Публикация научных статей.
Вход на сайт
E-mail:
Пароль:
Запомнить
Регистрация/
Забыли пароль?
Международный научно-исследовательский журнал публикации ВАК
Научные направления
Поделиться:
Разделы: Математика
Размещена 08.07.2017. Последняя правка: 20.08.2017.

Две дороги к теории множеств

Булыгин Владимир Викторович

нет

Ростелеком

инженер

Аннотация:
Отношение один к многим может быть выражено однозначно, если учесть условие, при котором характеристическое свойство множества преобразуется в элемент множества. Иерархия множеств допустима, если представить, где это необходимо, характеристическое свойство множества как элемент другого множества.


Abstract:
The ratio of one-to-many can be expressed clearly, if we consider the condition under which the characteristic property of the set is converted into an element of the set. The hierarchy of sets is valid if to provide, where necessary, the characteristic property of the set as an element of another set.


Ключевые слова:
элемент множества; предикат; характеристическое свойство; существует; не существует

Keywords:
element of a set; predicate; characteristic property; exist; does not exist


УДК 510.21

Введение. Что, если по иному взглянуть на основы теории множеств? Можно ли трактовать характеристическое свойство как элемент множества? Как выразить логической связкой тоже самое элемент множества и его характеристическое свойство? Вот эти вопросы основания математики и будут рассмотрены ниже под углом зрения аналитической философии, идеалом которой является сведение к минимуму рассуждений интуитивных и неопределяемых.

Актуальность. Трактовка предиката равенства (квантора существования и единственности) в качестве понятия «существует»  делает осмысленным речевые обороты «существует х». А уже это, в свою очередь, допускает трактовку элемента множества (в зависимости от порядка иерархичности): и как аргумента функции, и как значения функции, и как функции.

Цели и задачи. Требуется показать отношения однозначности между характеристическим свойством множества и его элементами. Показать, что язык логики предикатов и кванторов применим и к множествам, представленным иерархично.

Основная часть. Почему не каждая рыба – селедка, но каждая селедка – рыба? Потому что квантор (все) – не то же, что квантор (один или более одного). Потому что в предикативной форме: рыба(селедка) – не тоже, что рыба(не селедка). Потому что с использованием характеристического свойства, которое у них одно, сами элементы множества различны: {селедка, не селедка | рыба}. В учебниках математики, правда, это пример был бы представлен как {х | P(x)}, где P – рыба, т. е. быть рыбой - свойство каждого элемента этого множества. Замечу здесь, что субъект высказывания и предикат могут быть одним и тем же. В таком случае такая запись вырождается в {х | х(x)} или, что то же, в {х | х=х}.

Теперь рассмотрим, для наглядности, множество из биологии. Пусть этим множеством будет {слон, собака, кошка, муха, комар}. В нем можно выделить два подмножества: подмножество зверей {слон, собака, кошка} и подмножество насекомых {муха, комар}. Их можно выразить через характеристическое свойство: {слон, собака, кошка | зверь}, {муха, комар | насекомое}. С формальной стороны здесь следовало бы писать {слон, собака, кошка | зверь(х)}, {муха, комар | насекомое(х)}, но не думаю, что это существенно. Само же множество можно представить как множество животных {слон, собака, кошка, муха, комар | животное} или как объединение двух множеств: зверей и насекомых. Кстати, такое понимание множеств, если иметь ввиду вид сверху, представляет собой диаграммы Венна.

 

Рис. 1 Иерархия понятий. 

Далее зададимся вопросом: какое характеристическое свойство является общим для любого множества и подмножества? Этот вопрос можно переформулировать: что общего между элементами множества, если о них известно лишь то, что они различны? Такое свойство единственно: каждый элемент множества равен себе. Переводя с математического языка на человеческий, это единственное свойство означает быть, существовать. Итак, имеем множество того, что существует {слон, собака, кошка, муха, комар | существует}. В этом случае его подмножествами будут как животные, так и звери, насекомые.

Хорошо. Но как тогда трактовать пустое множество, ведь оно включено в каждое множество? И вот здесь, словно лист Мёбиуса, логика выворачивается наизнанку. Что не существует – существует или не существует? И то, и другое. Из не существования следует как не существование, так и существование. Из лжи следует как ложь, так и истина. Знакомо, не правда ли?

Что важно? Классический подход исключает трактовку характеристического свойства как элемента множества. Если за элементы множества или подмножества взято выделенное синим цветом на рис. 1 {слон, собака, кошка}, {муха, комар}, то куда, допустим это в дальнейшем потребуется, отнести лайку и дога? Проблема ведь в том, что тогда приходится признать, что собака для лайки и для дога будет являться характеристическим свойством.

Почему же нельзя характеристическое свойство одного множества трактовать как элемент другого множества? Например, почему невозможно представить множество животных, где элементами будут зверь и насекомое как таковые? Потому что такой подход допускает {х | х=х} и {х | х≠х}. Но тождественно ложные формулы, чем противоречия и являются, необходимы для выражения не существования. Полнота описания сущего без этого невыразима. Поэтому возражу в этом моменте Расселу [1]: «cуществует [некий] х», «there is а х» - не бессмысленно. Как и не бессмысленно: «не существует [некий] X», «there is not а X». Что тогда? Трактовать характеристическое свойство как элемент множества где это необходимо? Почему бы и нет! К тому же снимается проблема с догом и лайкой. Получим множество собак {лайка, дог | собака}.

Такой подход практически неограниченно позволяет спускаться и подниматься по иерархии понятий. Ниже, используя его, примеры логики первого порядка.

 (1)

Если каждый (зверь – животное), то хотя бы один (зверь – животное). По формуле (1). Если {зверь(слон), зверь(собака), зверь(кошка) | животное}, то ({зверь(слон) | животное} или {зверь(собака) | животное} или {зверь(кошка) | животное})

 (2) 

Если каждый (зверь – не насекомое), то каждое (насекомое – не зверь). По формуле (2). Если {зверь(слон), зверь(собака), зверь(кошка) | не насекомое}, то {насекомое(муха), насекомое(комар) | не зверь}

 (3) 

Если каждый (зверь – не насекомое), то хотя бы одно (насекомое – не зверь). По формуле (3). Если {зверь(слон), зверь(собака), зверь(кошка) | не насекомое}, то ({насекомое(муха) | не зверь} или {насекомое(комар) | не зверь}) 

 (4)

Если каждый (зверь – животное), то нет такого, что хотя бы один (зверь – не животное). По формуле (4). Если {зверь(слон), зверь(собака), зверь(кошка) | животное}, то нет такого, что ({зверь(слон) | не животное} или {зверь(собака) | не животное} или {зверь(кошка) | не животное})

 (5)

Если каждый (зверь – не насекомое), то нет такого, что хотя бы один (зверь – насекомое). По формуле (5). Если {зверь(слон), зверь(собака), зверь(кошка) | не насекомое}, то нет такого, что ({зверь(слон) | насекомое} или {зверь(собака) | насекомое} или {зверь(кошка) | насекомое})

Отмечу здесь, что {зверь(слон) | насекомое} есть пустое множество, поскольку нет такого слона, который был насекомым.

В этих примерах Х – связанная переменная. Ее значениями являются элементы (слон, собака, кошка, муха, комар). Но возможно за Х принимать также элементы множества {зверь, насекомое | животное} или элементы множества {лайка, дог | собака}, передвигаясь по иерархии понятий.

Поскольку понятие существует в этой статье  понимается как предикат равенства, то законы де Моргана в этой связи можно прочесть следующим образом.

 (6)

 (Верно, что каждое Х - существует) эквивалентно тому, что (неверно, что хотя бы одно Х – не существует). По формуле (6).

 (7) 

(Верно, что хотя бы одно Х - существует) эквивалентно тому, что (неверно, что каждое Х – не существует. По формуле (7)

Стоит заметить, что в отношении формулы х=х можно выделить два момента: что Х - это Х, т. е. Х(х); что Х - равен себе, т.е. =(х). И только если субъектом высказывания является само понятие существует, формула х=х примет вид (=)=(=).

Вот пример программы, который показывает отношения существования. Чтобы убедиться в ее результатах достаточно на страничке сайта [3] в (Show input) ввести два понятия из словаря G.

#!/usr/bin/python

G = {

  'лайка' : 'собака',

  'дог' : 'собака',

  'слон' : 'зверь',

  'собака' : 'зверь',

  'кошка' : 'зверь',

  'зверь' : 'животное',

  'насекомое' : 'животное',

  'муха' : 'насекомое',

  'комар' : 'насекомое',

  'животное' : 'существует',

  'существует' : 'существует'

}

sx, sy = [], []

x, y = map(str, input('Введите два понятия через пробел: ').split())

x1, y1 = x, y

sx.append(x)

sy.append(y)

#

while x != 'существует':

    p = G[x]

    sx.append(p)

    x = p

while y != 'существует':

    p = G[y]

    sy.append(p)

    y = p   

if x1 in sy:

    print(y1, 'есть', x1)

if y1 in sx:

    if x1 != y1:

        print(x1, 'есть', y1)      

Так, если ввести (дог насекомое), то программа ничего не вернет (поскольку дог не есть насекомое, насекомое не есть дог). Если ввести (животное лайка), то программа вернет (лайка есть животное). Если ввести (зверь зверь), то программа вернет (зверь есть зверь).

Замечу, что мы говорим (каждый зверь), имея ввиду  слона, собаку, кошку. Или говорим (некоторое животное)  - зверь, имея ввиду слона, собаку, кошку, муху, комара. И это понятно, поскольку рассматриваются отношения однозначно (каждый) или неоднозначно (некоторые). 

Как исключить неоднозначность? Понятно, что (лайка – собака) и (дог – собака) однозначно. А как быть с (собака – дог) или (собака – лайка)? Устранить неоднозначность можно, если принять во внимание, что характеристическое свойство и элемент множества могут быть связаны через функцию.

Обобщенно: лайка = f(собака), дог = g(собака). Или согласно толкового словаря Ожегова [2], имеем определения. Лайка – то же, что собака, если она породы ездовых, охотничьих или сторожевых. Дог – то же, что собака, если она самая крупная короткошерстная служебная. Условные конструкции в этих определениях задают функции, которые однозначно преобразуют характеристическое свойство в элементы множества. Итак, эти отношения с учетом функций (f(собака) - лайка), (g(собака) – дог) уже однозначны.

Есть еще один момент высказывания Рассела [1], который хотелось бы затронуть:

«Если бы случилось так, что греков не было, то и пропозиция (Все греки являются людьми), и пропозиция (Ни один грек не является человеком) были бы истинными. ...

Пропозиция (Ни один грек не является человеком) - это, конечно же, пропозиция (Все греки не являются людьми). Если бы случилось так, что греков не было, обе пропозиции были бы истинными одновременно». 

Кратко запишем то, что изложено Расселом:

1. Греки – не существуют.

2. (Все) греки – люди.

3. (Ни один грек – не человек) = (все греки – не люди)

4. Для (Греки – не существуют) истинно как (все греки - люди), так и (все греки – не люди)

Комментарий к сказанному Расселом:

5. Рассел отвергает такую конструкцию, поскольку она противоречива, поскольку такая конструкция (все греки - люди)= (все греки – не люди) всегда ложна, т.е. всегда False.

6. Но что есть пустое множество? Пустое множество – это множество, в котором не существует элементов и выражено оно именно как {Х | X ≠ Х}, т.е. это множество, в котором каждый элемент не равен себе. Эта формула (Х не-равно Х) всегда ложна. Согласно же определения самой математики, формула, которая всегда ложна, является ПРОТИВОРЕЧИЕМ!.

Замечу еще только, что Y=F(X) можно прочесть и как Y существует (Y есть), и как F(X) существует (F(X) есть). Когда же говорится (Y есть X), то неявно подразумевается, что  (Y есть X при какой-то функции). При этом, если X=0 и Y=1, то функция F, т.е. отрицание, будет являться, говоря физическим языком, коллапсирующей функцией: 1 = not(0), существует Х = not (не существует Х). Именно отрицание not преобразует нечто, находящееся в различных состояниях (Х = not Х), либо в (существует X), либо в (существует  not X). Поскольку not (Х = not Х) - тоже, что (X != not X). Имеем либо (существует Х), либо (существует not X): (X != not X) = (Х = Х) либо (X != not X) = (not Х = not Х)

Научная новизна. Характеристическое свойство множества и элемент множества могут трактоваться как одно. Возможны варианты. Либо характеристическое свойство множества является элементом другого множества. В этом случае такой подход представляет иерархию множеств. Либо, если рассматривается только одно множество, это выражает свойство элемента существовать. Кроме того, элемент множества может быть выражен через логическую связку то же самое с характеристическим свойством множества, если учесть условие (функцию), которая однозначно преобразует характеристическое свойство в элемент множества.

Вот еще любопытные выводы, вытекающие из рассмотрения тождественно истинных и тождественно ложных формул.

Сравниваем: (1 = 0 + 1) и (1 = not 0). Замечаем, что (not) = (+1).

Именно используя это notp (отрицание по отношению к каждому предыдущему числу), программа run_nr_i конструирует числа натурального ряда, не используя явно +1. Причем, notp вырождается в простое отрицание not для случая, если предыдущим числом является только число ноль. 

С учетом того, что (1 = +1), (-0 = 0 = +0) имеем: (notp (notp 0))  = 2. Поскольку (notp 0) = +1 +0 = +1 = 1, (notp 1) = (+1 +1) = 2

Что касается минуса: поскольку (нет Х) = (Х ≠ Х) и (нет Х) = (Х - Х), то (Х - Х) = (Х ≠ Х). Из (Х - Х) = (Х ≠ Х) следует, что (минус = не-равно). Так, из 3 – 3 = (3 не-равно 3) следует 3 = (3 не-равно 3) + 3. Получаем 3 = (3-3)+3.

Соответственно: not (Х не-равно Х) = (Х равно Х). Следовательно: not (нет Х) = есть Х, not (ноль Х) = один Х.

Поэтому формула (notp (notp 0))  = 2  может принять вид: (notp (notp (Х не-равно Х))) = 2 Х

Результаты и заключение. Безусловно, концепция спорна. Спорна, поскольку требует переосмысления понятия элемента множества, тем  более, что понятие элемента множества относится к неопределяемым понятиям математики. Но она действенна. И она дает результат. 

Библиографический список:

1. Рассел Б. Философия логического атомизма [электронный ресурс] // URL: http://www.libros.am/book/read/id/248770/slug/filosofiya-logicheskogo-atomizma-1
2. Толковый словарь Ожегова онлайн [электронный ресурс] // URL: http://slovarozhegova.ru
3. Compile python3 online [электронный ресурс] // URL: http://rextester.com/l/python3




Рецензии:

9.09.2017, 12:07 Мирмович Эдуард Григорьевич
Рецензия: Из данной статьи может быть признана актуальной лишь одна мысль: "Безусловно, концепция спорна. Спорна, поскольку требует переосмысления понятия элемента множества". Какого? И конец статьи как раз в разделе "Результаты", что эта концепция "даёт результаты". Если их нет в результатах, то какие результаты? Ни актуальности, ни научной ценности, ни практического приложения этой статьи рецензент не видит. А дискуссия вокруг неё состоит лишь из дополнительных многословных рассуждений автора. Рецензент не рекомендует к публикации данной статьи.

09.09.2017 16:16 Ответ на рецензию автора Булыгин Владимир Викторович:
Мирмович Эдуард Григорьевич, вы хоть одну статью по логике написали? Нет. Так каким образом вы оцениваете? Таким, что если вам не понятно, то это неверно? Я вам уже ранее отвечал, что в математике вы не найдете формул (нет Х)= (Х не-равно Х), (есть Х) = (Х равно Х), отталкиваясь от которых делаются дальнейшие выводы. Но в ваших рецензиях о них не сказано ни слова, не говоря уже о выводах из этих формулах вытекающих. ... Тот, кто хоть немного разбирался бы в логике, сравнил бы формулу (нет Х)= (Х не-равно Х) с формулой (ноль = |{Х | Х не-рвно Х}|). Мощность пустого множества равна нулю, поскольку (нет элементов) выражается именно формулой (Х не-равно Х) . Вопрос: верно ли, что (ноль = |{Х | Х не-рвно Х}|)? Разумеется. Но не обязательно для формулировки нуля использовать понятие множества, можно непосредственно и так (ноль Х) = (нет Х)= (Х не-равно Х) . ... А раз для вас даже эти три сосны - тайга, то и осмысление программ, как и решение задач, использующих эту логику, превращается в игру в наперстки с вашими представлениями о том, что должно быть.



Комментарии пользователей:

11.07.2017, 8:49 Булыгин Владимир Викторович
Отзыв: {a равно a, b равно b, c равно c} = {существует(a), существует(b), существует(c)} = {a, b, c | существует} … {a не-равно a, b не-равно b, c не-равно c} = {не существует(a), не существует(b), не существует(c)} = {a, b, c | не существует} = {}


11.07.2017, 8:49 Булыгин Владимир Викторович
Отзыв: Кстати, английское None (ничто) и False (ложь) в условных конструкциях имеют одинаковый смысл: … сравните [ if not None: print(not None)] и [if not False: print(not False)]. Обе конструкции возвращают True (истину). … Ничто и ложь выразимы: (не существует Х) = (Х не-равно Х)


30.07.2017, 6:47 Булыгин Владимир Викторович
Отзыв: 1. Логическое равенство (эквивалентность), согласно математике, определено таблицей истинности: 0~0=1, 0~1=0, 1~0=0, 1~1=1. Другими словами, ... False~False=True, False~True=False,True~False=False,True~True=True. ... 2. Можно переписать: (False~False)=True, (False~True)=False,(True~False)=False,(True~True)=True. ... 3. В таком виде, если рассматриваются истина и ложь,(различий между понятиями эквивалентно и равно) - нет: (False=False)=True, (False=True)=False,(True=False)=False,(True=True)=True ... Другое дело, если рассматриваются равенства: (X = X ) и (not X = not X). Эти равенства равны, естественно. Тогда о (Х) и о (not X), каждое из которых есть True, можно сказать, что: высказывание X о самом себе вида (Х = Х) и высказывание (not X) о самом себе вида (not X = not X) – эквиваленты, поскольку возвращают True. ... Имеем: (Х = Х) ~ (not X = not X) = True. ... Иначе говоря, (True) ~ (True) = True ... Тогда в предикативной форме можно записать: =(X), =(not X). Другими словами, Х — истинно (True), not X – истинно (True) ... А что можно сказать о False? Единственный способ задать ложь — это сказать, что [False=(False=True)], т.е. [ложь — то же самое, что (ложь то же самое, что истина)]. Все неразрешимые парадоксы, начиная с лжеца, строятся согласно этой формуле. Неразрешимы же (не существует решений, ноль решений) они потому, что для формулы (Х = not X) не найдется такое Х, при котором (Х = not X) было бы истинно. Такая формула (Х = not X) всегда ложна! ... 7. Какой смысл вкладывается в эквивалентность множеств? Ссылка: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/2-ekvivalentnost-mnozhestv-schetnye-i-neschetnye-mnozhestva/ ... Цитата: Определение. Множества A и B называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. ... Комментарий: Допустим, имеем два множества {a} и {b}. Они, согласно этому определению, эквиваленты, поскольку элементу а первого множества однозначно соответствует элемент b второго множества. Другими словами, =(a) и =(b) можно приравнять через их предикат "существует" (но сами элементы, естественно, не равны).


14.08.2017, 8:28 Булыгин Владимир Викторович
Отзыв: Задача первого класса. На дереве не было птичек. Прилетела синичка. Сколько птичек стало? ... Общий подход к решению: 1 птичка = (not (птичка не-равно птичка)) ... Ответ так (логика): 1 птичка = (птичка равно птичка) ... Или ответ так (алгебра): 1 птичка = +1 +0 птичка


15.08.2017, 8:43 Булыгин Владимир Викторович
Отзыв: Что понимается в математике, когда говорят, что выражение (формула) не имеет смысла? Когда результат сводится к запретному. Что это значит? ... Самым распространенный пример - деление на ноль. Например, (5:0) - бессмысленно. Почему? Потому что это сокращенная запись от (0 * x = 5). Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Левая часть равенства (0 * x = 5) НИКОГДА не равна правой части равенства. Поэтому сказать, что (0 * x = 5) бессмысленно - то же, что сказать, что (Х = not X) есть False, т.е эта формула всегда ложна. ... Но так, используя ложь, формулируется пустое множество {X | X не-равно Х} [Математическая логика, Колмогоров, с-130] Почему? Потому что только так можно передать смысл НЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ Кроме того, используя не только истину, но и ложь, строятся таблицы истинности. Ведь при делении на ноль мы получаем ошибку типа ZeroDivisionError, т.е мы получаем False типа ZeroDivisionError. Всего лишь! Такая запись (0 * x = 5) говорит лишь о том, что она не истинна. ... Резюме всего сказанного: для полноты выражения чего-либо нам нужна не только True, но и False! В противном случае, используя только истину, то, что не существует - невыразимо.


11.09.2017, 14:21 Мирмович Эдуард Григорьевич
Отзыв: Уважаемый Владимир Викторович! Рецензент основывал свои выводы лишь на выводах самого автора. Никаких собственных размышлений на этот счёт рецензент не приводил. Вы ввели как оператор "ноль", которого в природе не существует. Это одна из сложнейших проблем для понимания связи между промежуточными инструментами математики и природой, в которой всё имеет конкретные размерности, например, времени (частоты) и, как минимум, объёма, последовательно снижение размерности которого приводит к размерности длины. И т.д. и т.п. В теории множеств в сочетании с логикой и булевской алгеброй что-то принципиально новое вносить крайне опасно с риском попасть в тавтологию, в рекуррентную путаницу. Само определение множества (даже существующие варианты) не допускают наличие нуля. А Ваш пример с птичками - просто ... На конкретной веточке сидела конкретная птичка, тем самым создав счётное и размерное множество. Она улетела, и множество исчезло вообще, а не стало пустым. Теперь на этой веточке могут быть листики (это совсем другое множество), снежные комочки и др. Замечательные Ваши слова "то, что не существует - невыразимо" и, видимо, наоборот. Осталось только попробовать определить понятие "существование" и " не существование". И здесь главным словом является размерное "ТО", которое каждый раз имеет своё конкретное воплощение. Однако измените свои выводы и результаты, выраженные крайне небрежно и неуважительно к читателю, наполните их тем, чего Вы действительно, по Вашему же мнению, добились, сформулируйте, где это может быть применимо, и рецензии всех рецензентов дадут путь к публикации, если даже они не согласны с данным текстом.


11.09.2017, 16:23 Булыгин Владимир Викторович
Отзыв: Итак, Эдуард Григорьевич, статей по логике вы не писали. Логиков не читали.... Но хуже то, что ваши знания в данной области ниже школьного. Не пишите так (она улетела, и множество исчезло вообще, а не стало пустым) никогда больше, а то лишитесь работы. Искренне советую.


Оставить комментарий


 
 

Вверх