Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 14.05.2017. Последняя правка: 09.05.2017.

Об одной оценке процедуры голосования

Мантусов Анатолий Бадьмаевич

кандидат педагогических наук

ФГОУ ВПО Калмыцкий госуниверситет им Б.Б. Городовикова

доцент кафедры математики и информатики

Аннотация:
Исследуя вопрос о сравнении различных правил голосования был предложен индекс, вычислены значения индекса для правила Борда и для правила относительного большинства в случае трех альтернатив. Для проведения вычислений использовано свободный интерпретирующий язык Octave для проведения математических вычислений.


Abstract:
Exploring the issue of comparing different voting rules were proposed index is calculated the index values for the rules Board and for the rule of relative majority in the case of three alternatives. For the calculations used interpret the free language Octave for carrying out mathematical calculations.


Ключевые слова:
индекс правила голосования; индекс правила Борда; индекса для правила относительного большинства

Keywords:
the index of the voting rule; Borda rule index; the index for the rule of relative majority.


УДК 519.816

Нитцан    [5]  и  Келли   [3]  ввели  индекс  Нитцана-Келли  для  измерения  степени   манипулируемости процедуры голосования. Поскольку индекс Нитцана-Келли основан на вычислении доли манипулируемых профилей в общем количестве всех возможных профилей голосования, то возникает вопрос о возможности оценки процедуры голосования основанной на вычислении доли профилей для которых данная процедура голосования дает и притом однозначный ответ в общем количестве всех возможных профилей голосования. При этом ограничимся случаем   Impartial Culture (IC), в котором подразумевается, что все профили голосования одинаково вероятны, см. например Алескеров,  Карабекян,  Санвер  и  Якуба  [1,2].

Мы рассматриваем ситуацию голосования, в которой участвуют n участников и m кандидатов. У каждого участника есть предпочтение на множестве кандидатов, выраженное линейным порядком. 

Индекс имеет вид I= М/К

Где К-  число различных вариантов

M-число вариантов однозначного определения победителя.
Отметим, что большее значение индекса характерно для более предпочтительного правила голосования, как дающего определенный ответ для большей доли случаев, минимальное значение индекса равное нулю достигается для правила голосования в виде функции с областью значений равным пустому множеству, максимальное значение индекса равное единице достинается для правила голосования в виде функции определенной на всем множестве различных вариантов.

Рассмотрим    одно из позиционных правил коллективного выбора - правило относительного большинства, состоящее в том, что выбирается  альтернатива  с  наибольшим количеством первых мест в предпочтениях участников голосования и вычислим значения данного индекса.

Для случая трех альтернатив построим модель данного правила коллективного выбора при 6 предпочтениях, поскольку при числе альтернатив равном 3 соответствующее число есть 3!=6

Введем переменные следующим образом [7]. Пусть N голосующих дали следующие предпочтения:

x человек: A > C > B
y человек: А > B > C
z человек: В > А > С
t человек: В > С > А

u человек: C>A>B

v человек: C>B>A

При этом x+y+z+t+u+v=N. Если N=2  то имеем  различных вариантов

 

x

y

z

t

u

v

1

1

1

0

0

0

0

2

1

0

1

0

0

0

3

1

0

0

1

0

0

4

1

0

0

0

1

0

5

1

0

0

0

0

1

6

0

1

1

0

0

0

7

0

1

0

1

0

0

8

0

1

0

0

1

0

9

0

1

0

0

0

1

10

0

0

1

1

0

0

11

0

0

1

0

1

0

12

0

0

1

0

0

1

13

0

0

0

1

1

0

14

0

0

0

1

0

1

15

0

0

0

0

1

1

16

2

0

0

0

0

0

17

0

2

0

0

0

0

18

0

0

2

0

0

0

19

0

0

0

2

0

0

20

0

0

0

0

2

0

21

0

0

0

0

0

2

Подсчетом в данном случае можно найти, что M-число вариантов однозначного определения победителя равно 9. 

Если N=3 то имеем  различных вариантов, в данном случае  число вариантов в которых нет однозначного определения победителя равно 8  и M=56-8=48

 

x

y

z

t

u

v

1

1

0

1

0

1

0

2

1

0

1

0

0

1

3

1

0

0

1

1

0

4

1

0

0

1

0

1

5

0

1

1

0

1

0

6

0

1

1

0

0

1

7

0

1

0

1

1

0

8

0

1

0

1

0

1

 

Исход данного голосования по правилу  относительного  большинства будет определен и определен однозначно  если либо  x+y>.N/2  либо z+t>.N/2  либо u+v>.N/2  . Для решения данной задачи при других значениях N воспользуемся GNU Octave. GNU Octave - это [6] свободный интерпретирующий язык для проведения математических вычислений.

Текст программы для решения задачи приведён в листинге

 

При введении значения N=2 получаем, что  K=21, M=9.

 

 

 

Сведем результаты вычислений в таблицу.

N

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

30

K

21

56

126

252

462

792

1287

2002

3003

4368

6188

8568

11628

15504

20349

26334

33649

42504

53130

324642

M

9

48

63

198

243

588

693

1428

1638

3026

3402

5796

6426

10296

11286

17226

18711

27456

29601

181764

I

0,429

0,857

0,500

0,786

0,526

0,742

0,538

0,713

0,545

0,693

0,550

0,676

0,553

0,664

0,555

0,654

0,556

0,646

0,557

0,560

 

Представим значения индекса для правила относительного большинства в виде графика

 

Рассмотрим теперь голосование по правилу Борда [4] которое  состоит в том, что суммируются ранги каждого варианта, а затем  вариант с наибольшим рангом объявляется самым предпочтительным,  и далее предпочтения выстраиваются в порядке убывания рангов. При голосовании по правилу Борда победит  кандидат А при условии

r(А)=3x+3y+2z+t+2u+v  > r(B)=x+2y+3z+3t+u+2v 

r(А)=3x+3y+2z+t+2u+v  > r(C)=2x+y+z+2t+3u+3v  .

кандидат В при условии

r(B)=x+2y+3z+3t+u+2v  > r(А)=3x+3y+2z+t+2u+v  ,

r(B)=x+2y+3z+3t+u+2v  > r(C)=2x+y+z+2t+3u+3v  .

кандидат С при условии

r(C)=2x+y+z+2t+3u+3v > r(А)=3x+3y+2z+t+2u+v  ,

r(C)=2x+y+z+2t+3u+3v > r(B)=x+2y+3z+3t+u+2v    

и условие  применимости состоит в том, что выполняется какое-либо из названных условий. При N=2  из подсчета удалим следующие  6 вариантов

x

y

z

t

u

v

 

1

0

0

1

0

0

 

1

0

0

0

1

0

 

0

1

1

0

0

0

 

0

1

0

0

0

1

 

0

0

1

0

1

0

 

0

0

0

1

0

1

 

 

В данном случае M-число вариантов однозначного определения победителя равно 21-6=15

Текст программы для решения задачи приведён в листинге

 

При введении значения N=2 получаем  K=21, M=9

 

 

 

Сведем результаты вычислений значений индекса в таблицу.

N

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

30

K

21

56

126

252

462

792

1287

2002

3003

4368

6188

8568

11628

15504

20349

26334

33649

42504

53130

324642

M

15

48

108

222

408

720

1164

1842

2769

4062

5766

8046

10926

14652

19260

25020

32013

40578

50766

314556

M/K

0,714

0,857

0,857

0,881

0,883

0,909

0,904

0,920

0,922

0,930

0,932

0,939

0,940

0,945

0,946

0,950

0,951

0,955

0,956

0,969

 

Представим значения индекса для правила Борда  в виде графика

 

Введенный нами индекс применен для двух видов голосования, при этом получено, что для вычисленных значений индекс имеется периодичность, различно выраженную для каждого из правил, правило Борда имеет большие чем правило относительного большинства значения предложенного индекса при всех вычисленных значениях числа голосующих.

Библиографический список:

1. ALESKEROV F., KARABEKYAN D., SANVER R., YAKUBA V. On manipulability of positional voting rules // SERIEs: Journal of the Spanish Economic Association. 2011. Vol. 2 (4). P. 431-446.
2. ALESKEROV F., KARABEKYAN D., SANVER R., YAKUBA V. On the manipulability of voting rules: Case of 4 and 5 Alternatives // Mathematical Social Sciences. 2012.
3. KELLY J. Almost all social choice rules are highly manipulable, but few aren't // Social Choice and Welfare. 1993. Vol. 10. Р. 161–175.
4. Алескеров Ф. Т., Хабина Э. Л., Шварц Д. А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения : учеб. пособие для вузов ; Гос. ун-т — Высшая школа экономики. — М. : Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006. — 298 с.
5. Nitzan S (1985) The vulnerability of point-voting schemes to preference variation and strategic manipulation. Public Choice 47:349–370
6. GNU Octave URL: http://www.gnu.org/software/octave/ (дата обращения: 05.10.2016)
7. Мантусов А. Б. Об определении числа экспертов на основе парадокса Кондорсе [Электронный ресурс] // SCI-ARTICLE.RU URL: http://sci-article.ru/stat.php?i=1493658728 (дата обращения: 05.05.2017)




Рецензии:

26.05.2017, 0:56 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Смысл нечитаемых скриншотов неясен, литература оформлена не по ГОСТу. Прочтите, пожалуйста:"Введенный нами индекс применен для двух видов голосования, при этом получено, что для вычисленных значений индекс имеется периодичность, различно выраженную для каждого из правил, правило Борда имеет большие чем правило относительного большинства значения предложенного индекса при всех вычисленных значениях числа голосующих". Сколько здесь в одном предложении смысловых, синтаксических и всяких других ошибок и не стыковок? А вообще-то, при голосовании лишь два правила: чисел (голосующих) должно быть много, и они должны быть независимы. Вот разработка весовых коэффициентов критериев выборки представителей генеральной совокупности - это проблема. Преступным является принцип "сколько бы не пришло - голосование состоялось". Следовательно, у нас в стране голосование как таковое отсутствует вовсе. А нужен ли тут программный продукт или нет - чисто наукообразная проблема.



Комментарии пользователей:

Оставить комментарий


 
 

Вверх