Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Статья опубликована в №43 (март) 2017
Разделы: Математика
Размещена 10.02.2017. Последняя правка: 12.02.2017.

Стохастическая интерпретация и моделирование квантовых систем на основе понятия броуновского движения

Некрасов Сергей Александрович

д.т.н.

Южно-Российский государственный политехнический университет

профессор

Аннотация:
В статье обсуждаются вопросы расчета квантовых систем на основе стохастической интерпретации уравнения Шредингера. Рассмотрены различные способы решения уравнения квантовой механики на основе метода имитационного моделирования динамики квантовых частиц как броуновского движения. Дисперсия случайной силы выражена как через потенциал Борна, так и в лагранжевой форме. Показано, что энергия микрочастицы является случайной величиной типа белого шума. Рассмотрен пример имитационного моделирования течения газа квантовых частиц.


Abstract:
This article examines the issues of calculation of quantum mechanical systems based on stochastic interpretation of the Schrödinger equation. A method for the approximate solution of the equations of quantum mechanics based on the method of simulation of the dynamics of quantum particles as Brownian motion and the quantum hydrodynamics methods are described. An example of simulation of rarefied gas of quantum particles considered. The influence of the form factor of the initial distribution of the gas density, temperature and parameters of the compute method are studied.


Ключевые слова:
квантовая механика; уравнение Шредингера; стохастическая интерпретация; уравнение Ланжевена; имитационное моделирование; броуновское движение.

Keywords:
quantum mechanics; Schrodinger equation; stochastic interpretation of the Langevin equation; simulation.


УДК 517 : 621

Введение

В связи с бурным развитием современных нанотехнологий особую актуальность приобретает разработка эффективных методов моделирования квантовых систем. Одним из новых перспективных направлений в области квантовомеханического моделирования является имитационное моделирование на основе понятия броуновского движения. Исследованиям и приложениям стохастической интерпретации уравнений квантовой механики посвящена обширная литература (см. библиографию в [1-5]). В статье автора [5] описан стохастический метод моделирования растекания квантового газа при помощи имитационного моделирования броуновского движения системы квантовых частиц массы m под действием случайной силы с корреляционной функцией, зависящей от температуры и плотности квантового газа в соответствии с универсальной формулой. Динамика частиц квантового газа имитируется при помощи системы уравнений движения, аналогичных уравнению Ланжевена. Внешние силы, действующие на частицы подчиняются закону Ньютона и состоят из двух компонент, одна из которых определяется потенциалами взаимодействия частиц и внешними полями, другая носит случайный (шумовой) характер, соответствующий процесс определяется как «белый шум», корреляционная функция которого зависит от температуры и концентрации частиц. В данной статье случайная сила на основе квантования по Фейману  представлена в терминах лагранжевых переменных, что позволило детально проанализировать природу случайной силы и наглядно доказать существование квантового броуновского движения.

Имитация броуновского движения частиц квантового газа позволяет вычислить уровни энергии квантово-механических систем как состояния динамического равновесия между стохастическим воздействием шумовых колебаний среды и полей, а также сдерживающим действием потенциальных сил. При этом отдельные частицы характеризуются классическими траекториями, а волновая функция является результатом усреднения по ансамблю.

1.  Математическая формулировка задачи и основные соотношения

Уравнение Шредингера, описывающее динамику системы N квантовых частиц, записывается в виде:

         (1)
где   
– волновая функция системы в точке r с координатами


в определенный момент времени t, - постоянная Планка, mn – масса n-й частицы,  
 – внешняя по отношению к частицам потенциальная энергия системы в точке r в момент времени t, оператор набла-квадрат:
                                

Решение уравнения (1), как правило, связано со значительными трудностями, особенно
при большом количестве частиц.  В качестве имитационной модели используется система стохастических уравнений Ланжевена, описывающих динамику квантовых частиц:
                  (2)

где  v- скорость,  x -  координата, mk -  масса, 'gamma' - коэффициент затухания скорости k-й частицы   f   - сторонняя, а  'ksi'- случайная сила, действующая на k-ю частицу, N - число частиц, t -  время.

Обычно считается, что шумовой член силы описывается соотношениями белого шума, для которого среднее по множеству наблюдений и парный коррелятор случайной силы равны:

    (3)

  - некоторая функция, соответствующая коэффициенту диффузии броуновской частицы,  t - моменты времени.

Далее предположим, что частицы газа одинаковы, а потому индекс номера частицы будет опускаться.

В данной статье показано, что случайная сила, моделируемая уравнением квантовой механики, соответствует белому шуму.

Согласно постулату квантования по Фейману  волновая функция  квантовой системы может быть определена через некоторое начальное условие по формуле:

 (4)

где  K – квантовый пропагатор:

,  (5)

где   
потенциальная энергия частицы,  при .

Предположим в начальный момент времени частица описывалась волновой функцией нормального распределения:

.  (6)

После подстановки (6) в (4) и некоторых преобразований находим с точностью до членов второго порядка по шагу по времени волновую функцию, которая имеет аналогичный (6) вид:
                        
или

 

где a0 , a1  - центры распределений и коэффициенты b0,b1  находятся из уравнений Ньютона, как координаты и пропорциональные скорости величины  для соответствующих моментов времени (характеристики классической траектории).

Дисперсии распределений и коэффициенты c0 , c1, удовлетворяют соответствующим рекуррентным формулам. Рассмотрим модель растекания идеального квантового газа, тогда  на первом шаге
                            .
Анализ данных соотношений свидетельствует о существовании броуновского квантового движения. Энергия частицы квантового газа постоянно равна  
                                                 ,
потенциальная энергия при этом равна нулю, поэтому
                                          ,
где v - среднеквадратичная скорость частицы квантового газа. Следовательно,
                                            .
Предположим, что частицы газа с начального момента находятся в состоянии  теплового (в классическом понимании) движения с температурой T и среднеквадратичной тепловой скоростью vT .Тогда дисперсия будет равна:

                                    .
     Последняя формула наглядно свидетельствует, что роли среднеквадратических квантовой и тепловой (в классическом понимании) скоростей аналогичны, что свидетельствует об аналогии квантового и классического броуновского движений.

    Вычислительный процесс имитационного моделирования  состоит из следующих этапов:

1.  Нахождение выборочных реализаций скорости и координат квантовых частиц в соответствии со стохастическими уравнениями Ланжевена (2) и случайных сил (3).

2.  На каждом шаге по времени вычисляется концентрация частиц и пересчитывается коэффициент их диффузии.

3.  После требуемого числа шагов интегрирования по времени осуществляется обработка полученной статистики, строится гистограмма распределения частиц в объеме, находятся моменты распределения и т.п.

Моделирование случайной силы, удовлетворяющей свойствам белого шума, осуществлялось при помощи известных соотношений.

Моделирование нормальных случайных величин  осуществлялось по правилу 12 средних. Начальные значения координат броуновских частиц  моделировались по центрированному  нормальному закону.

2. Примеры моделирования

Имитационное моделирование осуществлялось при дисперсии случайной силы, выраженной через потенциал Борна, для следующих условий и параметров вычислительного метода: 

число  шагов по времени n=1000,  количество частиц газа m=2000, интервал изменения пространственной координаты , число отрезков его разбиения nx=20. На рисунке представлены графики  плотности распределения по пространственной координате при абсолютном нуле температуры,  (шаг  10-4 c), красный цвет соответствует точному решению, голубой – статистическому решению. Единицы измерения по оси Ox здесь и далее – мм.
  Совпадение графиков кривых плотности удовлетворительное и соответствует статистической погрешности.

 

 

Рис.

Заключение

Проведено обоснование метода решения уравнения Шредингера на основе имитационного моделирования динамики частиц квантового газа как броуновского движения с переменным коэффициентом диффузии.

Рассмотрены примеры применения данного метода к расчету рассеивания облака идеального квантового газа с учетом формы начального распределения его плотности и температуры.

Полученные данные позволяют предполагать, что данный метод окажется эффективным приемом моделирования или, по крайней мере, методом получения хорошего начального приближения при решении многочастичного уравнения Шредингера. На основе описанной методики относительно просто формулируется соответствующий вариант метода крупных частиц для квантомеханического уравнения.

Библиографический список:

1. Кашурников В.А., Красавин А.В. Численные методы квантовой статистики. Москва, Изд-во Физматлит, 2010, 628 с.
2. Файнберг В.Я. Связь между уравнениями Фоккера–Планка–Колмогорова и нелинейными уравнениями Ланжевена / ТМФ, 149:3 (2006), 483–501.
3. Максимов С.Г. Проблемы микроскопической нерелятивистской квантовой гидродинамики. Дисс..соиск. канд. физ.-мат. Наук, 2000, Москва. 123 с.
4. Некрасов С.А. Решение n-мерного уравнения Шредингера методом интегральных уравнений на псевдослучайной сетке // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2016 – № 55; URL: http://novainfo.ru/article/8797
5. Некрасов С.А. Решение уравнения Шредингера методом имитационного моделирования // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2017 г. – № 58; URL: http://novainfo.ru/article/10203
6. Некрасов С.А. Методы ускоренного статистического моделирования и их применение в электротехнических задачах/ Изв. вузов. Электромеханика. 2008. No 5. С. 13-19. http://elibrary.ru/item.asp?id=12159957




Рецензии:

22.04.2017, 10:56 Голик Феликс Валентинович
Рецензия: Предметом исследования настоящей статьи являются квантовые системы, актуальность изучения которых обусловлена бурным развитием нанотехнологий. В качестве метода исследования автор использует имитационное моделирование, базирующееся на модели броуновского движения. Автор убедительно доказал его эффективность и результативность. Статья содержит элементы научной новизны, которые отражены в выводах автора публикации. Структура и содержание статьи соответствуют научному стилю публикаций. Аннотация в полной мере отражает содержание статьи, предмет исследования, метод и результаты, полученные автором. Библиография содержит достаточное число ссылок на научные работы, которые дают представление о выбранной автором теме исследования. Выводы автора статьи имеют под собой строгую научную основу. Мысли сформулированы ясно и изложены логично. Замечание. Несмотря на очевидную близость кривых гистограмм и теоретических плотностей, хотелось бы видеть результаты проверки статистических гипотез о нормальности распределения по одному из критериев согласия. Тогда утверждение автора: «совпадение графиков кривых плотности удовлетворительное и соответствует статистической погрешности» было бы более обосновано. Отмечу, что это замечание не является принципиальным и не снижает научной и практической значимости исследования. Его следует рассматривать как пожелание автору при обработке результатов статистических исследование применять общепринятые методы статистического анализа. Заключение. Считаю, что статья «Стохастическая интерпретация и моделирование квантовых систем на основе понятия броуновского движения» (Некрасов С. А.) отвечает всем требованиям, предъявляемым к научным публикациям, и может быть опубликована в электронном журнале SCI-ARTICLE.



Комментарии пользователей:

20.04.2017, 16:19 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Отзыв: Скажите, как Вы вставляете рисунки?


Оставить комментарий


 
 

Вверх