кандидат педагогических наук
ФГОУ ВПО Калмыцкий госуниверситет им Б.Б. Городовикова
доцент кафедры математики и информатики
УДК 519.816
Нитцан [5] и Келли [3] ввели индекс Нитцана-Келли для измерения степени манипулируемости процедуры голосования. Поскольку индекс Нитцана-Келли основан на вычислении доли манипулируемых профилей в общем количестве всех возможных профилей голосования, то возникает вопрос о возможности оценки процедуры голосования основанной на вычислении доли профилей для которых данная процедура голосования дает и притом однозначный ответ в общем количестве всех возможных профилей голосования. При этом ограничимся случаем Impartial Culture (IC), в котором подразумевается, что все профили голосования одинаково вероятны, см. например Алескеров, Карабекян, Санвер и Якуба [1,2].
Мы рассматриваем ситуацию голосования, в которой участвуют n участников и m кандидатов. У каждого участника есть предпочтение на множестве кандидатов, выраженное линейным порядком.
Индекс имеет вид I= М/К
Где К- число различных вариантов
M-число вариантов однозначного определения победителя.
Отметим, что большее значение индекса характерно для более предпочтительного правила голосования, как дающего определенный ответ для большей доли случаев, минимальное значение индекса равное нулю достигается для правила голосования в виде функции с областью значений равным пустому множеству, максимальное значение индекса равное единице достинается для правила голосования в виде функции определенной на всем множестве различных вариантов.
Рассмотрим одно из позиционных правил коллективного выбора - правило относительного большинства, состоящее в том, что выбирается альтернатива с наибольшим количеством первых мест в предпочтениях участников голосования и вычислим значения данного индекса.
Для случая трех альтернатив построим модель данного правила коллективного выбора при 6 предпочтениях, поскольку при числе альтернатив равном 3 соответствующее число есть 3!=6
Введем переменные следующим образом [7]. Пусть N голосующих дали следующие предпочтения:
x человек: A > C > B
y человек: А > B > C
z человек: В > А > С
t человек: В > С > А
u человек: C>A>B
v человек: C>B>A
При этом x+y+z+t+u+v=N. Если N=2 то имеем различных вариантов
x |
y |
z |
t |
u |
v |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
3 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
9 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
10 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
11 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
12 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
13 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
14 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
16 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
17 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
18 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
19 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
21 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
Подсчетом в данном случае можно найти, что M-число вариантов однозначного определения победителя равно 9.
Если N=3 то имеем различных вариантов, в данном случае число вариантов в которых нет однозначного определения победителя равно 8 и M=56-8=48
x |
y |
z |
t |
u |
v |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
5 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
7 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
8 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Исход данного голосования по правилу относительного большинства будет определен и определен однозначно если либо x+y>.N/2 либо z+t>.N/2 либо u+v>.N/2 . Для решения данной задачи при других значениях N воспользуемся GNU Octave. GNU Octave - это [6] свободный интерпретирующий язык для проведения математических вычислений.
Текст программы для решения задачи приведён в листинге
При введении значения N=2 получаем, что K=21, M=9.
Сведем результаты вычислений в таблицу.
N |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
30 |
K |
21 |
56 |
126 |
252 |
462 |
792 |
1287 |
2002 |
3003 |
4368 |
6188 |
8568 |
11628 |
15504 |
20349 |
26334 |
33649 |
42504 |
53130 |
324642 |
M |
9 |
48 |
63 |
198 |
243 |
588 |
693 |
1428 |
1638 |
3026 |
3402 |
5796 |
6426 |
10296 |
11286 |
17226 |
18711 |
27456 |
29601 |
181764 |
I |
0,429 |
0,857 |
0,500 |
0,786 |
0,526 |
0,742 |
0,538 |
0,713 |
0,545 |
0,693 |
0,550 |
0,676 |
0,553 |
0,664 |
0,555 |
0,654 |
0,556 |
0,646 |
0,557 |
0,560 |
Представим значения индекса для правила относительного большинства в виде графика
Рассмотрим теперь голосование по правилу Борда [4] которое состоит в том, что суммируются ранги каждого варианта, а затем вариант с наибольшим рангом объявляется самым предпочтительным, и далее предпочтения выстраиваются в порядке убывания рангов. При голосовании по правилу Борда победит кандидат А при условии
r(А)=3x+3y+2z+t+2u+v > r(B)=x+2y+3z+3t+u+2v
r(А)=3x+3y+2z+t+2u+v > r(C)=2x+y+z+2t+3u+3v .
кандидат В при условии
r(B)=x+2y+3z+3t+u+2v > r(А)=3x+3y+2z+t+2u+v ,
r(B)=x+2y+3z+3t+u+2v > r(C)=2x+y+z+2t+3u+3v .
кандидат С при условии
r(C)=2x+y+z+2t+3u+3v > r(А)=3x+3y+2z+t+2u+v ,
r(C)=2x+y+z+2t+3u+3v > r(B)=x+2y+3z+3t+u+2v
и условие применимости состоит в том, что выполняется какое-либо из названных условий. При N=2 из подсчета удалим следующие 6 вариантов
x |
y |
z |
t |
u |
v |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
В данном случае M-число вариантов однозначного определения победителя равно 21-6=15
Текст программы для решения задачи приведён в листинге
При введении значения N=2 получаем K=21, M=9
Сведем результаты вычислений значений индекса в таблицу.
N |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
30 |
K |
21 |
56 |
126 |
252 |
462 |
792 |
1287 |
2002 |
3003 |
4368 |
6188 |
8568 |
11628 |
15504 |
20349 |
26334 |
33649 |
42504 |
53130 |
324642 |
M |
15 |
48 |
108 |
222 |
408 |
720 |
1164 |
1842 |
2769 |
4062 |
5766 |
8046 |
10926 |
14652 |
19260 |
25020 |
32013 |
40578 |
50766 |
314556 |
M/K |
0,714 |
0,857 |
0,857 |
0,881 |
0,883 |
0,909 |
0,904 |
0,920 |
0,922 |
0,930 |
0,932 |
0,939 |
0,940 |
0,945 |
0,946 |
0,950 |
0,951 |
0,955 |
0,956 |
0,969 |
Представим значения индекса для правила Борда в виде графика
Введенный нами индекс применен для двух видов голосования, при этом получено, что для вычисленных значений индекс имеется периодичность, различно выраженную для каждого из правил, правило Борда имеет большие чем правило относительного большинства значения предложенного индекса при всех вычисленных значениях числа голосующих.
Рецензии:
26.05.2017, 0:56 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия: Смысл нечитаемых скриншотов неясен, литература оформлена не по ГОСТу. Прочтите, пожалуйста:"Введенный нами индекс применен для двух видов голосования, при этом получено, что для вычисленных значений индекс имеется периодичность, различно выраженную для каждого из правил, правило Борда имеет большие чем правило относительного большинства значения предложенного индекса при всех вычисленных значениях числа голосующих". Сколько здесь в одном предложении смысловых, синтаксических и всяких других ошибок и не стыковок? А вообще-то, при голосовании лишь два правила: чисел (голосующих) должно быть много, и они должны быть независимы. Вот разработка весовых коэффициентов критериев выборки представителей генеральной совокупности - это проблема. Преступным является принцип "сколько бы не пришло - голосование состоялось". Следовательно, у нас в стране голосование как таковое отсутствует вовсе. А нужен ли тут программный продукт или нет - чисто наукообразная проблема.
Комментарии пользователей:
Оставить комментарий