 = 2*2^6

32 + 96 = 128

---------------------------------------

2*2^10 + 3*2^11 = 2*2^12

2048 + 6144 = 8192

2*2^n + 3*2^(n+1) = 2*2^(n+2)

 

4*2^1 +3*2^3 = 2*2^4

8 + 24 = 32

4*2^2 + 3*2^4 = 2*2^5

16 + 48 = 64

4*2^3 +3*2^5 = 2*2^6

32 + 96 = 128

4*2^4 + 3*2^6 = 2*2^7

64 + 192 = 256

---------------------------------------

4*2^n + 3*2^(n+2) = 2*2^(n+3)

 

8*2^1 +3*2^4 = 2*2^5

16 + 48 = 64

8*2^2 +3*2^5 = 2*2^6

32 + 96 = 128

8*2^3 + 3*2^6 = 2*2^7

64 + 192 = 256

8*2^4 +3*2^7 = 2*2^8

128 + 384 = 512

----------------------------------------

8*2^n + 3*2^(n+3) = 2*2^(n+4)

 

16*2^1 +3*2^5 = 2*2^6

32 + 96 = 128

16*2^2 + 3*2^6 = 2*2^7

64 + 192 = 256

-----------------------------------------

16*2^n + 3*2^(n+4) = 2*2^(n+5)

 

9*3^1 + 3*3^2 = 2*3^3

27 + 27 = 54

9*3^2 + 3*3^3 = 2*3^4

81 + 81 = 162

------------------------------------

9*3^n + 3*3^(n+1) = 2*3^(n+2)

 

27*3^1 + 3*3^3 = 2*3^4

81 + 81 = 162

27*3^2 + 3*3^4 = 2*3^5

243 + 243 = 486

----------------------------------------

27*3^n + 3*3^(n+2) = 2*3^(n+3)

 

27*3^1 + 2*3^4 = 3^5

81 + 162 = 243

27*3^2 + 2*3^5 = 3^6

243 + 486 = 729

-----------------------------------------

27*3^n + 2*3^(n+3) = 3^(n+4)

 

81*3^1 + 2*3^5 = 3^6

243 + 486 = 729

81*3^2 + 2*3^6 = 3^7

729 + 1458 = 2187

----------------------------------------

81*3^n+ 2*3^(n+4) = 3^(n+5)

 

12*4^1 +5*4^2 = 2*4^3

48 + 80 = 128

12*4^2 +5*4^3 = 2*4^4

192 + 320 = 512

-----------------------------------------

12*4^n + 5*4^(n+1) = 2*4^(n+2)

 

48*4^1 + 4^3 = 4^4

192 + 64 = 256

48*4^2 + 4^4 = 4^5

768 + 256 = 1024

-----------------------------------

48*4^n + 4^(n+2) = 4^(n+3)

 

192*4^1 + 4^4 = 4^5

768 + 256 = 1024

192*4^2 + 4^5 = 4^6

3072 + 1024 = 4096

-------------------------------------

192*4^n + 4^(n+3) = 4^(n+4)

 

20*5^1 + 5^2 = 5^3

100 + 25 = 125

20*5^2 + 5^3 = 5^4

500 + 125 = 625

-----------------------------------

20*5^n + 5^(n+1) = 5^(n+2)

 

100*5^1 + 5^3 = 5^4

500 + 125 = 625

100*5^2 + 5^4 = 5^5

2500 + 625 = 3125

-------------------------------------

100*5^n + 5^(n+2) = 5^(n+3)

500*5^1 + 5^4 = 5^5

2500 + 625 = 3125

500*5^2 + 5^5 = 5^6

12500 + 3125 = 15625

------------------------------------

500*5^n + 5^(n+3) = 5^(n+4)

 

30*6^1 + 6^2 = 6^3

180 + 36 = 216

30*6^2 + 6^3 = 6^4

1080 + 216 = 1296

-----------------------------------

30*6^n + 6^(n+1) = 6^(n+2)

 

180*6^1 + 6^3 = 6^4

1080 + 216 = 1296

180*6^2 + 6^4 = 6^5

6480 + 1296 = 7776

------------------------------------

180*6^n + 6^(n+2) = 6^(n+3)

 

1080*6^1 + 6^4 = 6^5

6480 + 1296 = 7776

1080*6^2 + 6^5 = 6^6

38880 + 7776 = 46656

--------------------------------------

1080*6^n + 6^(n+3) = 6^(n+4)

 

42*7^1 + 7^2 = 7^3

294 + 49 = 343

42*7^2 + 7^3 = 7^4

2058+ 343 = 2401

-----------------------------------

42*7^n + 7^(n+1) = 7^(n+2)

 

294*7^1 + 7^3 = 7^4

2058 + 343 = 2401

294*7^2 + 7^4 = 7^5

14406 + 2401 = 16807

------------------------------------

294*7^n + 7^(n+2) = 7^(n+3)

 

56*8^1 + 8^2 = 8^3

448 + 64 = 512

56*8^2 + 8^3 = 8^4

3584+ 512 = 4096

-----------------------------------

56*8^n + 8^(n+1) = 8^(n+2)

 

448*8^1 + 8^3 = 8^4

3584 + 512 = 4096

448*8^2 + 8^4 = 8^5

28672 + 4096 = 32768

------------------------------------

448*8^n + 8^(n+2) = 8^(n+3)

 

72*9^1 + 9^2 = 9^3

648 + 81 = 729

72*9^2 + 9^3 = 9^4

5832 + 729 = 6561

-----------------------------------

72*9^n + 9^(n+1) = 9^(n+2)

 

648*9^1 + 9^3 = 9^4

5832 + 729 = 6561

648*9^2 + 9^4 = 9^5

52488 + 6561 = 59049

------------------------------------

648*9^n + 9^(n+2) = 9^(n+3)

 

90*10^1 + 10^2 = 10^3

900 + 100 = 1000

90*10^2 + 10^3 = 10^4

9000 + 1000 = 10000

-------------------------------------

90*10^n + 10^(n+1) = 10^(n+2)

 

900*10^1 + 10^3 = 10^4

9000 + 1000 = 10000

900*10^2 + 10^4 = 10^5

90000 + 10000 = 100000

---------------------------------------

900*10^n + 10^(n+2) = 10^(n+3)

 

2^1+2^2 = 3*2^1

2+4 = 6

2^2+2^3 = 3*2^2

4 + 8 = 12

2^3 + 2^4 = 3*2^3

8 + 16 = 24

---------------------------

2^n + 2^(n+1) = 3*2^n

 

3^1 + 3^2 = 4*3^1

3 + 9 = 12

3^2 + 3^3 = 4*3^2

9 + 27 = 36

-----------------------------

3^n + 3^(n+1) = 4*3^n

 

4^1 + 4^2 = 5*4^1

4 +16 = 20

4^2 + 4^3 = 5*4^2

16 + 64 = 80

-----------------------------

4^n + 4^(n+1) = 5*4^n

 

5^1 + 5^2 = 6*5^1

5 + 25 = 30

5^2 + 5^3 = 6*5^2

25 +125 = 150

----------------------------

5^n + 5^(n+1) = 6*5^n

 

6^1 + 6^2 = 7*6^1

6 + 36 = 42

6^2 + 6^3 = 7*6^2

36 + 216 = 252

------------------------------

6^n + 6^(n+1) = 7*6^n

 

7^1 + 7^2 = 8*7^1

7 + 49 = 56

7^2 + 7^3 = 8*7^2

49 + 343 = 392

------------------------------

7^n + 7^(n+1) = 8*7^n

 

8^1 + 8^2 = 9*8^1

8 + 64 = 72

8^2 + 8^3 = 9*8^2

49 + 343 = 392

------------------------------

8^n + 8^(n+1) = 9*8^n

 

9^1 + 9^2 = 10*9^1

9 + 81 = 80

9^2 + 9^3 = 10*9^2

81 + 729 = 810

------------------------------

9^n + 9^(n+1) = 10*9^n

 

10^1 + 10^2 = 11*10^1

10 + 100 = 110

10^2 + 10^3 = 11*10^2

100 + 1000 = 1100

------------------------------

10^n + 10^(n+1) = 11*10^n

 

11^1 + 11^2 = 12*11^1

11 + 121 = 132

11^2 + 11^3 = 12*11^2

121 + 1331 = 1452

------------------------------

11^n + 11^(n+1) = 12*11^n

 

2^1+2^3 = 5*2^1

2 + 8 = 10

2^2+2^4 = 5*2^2

4 + 16 = 20

2^3 + 2^5 = 5*2^3

8 + 32 = 40

-----------------------------

2^n + 2^(n+2) = 5*2^n

 

3^1 + 3^3 = 10*3^1

3 + 27 = 30

3^2 + 3^4 = 10*3^2

9 + 81 = 90

-----------------------------

3^n + 3^(n+2) = 10*3^n

 

4^1 + 4^3 = 17*4^1

4 + 64 = 68 

4^2 + 4^4 = 17*4^2

16 + 256 = 272

-------------------------------

4^n + 4^(n+2) = 17*4^n

 

5^1 + 5^3 = 26*5^1

5 + 125 = 130

5^2 + 5^4 = 26*5^2

25 + 625 = 650

-------------------------------

5^n + 5^(n+2) = 26*5^n

 

6^1 + 6^3 = 37*6^1

6 + 216 = 222

6^2 + 6^4 = 37*6^2

36 + 1296 = 1332

-------------------------------

6^n + 6^(n+2) = 37*6^n

 

7^1 + 7^3 = 50*7^1

7 + 343 = 350

7^2 + 7^4 = 50*7^2

49 + 2401 = 2450

-------------------------------

7^n + 7^(n+2) = 50*7^n

 

8^1 + 8^3 = 65*8^1

8 + 512 = 520

8^2 + 8^4 = 65*8^2

64 + 4096 = 4160

-------------------------------

8^n + 8^(n+2) = 65*8^n 

 

9^1 + 9^3 = 82*9^1

9 + 729 = 738

9^2 + 9^4 = 82*9^2

81 + 6561 = 6642

-------------------------------

9^n + 9^(n+2) = 82*9^n

 

10^1 + 10^3 = 101*10^1

10 + 1000 = 1010

10^2 + 10^4 = 101*10^2

100 + 10000 = 10100

-------------------------------

10^n + 10^(n+2) = 101*10^n

 

11^1 + 11^3 = 122*11^1

11 + 1331 = 1342

11^2 + 11^4 = 122*11^2

121 + 14641 = 14762

-------------------------------

11^n + 11^(n+2) = 122*11^n

 

------------------------------------

 

19^1 + 19^3 = 362*19^1

19 + 6859 = 6878

19^2 + 19^4 = 362*19^2

361 + 130321 = 130682

-----------------------------------

19^n + 19^(n+2) = 362*19^n

 

2^1+2^4 = 9*2^1

2 + 16 = 18

2^2+2^5 = 9*2^2

4 + 32 = 36

------------------------------

2^n + 2^(n+3) = 9*2^n

 

3^1 + 3^4 = 28*3^1

3 + 81 = 84

3^2 + 3^5 = 28*3^2

9 + 243 = 252

------------------------------

3^n + 3^(n+3) = 28*3^n

 

4^1 + 4^4 = 65*4^1

4 + 256 = 260

4^2 + 4^5 = 65*4^2

16 + 1024 = 1040

-------------------------------

4^n + 4^(n+3) = 65*4^n

 

5^1 + 5^4 = 126*5^1

5 + 625 = 630

5^2 + 5^5 = 126*5^2

25 + 3125 = 3150

-------------------------------

5^n + 5^(n+3) = 126*5^n

 

6^1 + 6^4 = 217*6^1

6 + 1296 = 1302

6^2 + 6^5 = 217*6^2

36 + 7776 = 7812

-------------------------------

6^n + 6^(n+3) = 217*6^n

 

7^1 + 7^4 = 344*7^1

7 + 2401 = 2408

7^2 + 7^5 = 344*7^2

49 + 16807 = 16856

-------------------------------

7^n + 7^(n+3) = 344*7^n

 

8^1 + 8^4 = 513*8^1

8 + 4096 = 4104

8^2 + 8^5 = 513*8^2

64 + 32768 = 32832

-------------------------------

8^n + 8^(n+3) = 513*8^n

 

9^1 + 9^4 = 730*9^1

9 + 6561 = 6570

9^2 + 9^5 = 730*9^2

81 + 59049 = 59130

-------------------------------

9^n + 9^(n+3) = 730*9^n 

 

10^1 + 10^4 = 1001*10^1

10 + 10000 = 10010

10^2 + 10^5 = 1001*10^2

100 + 100000 = 100100

-------------------------------

10^n + 10^(n+3) = 1001*10^n 

 

Заключение.

Вновь найденные и приведённые алгоритмы формул сложения, не нуждаются в пояснениях, так как, всё понятно из приведённых примеров.

Подобные алгоритмы могут быть применены и к более сложным формулам сложения и вычитания степеней, а возможно и к другим формулам в зависимости от поставленной задачи.

Выводы. Данная работа расширяет теорию чисел, упрощает решение степенных уравнений, новые алгоритмы к формулам сложения и вычитания, упрощают и сокращают время решения, применяются в программировании, решении многих гипотез, в частности расширяют поиск равенств для гипотезы Пиллаи, АБС гипотезы и других.

1. Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование [электронный ресурс] // URL: https://zaochnik-com.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/stepennye-vyrazhenija/ (дата обращения: 29.05.2025 г.)
2. Возведение в степень — Википедия [электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Возведение_в_степень (дата обращения: 29.05.2025 г.)
3. Exponentiation – Wikipedia [электронный ресурс] // URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation (дата обращения: 29.05.2025 г.)
4. Свойства степеней: формулы, примеры решения [электронный ресурс] // URL: https://skysmart.ru/articles/mathematic/svojstva-stepenej (дата обращения: 29.05.2025 г.)
5. Свойства степеней: формулы, примеры решения / Skillbox Media [электронный ресурс] // URL: https://skillbox.ru/media/code/svoystva-stepeney-i-deystviya-s-nimi-formuly-i-primery/
(дата обращения: 29.05.2025 г.)

Рецензии:

3.06.2025, 22:16 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Уважаемый Александр Тимофеевич! Раз Вы в названии данного текста применили слово "алгоритм", то зачем такие длинные таблицы? a в степени n + a в степени m = a в степени (n+m), Вы это имели в виду? Но тогда - вот и вся научная статья. Или у Вас ещё что-то? Тогда поделитесь с читателями, не знакомыми с арифметикой, хотя у рецензента уже алгебра - раз не цифры, а пара букв латинских. Надо уменьшить статью до приведенной рецензентом формулы, убрать источник [3], добавить в конце, что это шутка и вновь представить на рецензирование.

4.06.2025, 22:12 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Кто-то объяснит, что плохого в формулах: a↑n+a↑m = a↑(n+m); x↑n+ax↑m = x↑n(1+a↑(m-n)); ax↑n+bx↑m = x↑n(a+bx↑(m-n))? И разумеется, если a=1, то и получаются "сложные" формулы в статье. Но всё же это всё не алгоритмы. Если бы эти активные авторы останавливались на своей "шутке", на розыгрыше здесь, а не ссылались далее на них, строя бессмысленные пирамиды дальше и выше, то Бог бы с ним. Это лучше для пенсионеров, чем ныть в поликлиниках. Вот дай разрешение на публикацию этой пустоты автору, он потом, ссылаясь на эту публикацию, замахнётся на революцию в теории чисел, теоретические основы арифметики, начнёт опровергать Конрада Гёделя и других великих математиков, определивших статус арифметики. Рецензент грешен, тоже опубликовал здесь тривиальную заметку, но сразу назвал её казусом и шуткой, и никогда и нигде на неё в дальнейшем не ссылался. "Реникса" всё это, на взгляд рецензента, по Чехову.



Комментарии пользователей:

31.05.2025, 21:05 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Градус безумия рос. Могу предложить автору открыть школьный учебник по математике класс за третий-четвертый, решить оттуда несколько задач (только за задачи со звездочкой браться даже не пытаться), и опубликовать их решение как очередную "научную статью".

1.06.2025, 0:09 Харт Алекс Отзыв: Я не знаю кто больший спамер Дудин Александр Тимофеевич или Усов Геннадий Григорьевич. Последний так и норовит доказать какую-нибудь известную гипотезу, чтобы стать великим человеком. А первый как мне кажется в силу очень слабого знания и понимания математики пишет очень простые статьи, думая что это очень великие вещи. Его простые статьи из разряда: он взял и отнял два числа 1256 и 378 и получил 878. И думает: «Наверное никто раньше не отнимал эти числа, а я вот отнял и уже есть результат. Напишу-ка я об этом статью». Он даже не понимает, что публикуя такие статьи, он позорится снова и снова. Он уже достаточно опозорился и продолжает позориться дальше. А спамеры эти два автора потому, что пишут очень много или ошибочных или очень слабых статей. В них нет ничего нового и интересного или они ошибочны. Да и оформление статей у этих двух авторов такое, как будто бы они пишут свои статьи сначала в стандартной программе «Блокнот». У Усова формулы рябят перед глазами, а у Дудина они и правда из программы «Блокнот». Он пишет степени в формулах в виде a^n.

1.06.2025, 6:43 Цорин Борис Иосифович Отзыв: В защиту Усова: "Формулы рябят перед глазами" - проблема движка сайта.

Оставить комментарий