Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 10.08.2016. Последняя правка: 16.11.2016.

Построение грани куба двойного объёма от исходного и извлечение кубического корня при помощи циркуля и линейки.

Жарков Вячеслав Сергеевич

Отсутствует

Интернет

Инженер

Аннотация:
Предлагается общий подход к решению задач о построении заданной грани куба с помощью циркуля и линейки. В качестве примера взято построение грани куба двойного объёма от исходного.


Abstract:
It is proposed that a common approach to address the challenges of building a specified cube face using a compass and ruler. As an example, taken to build double-cube face from the original volume.


Ключевые слова:
построение грани куба; куб; извлечение кубического корня.

Keywords:
building a cube face; cube; extracting the cube root.


УДК  51

Введение.

Задача об удвоении объёма куба (построении грани такого куба при помощи циркуля и линейки) наряду с задачами о квадратуре круга и трисекции угла является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

В Wikipedia можно прочесть: согласно античной легенде, однажды на острове Делос разразилась эпидемия чумы. Жители острова обратились к дельфийскому оракулу, и тот сообщил, что необходимо удвоить жертвенник святилища, который имел форму куба. Жители Делоса соорудили ещё один такой же куб и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. После повторного обращения оракул разъяснил, что удвоенный жертвенник также должен иметь форму куба.С тех пор делийской задачей занимались лучшие математики античного мира, было предложено несколько решений, однако никто не смог выполнить такое построение, используя только циркуль и линейку, поэтому постепенно сложилось общее убеждение в неразрешимости такой задачи.

Целью статьиявляется – показать ошибочность сложившегося убеждения о неразрешимости задачи. Ниже приводятся решения задачи об удвоении куба двумя различными способами, из которых легко понять, как извлечь кубический корень из любого числа. Предлагаемые решения просты и не требуют сложных построений.

Построение грани куба удвоенного объёма (способ №1).
Вводная часть.

В конце V в. до н. э. Гиппократ Хиосский,  древнегреческий математик и астроном, показал, что задача сводится к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его.

В современной интерпретации a/b =b/c =c/2a, отсюда b3 =2a3. Или, говоря по иному, решение задачи сводится к построению  отрезка равного корню кубическому из 2a3, где a – грань исходного (эталонного) куба, а b=21/3a– грань куба удвоенного объёма.

Для того чтобы в дальнейшем было проще описывать решения (построения) рассмотрим свойства прямоугольной трапеции с диагоналями, пересекающимися под прямым углом (см. Рис. 1 и Рис. 2) присущие только ей.

1).  В  любой прямоугольной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом, диагонали всегда делятся точкой их пересечения (E)  на отрезки в соотношении:

 a/b=b/c=c/d=k ; где (a+c) и (b+d) – соответствующие диагонали, k – коэффициент пропорциональности.

 2).  Любая прямоугольная трапеция, диагонали которой пересекаются под прямым углом, разбивается на четыре прямоугольных треугольника три из которых, подобны между собой.

В соответствии с обозначениями принятыми на рисунках можем записать:  AE=a; EB=b; EC=c; ED=d; GB=GC; a*c=b2; d*b=c2; a*d=b*c=e2;


          
                Рис. 1. Прямоугольная трапеция.


 

Рис. 2. Подобные треугольники в трапеции.

Решение задачи.

Вариант 1.
Пусть грань куба, объём которого надо удвоить, равна a.
Для дальнейших построений примем:
a=AO=1(примем за единицу), тогда - d=OD=2a=2; e=OB=OC=(a*d)1/2=21/2; (см. Рис.3). Значение (длину) отрезка е можно найти как диагональ квадрата со стороной a, но  это частный случай. В общем случае, когда надо извлечь корень кубический из числа (сопоставленного ему отрезка!) не равного 2, лучше использовать общеизвестный способ, как показано на Рис. 3. справа, где R=(a+d)/2.

 

          Рис. 3. Нахождение отрезка e. Предварительное построение.

  Итак: проводим две взаимно перпендикулярные линии f,g. От точки O, пересечения линий f и g, откладываем отрезки OA, OB=OC, OD величина которых указана выше. Соединяем точки A, B, C, D, получим трапецию ABCD, диагонали которой AC и BD пересекаются под прямыми углами. От точки N(середина отрезка AD) проведём два радиуса – r1=NB и r2=NC (см. Рис. 4). 
Далее найдём средний радиус r=(r1+r2)/2 и проведём окружность радиусом r с центром в точке N. Точки пересечения T и U, окружности и линий f и g, соединим между собой и точками A и D. Получим прямоугольную трапецию отрезок OT в которой равен 21/3*a или с учётом что a=1, – OT=21/3.  Грань куба удвоенного объёма равна OT=a*21/3.


Рис. 4. Заключительное построение.

   Таким способом можно построить любую прямоугольную трапецию по заданному треугольнику. Поясним на примере.

  Нарисуем параллелограмм ABCD с диагоналями пересекающимися под углом α (см. Рис. 5). Повернём основания параллелограмма на одинаковый угол β, получим трапецию AB1C1D. Будем считать ∆B1OC1 – заданным. Тогда, чтоб построить прямоугольную трапецию, с центра E стороны B1C1 треугольника ∆B1OC1 радиусом R= (AE+DE)/2 проводим дугу окружности до пересечения с диагоналями заданными линиями i и m. Соединяем полученные точки A1 и D1 с точками C1 и B1. Получим прямоугольную трапецию A1B1C1D1.

                                Рис. 5. Прямоугольная трапеция по заданному треугольнику B1OC1.

  Небольшое замечание. Так как SAOD=SB1OC1, то очевидно можно записать          B1O* OC1=AO*DO=(AO)2=(DO)2. Проще говоря, на практике, если задан треугольник B1OC1, сперва, если обратится к Рис. 5., необходимо найти отрезок AO(или DO)(как это сделать описано выше) и построить трапецию AB1C1D. А затем уже выполнять все остальные построения.

Вариант 2.(Метод выравнивания углов.)

  Проведём две линии, пересекающиеся под прямым углом в точке E (см. Рис. 6). Построим ∆AEB в котором сторона BE=a, сторона AE=2a. Проведём линию соединяющую т.B с центром отрезка AE(т.F). Циркулем отложим расстояния EC=ED=BF. Соединим между собой необходимые точки – получим трапецию ABCD. Повернём трапецию вокруг точки H на угол α, так чтоб средняя линия HK была параллельна линиям a и b. Получим трапецию A1B1C1D1(см. также Рис. 7).

                                                         Рис. 6. Построение трапеции.

                                                         Рис. 7. Трапеция  A1B1C1D1.
   Циркулем делаем «засечки» в точках L и F (см. Рис. 8.) такие, чтоб выполнялось условие HL=HD1 и HF= HC1. Полученные углы LB1C1=α и FA1D1=β складываем между собой и делим на 4. Полученный угол γ=(α+β)/4 откладываем вниз (в нашем случае) от обоих оснований и проводим соответствующие линии до пересечения с диагоналями в точках R и Q. Соединив между собой необходимые точки, получим прямоугольную трапецию A1RQB1. Проведя дугу окружности радиусом равным HQ или HR убеждаемся, что HQ=HR, а значит отрезок E1Q=21/3 *a – искомая грань куба.

                                                              Рис. 8. Построение прямоугольной трапеции.

Построение грани куба удвоенного объёма (способ №2).

Вводная часть. 

Пусть у нас есть математический ряд чисел - a1,a2,a3,…..an; , такой, что выполняется условие  – a1:a2=a2:a3=a3:a4=…..=an-1:an=k. (1).  

 В таком случае можно записать – k=(a1:an)1/n-1. (2). Аналогом подобного ряда чисел в геометрии может служить зигзагообразная линия, заключенная между двумя лучами угла (см. Рис. 9) и образующая  бесконечный ряд подобных треугольников. Из рисунка видно что,

1.  A1B1:A2B2=A2B2:A3B3=A3B3:A4B4=…..=An-1Bn-1: AnBn= Sinβ:Sinα=k   (k<1)

2.  h1:h2=h2:h3=h3:h4=…=hn-1:hn= An-1Bn-1:AnBn =k

а значит в соответствии с формулой (2) -- k=(h1:hn)1/n-1. Так как, нас интересует построение грани куба то n=4 и k=(h1:h4)1/3.

(Пояснение: h3=k*h4; h2=k*h3=k2*h4; h1=k*h2=k3*h4; k3=h1:h4)


Рис. 9. Зигзагообразная линия

Решение задачи.

Вариант 1.

Примем для рисунков:  a=h1=h, h4=2h, k3=h4:h1=2 (k>1), hx=k*h=b,

 где a—известная грань куба, b=hx=21/3*a – искомая.

Само построение показано на Рис. 10 и Рис.11.

 

   Рис. 10. Построение зигзагообразной линии.

1). Проводим 3-и линии a, b, c, на расстоянии h друг от друга (см. Рис. 10)

2). Проводим линию d под углом 300 к линии a (угол =300 выбран для удобства).

3). От т.A ,пересечения линий d и b, строим зигзагообразную линию с углами

при вершинах =300 до пересечения с линией c в точке B.

4). Проводим прямую линию через точки A и B.

5). Используя линию AB, как линию отражения, строим зигзагообразные линии (аналогичные первой) из точек A и B на встречу друг другу до пересечения с линиями c и b в точках C и D, соответственно.

6). Проводим прямые линии через точки - A , C, и B, D.

7). Делим отрезки  AD и CB пополам в точках M и F, соответственно.  (См. Рис. 11)


Рис. 11. Нахождение высоты hX

8). Циркулем откладываем расстояния Fp.1=Fp.2=AM=MD.

При одновременном движении точек C и B на встречу  друг другу линия AC до точки р.1 будет всё время короче линии DB, и наоборот,  до точки р.2 линия DB будет всё время длиннее  линии AC. В точках р.1 и р.2 , соответственно, их длины сравняются.
Примечание. На самом деле точки C и B (и связанные с ними линии) будут двигаться скачкообразно по отношению друг к другу и точек p.1 и p.2, в пределе стремясь к равенству между собой линий AC и DB в точках p.1 и p.2 соответственно.

9). Проводим линию MF . Линия MF=ACp.1=DBp.2 -- по построению. Линии ACp.1 и DBp.2 не показаны, чтоб не загромождать рисунок.

   Из точки M(F) строим зигзагообразную линию аналогичную предыдущим. Высота hx=21/3*a на Рис. 7 будет искомой гранью. 

Вариант 2.

Примем условно: a – грань исходного куба, b=ax=21/3*a – искомая грань.

1). Проводим опорную линию M и строим на ней на некотором расстоянии друг от друга

два равносторонних треугольника (см. Рис. 12) -  ∆ACB и ∆DFE со сторонами равными 2a и a, соответственно.

Рис. 12. aX =a*21/3 искомая грань куба.

2). Из точек C и F проводим вспомогательные прямые L  и N, параллельные  опорной линии M.

3). Проводим прямую линию через точки C и F.

4). Рисуем зигзагообразную линию из точки C, используя линию CF как линию отражения,

до пересечения с линией N в точке  F1.

5). Проводим прямую линию через точки C и F1.

6). Используя линию CF1 как линию отражения, рисуем зигзагообразные линии из точек C и F1 на встречу друг другу (аналогичные предыдущей) до пересечения с линиями N и L в точкахF2 и C1 соответственно. (На Рис. 12 показаны пунктиром.)

7). Делим  отрезки CC1 и F2F1 по центру, – точки C2 и F3, и проводим  прямую через эти точки.

8). Из точки C2 или F3 строим линию аналогичную предыдущим, используя прямую C2F3 как линию отражения. Одна из сторон получившегося в результате равностороннего треугольника aX=a*21/3 (показана стрелкой) будет искомой гранью куба.

Заключение.

  В статье не рассматривается отдельно извлечение кубических корней при помощи циркуля и линейки. Как это сделать достаточно понятно из текста. Оба способа позволяют извлекать кубические корни из любого числа (сопоставленного ему отрезка), а второй способ даже позволяет извлекать, теоретически конечно, корни любой степени.

Библиографический список:

1. Метельский Н. В. Математика. Курс средней школы для поступающих в вузы и техникумы. Изд. 3-е, стереотип. Мн., «Вышэйш. Школа», 1975 г. 688 с. с илл.




Рецензии:

27.08.2016, 13:19 Кузьменко Игорь Николаевич
Рецензия: Как так... ? Вы пишите в статье про грани куба, а о кубе как о фигуре нет никакой речи!? В итоге получается, вы хотите что-то новое привнести - это только плюс вам, но никаким образом нет ни пояснения зачем это делается, ни как это после будет применяться. Да и самое главное - если прочитав вашу работу ее маленький ребенок не понял, значит работе "грош цена". Прошу вас услышать мои замечания и переписать эту работу так, как будто вы ее хотите рассказать маленькому ребенку, захватывающе и интересно. Статью на переработку и настоятельно прошу ее доработать, а не забросить в корзину. Если нужна помощь в ее переработке, можете найти меня в социальных сетях: vk.com/igikon

02.11.2016 14:14 Ответ на рецензию автора Жарков Вячеслав Сергеевич:
Уважаемый Игорь Николаевич. Спасибо за сделаные замечания. Я посторался их учесть в новой редакции статьи.

26.12.2016, 18:29 Наумов Владимир Аркадьевич
Рецензия: Сначала нужно привести доказательства двух утверждений перед рис. 4: 1)Получим прямоугольную трапецию, 2)отрезок OT в которой равен a*2**1/3. Очевидность не принимается в математической статье. Без этих доказательств остальные замечания пока не имеют смысла.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх