Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла).

УДК  51 

Введение.

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части. Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Целью данной статьи является доказательство ошибочности выше приведённого утверждения о неразрешимости, во всяком случае, в отношении задачи о трисекции угла.

Предлагаемое решение не требует сложных построений, практически универсально и позволяет делить углы на любое количество равных частей, что в свою очередь позволяет строить любые правильные многоугольники.

Вступительная часть.

Проведём прямую линию a и построим на ней ∆CDE. Условно назовём его «базовым» (Рис.1).

Выберем на линии a произвольную точку F и проведём ещё одну прямую линию b через т.F и вершину D треугольника. На линии b возьмем две произвольные точки G и H и соединим их c точками C и E как показано на Рис.1. Анализ рисунка позволяет записать следующие очевидные соотношения между углами:

1. α₁-α₃=y₁;  α₃-α₅=y₃;  α₁-α₅=y₁+y₃; 

2. α₂-α₄=y₂;  α₄-α₆=y₄;  α₂-α₆=y₂+y₄;

3. y₁/y₂ =y₃/y₄ ;

Пояснение1. к п.3: Пусть углы - ∟C,∟D,∟E являются углами при соответствующих вершинах базового треугольника ∆CDE. Тогда можно записать:

∟C+∟D+∟E=180⁰ – сумма углов ∆CDE;

∟C+y₂+∟D-(y₂+y₁)+∟E+y₁=180⁰ – сумма углов ∆CGE;

Пусть  y₁/y₂=n или y₁=n*y₂, тогда,

∟C+y₂+∟D-(y₂+y₁)+∟E+n*y₂=180⁰

Сумма углов ∆CHE:

∟C+(y₂+y₄)+∟D-(y₂+y₄+y₁+y₃)+∟E+n*(y₂+y₄)=180⁰ , откуда

y₁+y₃=n*(y₂+y₄) или y₁+y₃=n*y₂+n*y₄, и так как y₁=n*y₂,то

y₃=n*y₄ и следовательно y₁/y₂ =y₃/y₄ =n.

Далее, возьмем две произвольные точки на линии a – N и M, и проведём через них две линии c и d как показано на Рис.2.  Очевидно, в том числе из ранее сказанного, что отношение изменений соответствующих углов  на линиях c и d величина постоянная, т. е.: (β₁-β₃)/(β₃-β₅)= (β₂-β₄)/(β₄-β₆)= y₁/ y₃= y₂/ y₄;

Деление угла на три равные части.

На окружности с центром в точке A отложим угол E₁AE₂=β (см. Рис. 3.1). На противоположной стороне окружности отложим симметрично  три угла - CAC₁, C₁AC₂, C₂AC₃ каждый равный β. Разделим угол E₁AE₂, в точках K₁,K₃, на три равных угла - ∟E₁AK₁, ∟K₁AK₃, ∟K₃AE₂ равных β/3. Проведём прямые линии через точки на окружности как это показано на Рис. 3.1. Соединим прямыми линиями  точки C,E₁ и C₂,E. (см. Рис. 3.2)

Через точку K – пересечения линий, и точку K₁ проведём прямую линию. Выберем на этой линии произвольную точку K₂ и проведём через неё две прямые из точек C и C₂.

Не трудно заметить что Рис. 3.2, если убрать линию окружности, практически идентичен Рис. 2. (Для наглядности добавлена штриховая линия CC₂). Значит и все соотношения, о которых говорилось выше, применимы и здесь, а именно для углов которые необходимо разделить на три равные части справедливо соотношение y₁/y₂ =y₃/y₄=1/2 (см. Пояснение 1. в вступительной части). Из рисунка 3.2 становится ясно, как поделить угол на три равных части.

Рассмотрим, в качестве примера, деление на три равных части угла β=50⁰ .

Вариант 1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.1) дуги C₁C₂=B₁B₂=B₂B₃=B₁B₄ равные β=50⁰  - относительно центра окружности. Половину дуги C₁C₂ – CC₁ делим пополам (точка D). Проводим прямые через точки B₁ и D, и точки B₃ и C. Соединяем между собой точки B₁ и C, B₃ и C₁. Соединяем точки пересечения – F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол α=C₁AG, где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен β/3.

Вариант 2.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.2) дуги C₁C₂=B₁B₂=B₂B₃=B₁B₄=β=50⁰  - относительно центра окружности. Соединяем между собой точки B₁ и C, B₃ и C₁. Отложим углы y₂=2y₁ (см. Рис 4.2) от линий B₁C и B₃C₁ и проведём прямые линии соответственно этим углам. Соединяем точки пересечения – F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол α=C₁AG≈16.67⁰, где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен β/3.

Полное построение деления угла на три равных части (на примере угла β=50⁰) показано на Рис.5

Деление угла на нечётное количество (>3-х) равных углов.

 В качестве примера рассмотрим деление угла β=35⁰ на пять равных между собой углов.

Способ №1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB углы C₂AC₁=B₁AB₂=B₂AB₃=B₃AB₄=B₄AB₅=B₅AB₆=β=35⁰.(см. Рис.6)

Делим угол C₂AC равный половине угла C₂AC₁ пополам в точке E. Соединяем точки

E,C₂,B₁,B₂,B₃ между собой как показано на рисунке 6. Далее, для деления угла, используем  Вариант 2 из ранее приведённого примера, т. к. Вариант 1 для деления углов на нечётное количество >3-х равных углов очевидно не применим. От линий B₃E и B₁C₂ в точках B₃ и B₁ соответственно, отложим углы y₁ и y₂ в соотношении 1:4. Из точек B₃ и B₁ проведём прямые соответственно этим углам, до пересечения в точке N. Угол C₂AK=α=7⁰ будет искомым.

Способ №2.

Этот способ (см. Рис.7) аналогичен первому с той лишь разницей, что для построений используется ¼ угла C2AC1 – угол EAC прилегающий к средней линии окружности BC. Преимущество данного способа в том, что он облегчает деление угла на большое количество углов - 7, 9, 11 и т. д.   

Построение правильного семиугольника.                  

Примем, что n – число разбиений (количество секторов на которое делится угол).

Тогда если n-1=2^k(1), где k – любое целое число, то угол делится в один этап, что было показано ранее. Если n-1≠2^k(2) – то угол делится в два этапа, вначале на n-1, а затем уже на n. При этом во всех случаях соблюдается соотношение: y₁/y₂ = 1/n-1(3).

Поясним это на примере построения правильного семиугольника.

Для того чтобы построить семиугольник надо найти 1/7-ю часть угла 60⁰,умножить её на шесть, и отложить полученный угол семь раз по окружности (это один из возможных вариантов). Так как 7-1=6 то в соответствии с формулой (2) угол 60⁰ будем делить в два этапа. На первом этапе разделим на шесть, а затем, на втором этапе, на семь. С этой целью, разделим угол 30⁰ на три равных сектора по 10⁰(см. Рис.8), используя, как самый простой, Вариант 1 описанный в начале статьи. Полученный угол ECL=10⁰ отложим от средней линии окружности (см. Рис.9). Будем считать, что угол ECL принадлежит симметрично отложенному относительно средней линии углу 60⁰.

Далее чтобы найти 1/7-ю часть угла 60⁰ используем Способ №2 описанный ранее. С этой целью отложим угол D₁CD₂=60⁰ симметрично к средней линии и угол D₂CD₃=60⁰ примыкающий к нему. В точках D₁ и D₃ построим углы y₁ и y₂ к линиям D₁E и D₃L соответственно, соблюдая пропорции в соответствии с формулой (3) – то есть 1 к 6.

Проведём прямые линии  под углами y₁ и y₂. Соединим точки пересечения G и F соответствующих линий. Угол LCH=60⁰/7. Отложим этот угол шесть раз от точки L до точки B. Отложим полученный угол BCL ещё шесть раз, и в результате получим семиугольник LBKFMNA.

Заключение.

Способ деления угла на равные части, предлагаемый в данной статье имеет ограничение – невозможность его применения непосредственно для углов > 60⁰, что впрочем, не столь существенно с точки зрения принципиальной решаемости задачи.

Рецензии:

20.03.2016, 14:39 Назарова Ольга Петровна
Рецензия: Интересные выкладки, рекомендуется к печати

22.03.2016, 11:09 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Интересно, познавательно, лаконично. Виден инженерный подход. Но этот материал следует публиковать не здесь, а в любом образовательном журнале. Если он был уже опубликован автором в другом издании, то тем более. Кроме того, данная платформа очень дискомфортна к формулам. Рецензент не хотел бы, чтобы здесь публиковались любые учебно-дидактические и методические материалы. Но спорить с уважаемой Ольгой Петровной не стану. Может, редакция ещё сама что-то порешает!?. Чёткой рекомендации да-нет дать трудно.