ЗАДАЧА О ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ ЭРЕНФЕСТА

УДК 530.12; 531.133.1

В 1909 году, то есть всего через несколько лет после появления частной (специальной) теории относительности Эйнштейна, используя ее формализм, Эренфест сформулировал задачу о вращающемся цилиндре. Рассмотрев вращение твердого цилиндра с некоторым определенным радиусом, Эренфест пришел к выводу, кажущемуся на первый взгляд парадоксальным, что длина его радиуса в состоянии покоя и в состоянии вращения должна отвечать двум взаимоисключающим требованиям. Согласно положениям частной теории относительности Эйнштейна, длина окружности вращающегося цилиндра должна сократиться и ей будет соответствовать новый, уменьшенный радиус. Но согласно той же теории, радиус расположен поперечно направлению вращения, движения, поэтому он не должен испытывать лоренцева сокращения. Выходит, что теория делает два взаимоисключающих предсказания: радиус одновременно и сокращается и сокращаться не должен [1, 2].

Чтобы выяснить причину возникновения противоречия и показать, что противоречие кажущееся, рассмотрим сначала вариант цилиндра – пустотелый цилиндр, толщина стенки которого пренебрежимо мала. Понятно, что мы не принимаем во внимание также и массу цилиндра, чтобы исключить из рассмотрения центробежные силы. Что произойдет с его диаметром при раскручивании? Например, до скорости, равной половине скорости света. Очевидно, что образующая, окружность пустотелого цилиндра сократится. Приводит ли это к каким-либо геометрическим парадоксам?

Действительно, диаметр пустотелого цилиндра – трубы в процессе вращения  уменьшится, поскольку уменьшится его окружность. Есть ли какие-либо причины отрицать это обстоятельство? Понятно, что трубе, имеющей вполне определенную длину окружности, соответствует такой же определенный ее диаметр. Никаких парадоксов с числом π при этом не возникает, и возникнуть не может, нет для этого оснований.

Для любого внешнего наблюдателя закономерное уменьшение длины окружности отрезка трубы будет сопровождаться пропорциональным закономерным уменьшением ее диаметра.

Для примера и лучшего понимания процесса рассмотрим еще один вариант задачи, показанный в документальном фильме [3] "Физика света" и являющийся такой же общеизвестной ее формулировкой. В фильме утверждается (начиная с 34-ой минуты фильма), что именно в таком виде задачу рассматривал Эйнштейн – в виде движущегося по кругу поезда, и пришел к схожим парадоксальным выводам. Суть задачи такова. Вращающаяся окружность рассматривается как состав, состоящий из поезда и вагонов, образующих полную, замкнутую окружность. По мере вращения вагоны и поезд испытывают лоренцево сокращение, вследствие чего длина поезда вдоль окружности уменьшается. В этом усматривается парадокс, поскольку диаметр новой сокращенной "окружности-состава" не должен уменьшаться. Но это очевидный абсурд.

Действительно, окружность поезда находится на плоскости, и нет никаких оснований утверждать, что эта окружность вдруг приобретает какую-либо форму, отличную от окружности. Может быть, она станет волнистой? С чего бы это?! Или может быть примет яйцеобразную или овальную форму? Но почему?! Этого, насколько известно, никто и не утверждает. Все в один голос утверждают другое: поезд (окружность) как был плоской окружностью, так ею и остался. Изменилась лишь длина этой окружности. Но тогда уместно задаться вопросом: что характеризует окружность? Ответ очевиден: ее диаметр. Другими словами, на вопрос "охарактеризуйте окружность" мы обязаны назвать ее диаметр. Если окружность – это действительная окружность, а не неизвестно откуда взявшаяся неопределенная фигура. Но здесь все однозначно признают: поезд (окружность) остался окружностью. Это однозначно и определенно показано и в упомянутом фильме.

Отсюда непреложный вывод: сократившийся поезд, являющийся окружностью, имеет вполне конкретный диаметр этой окружности. Какой? Разумеется, равный длине окружности, деленной на число `Pi` .

Тогда, собственно, в чем проблема-то? Да, поезд и вагоны при ускорении, то есть, все более быстром движении по кругу, уменьшили свою длину. Соответственно, уменьшилась и общая длина этого состава. Но состав как был окружностью, так и остался окружностью. Естественно, что у этой новой окружности диаметр уже не тот, что у неподвижного поезда, а новый, сокращенный.

Вот мы и получили ответ: что бы ни утверждали оппоненты, но при вращении окружности ее радиус уменьшается.

Однако, давайте рассмотрим эту же задачу еще более скрупулезно. Думаю, никому не придет в голову утверждать, что показанный в фильме поезд движется не по окружности, а, например, по квадратной траектории. Или все-таки найдутся такие скептики? Но пока мы заявляем: поезд движется по окружности, точно так, как это показано в фильме. Тем более что эту окружность так прямо и анализируют: мол, не может она, эта окружность, а не овал, парабола или квадрат иметь такой же диаметр, как у исходного, неподвижного поезда.

Да, совершенно верно. Быстро движущийся поезд движется по окружности меньшего диаметра, соответствующего его новой длине окружности (состава). И проверить это мы можем обычным, принятым в геометрии способом. Для этого возьмем некую окружность, неподвижную, но такую, что при наложении на вращающийся (движущийся по кругу) состав, она с ним полностью совпадет. Ну, с небольшим зазором, чтобы не было трения. Мы получаем классическую задачу: если две фигуры при совмещении полностью совпали, то две такие фигуры в геометрии считаются равными. Верно?

То, что при этом одна из фигур быстро вращается, не имеет никакого значения. Мы ведь не отрицаем, что лопасти вентилятора изображают окружность вполне очевидного диаметра. Кроме того, этот эффект используется и в технике, например, в центробежных регуляторах. При раскручивании лапки его раздвигаются и начинают задевать за тормозящую цилиндрическую поверхность.

Итак, мы обнаружили, что новая траектория движущегося поезда в точности совпала с некоторой окружностью. Поскольку теперь мы можем с полным основанием утверждать, что окружности равны, то и диаметр состава, соответственно, нам теперь известен. Да, этот диаметр отличается от диаметра неподвижных путей, на которых поезд начал движение. Но что это означает? Да только то, что поезд просто "соскочит" с этих путей и ничего более. Мы же рассматриваем лишь диаметр траектории движения поезда, и нам нет абсолютно никакого дела до диаметра путей. Тем более что поезд может быть на резиновом ходу, как поезда метро в некоторых странах, которые движутся не по рельсам, а по плоской дороге.

Итак, нет никаких разумных возражений против того, что вращающаяся окружность уменьшает не только свою длину, но и свой диаметр. Конечно, ортодоксальный релятивист будет категорически с этим не согласен, ведь получается полное противоречие с его привычными представлениями о специальной теории относительности.

Однако, факт остается фактом: недоступное ортодоксальному пониманию явление имеет место. Радиус вращающейся окружности испытывает поперечное лоренцево сокращение. Если мы подставим в уравнение Лоренца все параметры движения, то прямо и непосредственно получим этот результат.

Длина окружности прямо пропорциональна ее радиусу. Следовательно, сокращение окружности приводит к прямо пропорциональному сокращению ее радиуса. Отметим на всякий случай: все это с точки зрения неподвижного наблюдателя. Нам нет никакой необходимости переходить в систему отсчета окружности (поезда). И радиус окружности и ее длину мы изменяем нашим, неподвижным измерителем. Окружность вращается в нашей ИСО, в нашей ИСО она и сокращается, в нашей же ИСО сокращается и ее радиус, и, наконец, именно в нашей ИСО Эренфест обнаружил "парадокс". Нам нет никакого дела до того, что при этом наблюдает "машинист поезда".

Действительно, длина окружности сокращается согласно уравнению Лоренца:

Делим это выражение на 2π, не забывая, что π – константа и в нашей ИСО с этой константой абсолютно ничего не произошло, в результате чего получаем:

Здесь мы можем буквально словами известного физика сказать: с точки зрения неподвижного наблюдателя радиус окружности изменился в √(1-v²) раз, хотя, с точки зрения наблюдателя, движущегося с этой окружностью, с ней… И здесь можно дать волю литературному воображению. Например, "а кто ж его знает, что произошло с окружностью с точки зрения этого наблюдателя, находящегося на окружности". Для решения данной задачи нам это знать совершенно не нужно. Евклидово или неевклидово там пространство образовалось, это не наши проблемы. Наше пространство евклидово и в нем мы строго по меркам СТО видим: радиус сократился.

И теперь самое время вновь обратиться к выводу Эренфеста. В чем состоит его парадоксальность? А состоит она в том, что Эренфест без всяких на то оснований приравнивает две абсолютно разные величины: радиус исходного цилиндра и радиус уменьшенного цилиндра. Реально это две никак не связанные друг с другом величины. Попробуйте наложить друг на друга один и тот же цилиндр, когда он вращается и когда он неподвижен. Обращаю особое внимание на это: наложить на неподвижный цилиндр нужно его же, этот же самый цилиндр, но во вращении. Именно это и пытается в своих рассуждениях сделать Эренфест. Можно лишь добавить, что все это довольно сильно напоминает апории Зенона.

Однако, на этом парадокс вращающегося цилиндра не завершен. Мы же рассмотрели даже не цилиндр, а вращающуюся окружность. Поэтому проделаем все рассуждения в обратном порядке.

Итак, мы пришли к неизбежному выводу, что при вращении окружности уменьшается не только ее длина, то и радиус. То есть, скажем так, тонкий обод, лежащий на столе, имеет радиус R и, соответственно, длину окружности L₁=2πR. Если мы раскрутим его до тангенциальной скорости, например, в половину скорости света, то длина окружности уменьшится и станет равной L₂. Положив эту окружность на лист бумаги, мы обнаружим, что она нарисует, отпечатает на нем окружность с такой же длиной. Взяв линейку, мы измерим ее диаметр и обнаружим, что он равен L₂/π. Это геометрия средней школы. Никаких парадоксов или противоречий мы здесь не найдем.

При этом элементарные вычисления по уравнениям СТО покажут, что радиус окружности до раскрутки уменьшился после раскрутки ровно в соответствии с преобразованиями Лоренца.

Здесь имеет смысл сделать небольшое отступление. Данная статья была направлена анонимному рецензенту. Рецензент сделал заключение, фактически не имеющее к моей работе вообще никакого отношения. Главным и, собственно, единственным доводом была ссылка на работу Ландау и Лившица [2], в которой ситуация рассматривалась с точки зрения наблюдателя, находящегося на вращающемся колесе (цилиндре). По сути, это можно рассматривать как согласие с моими выкладками, поскольку рецензент ни слова не сказал, не поставил под сомнение и не критиковал мою позицию, согласно которой сокращение радиуса происходит с точки зрения неподвижного наблюдателя.

Возразить против этого невозможно. Но что это нам дало, ведь у нас есть не окружность, а цилиндр? Да, но цилиндр, вернее, труба – это много окружностей, лежащих друг на друге. Поэтому и диаметр пустотелого цилиндра будет вести себя строго так же, как и окружность, тонкостенный обод. Этот отрезок трубы после раскручивания уменьшит свой диаметр строго по уравнениям Лоренца. Никаких четвертых или иных кривых измерений здесь не требуется. Мы из нашей неподвижной ИСО будем наблюдать строго релятивистское, по законам СТО поведение пустотелого цилиндра.

На этом первый этап парадокса вращающегося цилиндра можно объявить завершенным. Любой вращающийся пустотелый предмет испытывает радиальное, поперечное лоренцево сокращение строго в соответствии с формализмом специальной теории относительности.

И тут возникает подозрение: а ведь и сплошной цилиндр будет вести себя точно так же. И догматический релятивист вновь будет возмущен. Догматический в данном случае означает буквально "этого не может быть, потому что не может быть никогда", то есть реальное неприятие духа теории.

А ведь анализ показывает, что жесткий, полнотелый цилиндр будет уменьшать свой радиус буквально. Мы можем в нем явно выделить "спицы" и наблюдать, как при вращении цилиндра, даже если он и из абсолютно твердого, несжимаемого материала, эти спицы будут уменьшать свою длину. Да, именно так. Цилиндр из абсолютно твердого материала будет при вращении уменьшаться в диаметре, то есть будет испытывать абсолютно объективно регистрируемое радиальное или поперечное лоренцево сокращение.

Для этого мы сначала возьмем все тот же пустотелый цилиндр, но сделаем его из абсолютно твердого материала. Выше мы обнаружили, что он будет уменьшаться в диаметре. Но как такое возможно, ведь он же из несжимаемого материала? А все дело в теории относительности. В нашей системе отсчета мы, например, видим, как движущийся мимо нас стержень из абсолютно твердого материала уменьшает свою длину. Мы же этому не удивляемся? Это сокращение – следствие преобразований Лоренца. С нашей точки зрения, говоря словами известного физика, мы видим, что стержень сократился, хотя с точки зрения наблюдателя на этом стержне с ним ровным счетом ничего не произошло. Это сущность относительности. Поэтому то же самое происходит и с вращающимся пустотелым цилиндром. Правда, ввиду его ускоренного движения, нам сложно сказать, что именно видит наблюдатель, вращающийся вместе с этим цилиндром, но нам это и не нужно. С нашей точки зрения однозначно – он уменьшает как длину своей окружности, так и свой радиус. Но радиус, пока что, понятное дело, "виртуальный". Поскольку цилиндр полый, труба, то и радиус – это пустота, воздух. Сокращается условный, "воздушный" радиус нашей трубы.

Давайте, этот пробел восполним. Для этого проделаем такой трюк. Поместим в наш полый цилиндр еще один цилиндр, тоже полый, но меньшего диаметра. Пусть они вращаются вместе без проскальзывания, то есть, с одной и той же угловой скоростью. Понятно, что внутренний цилиндр тоже будет сокращать свою окружность, но меньше, поскольку у него меньше радиус и при одинаковой угловой скорости его тангенциальная скорость будет меньше.

Меньше, но насколько? Так, для прикидки возьмем радиус этого второго цилиндра меньше первого на 10%. Вычислим, насколько сократятся радиусы обоих цилиндров и будут ли она давить друг на друга, мешать друг другу сокращаться. Действительно, внешний ведь вращается с большей тангенциальной скоростью, поэтому и сократится сильнее. Следовательно, радиус его уменьшится сильнее, и он начнет, вполне возможно, сдавливать внутренний цилиндр. Если материал цилиндров – абсолютно твердый, то следует ожидать парадокса: мы не сможем раскрутить такую конструкцию, поскольку цилиндры должны будут деформировать друг друга, а это невозможно.

Итак, чему же будут равны сокращения радиусов цилиндров? Для большей полноты анализа возьмем много таких концентрических цилиндров, точнее, десять, с равномерно уменьшающимися диаметрами. Произведем вычисления и сведем их воедино в виде графиков, показанных на рис. 1.

Рис. 1. График изменения радиусов слоев в долях от исходного радиуса цилиндра в зависимости от тангенциальной скорости внешнего слоя (поверхности) цилиндра в долях от скорости света.

На графике показаны относительные диаметры каждого из полых цилиндров в зависимости от тангенциальной скорости вращения внешнего цилиндра. Взглянув на графики, мы обнаруживаем неожиданный и удивительный эффект. Буквально до тангенциальной скорости внешнего цилиндра порядка 0,5-0,7 от скорости света ни один из цилиндров не соприкоснется с другим. Более того, обнаружив такую ситуацию, я добавил на схему еще один цилиндр, диаметр которого равен 0,99 от диаметра внешнего, самого большого цилиндра. Но и он в пределах этих скоростей так и не коснулся внешнего цилиндра.

Что это означает? А означает это то, что все эти цилиндры уменьшают свои диаметры синхронно таким образом, что никогда друг друга не касаются и не мешают сокращению друг друга.

Но это цилиндры, которые имеют дискретные диаметры, то есть, вообще-то между ними есть интервал. А что будет, если убрать эти интервалы? Как вариант, можно взять диаметр второго по величине цилиндра и начинать увеличивать его до тех пор, пока он не коснется внешнего. Интересно, чему будет равен этот диаметр, при условии, что он начнет мешать внешнему цилиндру (трубе) релятивистски сокращаться?

В сущности, вычисления элементарные.

Пусть радиусы двух соседних цилиндров равны, соответственно, R₁ и R₂. Длины их окружностей при этом будут, соответственно, 2πR₁ и 2πR₂. Раскрутим эту пару цилиндров. Угловая скорость их ω едина для каждой их точки, и определяет их линейную скорость, которая будет в этом случае равна, соответственно, v₁ = ωR₁ и v₂ = ωR₂. Сокращение длин окружностей определяем по уравнениям Лоренца:

Используем систему единиц, в которой скорость света с = 1. Пусть  R₂ = kR₁, где k = 0…1. Из этого уравнения получаем:

При раскручивании длины окружностей цилиндров уменьшатся, и, соответственно, уменьшатся их радиусы, которые будут равны:

Нас интересует момент, когда радиусы сравняются, и цилиндры начнут давить друг на друга, поэтому вычислим отношение радиусов этих цилиндров после раскрутки:

Мы получили очевидное выражение, показывающее, что отношение радиусов цилиндров зависит от угловой скорости.

Условием, которое нас интересует, является значение скорости, при которой будет наблюдаться равенство радиусов. Другими словами, радиусы, различающиеся в k раз в неподвижном состоянии, после раскрутки до некоторой скорости должны стать равны, то есть:

После элементарных преобразований получаем: 

Как видим, существует вполне определенная скорость, при которой соседние цилиндры коснутся друг друга. До достижения этой скорости соприкосновения не будет. Вот теперь мы и можем вычислить, чему будет равна скорость вращения внешнего цилиндра, при которой самый-самый близкий внутренний цилиндр будет мешать его сокращению. Очевидно, что диаметр такого "самого-самого" близкого цилиндра мы можем найти, устремив k к единице. То есть, это внутренний цилиндр, сверхблизкий цилиндр, бесконечно близкий по диаметру к внешнему. В результате мы находим, что для таких сверхблизких цилиндров они будут мешать друг другу только при скорости, превышающей:

Уточним: это скорость, равная 0,7 от скорости света. То есть, два бесконечно близких друг к другу цилиндра не будут мешать друг другу до того момента, пока мы не раскрутим внешний цилиндр до скорости 0,7 от скорости света. Если скорость меньше, то ни один из внутренних цилиндров не будет мешать вышестоящим цилиндрам сокращаться. Что, собственно, и показал приведенный выше график.

И что же из этого следует? А следует из этого прямо и непосредственно то, что мы можем заполнить всю полость внешнего цилиндра внутренними, то есть превратить наш полый цилиндр в сплошной. И этот цилиндр мы можем раскрутить безболезненно до скорости почти 0,7 от скорости света. При этом никаких внутренних физических деформаций в цилиндре не будет: все его слои, элементарные цилиндры бесконечно малой толщины будут сокращать свой диаметр независимо друг от друга.

А это и означает, что мы можем раскрутить цилиндр из абсолютно твердого материала. Цилиндр при этом будет равномерно уменьшать свой внешний диаметр. Причем для внешнего наблюдателя все это именно так и будет выглядеть: диаметр цилиндра испытывает лоренцево сокращение. То есть, вращающийся цилиндр или вращающееся колесо явно демонстрирует эффект поперечного лоренцева сокращения строго в соответствие с формализмом специальной теории относительности.

В заключение следует напомнить, что это явление не смог объяснить и даже просто обнаружить не только Эренфест, впервые сформулировавший его в виде парадокса. Этого не смог сделать и Эйнштейн, если принять на веру заявления диктора в упомянутом документальном фильме. Ни Ландау и Лившиц, которые в своем классическом труде [2, § 82. Гравитационное поле в релятивистской механике, стр.309] прямо указали, что радиус вращающегося колеса не сокращается. Не говоря уже о множестве других менее известных авторов, повторяющих эти выкладки и поныне.

Поведение тонкого цилиндра в процессе вращения показано на рисунке:

Рис. 2. изменение диаметров слоев тонкого цилиндра (колеса), его отдельных слоев (ободов), выделенных цветом, в зависимости от тангенциальной скорости внешнего слоя цилиндра. Все слои цилиндра смещены вдоль его оси для видимости. Показаны пять значений скорости. Приведенный рисунок можно увидеть в виде gif-анимации по адресу

URL: http://samlib.ru/img/p/putenihin_p_w/paradox-ring/paradox-ring-21.gif

Для большей наглядности отдельные слои цилиндра имеют высоту, существенно меньшую, чем его радиус, и смещены вдоль его оси и окрашены в различные цвета. В этом случае вид сбоку на цилиндр отчетливо показывает, что при его раскручивании отдельные слои не накладываются друг на друга, по меньшей мере, до тангенциальной скорости вращения внешней поверхности цилиндра около 0,7 от скорости света.

Отметим, что в интернете и литературе задача о вращающемся цилиндре Эренфеста часто именуется как "парадокс колеса".

Выводы

Задача о вращающемся цилиндре являются рядовой задачей специальной теории относительности, несмотря на то, что в литературе и в интернете она именуется "парадоксом", в частности, под названием "парадокс колеса". Эта задача имеет элементарное решение в рамках формализма специальной теории относительности. Никаких противоречий, парадоксов при этом не возникает – специальная теория относительности дает строго корректное, однозначное решение этой задачи.

Рецензии:

6.04.2016, 14:52 Трутнев Анатолий Федорович
Рецензия: Рецензия На статью Путинихина П. В « Задача о вращающемся колесе Эренфеста» В статье представлен новый подход к выводам специальной теории относительности Эйнштейна. При этом автор применил творческую трактовку общепризнанных выводов СТО, В частности парадокс вращающегося колеса Эренфеста. Суть этого парадокса заключается в следующем. Согласно принципов относительности СТО продольные размеры тела сокращаются в направлении движения по формуле где l-- длина движущегося тела, l0 длина покоящегося тела В тоже время длина радиуса покоящегося тела и длина радиуса движущегося тела согласно требованиям СТО двум взаимно исключающим положениям . С одной стороны длина должна сокращаться, а с другой стороны нет. Парадокс «колеса» Эренфеста является в настоящее время общепризнанным. Автор статьи на основании математических расчетов пришел к выводу о том, что ни какого парадокса вращающего колеса не существует, а СТО дает однозначное решение это проблемы. Конечно, как все новое новый подход к решению уже общепризнанных утвердившихся в сознании физиков выводов и формулировок СТО довольно сложная задача. Но автор предложил свое оригинальное решение этой задачи. хотя надо признать статья содержит много спорных вопросов. Так он указывает, что длина окружности сокращается согласно уравнению Лоренца. в таком случае она должна сокращаться по формуле L =2 πR√(1-v^2/c^2 ) Второе, он утверждает, что сверх близкие цилиндры будут мешать друг другу только при скорости V = 0,7 А вот что понятие он вкладывает в понятие сверх близкие неясно. Какое же между ними расстояние? И потом, автор уточняет, что скорость при которой цилиндры будут мешать друг другу должна равняться скорости света, тогда эту скорость надо вводить и в расчеты А воющем статья интересна по логике содержания, способствует углублению понятия общепризнанных физических величин и формулировок, будет интересна пользователям, у которых глаза не зашорены догматами. Рекомендуется к публикации