Математическая игра «Уменьшение массы»

УДК 51-8; 794.2; 794.5; 794.02; 511

Введение

В работе [1] вводилось понятие массы числа. Это сумма простых множителей числа, которыми оно представляется при своей факторизации. Например, число 50 раскладывается на простые множители так: 50 = 2 ∙ 5 ∙ 5. И, следовательно, масса числа 50 равна 2 + 5 + 5 = 12.

Также в работе [2] вводилось понятие массы числа с учётом математических действий над числами выше 1-го уровня. Учитывая математические действия над числами выше 1-го уровня, число 50 можно записать так: 50 = 2 ∙ 5 ⊗ 4. И тогда его масса будет равна 2 + 5 + 4 = 11.

В данной работе для простоты будет использоваться понятие массы числа, учитывая только умножение, т.е. без учёта математических действий над числами выше 1-го уровня.

Актуальность

Итак, в работах [1] и [2] было введено понятие массы числа и было предложено несколько красивых гипотез, в которых это понятие используется. В данной же работе было бы актуально найти не менее красивое применение данному понятию, например в математической игре похожей на игру, предложенную в работе [3], игру «Интересные числа».

Цели

Предложить интересную, красивую, логическую математическую игру, которая основывалась бы на понятии массы числа.

Научная новизна

Приведённая ниже математическая игра, а также связанная с ней математическая гипотеза, предложены в данной работе впервые.

Правила игры

1. Игра полностью построена на понятии массы числа (без учёта математических действий над числами выше 1-го уровня) и бинарных разбиениях следующего вида: 

где Ч₁, Ч₂, Ч₃ – взаимно простые неотрицательные целые числа; при этом сумма масс чисел Ч₁ и Ч₂ должна быть больше или равна массе числа Ч₃.

Проще говоря, при сложении двух чисел нельзя увеличивать массу, масса результата сложения не должна быть больше.

Например, уравнение

относится к уравнениям вида (1), поскольку все три числа являются взаимно простыми, и сумма масс чисел левой части уравнения (m = 7) равна массе числа в правой части уравнения (m = 7).

А уравнение

не относится к уравнениям вида (1), поскольку сумма масс чисел левой части уравнения (m = 8) меньше массы числа в правой части уравнения (m = 11).

Уравнение

также не относится к уравнениям вида (1), поскольку составляющие его числа не являются взаимно простыми.

2. Соответствует аналогичному правилу игры «Интересные числа» (см. работу [3]).

3. Соответствует аналогичному правилу игры «Интересные числа» (см. работу [3]).

4. Ход игрока – это помещение на игровое поле в одну пустую клетку ещё одного числа, являющегося суммой двух уже имеющихся на игровом поле чисел согласно уравнению (1). (Важно напомнить, что в уравнениях вида (1) участвуют только взаимно простые числа. Т.е. например, уравнение 36 + 64 = 100 не является уравнением вида (1), хотя уменьшение массы здесь присутствует.)

При этом два уже имеющихся на игровом поле числа должны располагаться обязательно рядом друг с другом, прямо или по диагонали:

Рис. 1. Четыре варианта расположения двух чисел, чтобы поместить на игровое поле новое число, являющееся их суммой.

А новое число, являющееся суммой этих двух чисел, может быть помещено на игровое поле только рядом с ними согласно следующим вариантам (отмечены крестиком):

Рис. 2. Варианты помещения нового числа рядом с уже имеющимися на игровом поле двумя рядом расположенными числами.

Например, вначале игры игрок имеет право по уравнению вида (1) 0 + 1 = 1 поместить новое число 1 на игровое поле только согласно следующим четырём вариантам (отмечены крестиком):

Рис. 3. Варианты помещения нового числа 1 на игровое поле вначале игры.

Естественно, если число, являющееся суммой двух уже имеющихся на игровом поле чисел, будет иметь большую массу, чем сумма масс этих двух уже имеющихся на игровом поле чисел (например, 1 + 6 = 7, число 7 имеет большую массу, чем сумма масс чисел 1 и 6), то такое число нельзя помещать на игровое поле.

5. Соответствует аналогичному правилу игры «Интересные числа» (см. работу [3]).

6. Соответствует аналогичному правилу игры «Интересные числа» (см. работу [3]).

7. Соответствует аналогичному правилу игры «Интересные числа» (см. работу [3]).

8. Соответствует аналогичному правилу игры «Интересные числа» (см. работу [3]).

9. Соответствует аналогичному правилу игры «Интересные числа» (см. работу [3]).

Как видно, правила игры «Уменьшение массы» почти идентичны правилам игры «Интересные числа». Разница только в бинарных разбиениях. В игре «Интересные числа» в бинарных разбиениях участвуют только интересные числа (простые числа и степени, включая расширенные степени), а в игре «Уменьшение массы» в бинарных разбиениях могут участвовать любые числа, но при их сложении не должна увеличиваться масса числа (см. пункт 1 правил).

Играть в игру «Уменьшение массы» возможно несколько труднее, чем в игру «Интересные числа», но интереснее.

(Теоретически в данную игру можно играть, используя понятие массы числа с учётом математических действий над числами выше 1-го уровня. Однако такое усложнение игры не позволит играть в неё широкому кругу людей, включая школьников младших классов. И поэтому всё же классическим и наиболее простым вариантом игры является вариант, в котором используется понятие массы числа, учитывающей только действие умножения.)

В данную игру можно играть как на бумаге (например, в тетради в клеточку), так и создав её электронный аналог.

Приведём три примера сыгранных партий игры «Уменьшение массы».

Пример 1. В игре участвуют 10 игроков. Порядок ходов игроков: «синий», «розовый», «фиолетовый», «светло-зелёный», «чёрный», «голубой», «оранжевый», «тёмно-зелёный», «красный», «коричневый». Ставить новое число можно, если оно является суммой двух ранее поставленных чисел, среди которых достаточно одного принадлежащего текущему игроку (пункт 5, вариант 2 в правилах игры). См. рис. 4:

Рис. 4. Пример 1 партии игры «Уменьшение массы».

В данной игре больше поставить чисел нет возможности ни у кого. И побеждает в игре «тёмно-зелёный» игрок, поскольку он смог поместить на игровое поле максимальное число 441. Второе место занимает «светло-зелёный» игрок, поместивший на игровое поле максимальное число 272. Третье место занимает «коричневый» игрок, поместивший на игровое поле максимальное число 128.

Пример 2. Одиночная игра до максимального числа 2 025 (текущий год является числом, имеющим относительно небольшую массу равную 22):

Рис. 5. Пример 2 партии игры «Уменьшение массы».

Пример 3. Одиночная игра до максимального числа 340 010:

Рис. 6. Пример 3 партии игры «Уменьшение массы».

В предложенную в данной работе игру «Уменьшение массы» возможно удобнее будет играть, имея при себе таблицу масс чисел хотя бы до 900. Приведём её здесь:

В данной таблице розовым цветом выделены простые числа, а зелёным цветом – все остальные числа.

Гипотеза игры «Уменьшение массы»

Формулировка гипотезы. В игре «Уменьшение массы» можно поместить на игровое поле сколь угодно большое число.

Выводы

1. Сформулированы правила математической игры «Уменьшение массы».

2. Приведены несколько примеров сыгранных партий.

3. Приведена таблица масс чисел до 900.

4. Сформулирована математическая гипотеза игры «Уменьшение массы».

Рецензии:

18.08.2025, 6:37 Усов Геннадий Григорьевич
Рецензия: Раз я ввязался в предыдущую игру уважаемого Александра Евгеньевича, то мне и рассматривать данную игру. Коротко: ничего нового по сравнению с предыдущей игрой, сложные таблицы, на очередной картинке много вариантов, поэтому необходим компьютер, который "закончит" игру. Не понятно, где здесь роль человека. Неужели в том, чтобы ломать глаза, изучая сложную таблицу. В начале статьи автор не удосужился расшифровать значёк ⊗, отослав читателей к другой своей статье.