нет
не работаю
пенсионер
УДК 511
Введение. Известны формулы сложения степеней, приведём пример:
3^3 + 3^3 = 2*3^3
27 + 27 = 2*27
3^3 + 3*3^3 = 4*3^3
27 + 3*27 = 4*27
2*3^3 + 3*3^3 = 5*3^3
2*27 +3*27 = 5*27
54 + 81 = 135
Здесь одинаковые основания и одинаковые показатели степеней.
При решении диофантовых уравнений, часто встречаются разные показатели степеней при одинаковом основании, что вызывает затруднения в решении таких уравнений.
При написании работы опирался на следующие источники: [1];[2];[3];[4];[5].
Цель этой работы, найти алгоритмы для более сложных формул сложения степеней.
Актуальность этой работы, обусловлена тем, что при новых найденных алгоритмах расчёт степенных равенств упрощается и ускоряется, как при решении задач с помощью калькулятора, так и при программировании и решении более сложных задач на компьютере.
Новизна этой работы обусловлена тем, что применяя новые алгоритмы к формулам сложения степеней, расширяем возможности математического инструмента решения степенных уравнений.
Алгоритмы к новым формулам сложения степеней не нуждаются в особых пояснениях, всё очевидно из приведённых примеров. В дальнейшем количество примеров будет сокращено до двух, так как дана общая формула сложения. Очевидно, что из формул сложения степеней следуют и формулы вычитания степеней, поэтому на них останавливаться не будем, приведём пример.
Формула сложения:
2*2^1 + 3*2^2 = 2*2^3
4 + 12 = 16
Формулы вычитания:
2*2^3 - 3*2^2 = 2*2^1
16 – 12 = 4
2*2^3 - 2*2^1 = 3*2^2
16 – 4 = 12
2*2^1 + 3*2^2 = 2*2^3
4 + 12 = 16
2*2^2 + 3*2^3 = 2*2^4
8 + 24= 32
2*2^3 + 3*2^4 = 2*2^5
16 + 48 = 64
2*2^4 + 3*2^5 = 2*2^6
32 + 96 = 128
---------------------------------------
2*2^10 + 3*2^11 = 2*2^12
2048 + 6144 = 8192
2*2^n + 3*2^(n+1) = 2*2^(n+2)
4*2^1 +3*2^3 = 2*2^4
8 + 24 = 32
4*2^2 + 3*2^4 = 2*2^5
16 + 48 = 64
4*2^3 +3*2^5 = 2*2^6
32 + 96 = 128
4*2^4 + 3*2^6 = 2*2^7
64 + 192 = 256
---------------------------------------
4*2^n + 3*2^(n+2) = 2*2^(n+3)
8*2^1 +3*2^4 = 2*2^5
16 + 48 = 64
8*2^2 +3*2^5 = 2*2^6
32 + 96 = 128
8*2^3 + 3*2^6 = 2*2^7
64 + 192 = 256
8*2^4 +3*2^7 = 2*2^8
128 + 384 = 512
----------------------------------------
8*2^n + 3*2^(n+3) = 2*2^(n+4)
16*2^1 +3*2^5 = 2*2^6
32 + 96 = 128
16*2^2 + 3*2^6 = 2*2^7
64 + 192 = 256
-----------------------------------------
16*2^n + 3*2^(n+4) = 2*2^(n+5)
9*3^1 + 3*3^2 = 2*3^3
27 + 27 = 54
9*3^2 + 3*3^3 = 2*3^4
81 + 81 = 162
------------------------------------
9*3^n + 3*3^(n+1) = 2*3^(n+2)
27*3^1 + 3*3^3 = 2*3^4
81 + 81 = 162
27*3^2 + 3*3^4 = 2*3^5
243 + 243 = 486
----------------------------------------
27*3^n + 3*3^(n+2) = 2*3^(n+3)
27*3^1 + 2*3^4 = 3^5
81 + 162 = 243
27*3^2 + 2*3^5 = 3^6
243 + 486 = 729
-----------------------------------------
27*3^n + 2*3^(n+3) = 3^(n+4)
81*3^1 + 2*3^5 = 3^6
243 + 486 = 729
81*3^2 + 2*3^6 = 3^7
729 + 1458 = 2187
----------------------------------------
81*3^n+ 2*3^(n+4) = 3^(n+5)
12*4^1 +5*4^2 = 2*4^3
48 + 80 = 128
12*4^2 +5*4^3 = 2*4^4
192 + 320 = 512
-----------------------------------------
12*4^n + 5*4^(n+1) = 2*4^(n+2)
48*4^1 + 4^3 = 4^4
192 + 64 = 256
48*4^2 + 4^4 = 4^5
768 + 256 = 1024
-----------------------------------
48*4^n + 4^(n+2) = 4^(n+3)
192*4^1 + 4^4 = 4^5
768 + 256 = 1024
192*4^2 + 4^5 = 4^6
3072 + 1024 = 4096
-------------------------------------
192*4^n + 4^(n+3) = 4^(n+4)
20*5^1 + 5^2 = 5^3
100 + 25 = 125
20*5^2 + 5^3 = 5^4
500 + 125 = 625
-----------------------------------
20*5^n + 5^(n+1) = 5^(n+2)
100*5^1 + 5^3 = 5^4
500 + 125 = 625
100*5^2 + 5^4 = 5^5
2500 + 625 = 3125
-------------------------------------
100*5^n + 5^(n+2) = 5^(n+3)
500*5^1 + 5^4 = 5^5
2500 + 625 = 3125
500*5^2 + 5^5 = 5^6
12500 + 3125 = 15625
------------------------------------
500*5^n + 5^(n+3) = 5^(n+4)
30*6^1 + 6^2 = 6^3
180 + 36 = 216
30*6^2 + 6^3 = 6^4
1080 + 216 = 1296
-----------------------------------
30*6^n + 6^(n+1) = 6^(n+2)
180*6^1 + 6^3 = 6^4
1080 + 216 = 1296
180*6^2 + 6^4 = 6^5
6480 + 1296 = 7776
------------------------------------
180*6^n + 6^(n+2) = 6^(n+3)
1080*6^1 + 6^4 = 6^5
6480 + 1296 = 7776
1080*6^2 + 6^5 = 6^6
38880 + 7776 = 46656
--------------------------------------
1080*6^n + 6^(n+3) = 6^(n+4)
42*7^1 + 7^2 = 7^3
294 + 49 = 343
42*7^2 + 7^3 = 7^4
2058+ 343 = 2401
-----------------------------------
42*7^n + 7^(n+1) = 7^(n+2)
294*7^1 + 7^3 = 7^4
2058 + 343 = 2401
294*7^2 + 7^4 = 7^5
14406 + 2401 = 16807
------------------------------------
294*7^n + 7^(n+2) = 7^(n+3)
56*8^1 + 8^2 = 8^3
448 + 64 = 512
56*8^2 + 8^3 = 8^4
3584+ 512 = 4096
-----------------------------------
56*8^n + 8^(n+1) = 8^(n+2)
448*8^1 + 8^3 = 8^4
3584 + 512 = 4096
448*8^2 + 8^4 = 8^5
28672 + 4096 = 32768
------------------------------------
448*8^n + 8^(n+2) = 8^(n+3)
72*9^1 + 9^2 = 9^3
648 + 81 = 729
72*9^2 + 9^3 = 9^4
5832 + 729 = 6561
-----------------------------------
72*9^n + 9^(n+1) = 9^(n+2)
648*9^1 + 9^3 = 9^4
5832 + 729 = 6561
648*9^2 + 9^4 = 9^5
52488 + 6561 = 59049
------------------------------------
648*9^n + 9^(n+2) = 9^(n+3)
90*10^1 + 10^2 = 10^3
900 + 100 = 1000
90*10^2 + 10^3 = 10^4
9000 + 1000 = 10000
-------------------------------------
90*10^n + 10^(n+1) = 10^(n+2)
900*10^1 + 10^3 = 10^4
9000 + 1000 = 10000
900*10^2 + 10^4 = 10^5
90000 + 10000 = 100000
---------------------------------------
900*10^n + 10^(n+2) = 10^(n+3)
2^1+2^2 = 3*2^1
2+4 = 6
2^2+2^3 = 3*2^2
4 + 8 = 12
2^3 + 2^4 = 3*2^3
8 + 16 = 24
---------------------------
2^n + 2^(n+1) = 3*2^n
3^1 + 3^2 = 4*3^1
3 + 9 = 12
3^2 + 3^3 = 4*3^2
9 + 27 = 36
-----------------------------
3^n + 3^(n+1) = 4*3^n
4^1 + 4^2 = 5*4^1
4 +16 = 20
4^2 + 4^3 = 5*4^2
16 + 64 = 80
-----------------------------
4^n + 4^(n+1) = 5*4^n
5^1 + 5^2 = 6*5^1
5 + 25 = 30
5^2 + 5^3 = 6*5^2
25 +125 = 150
----------------------------
5^n + 5^(n+1) = 6*5^n
6^1 + 6^2 = 7*6^1
6 + 36 = 42
6^2 + 6^3 = 7*6^2
36 + 216 = 252
------------------------------
6^n + 6^(n+1) = 7*6^n
7^1 + 7^2 = 8*7^1
7 + 49 = 56
7^2 + 7^3 = 8*7^2
49 + 343 = 392
------------------------------
7^n + 7^(n+1) = 8*7^n
8^1 + 8^2 = 9*8^1
8 + 64 = 72
8^2 + 8^3 = 9*8^2
49 + 343 = 392
------------------------------
8^n + 8^(n+1) = 9*8^n
9^1 + 9^2 = 10*9^1
9 + 81 = 80
9^2 + 9^3 = 10*9^2
81 + 729 = 810
------------------------------
9^n + 9^(n+1) = 10*9^n
10^1 + 10^2 = 11*10^1
10 + 100 = 110
10^2 + 10^3 = 11*10^2
100 + 1000 = 1100
------------------------------
10^n + 10^(n+1) = 11*10^n
11^1 + 11^2 = 12*11^1
11 + 121 = 132
11^2 + 11^3 = 12*11^2
121 + 1331 = 1452
------------------------------
11^n + 11^(n+1) = 12*11^n
2^1+2^3 = 5*2^1
2 + 8 = 10
2^2+2^4 = 5*2^2
4 + 16 = 20
2^3 + 2^5 = 5*2^3
8 + 32 = 40
-----------------------------
2^n + 2^(n+2) = 5*2^n
3^1 + 3^3 = 10*3^1
3 + 27 = 30
3^2 + 3^4 = 10*3^2
9 + 81 = 90
-----------------------------
3^n + 3^(n+2) = 10*3^n
4^1 + 4^3 = 17*4^1
4 + 64 = 68
4^2 + 4^4 = 17*4^2
16 + 256 = 272
-------------------------------
4^n + 4^(n+2) = 17*4^n
5^1 + 5^3 = 26*5^1
5 + 125 = 130
5^2 + 5^4 = 26*5^2
25 + 625 = 650
-------------------------------
5^n + 5^(n+2) = 26*5^n
6^1 + 6^3 = 37*6^1
6 + 216 = 222
6^2 + 6^4 = 37*6^2
36 + 1296 = 1332
-------------------------------
6^n + 6^(n+2) = 37*6^n
7^1 + 7^3 = 50*7^1
7 + 343 = 350
7^2 + 7^4 = 50*7^2
49 + 2401 = 2450
-------------------------------
7^n + 7^(n+2) = 50*7^n
8^1 + 8^3 = 65*8^1
8 + 512 = 520
8^2 + 8^4 = 65*8^2
64 + 4096 = 4160
-------------------------------
8^n + 8^(n+2) = 65*8^n
9^1 + 9^3 = 82*9^1
9 + 729 = 738
9^2 + 9^4 = 82*9^2
81 + 6561 = 6642
-------------------------------
9^n + 9^(n+2) = 82*9^n
10^1 + 10^3 = 101*10^1
10 + 1000 = 1010
10^2 + 10^4 = 101*10^2
100 + 10000 = 10100
-------------------------------
10^n + 10^(n+2) = 101*10^n
11^1 + 11^3 = 122*11^1
11 + 1331 = 1342
11^2 + 11^4 = 122*11^2
121 + 14641 = 14762
-------------------------------
11^n + 11^(n+2) = 122*11^n
------------------------------------
19^1 + 19^3 = 362*19^1
19 + 6859 = 6878
19^2 + 19^4 = 362*19^2
361 + 130321 = 130682
-----------------------------------
19^n + 19^(n+2) = 362*19^n
2^1+2^4 = 9*2^1
2 + 16 = 18
2^2+2^5 = 9*2^2
4 + 32 = 36
------------------------------
2^n + 2^(n+3) = 9*2^n
3^1 + 3^4 = 28*3^1
3 + 81 = 84
3^2 + 3^5 = 28*3^2
9 + 243 = 252
------------------------------
3^n + 3^(n+3) = 28*3^n
4^1 + 4^4 = 65*4^1
4 + 256 = 260
4^2 + 4^5 = 65*4^2
16 + 1024 = 1040
-------------------------------
4^n + 4^(n+3) = 65*4^n
5^1 + 5^4 = 126*5^1
5 + 625 = 630
5^2 + 5^5 = 126*5^2
25 + 3125 = 3150
-------------------------------
5^n + 5^(n+3) = 126*5^n
6^1 + 6^4 = 217*6^1
6 + 1296 = 1302
6^2 + 6^5 = 217*6^2
36 + 7776 = 7812
-------------------------------
6^n + 6^(n+3) = 217*6^n
7^1 + 7^4 = 344*7^1
7 + 2401 = 2408
7^2 + 7^5 = 344*7^2
49 + 16807 = 16856
-------------------------------
7^n + 7^(n+3) = 344*7^n
8^1 + 8^4 = 513*8^1
8 + 4096 = 4104
8^2 + 8^5 = 513*8^2
64 + 32768 = 32832
-------------------------------
8^n + 8^(n+3) = 513*8^n
9^1 + 9^4 = 730*9^1
9 + 6561 = 6570
9^2 + 9^5 = 730*9^2
81 + 59049 = 59130
-------------------------------
9^n + 9^(n+3) = 730*9^n
10^1 + 10^4 = 1001*10^1
10 + 10000 = 10010
10^2 + 10^5 = 1001*10^2
100 + 100000 = 100100
-------------------------------
10^n + 10^(n+3) = 1001*10^n
Заключение.
Вновь найденные и приведённые алгоритмы формул сложения, не нуждаются в пояснениях, так как, всё понятно из приведённых примеров.
Подобные алгоритмы могут быть применены и к более сложным формулам сложения и вычитания степеней, а возможно и к другим формулам в зависимости от поставленной задачи.
Выводы. Данная работа расширяет теорию чисел, упрощает решение степенных уравнений, новые алгоритмы к формулам сложения и вычитания, упрощают и сокращают время решения, применяются в программировании, решении многих гипотез, в частности расширяют поиск равенств для гипотезы Пиллаи, АБС гипотезы и других.
Рецензии:
3.06.2025, 22:16 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Уважаемый Александр Тимофеевич! Раз Вы в названии данного текста применили слово "алгоритм", то зачем такие длинные таблицы? a в степени n + a в степени m = a в степени (n+m), Вы это имели в виду? Но тогда - вот и вся научная статья. Или у Вас ещё что-то? Тогда поделитесь с читателями, не знакомыми с арифметикой, хотя у рецензента уже алгебра - раз не цифры, а пара букв латинских. Надо уменьшить статью до приведенной рецензентом формулы, убрать источник [3], добавить в конце, что это шутка и вновь представить на рецензирование.
31.05.2025, 21:05 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Градус безумия рос. Могу предложить автору открыть школьный учебник по математике класс за третий-четвертый, решить оттуда несколько задач (только за задачи со звездочкой браться даже не пытаться), и опубликовать их решение как очередную "научную статью". |
1.06.2025, 0:09 Харт Алекс Отзыв: Я не знаю кто больший спамер Дудин Александр Тимофеевич или Усов Геннадий Григорьевич. Последний так и норовит доказать какую-нибудь известную гипотезу, чтобы стать великим человеком. А первый как мне кажется в силу очень слабого знания и понимания математики пишет очень простые статьи, думая что это очень великие вещи. Его простые статьи из разряда: он взял и отнял два числа 1256 и 378 и получил 878. И думает: «Наверное никто раньше не отнимал эти числа, а я вот отнял и уже есть результат. Напишу-ка я об этом статью». Он даже не понимает, что публикуя такие статьи, он позорится снова и снова. Он уже достаточно опозорился и продолжает позориться дальше. А спамеры эти два автора потому, что пишут очень много или ошибочных или очень слабых статей. В них нет ничего нового и интересного или они ошибочны. Да и оформление статей у этих двух авторов такое, как будто бы они пишут свои статьи сначала в стандартной программе «Блокнот». У Усова формулы рябят перед глазами, а у Дудина они и правда из программы «Блокнот». Он пишет степени в формулах в виде a^n. |
1.06.2025, 6:43 Цорин Борис Иосифович Отзыв: В защиту Усова: "Формулы рябят перед глазами" - проблема движка сайта. |