Разделы: Математика
Размещена 14.05.2017. Последняя правка: 09.05.2017.
Просмотров - 2516

Правило Борда как часть парадокса Кондорсе

Мантусов Анатолий Бадьмаевич

кандидат педагогических наук

ФГОУ ВПО Калмыцкий госуниверситет им Б.Б. Городовикова

доцент кафедры математики и информатики

УДК 519.816

Парадокс Кондорсе - известный парадокс теории общественного выбора, впервые описан Кондорсе в 1785 г [2. C. 136] имеет несколько вариаций, здесь изложим одну из них.

Построим модель парадокса Кондорсе при 6 предпочтениях, поскольку при числе альтернатив равном 3 соответствующее число есть 3!=6

Введем переменные следующим образом [5]. Пусть bvttv следующие предпочтения:

x человек: A > C > B
y человек: А > B > C
z человек: В > А > С
t человек: В > С > А

u человек: C>A>B

v человек: C>B>A

При таких обозначениях для отыскания целочисленных значений x, y, z, t , u, v получаем следующую модель:

 

Минимизируя число голосующих  получим задачу линейного программирования:

 

Для решения данной задачи воспользуемся GNU Octave. GNU Octave - это [4] свободный интерпретирующий язык для проведения математических вычислений. Для решения задач линейного программирования [3, c.311] в Octave существует функция

 [xopt, fmin, status, extra] = glpk( c, a, b, lb, ub, ctype, vartype, sense, param)

которой мы и воспользуемся. Текст программы решения задачи приведён в листинге

 

Минимальное значение f_min = 9 достигается при x =3, y=1, z=0, t=3, u=0 и v=2.

 

Из того, что минимальное значение целевой функции равно 9 можно сделать вывод о том, что числе голосующих меньшем 9 парадокс Кондорсе не реализуется для приведенного выше набора правил голосования, другими словами имеем устойчивость к манипулированию приданном наборе альтернатив. Рассмотрим  вопрос о справедливости подобной оценки для других наборов правил голосования и возможности ранжирования правил голосования по данному признаку.

Пусть в тех же обозначениях применим правило Борда [1. C.95], заменив им голосование по мажоpитаpной системе относительного большинства.  Исходом данного голосования по правилe Борда требуется победа кандидата А,  тогда должны быть  результаты: r(А)=3x+3y+2z+2t+u+v  человек,

r(B)=2x+2y+3z+3t+u+2v  человек,

r(C)=2x+y+z+2t+3u+3v  человек.

Таким образом, в этом случае победит кандидат А если:

 

При таких обозначениях для отыскания целочисленных значений x, y, z, t , u, v получаем следующую модель:

 

Минимальное значение f_min = 9 достигается при x =0, y=4, z=0, t=3, u=0 и v=2.

Из того, что минимальное значение целевой функции также равно 9 можно сделать вывод о том, что: 1) парадокс Кондорсе также реализуется для случая замены  правила голосования  по мажоpитаpной системе относительного большинства на правило Борда; 2) минимальное число голосующих также равно 9, другими словами имеем равнозначность правила голосования  по мажоpитаpной системе относительного большинства и правила Борда по признаку минимального числа голосующих.

Заменим теперь голосование по системе абсолютного большинства на правило Борда. При голосовании по правилу Борда победит  кандидат В при условии

r(B)=x+2y+3z+3t+u+2v  > r(А)=3x+3y+2z+t+2u+v  ,

r(B)=x+2y+3z+3t+u+2v  > r(C)=2x+y+z+2t+3u+3v  .

 после упрощения:

 

 Имеем:

 

Из того, что минимальное значение целевой функции теперь равно 19 можно сделать вывод о том, что:
1) парадокс Кондорсе также реализуется для случая замены  правила голосования по системе абсолютного большинства на правило Борда;
2) минимальное число голосующих не равно 9, другими словами имеем неравнозначность голосования  по системе абсолютного большинства и правила Борда по признаку минимального числа голосующих.

1. Алескеров Ф. Т., Хабина Э. Л., Шварц Д. А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения : учеб. пособие для вузов ; Гос. ун-т — Высшая школа экономики. — М. : Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006. — 298 с, с.95.
2. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование : учебник : в 3 ч. / А.И.Орлов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2009. Ч. 2 : Экспертные оценки. – 2011. – 486 с.
3. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Введение в Octave для инженеров и математиков: / М.: ALT Linux, 2012. 368 с.
4. Gnu Оctave URL: http://www.gnu.org/software/octave/ (дата обращения: 05.10.2016)
5. Мантусов А. Б. Об определении числа экспертов на основе парадокса Кондорсе [Электронный ресурс] // SCI-ARTICLE.RU URL: http://sci-article.ru/stat.php?i=1493658728 (дата обращения: 05.05.2017)

Рецензии:

18.05.2017, 22:48 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Листинг не читаем. Много грамматических ошибок. В аналогичной более ранней работе автора о числе экспертов также как и здесь сам парадокс не объяснён и не сформулирован. Никаким парадоксом и другими хитростями два фундаментальных правила такой статистики не заменить: чисел (голосующих и пр.) должно быть много (и это определяется соотношением выборки и генеральной совокупности), и они должны быть независимы. Следовательно, существующие системы голосования с большим вкладом корреляций не являются адекватными. Статья демонстрирует, по мнению рецензента, словосочетание "из пушки по воробьям". К публикации не рекомендуется.



Комментарии пользователей:

14.05.2017, 20:11 Голик Феликс Валентинович Отзыв: Некоторое время назад написал рецензию на статью "Об определении числа экспертов на основе парадокса Кондорсе» (Матусов А. Б.). Представленная статья "Правило Борда как часть парадокса Кондорсе" того же автора практически совпадает с предыдущей.

Оставить комментарий