Разделы: Математика
Размещена 13.07.2026. Последняя правка: 30.07.2026.
Просмотров - 298

Тождество Никомаха и его расширение

Дудин Александр Тимофеевич

нет

не работаю

пенсионер

УДК 511

Введение. Тождество Никомаха известно в теоретической математике, применяется в образовательном процессе, используется в качестве игр и математических головоломок.

Расширение тождества Никомаха имеет огромное значение в теории чисел, и показывает, что тождество Никомаха в теории чисел осталось малоизученной теорией. В этой теории заключена глубинная связь между числовыми последовательностями. Каждая вновь открытая глубинная связь. это путь к развитию фундаментальных наук и новый математический инструмент.

В качестве опорных источников использовади: [1]; [2]; [3], [4].

В источнике [1] знакомимся с формулой тождества Никомаха. В сноске литературы приведены источники исторических исследований.

Источник [2] рассматривает варианты сложения степеней с разными вариантами, где приводятся примеры сложения степеней.

Источник [3] является учебным материалом по действиям со степенями.

Источник [4] является наиболее близкой научной работой, где рассматривается вопрос о суммировании степеней чисел натурального ряда с помощью арифметических прогрессий с переменными разностями. Автор этой работы утверждает, что проблемой суммирования степеней натурального ряда занимаются давно, но до сих пор не найден не рекуррентный способ их вычисления. Автор приводит способы не рекуррентного вычисления суммирования степеней чисел натурального ряда. В источнике [4] рассматриваются последовательные ряды натуральных чисел без их преобразования.

Моя работа фундаментально отличается от источника [4], так как за основу в представленной работе взята формула тождества Никомаха, в которой произведено преобразование последовательного ряда натуральных чисел, где тождество Никомаха рассматривается на нечётных числах натурального последовательного числового ряда. В результате получили расширенную теорию тождества Никомаха.

Источник [5] показывает практическое применение тождества Никомаха, которое применяется в учебном программировании, учит пошаговому составлению алгоритмов.

Представленная работа: «Тождество Никомаха и его расширение», обогащая теорию чисел, так же найдёт практическое место в учебном программировании.

Актуальность. Любое расширение и любая практика по использованию тождества Никомаха вносит существенный вклад в теорию чисел.

Цель работы заключается в том, чтобы найти расширение для тождества Никомаха.

Научная новизна заключается в том, что тождество Никомаха рассматривается на нечётных числах натурального последовательного числового ряда.

Рассмотрим возможность применения тождества Никомаха к натуральному числовому ряду, принимая только нечётные числа.

Вариант №1.

1.  1^3+3^3 = (2*(1+3) -1)*(1+3)

     1+27 = 28 = 7*4

      28 = 28

 

2.  1^3+3^3+5^3 = (2* (1+3+5) – 1)* (1+3+5)  =

1+27+125 = 153

(2* (1+3+5) – 1)* (1+3+5) 

(2*9 -1) *9 = 17*9 = 153

153 = 153

 

3.  1^3+3^3+5^3+7^3 = (2*(1+3+5+7) – 1)* (1+3+5+7)  

     1+27+ 125+ 343 = 496

     (2*(1+3+5+7) – 1)* (1+3+5+7)  

     (2*16 -1)*16 = 31*16 = 496

     496 = 496

 

4.  1^3+3^3+5^3+7^3+9^3 = (2*(1+3+5+7+9) – 1)*(1+3+5+7+9)  

     496 + 9^3 = 496 + 729 = 1225

      (2*(1+3+5+7+9) – 1)*(1+3+5+7+9)

      (2*25 – 1)* 25 = 49*25 = 1225

      1225 = 1225

 

5.  1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3 = (2*(1+3+5+7+9+11) – 1)* (1+3+5+7+9+11)    

      1225 +11^3 = 1225 + 1331 = 2556

      (2*(1+3+5+7+9+11) – 1)* (1+3+5+7+9+11)    

      (2*36 – 1)* 36 = 71*36 = 2556

      2556 = 2556

 

Общая формула:

1^3+3^3+5^3+…+n^3 = (2*(1+3+5+…+n) – 1)* (1+3+5+…+n) ---       (1)

Особенности формулы (1) заключаются в том, что последовательный ряд натуральных нечётных чисел, где каждое число возводиться в третью степень, и эти числа в третей степени складываются, образуют тождество, с суммой нечётных чисел этого ряда, умноженных на 2, и минус 1. этот результат умножается на сумму этих нечётных чисел взятых для тождества.

Здесь раскрывается глубинная связь числовой нечётной последовательности , где находится сумма чисел возведённых в третью степень образуют тождество  с суммами  нечетных чисел этой последовательности, где суммы этих чисел выражены в 1 степени. 

Показана глубинная связь нечётных чисел в последовательностях, где сумма чисел в третьей степени и сумма чисел в нечётной последовательности в 1 степени. 

Вариант №2

 

1.  1^3+3^3 = (2*(1+3)^2)-(1+3)

     1+27 = 2*16 - 4

     28 = 28

 

2.  1^3+3^3+5^3 = (2* (1+3+5)^2) – (1+3+5)

1+27+125 = 153

(2* (1+3+5)^2) - (1+3+5)

2*81 – 9 = 153

153 = 153

 

3.  1^3+3^3+5^3+7^3 = (2*(1+3+5+7)^2) - (1+3+5+7)  

     1+27+ 125+ 343 = 496

     (2*(1+3+5+7)^2) - (1+3+5+7)  

     (2*16^2)-16 = 2*256 – 16  = 496

     496 = 496

 

4.  1^3+3^3+5^3+7^3+9^3 = (2*(1+3+5+7+9)^2)-(1+3+5+7+9)  

     496 + 9^3 = 496 + 729 = 1225

      (2*(1+3+5+7+9)^2) - (1+3+5+7+9)

      (2*25^2) - 25 = 2*625 – 25 = 1225

      1225 = 1225

 

5.  1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3 = (2*(1+3+5+7+9+11)^2) - (1+3+5+7+9+11)    

      1225 +11^3 = 1225 + 1331 = 2556

      (2*(1+3+5+7+9+11)^2) - (1+3+5+7+9+11)    

      (2*36^2) - 36 = 2*1296 -36 = 2556

      2556 = 2556

 

Общая формула:

1^3+3^3+5^3+…+n^3 = (2*(1+3+5+…+n)^2) - (1+3+5+…+n) ---    (2)

Особенности формулы (2) заключаются в том, что последовательный ряд натуральных нечётных чисел, где каждое число возводиться в третью степень, и эти числа в третей степени складываются, образуют тождество, с суммой нечётных чисел этого ряда, возведённых во вторую степень, умноженных на 2, и минус сумма этих нечётных чисел.

Здесь раскрывается глубинная связь числовой нечётной последовательности , где находится сумма чисел, возведённых в третью степень, образуют тождество с суммами  нечетных чисел этой последовательности, где суммы этих чисел выражены во 2 и 1 степени. 

Показана глубинная связь нечётных чисел в последовательностях, где сумма чисел в третьей степени и сумма чисел нечётной последовательности во 2 и 1 степени. 

Кроме того, можем сравнить глубину связей последовательностей из нечётных чисел, где числа находятся в первой и первой и второй степенях.

 

1^3+3^3+5^3+…+n^3 = (2*(1+3+5+…+n) – 1)* (1+3+5+…+n) ---       (1)

 

1^3+3^3+5^3+…+n^3 = (2*(1+3+5+…+n)^2) - (1+3+5+…+n) ---    (2)

 

(2*(1+3+5+…+n) – 1)* (1+3+5+…+n) = (2*(1+3+5+…+n)^2) - (1+3+5+…+n) ---  (3)

 

Заключение. Найдено расширение тождества Никомаха для нечётных чисел.

Выводы. Найдены три формулы, которые выражают глубинные связи в нечётных  натуральных числах последовательностей. Эти найденные тождества нечётных чисел расширяют тождество Никомаха и обогащают теорию чисел.

1. Тождество Никомаха — Википедия [Электронный ресурс] – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Тождество_Никомаха (дата обращения: 06.07.2026)
2. При Сложении Степени Что Делают С Разными Степенями [Электронный ресурс] – URL: https://zigzag-24.ru/blog/pri-slozhenii-stepeni-chto-delayut-s-raznymi-stepenyami/ (дата обращения: 28.06.2026)
3. Когда числа складываются что происходит со степенями [Электронный ресурс] – URL: https://tul.se-pro.ru/articles/kogda-chisla-skladyvayutsya-chto-proishodit-so-stepenyami.html (дата обращения: 28.06.2026)
4. Суммирование степеней чисел натурального ряда с помощью арифметических прогрессий с переменными разностями [Электронный ресурс] – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/summirovanie-stepeney-chisel-naturalnogo-ryada-s-pomoschyu-arifmeticheskih-progressiy-s-peremennymi-raznostyami/viewer (дата обращения: 28.06.2026) 5. Sum of Cubes of First n Natural Numbers – GeeksforGeeks [Электронный ресурс] – URL: https://www.geeksforgeeks.org/dsa/program-cube-sum-first-n-natural-numbers/ (дата обращения: 30.07.2026)

Рецензии:

27.07.2026, 15:38 Назарова Ольга Петровна
Рецензия:  Статья содержит числовые выводы, но хотелось бы, чтобы был выдержана структура написания статьи, литература использована без ссылок на источники - Ученых(возможно кто-то это уже использовал?) статья может быть размещена после доработки.

Комментарии пользователей:

14.07.2026, 18:04 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Как обычно у г-на Дудина, статья ценности не имеет, хотя на этот раз, что интересно, небольшую иметь могла бы, если бы г-н Дудин не только любил математику, но и знал её. Без доказательства дано утверждение, выводящееся/доказывающееся на уровне девятого класса (не седьмого только потому, что нужна формула суммы арифметической последовательности, которую обычно проходят в 9 классе, хотя знать ее некоторые дети могут и с пятого класса, а Гаусс ее в 7 лет вывел), однако (за исключением формулы 3) на этот раз не являющееся тривиальным. Если бы г-н Дудин свое "расширение тождества" вывел или хотя бы доказал, можно было бы рекомендовать статью в какой-нибудь детский научный журнал (с выводом - может, даже в студенческий), а просто "заметил закономерность" - увы, нет.. "Формула (3)" же может только опозорить автора, так как представляет из себя банальное раскрытие скобок (2S-1)*S=2S^2-S. На всякий случай приведу вывод формулы (1), обозначив нечетное n=2a-1: Шаг 1. Вспоминаем, что 2^3+4^3+...+(2a-2)^3=2^3*(1^3+2^3+...+(a-1)^3)=2^3*(1+2+...+a-1)^2=2*(2+4+...+(2a-2))^2. Шаг 2. По формуле суммы арифметической последовательности вычисляем S=1+3+5+...+2a-1=2a*a/2=a^2. Шаг 3. Вычитаем полученное на шаге 1 из тождества Никомаха, записанного до 2a-1, получаем 1^3+3^3+...+(2a-1)^3=(1+2+...2a-1)^2-2*(2+4+...+2a-2)^2=((2a)(2a-1)/2)^2-2*((2a*(a-1)/2)^2=(a(2a-1))^2-2*(a(a-1))^2=a^2* ((2a-1)^2-2(a-1)^2)=a^2* (4a^2-4a+1-2a^2+4a-2)=a^2* (2a^2 -1)=S(2S-1), что и даёт Вашу формулу (1).

15.07.2026, 10:14 Дудин Александр Тимофеевич Отзыв: Спасибо! Г- н Цорин, с Вами можно курс средней школы по математике пройти. Как вы оцените такое тождество? A^x + A^y = A^z – надо получить результат в сложении степеней с одинаковыми основаниями и разными показателями степеней. Основание степени больше 1. Зная только A^x + A^y – очень проблематично найти ответ, то - есть показатель степени z. Для этого выведем формулу. A^n + A^(n+k) неравно A^(n+k+1) Для равенства этого выражения нужен коэффициент, который, запишем перед первым слагаемым степеней: (А - 1)*А^k Формулы сложения степеней с общим основанием выглядят так: (А - 1)*А^k*A^n + A^(n+k) = A^(n+k+1) Для проверки подставляем любые целые натуральные числа, при А больше 1.

15.07.2026, 12:51 Цорин Борис Иосифович Отзыв: Оценю как верное, но бессмысленное элементарное преобразование, не связанное с исходной постановкой вопроса.

15.07.2026, 14:53 Дудин Александр Тимофеевич Отзыв: Спасибо!

Оставить комментарий